1. Tema 1
Canales en comunicaciones digitales
Dr. José Ramón Cerquides
Teoría de la Señal y Comunicaciones
Universidad de Sevilla
Transmisión Digital

2. Organización
• Introducción. Diagrama de bloques de un sistema de
transmisión digital
• Elementos de un sistema de transmisión digital
• Fuente, codificador, modulador, canal, ruido, demodulador,
detector, decodificador y destino
• Canal digital equivalente
• Definición y modelado
• Obtención de los parámetros del canal digital equivalente
• Parámetros importantes de una transmisión
• Canal discreto equivalente
• Definición y modelo
• Obtención del canal discreto equivalente
• Canal binario equivalente
• Definición y modelo
• Obtención del canal binario equivalente
• Conclusiones
• Referencias

3. Diagrama de bloques
FUENTE
CODIFI
CADOR
MODU
LADOR
CANAL
DESTINO
DECODI
FICADOR
DETEC
TOR
DEMODU
LADOR
Mensaje
emitido
m[l]
(secuencia
binaria)
Símbolos
emitidos
s[n]
(secuencia
digital)
Señal
emitida
s(t)
(señal
analógica)
Señal a la
salida del
canal
c(t)
(señal
analógica)
Ruido
v(t)
(señal analógica)
Señal
recibida
x(t)
(señal
analógica)
Símbolos
recibidos
r[n]
(secuencia
discreta)
Símbolos
estimados
s’[n]
(secuencia
digital)
Mensaje
recibido
m’[l]
(secuencia
binaria)
CANAL DIGITAL EQUIVALENTE
CANAL DISCRETO EQUIVALENTE
CANAL BINARIO EQUIVALENTE

4. • Genera el mensaje binario m[l] a transmitir.
• Puede proceder de una fuente analógica
• La velocidad de transmisión, también denominada
flujo binario o régimen binario es Rb (bits/segundo).
• Tb = 1/Rb es la duración de un bit o período de bit.
• La codificación de fuente queda fuera de los
objetivos de la asignatura.
Fuente
Fuente
analógica
Codificador
de fuente
(opcional)m(t)
Mensaje
analógico
(señal
analógica)
Mensaje
binario sin
codificar
Mensaje
binario
codificado
m[l]
Conversor
A/D
Nb fs

5. Ejemplos de fuentes
• Telefonía
• Señal analógica de voz
• Banda de 300 a 3400 Hz
• Muestreo a 8 bits y 8000 Hz  Rb = 64 Kb/s
• Telefonía móvil
• Señal analógica de voz
• Banda de 300 a 3400 Hz
• Muestreo a 8 bits y 8000 Hz  64 Kb/s
• Codificación de fuente a Rb de 13 Kb/s
• CD-Audio (1x)
• Señal digital a 44100·16·2 = 176 KB/s
• Música MP3 (MPEG II Layer 3)
• Señal analógica de audio
• Muestreo a 44100 Hz, stereo, 16 bits/muestra (como CD)
• Codificación de fuente a Rb = 32, 64, 128, 256, 384 … Kbps

6. Ejemplo de codificación de fuente
• Supongamos que la fuente quiere transmitir el
carácter ‘N’.
• Es necesario decidir qué código se va a utilizar.
• Se decide utilizar el código ASCII extendido (8 bits
por caracter).
• Dicho carácter toma el valor 78 (en decimal)
• Codificado con 8 bits resulta ser 01001110
• De ese modo,
m[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0
sería el mensaje a transmitir.

7. Codificador
• Genera la secuencia de símbolos s[n] a transmitir,
que representan la información contenida en el
mensaje m[l].
• Pueden añadirse códigos de privacidad, protección
y/o corrección de errores a la secuencia original
(fuera de este tema).
• La velocidad de salida de los símbolos es Rs y se
denomina velocidad de señalización (en símbolos/s
o baudios).
• Ts = 1/Rs = período de símbolo o duración de un
símbolo (segundos).
• La relación Rb/Rs = Ts/Tb = ?
bits por símbolo

8. Ejemplo: Un codificador sencillo
• Un ejemplo sencillo podría ser el que mapea la
secuencia de bits en símbolos de la forma siguiente:
• El mensaje m[l] del ejemplo anterior
m[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0
se convertiría en la secuencia de símbolos
s[n] = [-1,1,-1,-1,1,1,1,-1].
• En este caso Ts = Tb y por tanto Rs y Rb coincidirán.
Bit Símbolo
0 -1
1 1

9. Equivalentes paso bajo
• Supondremos siempre que utilizamos equivalentes
paso bajo de los sistemas reales de comunicación.
• Debemos considerar la posibilidad de símbolos
complejos,
s[n] = si[n] + jsq[n]
donde si[n] y sq[n] denotan respectivamente las
componentes fase y cuadratura del símbolo s[n].

10. EJEMPLO: Un codificador de 2 bits/símbolo.
• Si realizamos el mapa siguiente:
la secuencia original de bits m[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0
resultaría en una secuencia de símbolos
s[n] = j,1,-j,-1
• Cada símbolo lleva información de 2 bits
Ts = 2Tb Rs = Rb/2
Bits Símbolo
00 1
01 j
10 -1
11 -j

11. Constelación transmitida
• Si marcamos sobre un plano
complejo los posibles
valores de los símbolos
transmitidos, obtendremos
la constelación de la señal
transmitida.
Re
Im
1-1
10
Re
Im
1-1
j
-j
00
01
10
11
Re
Im
0001
1011

12. Ejemplo: 128 - QAM

13. • Supongamos que, debido a un error, se recibiese la
secuencia de símbolos
s’[n] = j,1,1*,-1
(el * indica el símbolo erróneo)
• El mensaje decodificado sería
01000010 
66 
‘B’
• Obsérvese que entre el mensaje binario original y el
decodificado hay dos bits de diferencia.
Original: 0 1 0 0 1 1 1 0
Decodificado: 0 1 0 0 0 0 1 0
Un error !!!!

14. Códigos de Gray
• Cuando se produce un error, se suele confundir el
símbolo con uno de los más próximos
• Parece lógico, que los bits asociados a símbolos más
próximos se parezcan más entre sí, de modo que, al
producirse un error en un símbolo este repercuta en
el menor número de bits posibles.
• Esto es lo que persigue la codificación Gray.
Re
Im
1-1
j
-j
00
01
10
11
Re
Im
1-1
j
-j
00
01
11
10
Código no Gray Código Gray

15. EJEMPLO: Codificador alternativo (Gray)
Re
Im
1-1
j
-j
00
01
11
10
• Si hubiesemos utilizado el codificador:
Mensaje: 01001110 Codificada: j,1,-1,-j.
Recibida: j,1,-j*,-j Decodificado: 01001010  74  ‘J’.
• Entre el mensaje binario original y el decodificado
habría ahora únicamente un bit de diferencia.
Original: 01001110
Decodificado: 01001010

16. Ejemplo: 256 QAM (Gray) (un cuadrante)

17. Modulador
• Elemento encargado de convertir la secuencia de
símbolos presentes a la salida del codificador en una
señal analógica s(t) que pueda ser transmitida a
través del canal de comunicaciones.
• Tecnológicamente se despliegan en este punto un
enorme número de posibilidades dependiendo de las
características que se pretendan obtener del sistema
de comunicaciones.
• Iremos revisando algunas de los diferentes técnicas
de modulación utilizadas habitualmente.
• A la salida del modulador encontraremos una señal
analógica s(t) que debe contener la información
necesaria para la correcta transmisión del mensaje.

18. Ejemplo de modulador
• Se podría construir una
señal analógica s(t)
asignando formas de onda
diferentes a los diferentes
símbolos.
• Podríamos transmitir
p1(t) cuando s[n] = s0 = 1
p-1(t) cuando s[n] = s1 = –1
• La señal que
transmitiríamos sería:
0 ½Ts Ts t
p1(t)
1
0 ½Ts Ts t
p-1(t)
1
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts t
s(t)
1

19. Moduladores sin memoria
• Aunque existen moduladores “con memoria” (la
señal transmitida en cada instante depende de la
señal actual y de señales anteriores), para estudiar
las principales características de un sistema de
transmisión digital podemos suponer que nuestro
sistema utiliza un modulador “sin memoria”:
• Un modelo habitual de modulador que puede servir
para describir un buen número de modulaciones
viene dado por la expresión:
• Dependiendo de ps(t), el esquema anterior puede dar
lugar a diferentes modulaciones.
( ) [ ] ( )ss k
k
s t p t kT
∞
=−∞
= −∑
( ) [ ] ( )s s
k
s t s k p t kT
∞
=−∞
= −∑

20. EJEMPLO: Un modulador en I-Q
• Partiendo de la secuencia s[n] = j,1,-1,-j si utilizamos
un modulador que genere a la salida
con ps(t) = u(t)-u(t-Ts).
• Las señales generadas en los canales en fase y en
cuadratura serán:
( ) [ ] ( )s s
k
s t s k p t kT
∞
=−∞
= −∑
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
t
si(t)
1
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
t
sq(t)
1

21. EJEMPLO: Un modulador I-Q (2)
• La señal que realmente se emitirá será
ŝ(t) = Re{s(t)·ej2πf0t
}
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }i q 0 0
ˆs t Re s t js t cos 2 f t jsen 2 f t   = + π + π  
( ) ( ) ( ) ( ) ( )i 0 q 0
ˆs t s t cos 2 f t s t sen 2 f t= π − π
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
t
1 si(t)cos(2πf0t)
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
t
1
-sq(t)sin(2πf0t)
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
t
1 si(t)cos(2πf0t)- sq(t)sin(2πf0t)

22. EJEMPLO: Un modulador I-Q (y 3)
f0 = 10 Hz
f0 = 500 Hz

23. EJEMPLO: Modulador con pulso de Nyquist
• Si el pulso ps(t) es un pulso de Nyquist:
y se utiliza un modulador lineal binario con símbolos
de entrada ±1, la señal de salida será:
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
t
1
pt(t)
-1 1 -1 -1 1 1 1 -1
s(t)
1
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts 9Ts 10Ts 11Ts 12Ts 13Ts 14Ts
t

24. Canal
• El canal es el medio utilizado para transportar la
señal desde el transmisor hasta el receptor.
• Puede ser un medio físico: hilos conductores, fibra
óptica, guía de ondas..., o bien puede estar
constituido por la atmósfera o el espacio, como en los
radioenlaces terrenales por microondas, en las
comunicaciones vía satélite o en la telefonía móvil.
• Describiremos el canal analógico mediante su
respuesta impulsional hc(t) o equivalentemente
mediante su función de transferencia Hc(f).
• A la salida del mismo nos encontraremos con una
señal c(t) dada por:
c(t) = s(t)*hc(t) C(f) = S(f)·Hc(f)

25. Ejemplos de canales
• Canal ideal
• Un canal ideal, que no presentara retraso ni atenuación,
entregaría a la salida una señal c(t) idéntica a la señal s(t)
que se hubiera presentado a su entrada.
• Su respuesta impulsional hc(t) se representaría como una
delta,
hc(t) = δ(t)
• Retardo y atenuación
• Para modelar un canal con retardo y atenuación
utilizaríamos una expresión para su respuesta impulsional
como la siguiente:
hc(t) = α•δ(t-td)
siendo α la atenuación del canal y el parámetro td el retraso
del mismo.

26. Ruido
• Uno de los problemas inevitables de cualquier
sistema de comunicación es la presencia de ruido.
• En nuestros modelos introduciremos el ruido como
una señal v(t), descrita en términos estadísticos y que
se añade a la señal de salida del canal, para obtener
la señal de entrada a los circuitos del demodulador:
x(t) = c(t) + v(t)
• Debemos interpretar este ruido como un “ruido
equivalente”.
• Será necesaria una caracterización estadística doble:
• Función densidad de probabilidad (usualmente Gauss)
• Densidad espectral de potencia (usualmente plana)

27. EJEMPLO: Descripción del ruido
• Ruido blanco
• Si decimos que v(t) es un ruido blanco esto significa que su
densidad espectral de potencia es plana (igual a todas las
frecuencias):
Svv(f) = σv
2
• Dado que la autocorrelación y la densidad espectral de
potencia forman un par transformado:
rvv(τ) = E{v(t)v*(t-τ)} = σv
2
δ(τ)
• Ruido gaussiano
• Si decimos que v(t) es un ruido gaussiano de media cero
estamos imponiendo una f.d.p. a las muestras del ruido:
( )
2
2
v
v
2
v(t)
v
1
f v e
2
−
σ
=
πσ

28. Ejemplos de ruido (diferentes p.d.f.’s)
Gauss Rayleigh
Rice Uniforme

29. Ejemplos de ruido (gauss) (diferentes colores)
Ruido
blanco
Ruido
rosa
Ruido
marrón

30. Demodulador
• El demodulador es el elemento encargado de
interpretar la señal recibida, extrayendo de la misma
los símbolos que fueron inyectados en el modulador.
• El demodulador es probablemente el elemento más
complejo de todo el sistema de transmisión, ya que
normalmente necesita la incorporación de circuitos
auxiliares de sincronismo, ecualización, muestreo...
• En cualquier caso, a la salida del demodulador nos
encontraremos con una secuencia discreta de
símbolos que denominaremos r[n], secuencia que
será entregada al detector para su interpretación.
• Nos centraremos en la demodulación mediante filtro
adaptado, por ser óptimos para modulaciones
lineales sin memoria.

31. EJEMPLO: Demodulador con filtro adaptado
• En modulaciones lineales sin memoria, la estructura
de un demodulador óptimo es la siguiente:
donde la expresión del filtro adaptado es:
FILTRO
ADAPTADO
Señal
recibida
x(t)
(señal
analógica)
DEMODULADOR
Símbolos
recibidos
r[n]
(secuencia
discreta)
Señal
salida
r(t)
(señal
analógica)
( )
( ) ( )
( )
0j2 ft* *
s c
r
vv
P f H f e
H f k
S f
− π
=

32. EJEMPLO: Demodulador y constelación
• Las muestras tomadas a la salida del demodulador
constituyen la constelación de la señal recibida.
Recepción
correcta
Exceso
de ruido
Error de fase
en sincronismo
de portadora
Error de
frecuencia en
sincronismo
de portadora

33. Detector
• El detector o decisor es elemento encargado de
interpretar la secuencia de símbolos r[n] presente a la
salida del demodulador con el objetivo de
determinar la secuencia de símbolos original
transmitida s[n].
• A la salida del detector encontraremos una secuencia
de símbolos s’[n], donde la tilde indica “estimados”
o lo que es lo mismo, que pueden ser erróneos.
• Probablemente el parámetro de calidad más
importante de un sistema de transmisión digital es
precisamente el porcentaje de símbolos erróneos que
se recibe, parámetro que suele expresarse como una
probabilidad y que se denomina Probabilidad de
Error de Símbolo.

34. Decodificador
• El objetivo del decodificador es analizar s’[n] para
determinar el mensaje original. Si en el codificador se
han introducido códigos de protección y corrección
de errores, el decodificador deberá ser capaz de
procesar adecuadamente dicha información.
• A la salida encontraremos en cualquier caso un
mensaje “estimado” m’[l], formado por una
secuencia de bits.
• Otro de los parámetros de interés en un sistema
digital de comunicaciones es la Probabilidad de
Error de Bit, que no tiene porqué coincidir con la
Probabilidad de Error de Símbolo anteriormente
descrita.

35. Canal digital equivalente
FUENTE
CODIFI-
CADOR
MODU-
LADOR CANAL
DEMODU-
LADORDETECTORDESTINO
Mensaje
transmitido
m[l]
(secuencia
digital)
Símbolos
transmitidos
s’[n]
(secuencia
digital)
Señal
transmitida
s(t)
(señal
analógica)
Ruido
v(t)
(señal
analógica)
Señal
recibida
x(t)
(señal
analógica)
Símbolos
recibidos
r[n]
(secuencia
discreta)
Mensaje
recibido
m’[l]
(secuencia
digital)
Señal de salida
del canal
c(t)
(señal
analógica)
Símbolos
estimadosDECODIFI-
CADOR
s[n]
(secuencia
digital)
CANAL
DIGITAL
EQUIVALENTE
CANAL
DISCRETO
EQUIVALENTE
CANAL
BINARIO
EQUIVALENTE

36. Canal digital equivalente
FUENTE
CODIFI
CADOR
MODU
LADOR
CANAL
DESTINO
DECODI
FICADOR
DETEC
TOR
DEMODU
LADOR
Mensaje
emitido
m[l]
(secuencia
binaria)
Símbolos
emitidos
s[n]
(secuencia
digital)
Señal
emitida
s(t)
(señal
analógica)
Señal a la
salida del
canal
c(t)
(señal
analógica)
Ruido
v(t)
(señal analógica)
Señal
recibida
x(t)
(señal
analógica)
Símbolos
recibidos
r[n]
(secuencia
discreta)
Símbolos
estimados
s’[n]
(secuencia
digital)
Mensaje
recibido
m’[l]
(secuencia
binaria)
CANAL DIGITAL EQUIVALENTE

37. Canal digital equivalente
• Si observamos el esquema de un sistema digital de
comunicaciones, podemos ver que a la entrada del
modulador tenemos una secuencia discreta s[n], y a
la salida del demodulador nos encontramos con una
nueva secuencia discreta r[n].
• Podemos suponer que la cadena “modulador – canal
– ruido – demodulador” se comporta de manera
equivalente a un canal discreto.
CANAL
DIGITAL
hd[n]
s[n]
Secuencia de
símbolos de
entrada
r[n]
Secuencia de
símbolos de
salida
w[n]
Ruido discreto

38. Canal digital equivalente
• El modelo resultaría por tanto:
r[n] = s[n]*hd[n] + w[n]
donde:
• hd[n] es la respuesta impulsional del canal digital
equivalente.
• w[n] es el ruido discreto equivalente.
• Para tener perfectamente caracterizado el canal
digital equivalente necesitamos determinar:
• La respuesta impulsional hd[n]
• Las características de w[n]
• Función densidad de probabilidad
• Densidad espectral de potencia

39. Obtención del canal digital equivalente
MODU-
LADOR CANAL
DEMODULADOR
Símbolos
transmitidos
Señal
transmitida
s(t)
(señal
analógica)
Ruido
v(t)
(señal
analógica)Señal
recibida
x(t)
(señal
analógica)
Símbolos
recibidos
r[n]
(secuencia
discreta)
Señal de salida
del canal
c(t)
(señal
analógica)
s[n]
(secuencia
digital)
CANAL
DIGITAL
EQUIVALENTE
FILTRO
ADAPTADO
r(t)
(señal
analógica)
Señal
filtrada
CANAL
DIGITAL
hd[n]
s[n]
Secuencia de
símbolos de
entrada
r[n]
Secuencia de
símbolos de
salida
w[n]
Ruido discreto
¿hd[n]?
¿w[n]?

40. Obtención de hd[n]
• Utilizaremos superposición:
• Haciendo v(t) = 0  w[n] = 0 obtendremos hd[n]
• Del modelo digital
• Del modelo analógico
r[n] = r(nTs+t0)
t0 Instante óptimo de muestreo de r(t)
• Para obtener t0 será necesario determinar que
instante elegirán (o debieran elegir) los circuitos de
sincronismo.
• El objetivo es tomar la muestra en el instante en que
la probabilidad de error de símbolo sea menor.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]d d
m
r n s n *h n s m h n m
∞
=−∞
= = −∑
0
0 e,s
t
t arg minP =
  

41. Obtención de t0
• Obtendremos primero una expresión de r(t)
r(t) = x(t) * hr(t) = c(t) * hr(t)
• Utilizando las siguientes definiciones:
pc(t) = ps(t)*hc(t) = Pulso a la salida del canal (recibido).
pr(t) = pc(t)*hr(t) = Pulso a la salida del filtro de recepción.
( ) [ ] ( ) ( ) ( )s s c r
m
r t s m p t mT *h t *h t
∞
=−∞
 
= − ÷
 
∑
( ) [ ] ( ) ( ) ( )( )s s c r
m
r t s m p t mT *h t *h t
∞
=−∞
= −∑
( ) [ ] ( )r s
m
r t s m p t mT
∞
=−∞
= −∑
v(t) = 0
( ) ( ) ( ) ( )c rr t s t *h t *h t=

42. Obtención de t0
• En general, los circuitos de sincronismo deben elegir
t0 para que la probabilidad de error de símbolo sea
mínima.
• En la práctica se utilizan diferentes técnicas de
sincronización, con diferentes resultados (véase cap.
6 “Digital Communications”).
• A fin de simplificar el procedimiento y dado que las
técnicas de sincronismo de símbolo quedan fuera de
los objetivos de este tema, supondremos que los
circuitos de sincronismo se “enganchan” al punto
máximo del pulso recibido (esta no es la solución
óptima, pero puede constituir una buena
aproximación).

43. Ilustración obtención de t0
t
pr(t)
Máximo
Valor de t para el
que se produce = t0

44. EJEMPLO: Determinación de t0
• Parámetros del sistema:
• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) = Π((t-Ts/2)/Ts)
• Canal ideal hc(t) = δ(t)
• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA·(u(t)-u(t-Ts))
pc(t) = ps(t) * hc(t) = ps(t)
pr(t) = pc(t) * hr(t) = kA2
Ts·Λ((t-Ts)/2Ts)
0 Ts 2Ts t
pr(t)
kA2
Ts
0 Ts t
ps(t)
A
0 t
hc(t)
1
0 Ts t
hr(t)
kA
Valor
máximo
t0 = Ts

45. EJEMPLO: Determinación de t0
• Parámetros del sistema:
• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) = Π((t-Ts/2)/Ts)
• Canal con retraso y atenuación hc(t) = αδ(t-td)
• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA·(u(t)-u(t-Ts))
pc(t) = ps(t) * hc(t) = αps(t-td)
pr(t) = pc(t) * hr(t) = kαA2
Ts·Λ((t-td-Ts)/2Ts)
0 td td+Ts td+2Ts
t
pr(t)
kαA2
Ts
0 Ts t
ps(t)
A
0 td t
hc(t)
α
0 Ts t
hr(t)
kA
Valor
máximo
t0 = td+Ts

46. Obtención de hd[n] (continuación)
• Del modelo analógico
r[n] = r(nTs+t0)
r(t) = x(t) * hr(t) = c(t) * hr(t)
r(t) = s(t) * hc(t) * hr(t)
v(t) = 0
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )c r t s c r
m
r t s t *h t *h t s m p t mT *h t *h t
∞
=−∞
 
= = − ÷
 
∑
( ) [ ] ( ) ( ) ( )( )t s c r
m
r t s m p t mT *h t *h t
∞
=−∞
= −∑
( ) [ ] ( )r s
m
r t s m p t mT
∞
=−∞
= −∑
[ ] ( ) [ ] ( )s 0 r s 0 s
m
r n r nT t s m p nT t mT
∞
=−∞
= + = + −∑
[ ] [ ] ( )( )r s 0
m
r n s m p n m T t
∞
=−∞
= − +∑

47. Obtención de hd[n] (y 3)
• Del modelo analógico
• Del modelo digital
• Conclusión:
[ ] [ ] ( )( )r s 0
m
r n s m p n m T t
∞
=−∞
= − +∑
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]d d
m
r n s n *h n s m h n m
∞
=−∞
= = −∑
[ ] ( )( )d r s 0h n m p n m T t− = − +
[ ] ( )d r s 0h n p nT t= +

48. Obtención de hd[n]. Interpretación
[ ] ( )d r s 0h n p nT t= +
t
hd[n]
-4 -3 -2 -1 0 1
t
pr(t)
t0-4Ts t0-3Ts t0-2Ts t0-Ts t0 t0+Ts

49. EJEMPLO. Obtención de hd[n]
• Parámetros del sistema
• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) = AΠ((t-Ts/2)/Ts)
• Canal ideal hc(t) = δ(t)
• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA·(u(t)-u(t-Ts))
• Nótese que si el canal hubiese tenido retraso y atenuación
hc(t) = αδ(t-td)
0 Ts 2Ts t
pr(t)
kA2
Ts
-1 0 1 n
hd[n]
kA2
Ts
0 td td+Ts td+2Ts
t
pr(t)
kαA2
Ts
-1 0 1 n
hd[n]
kαA2
Ts

50. Intrepretación de hd[n]
• Partiendo ya del canal digital equivalente:
es posible notar que:
• hd[0] ≠ 0 por definición (o no hay transmisión)
• si hd[n] ≠ kδ[n]  Hay ISI en el sistema  Ecualizador
• EJEMPLO:
s[n] = [-1,1,-1,-1,1,1,1,-1]
hd[n] = δ[n] + 0.3 δ[n-1]
r[n] = [-1,0.7,-0.7,-1.3,0.7,1.3,1.3,-0.7,0.3]
• NOTA: Aunque en este caso la ISI por si sola no es
suficiente para provocar un error de transmisión, ESTARíA
DEBILITANDO LA SEÑAL FRENTE AL RUIDO.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]d d
m
r n s n *h n s m h n m
∞
=−∞
= = −∑

51. Caracterización del ruido
• La relación entre v(t) y w[n] viene dada por:
w[n] = w(nTs+ t0)
donde
• Función densidad de probabilidad:
v(t) Gauss de media 0  w[n] Gauss de media 0
( ) ( ) ( ) ( )r rw(t) v t *h t h v t d
∞
−∞
= = τ − τ τ∫
( ) ( )
2
2
v
v
2
v t
v
1
f v e
2
−
σ
=
πσ
[ ] ( )
2
2
w
w
2
w n
w
1
f w e
2
−
σ
=
πσ

52. Caracterización del ruido
• Obtención densidad espectral de potencia de w[n]
v(t) Densidad espectral de potencia Svv(f)
v(t) Función de autocorrelación rvv(τ)
rvv(τ) = E{v(t)v*
(t-τ)} = F-1
{Svv(f)}
w[n] Densidad espectral de potencia Sww(F)
w[n] Función de autocorrelación rww[m]
rww[m] = E{w[n]w*
[n-m]} = F-1
{Sww(F)}
• Sustituyendo
w[n] = w(nTs+ t0)
rww[m] = E{w(nTs+to)w*
((n-m)Ts+t0]} = rww(mTs)
• Utilizando los resultados ya conocidos de ruido a través de
sistemas lineales:
rww(t) = rvv(t) * rhrhr(t) = rvv(t) * hr(t) * hr
*
(-t)

53. EJEMPLO. Caracterización del ruido
• En el ejemplo que venimos siguiendo
hr(t) = kA(u(t)-u(t-Ts))
rhrhr(τ) = k2
A2
Ts·Λ(t/2Ts)
• Si el ruido v(t) es blanco
rvv(τ) = σv
2
δ(τ)
rww(τ) = σv
2
k2
A2
Ts·Λ(t/2Ts)
• La autocorrelación del ruido digital será
rww[m] = rww(mTs)
rww[m] = σv
2
k2
A2
Ts·δ[m]
-Ts 0 Ts t
rhrhr(τ)
k2
A2
Ts
-Ts 0 Ts t
rww(τ)
σv
2
k2
A2
Ts
-1 0 1
n
rww[m]
σv
2
k2
A2
Ts

54. Caracterización del ruido. Relaciones
• Potencia de ruido
σw
2
= Potencia de ruido = rww[0]
rww[0] = rww(0) = rvv(τ)*rhrhr(τ)|τ=0
• Si el ruido v(t) es blanco  rvv(τ) = σv
2
δ(τ)
pero rhrhr(0) es, precisamente, la energía del filtro receptor.
• CONCLUSIÓN: En caso de ruido blanco la potencia de
ruido en el modelo digital simplemente se incrementa en la
energía del filtro de recepción.
• CONCLUSIÓN: Si la “k” del filtro de recepción se elige de
forma que la energía sea 1, se simplifica la formulación.
[ ] ( ) ( )r rww h h vvr 0 r u r u du
∞
−∞
= −∫
[ ] ( ) ( ) ( )r r r r
2 2 2
w ww h h v v h hr 0 r u u du r 0
∞
−∞
σ = = σ δ − = σ∫

55. EJEMPLO. Normalización del filtro receptor
• En el ejemplo que venimos siguiendo
hr(t) = kA(u(t)-u(t-Ts))
rhrhr(τ) = k2
A2
Ts·Λ(t/2Ts)
rhrhr(0) = k2
A2
Ts
Si queremos normalizar
rhrhr(0) = k2
A2
Ts = 1
• Si el ruido v(t) es blanco
rvv(τ) = σv
2
δ(τ)
rww(τ) = σv
2
Λ(t/2Ts)
• La autocorrelación del ruido digital será
rww[m] = rww(mTs)
rww[m] = σv
2
δ[m]
s
1
k
A T
=

56. EJEMPLO. Normalización del filtro receptor
• Otra consecuencia de la normalización del filtro
receptor es que afecta a la amplitud de hd[n].
• En el ejemplo que hemos venido desarrollando
• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) = AΠ((t-Ts/2)/Ts)
• Canal ideal hc(t) = δ(t)
• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = 1/√Ts·(u(t)-u(t-Ts))
• CONCLUSIÓN: Al normalizar el filtro receptor y si
no hay ISI hd[n] = √Epδ[n]
• CONCLUSIÓN: A partir de ahora tomaremos
siempre el filtro receptor normalizado.
0 Ts 2Ts t
pr(t)
sA T
-1 0 1 n
hd[n]
sA T

57. Parámetros importantes de una transmisión
• Energía del pulso y energía media por símbolo
• Se calculan a la entrada del receptor, es decir, sobre c(t)
• Densidad espectral de ruido (supuesto blanco)
• Se calcula a la entrada del receptor, es decir, sobre v(t), pero
teniendo en cuenta toda la cadena de recepción
σv
2
= σw
2
= N0/2 = kT0F/2
• Por eso la potencia de ruido disponible en un equipo de
comunicaciones es siempre
Pn = kT0FB
( )
2
p cE p t
∞
−∞
= ∫
( )
J 1 J 1
2 2
s j j p j p
j 0 j 0
Equiprobables
1
E p s s E s E
J
− −
↑
= =
= =∑ ∑

58. El canal discreto equivalente
FUENTE
CODIFI-
CADOR
MODU-
LADOR CANAL
DEMODU-
LADORDETECTORDESTINO
Mensaje
transmitido
m[l]
(secuencia
digital)
Símbolos
transmitidos
s’[n]
(secuencia
digital)
Señal
transmitida
s(t)
(señal
analógica)
Ruido
v(t)
(señal
analógica)
Señal
recibida
x(t)
(señal
analógica)
Símbolos
recibidos
r[n]
(secuencia
discreta)
Mensaje
recibido
m’[l]
(secuencia
digital)
Señal de salida
del canal
c(t)
(señal
analógica)
Símbolos
estimadosDECODIFI-
CADOR
s[n]
(secuencia
digital)
CANAL
DIGITAL
EQUIVALENTE
CANAL
DISCRETO
EQUIVALENTE
CANAL
BINARIO
EQUIVALENTE

59. El canal discreto equivalente (sin memoria)
• Observando el esquema podemos ver que a la
entrada del modulador tenemos una secuencia de
símbolos s[n]= {s0…sJ-1}, y a la salida del detector nos
encontramos con una nueva secuencia discreta s’[n]
con otros valores posibles {r0…rK-1}.
• ¿Cómo modelaría el sistema un observador que
estuviera analizando ambas secuencias?
CANAL
DISCRETO
EQUIVALENTE
s[n]
Secuencia de
símbolos de
entrada
s’[n]
Secuencia de
símbolos de
salida

60. Canal discreto equivalente
• El modelo que utilizaremos para representarlo será
una matriz de probabilidades de transición:
• NOTAS
• Se utilizará rk en lugar de s’
k por claridad.
• No confudir los símbolos rk detectados con la secuencia r[n] a
la entrada del detector.
• Obsérvese que la suma de cualquier fila es 1
p(r0|sj) + p(r1|sk) + … + p(rJ-1|sk) = 1 (p. total)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 1 0 K 1 0
0 1 1 1 K 1 1
0 J 1 1 J 1 K 1 J 1
p r | s p r | s p r | s
p r | s p r | s p r | s
p r | s p r | s p r | s
−
−
− − − −
 
 
 
 
 
 
L
L
M M O M
K

61. Canal discreto equivalente
• En ocasiones, cuando J x K = número total de
combinaciones es bajo, puede representarse la matriz
anterior en forma gráfica:
p(r0|s0)
p(r1|s0)p(r2|s0)
s0
s1
s2
s3
r0
r1
r2

62. Obtención del canal discreto equivalente
• Para tener perfectamente especificado el canal
discreto equivalente necesitamos determinar la
matriz anterior.
• Para ello partiremos del canal digital equivalente y
obtendremos cada una de las probabilidades.
• EJEMPLO:
• Pulso transmitido ps(t) =AΠ((t-Ts/2)/Ts)
• Canal ideal hc(t) = δ(t)
• Filtro receptor normalizado hr(t) = 1/√Ts·Π((t-Ts/2)/Ts)
• Ruido blanco
• Potencia de ruido σv
2
= N0/2 = kT0F/2
• Codificador binario s[n] = {s0,s1} = {-1,1}
• Detector  s’[n]=signo(r[n])

63. Obtención del canal discreto equivalente
• Canal digital equivalente
• hd[n] = √Epδ[n]
• w[n] blanco de potencia σw
2
= N0/2
• Determinación de p(r0|s0) y p(r1|s0)
• Señal recibida si se transmite s0
r|s0 = -√Ep + w
• Función densidad de probabilidad de la señal recibida
( )
( ) ( )
2 2
p p
2
w 0
0
r E r E
2 N
r|s
w 0
1 1
f r e e
2 N
+ +
− −
σ
= =
πσ π
( ) ( ) ( )0
0
p p
0 0 0 r|s
0 0
E 2E1
p r | s p r | s 0 f r dr 1 erfc 1 Q
2 N N−∞
   
= < = = − = − ÷  ÷
 ÷  ÷
   
∫
( ) ( ) p p
1 0 0 0
0 0
E 2E1
p r | s 1 p r | s erfc Q
2 N N
   
= − = = ÷  ÷
 ÷  ÷
   

64. El canal binario equivalente
FUENTE
CODIFI-
CADOR
MODU-
LADOR CANAL
DEMODU-
LADORDETECTORDESTINO
Mensaje
transmitido
m[l]
(secuencia
digital)
Símbolos
transmitidos
s’[l]
(secuencia
digital)
Señal
transmitida
s(t)
(señal
analógica)
Ruido
v(t)
(señal
analógica)
Señal
recibida
x(t)
(señal
analógica)
Símbolos
recibidos
r[n]
(secuencia
discreta)
Mensaje
recibido
m’[l]
(secuencia
digital)
Señal de salida
del canal
c(t)
(señal
analógica)
Símbolos
estimadosDECODIFI-
CADOR
s[n]
(secuencia
digital)
CANAL
DIGITAL
EQUIVALENTE
CANAL
DISCRETO
EQUIVALENTE
CANAL
BINARIO
EQUIVALENTE

65. El canal binario equivalente
• Observando el esquema podemos ver que a la
entrada del codificador tenemos una secuencia
binaria m[l], y a la salida del decodificador nos
encontramos con una nueva secuencia binaria m’[l].
• Ambas secuencias tienen únicamente dos símbolos
posibles: 0 y 1.
• Sería posible establecer un modelo especial de canal
discreto denominado canal binario, que relacione
ambas secuencias:
0|0 1|0
0|1 1|1
p p
p p
 
 
 
0
1
0
1
p0|0
p1|0 p0|1
p1|1

66. Obtención del canal binario equivalente
• Para obtener el canal binario equivalente
necesitaremos conocer:
• El canal discreto equivalente
• El funcionamiento del codificador/decodificador.
• Deseamos calcular
• p0|0 Probabilidad de recibir un ‘0’ si se transmite un ‘0’
• p0|1 Probabilidad de recibir un ‘0’ si se transmite un ‘1’
• p1|0 Probabilidad de recibir un ‘1’ si se transmite un ‘0’
• p1|1 Probabilidad de recibir un ‘1’ si se transmite un ‘1’
• Nótese que p0|0 + p1|0 = p0|1 + p1|1 = 1
• Será necesario identificar todas las posibles
situaciones y realizar un promedio.
• Normalmente explotaremos la simetría.

67. Obtención del canal binario equivalente
• EJEMPLO:
• Codificador QPSK (no Gray)
• Canal discreto equivalente
• Supongamos que se transmite un ‘0’. Hay 4 posibles
situaciones:
• 1) 1er
cero de s0
• 2) 2º cero de s0
• 3) 1er
cero de s1
• 4) 2º cero de s2
Re
Im
1-1
j
-j
00
01
10
11
s0
s1
s2
s3
0.75 0.1 0.05 0.1
0.1 0.75 0.1 0.05
0.05 0.1 0.75 0.1
0.1 0.05 0.1 0.75
 
 
 
 
 
 

68. Obtención del canal binario equivalente
• EJEMPLO (continuación)
• Debemos determinar la probabilidad de que se reciba un ‘0’
para cada una de las situaciones anteriores.
• Situación 1): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s0 o s1
p0|0
1
= p(r0|s0) + p(r1|s0) = 0.85
• Situación 2): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s0 o s2
p0|0
2
= p(r0|s0) + p(r2|s0) = 0.8
• Situación 3): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s1 o s0
p0|0
3
= p(r1|s1) + p(r0|s1) = 0.85
• Situación 4): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s2 o s0
p0|0
4
= p(r2|s2) + p(r0|s2) = 0.8
• Suponiendo equiprobables las cuatro situaciones anteriores:
p0|0 = ¼ · (p0|0
1
+ p0|0
2
+ p0|0
3
+ p0|0
4
)
p0|0 = 0.825
p1|0 = 1 - p0|0 = 0.175

69. Obtención del canal binario equivalente
• EJEMPLO (continuación)
• En este caso hay simetría en el problema, luego
p1|1 = p0|0 = 0.825
p0|1 = p1|0 = 0.175
• Se trataría de un canal binario simétrico.
• También podemos describirlo diciendo que se trata de un
canal binario simétrico con una probabilidad de error
Pe = 0.175
0.8250
1
0
1
0.175 0.175
0.825

70. Conclusiones
• 4 modelos de canal
• Canal analógico o de forma de onda
• Muchos parámetros, mayor complejidad
• Diseño de moduladores, demoduladores…
• Canal digital equivalente
• Pocos parámetros, más versatilidad
• Diseño de ecualizadores, análisis de ISI, ruido, …
• Canal discreto equivalente
• Matriz de probabilidades de transición
• Diseño de codificadores, criptografía
• Canal binario equivalente
• Modelo más sencillo posible
• Diseño de codificadores de fuente, protocolos de enlace…
• La obtención sólo es posible en un sentido
Analógico  Digital  Discreto  Binario

71. Referencias
• Communication Systems, 3rd
.ed.
• Simon Haykin, John Wiley & Sons, 1994.
• Apartados 1.1, 1.3, 1.4, 1.7, 2.11 a 2.13, 4.10 a 4.14, 7.1 a 7.4,
7.10, 8.2, 8.7, 8.8 y 8.22, 10.5, Apéndices 6 (Figura de Ruido),
8 (Caracterización estadística de procesos aleatorios
complejos) y 10 (Criptografía)
• Digital Communications, 4th
ed.
• John G. Proakis, McGraw-Hill, 2001.
• Apartados 1.1, 1.2, 1.3, 3.3, 4.1 a 4.3, 5.1, 5.2, 6.3, y 7.1
• An Introducction to Digital Communications
• Jack Kurzweil, John Wiley & Sons, 2000.
• Apartados 3.1, 3.2, 3.6, 3.8, 3.10, 3.12, 3.18, 4.1 a 4.6, 4.A, 5.3
a 5.6, 6.8 a 6.10, 7.1, 8.1 a 8.3.
• Digital Transmission Engineering
• John B. Anderson, 1999.
• Apartados 2.4, 3.1, 3.3, 3.8, 3.A a 3.C, 4.8, 6.1 y 7.1