El documento describe diferentes tipos de ondas y su propagación. Introduce el concepto de onda como una perturbación que se transmite a través de un medio, explicando que las partículas del medio oscilan alrededor de su posición de equilibrio sin transportar materia. Describe las diferentes clasificaciones de ondas, incluyendo si son mecánicas u electromagnéticas, escalares o vectoriales, transversales u longitudinales, unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales. También explica los conceptos de frente de onda, onda plan

1. 1 - Introducción.
• ElEl movimiento ondulatoriomovimiento ondulatorio aparece en casi todos los campos de la física.aparece en casi todos los campos de la física.
•OndasOndas producidas por el viento o algún otro tipo de perturbación sobre laproducidas por el viento o algún otro tipo de perturbación sobre la
superficie del aguasuperficie del agua..
•Oimos unOimos un foco sonorofoco sonoro por medio de las ondas (por medio de las ondas (ondas sonorasondas sonoras) que se) que se
propagan por el aire o cualquier otro medio material. Laspropagan por el aire o cualquier otro medio material. Las vibraciones delvibraciones del
propio focopropio foco (cuerda de una guitarra,...) puede constituir una(cuerda de una guitarra,...) puede constituir una onda llamadaonda llamada
estacionariaestacionaria..
•Muchas de las propiedades de laMuchas de las propiedades de la luzluz se explican a través de lase explican a través de la teoríateoría
ondulatoriaondulatoria, sabiéndose que las, sabiéndose que las ondas luminosasondas luminosas tienen idéntica naturaleza atienen idéntica naturaleza a
laslas ondas de radioondas de radio, las, las microondasmicroondas, las, las radiaciones infrarrojasradiaciones infrarrojas yy UVUV yy loslos
rayos Xrayos X ((ondas electromagnéticasondas electromagnéticas).).
•Tambíén conocemos los debastadores efectos de los terremotos producidosTambíén conocemos los debastadores efectos de los terremotos producidos
por laspor las ondas sísmicasondas sísmicas..
1
• En este tema se tratarán principalmente las ondas que necesitan de unEn este tema se tratarán principalmente las ondas que necesitan de un mediomedio
material deformable o elásticomaterial deformable o elástico para propagarse (para propagarse (ondas mecánicasondas mecánicas).).
•Las ondas que se producen en laLas ondas que se producen en la superficie del aguasuperficie del agua, las que se propagan, las que se propagan
porpor una cuerdauna cuerda y pory por un resorteun resorte, así como las, así como las ondas sonorasondas sonoras sonson mecánicasmecánicas..
•Sin embargo lasSin embargo las ondas luminosasondas luminosas no son mecánicasno son mecánicas..

2. 1 - Introducción.
• A diferencia de las oscilaciones, unaA diferencia de las oscilaciones, una ondaonda implica elimplica el movimiento en numerososmovimiento en numerosos
puntos distintos de un sistemapuntos distintos de un sistema. Estos. Estos movimientos están acopladosmovimientos están acoplados de forma quede forma que
unauna perturbación originalperturbación original se transmite a las porciones de materia vecinas y de estasse transmite a las porciones de materia vecinas y de estas
a las siguientesa las siguientes propagándosepropagándose de este modode este modo por el mediopor el medio..
• No todos los puntos del medio son alcanzados al mismo tiempo por la perturbación,No todos los puntos del medio son alcanzados al mismo tiempo por la perturbación,
ya que esta se propaga con una cierta velocidad (ya que esta se propaga con una cierta velocidad (velocidad de la ondavelocidad de la onda), de forma que), de forma que
las partículas más alejadas del origen de la perturbación comenzarán a moverse conlas partículas más alejadas del origen de la perturbación comenzarán a moverse con
un cierto retraso.un cierto retraso.
• ElEl mediomedio mismomismo no se mueve en su conjuntono se mueve en su conjunto al progresar la onda. Las partículas delal progresar la onda. Las partículas del
medio realizan movimientos limitados alrededor de sus posiciones de equilibrio.medio realizan movimientos limitados alrededor de sus posiciones de equilibrio. NoNo
hay por tanto transporte de materia en el movimiento ondulatoriohay por tanto transporte de materia en el movimiento ondulatorio..
• Para poder poner en movimiento estos medios en los que se propagan las ondas hayPara poder poner en movimiento estos medios en los que se propagan las ondas hay
que aportar energía al sistema realizando trabajo mecánico sobre él mismo. La ondaque aportar energía al sistema realizando trabajo mecánico sobre él mismo. La onda
transporta esta energía de una región del medio a otra. Por tanto,transporta esta energía de una región del medio a otra. Por tanto, lo único que selo único que se
transmite en una onda es energíatransmite en una onda es energía (incluso a distancias considerables).(incluso a distancias considerables).
2
• Como en el caso de las oscilaciones, elComo en el caso de las oscilaciones, el movimiento ondulatoriomovimiento ondulatorio se presenta en unse presenta en un
sistema con unsistema con un estado de equilibrioestado de equilibrio.. La onda es una perturbación que aparta alLa onda es una perturbación que aparta al
sistema de su posición de equilibriosistema de su posición de equilibrio..

3. 2 - Tipos de ondas.
• Ya que la perturbación que se propaga en un medio puede ser de naturaleza muyYa que la perturbación que se propaga en un medio puede ser de naturaleza muy
diversa,diversa, las ondas pueden denominarse en función del nombre de la magnitud físicalas ondas pueden denominarse en función del nombre de la magnitud física
que se propagaque se propaga..
•Ondas de desplazamientoOndas de desplazamiento (ondas en una cuerda, ondas en la superficie del(ondas en una cuerda, ondas en la superficie del
agua).agua).
•Ondas de presiónOndas de presión (ondas sonoras).(ondas sonoras).
•Ondas térmicasOndas térmicas..
•Ondas electromagnéticasOndas electromagnéticas (luz, microondas, ondas de radio,...).(luz, microondas, ondas de radio,...).
• Como la magnitud física asociada puede tenerComo la magnitud física asociada puede tener carácter escalar o vectorialcarácter escalar o vectorial podemospodemos
distinguir entre:distinguir entre:
•Ondas escalaresOndas escalares (ondas en una cuerda).(ondas en una cuerda).
•Ondas vectorialesOndas vectoriales (ondas electromagnéticas).(ondas electromagnéticas).
3

4. 2 – Tipos de ondas. 4
Onda transversal en un
muelle
Onda longitudinal en un muelle
•En función de la relación entre losEn función de la relación entre los movimientos de las partículas del medio materialmovimientos de las partículas del medio material
respecto a la dirección de propagación de la ondarespecto a la dirección de propagación de la onda, podemos distinguir entre:, podemos distinguir entre:
•Ondas transversalesOndas transversales, si las oscilaciones de las partículas del medio son, si las oscilaciones de las partículas del medio son
perpendiculares a la dirección de propagación de la onda.perpendiculares a la dirección de propagación de la onda.
•Ondas longitudinalesOndas longitudinales, si las oscilaciones de las partículas del medio se produce, si las oscilaciones de las partículas del medio se produce
en la misma dirección de propagación de la onda.en la misma dirección de propagación de la onda.

5. 2 – Tipos de ondas.
• También se pueden clasificar las ondas atendiendo alTambién se pueden clasificar las ondas atendiendo al número de dimensionesnúmero de dimensiones
espaciales en que se propaga la energíaespaciales en que se propaga la energía, hablándose de:, hablándose de:
•Ondas unidimensionalesOndas unidimensionales (ondas en una cuerda o tubo sonoro).(ondas en una cuerda o tubo sonoro).
•Ondas bidimensionalesOndas bidimensionales (ondas superficiales en el agua).(ondas superficiales en el agua).
•Ondas tridimensionalesOndas tridimensionales (ondas sonoras o luminosas que emanan de una(ondas sonoras o luminosas que emanan de una
fuente de pequeñas dimensiones).fuente de pequeñas dimensiones).
5
Onda en un tubo sonoro
Onda en la superficie de un
líquido

6. 2 – Tipos de ondas.
• Una onda puede consistir también en la propagación deUna onda puede consistir también en la propagación de
•Un solo pulsoUn solo pulso ((pulso de ondapulso de onda) que se caracteriza por tener) que se caracteriza por tener un principio y unun principio y un
finfin y por tantoy por tanto una extensión limitadauna extensión limitada..
•Las partículas del medio se mueven sólo durante el intervalo de tiempo queLas partículas del medio se mueven sólo durante el intervalo de tiempo que
emplea el pulso en pasar por ella.emplea el pulso en pasar por ella.
•La forma del pulso puede variar conforme la onda se propaga ensanchándoseLa forma del pulso puede variar conforme la onda se propaga ensanchándose
((dispersión de la ondadispersión de la onda), aunque en muchos casos prácticos esta deformación), aunque en muchos casos prácticos esta deformación
es despreciable conservándose la forma del pulso.es despreciable conservándose la forma del pulso.
6
Pulso de onda en una cuerda

7. 2 – Tipos de ondas.
•Una sucesión de pulsosUna sucesión de pulsos ((tren de ondastren de ondas) idénticos o no.) idénticos o no.
•Si las perturbaciones son periódicas se tendrá unSi las perturbaciones son periódicas se tendrá un tren de ondas periódicastren de ondas periódicas,,
cuyo caso más simple e importante es el de lascuyo caso más simple e importante es el de las ondas armónicasondas armónicas en queen que
cada partícula del medio se mueve con un MAS.cada partícula del medio se mueve con un MAS.
•Idealmente una onda periódica no tiene principio ni fin y por tantoIdealmente una onda periódica no tiene principio ni fin y por tanto unauna
extensión ilimitadaextensión ilimitada..
•A diferencia del pulsoA diferencia del pulso no se dispersano se dispersa cuando se propaga.cuando se propaga.
7
Onda armónica en una cuerda

8. 3 – Frente de onda.
• Se denominaSe denomina superficie o frente de ondasuperficie o frente de onda al lugar geométrico determinado por losal lugar geométrico determinado por los
puntos del medio que son alcanzados simultáneamente por la onda y que enpuntos del medio que son alcanzados simultáneamente por la onda y que en
consecuencia en cualquier instante dado están en el mismo estado o fase de laconsecuencia en cualquier instante dado están en el mismo estado o fase de la
perturbación.perturbación.
8
Onda en la superficie de un
líquido
Fuente
Rayos
Frentes de
onda
Frente de
onda
Rayo
• La dirección de propagación de la perturbación es perpendicular al frente de onda.La dirección de propagación de la perturbación es perpendicular al frente de onda.
Una línea perpendicular a los frentes de onda, que indica la dirección y sentido deUna línea perpendicular a los frentes de onda, que indica la dirección y sentido de
propagación de la perturbación, se denominapropagación de la perturbación, se denomina rayorayo..

9. 3 – Frente de onda.
• LosLos frentes de ondafrentes de onda pueden tener formas muy diversas:pueden tener formas muy diversas:
• Si las ondas se propagan en una sola dirección los frentes de onda serían planosSi las ondas se propagan en una sola dirección los frentes de onda serían planos
paralelos y la perturbación se denomina como unaparalelos y la perturbación se denomina como una onda planaonda plana..
• Si el lugar donde se genera la onda es un foco puntual y la perturbación se propaga conSi el lugar donde se genera la onda es un foco puntual y la perturbación se propaga con
la misma velocidad en todas las direcciones, la perturbación llegará simultáneamente ala misma velocidad en todas las direcciones, la perturbación llegará simultáneamente a
puntos equidistantes del foco, siendo los frentes de onda esferas, denominándose a lapuntos equidistantes del foco, siendo los frentes de onda esferas, denominándose a la
perturbación comoperturbación como onda esféricaonda esférica. La velocidad de la onda depende de las propiedades. La velocidad de la onda depende de las propiedades
del medio en que se propaga, y si esta es igual en todas las direcciones al medio se ledel medio en que se propaga, y si esta es igual en todas las direcciones al medio se le
denominadenomina isótropoisótropo (mismas propiedades en cualquier dirección).(mismas propiedades en cualquier dirección).
• Si la fuente de la onda está distribuida sobre un eje o línea recta, y el medio es isótropo,Si la fuente de la onda está distribuida sobre un eje o línea recta, y el medio es isótropo,
los frentes de onda serán superficies cilíndricas y a la perturbación se le denomina comolos frentes de onda serán superficies cilíndricas y a la perturbación se le denomina como
unauna onda cilíndricaonda cilíndrica..
• LasLas ondas circularesondas circulares son ondas bidimensionales que se propagan sobre una superficie,son ondas bidimensionales que se propagan sobre una superficie,
en la que se produce una perturbación en un punto que da lugar a frentes de ondaen la que se produce una perturbación en un punto que da lugar a frentes de onda
circulares.circulares.
9
Onda plana Onda esférica Onda cilíndrica

10. 4 – Descripción del movimiento ondulatorio unidimensional. 10
( )xf=ξ ( )0xxf −=ξ( )0xxf +=ξ
0x
0x
0x
0x
ξ
x
• Sea unaSea una funciónfunción (que podría representar a cualquier magnitud física)(que podría representar a cualquier magnitud física)
( )xf=ξ
( )0xxf −=ξ
si se sustituyesi se sustituye xx porpor xx-x-x00 se obtiene lase obtiene la funciónfunción
que tendría la misma forma que la función original pero apareceríaque tendría la misma forma que la función original pero aparecería desplazada haciadesplazada hacia
la derechala derecha una cantidaduna cantidad xx00
• De la misma forma la siguienteDe la misma forma la siguiente funciónfunción
( )0xxf +=ξ
corresponde a la función originalcorresponde a la función original desplazada hacia la izquierdadesplazada hacia la izquierda una cantidaduna cantidad xx00

11. 4 – Descripción del movimiento ondulatorio unidimensional. 11
• Ahora bien si se tiene queAhora bien si se tiene que xx00 varía con el tiempo y es igual avaría con el tiempo y es igual a
que representa a unaque representa a una curva viajeracurva viajera que se mueve hacia la derecha con velocidadque se mueve hacia la derecha con velocidad vv,,
que se llamaque se llama velocidad de fasevelocidad de fase..
• Del mismo modoDel mismo modo
tx v0 = ( )txf v−=ξ
se obtiene
( )txf v+=ξ
representa a unarepresenta a una curva viajeracurva viajera que se mueve hacia la izquierda con velocidadque se mueve hacia la izquierda con velocidad vv..
( )txf v−=ξ
ξ
x
x
x
v
v
v
( )txf v+=ξ
ξ
x
x
x
v
v
v

12. 4 – Descripción del movimiento ondulatorio unidimensional. 12
• Por tanto unaPor tanto una expresión matemáticaexpresión matemática de la formade la forma
resulta adecuada para describir unaresulta adecuada para describir una magnitud físicamagnitud física (deformación de una cuerda,(deformación de una cuerda,
presión de un gas, campo eléctrico o magnético,...)presión de un gas, campo eléctrico o magnético,...) que viaja o se propagaque viaja o se propaga sin sufrirsin sufrir
deformación a lo largo del eje x, esto es a unadeformación a lo largo del eje x, esto es a una onda unidimensionalonda unidimensional..
( ) ( )txftx v, ±=ξ
• Un caso particular especialmente interesante es el de unaUn caso particular especialmente interesante es el de una onda armónica o senoidalonda armónica o senoidal
que tiene por expresiónque tiene por expresión
( ) ( )txktx vsen, 0 −ξ=ξ 0ξ Amplitud de onda
( )txk v− Fase de onda
v Velocidad de onda
k número de onda
• Sustituyendo en la onda armónica el valor deSustituyendo en la onda armónica el valor de xx porpor x+2x+2ππ/k/k
( )[ ] ( ) ( )txtxktxkt
k
xkt
k
x ,vsen2vsenv
2
sen,
2
000 ξ=−ξ=π+−ξ=





−
π
+ξ=




 π
+ξ
se vuelve a obtener el mismo valor de la onda armónica.se vuelve a obtener el mismo valor de la onda armónica.
• Entonces la magnitudEntonces la magnitud
k
π
=λ
2
es eles el periodo espacialperiodo espacial que también se denomina comoque también se denomina como longitud de ondalongitud de onda..

13. 4 – Descripción del movimiento ondulatorio unidimensional. 13
• Entonces elEntonces el número de ondanúmero de onda está relacionado con laestá relacionado con la longitud de ondalongitud de onda a través dea través de
y lay la onda armónicaonda armónica puede expresarse comopuede expresarse como
λ
π
=
2
k
( ) ( ) ( )txtxktx v
2
senvsen, 00 −
λ
π
ξ=−ξ=ξ
ξ
xO
ξ0
λ
λ
λ

14. 4 – Descripción del movimiento ondulatorio unidimensional. 14
• Como además hemos visto queComo además hemos visto que
lala onda armónicaonda armónica puede también expresarse comopuede también expresarse como
πν=
π
=ω 2
2
P
( ) 





−
λ
πξ=ξ
P
tx
tx 2sen, 0
P
ν
Periodo
Frecuencia
• La ecuación de laLa ecuación de la onda armónicaonda armónica también puede escribirse comotambién puede escribirse como
( ) ( )tkxtx ω−ξ=ξ sen, 0
dondedonde
λ
π
==ω
v2
vk Frecuencia angular
• ElEl periodoperiodo y lay la longitud de ondalongitud de onda están relacionados a través deestán relacionados a través de
P
λ
=v Pv=λ La longitud de onda es la distancia que recorre la onda
en un periodo
• En resumen, unaEn resumen, una onda armónicaonda armónica puede expresarse de las siguientes formaspuede expresarse de las siguientes formas
( ) ( ) ( ) 





±
λ
πξ=ω±ξ=±ξ=ξ
P
tx
tkxtxktx sen2senvsen, 000

15. 4 – Descripción del movimiento ondulatorio unidimensional. 15
λ
ξ
t = t0
t = t0 + P/4
t = t0 + P/2
t = t0 + 3P/4
t = t0 + P
x
x
x
x
x
A0
A1
A2
A3
A4

16. 5 – Ecuación general del movimiento ondulatorio unidimensional. 16
• La solución de esta ecuación esLa solución de esta ecuación es
• LaLa ecuación generalecuación general que describe el movimiento ondulatorio que se propaga con unaque describe el movimiento ondulatorio que se propaga con una
velocidad definidavelocidad definida vv y sin distorsión a lo largo del ejey sin distorsión a lo largo del eje +X+X oo –X–X eses
• Es fácil demostrar que unaEs fácil demostrar que una onda armónicaonda armónica del siguiente tipodel siguiente tipo
2
2
2
2
2
v
dx
d
dt
d ξ
=
ξ Ecuación básica de una
onda
( ) ( )txftx v, −=ξ ( ) ( )txftx v, +=ξ ( ) ( ) ( )txftxftx vv, 21 −+−=ξ
( ) ( )txktx vsen, 0 −ξ=ξ
satisface lasatisface la ecuación de ondaecuación de onda..
Derivando respecto aDerivando respecto a xx y ay a tt se obtienese obtiene
( ) ( )
( ) ( )txkk
dt
d
txkk
dt
d
txkk
dx
d
txkk
dx
d
vsenvvcosv
vsenvcos
0
22
2
2
0
0
2
2
2
0
−ξ−=
ξ
−ξ−=
ξ
−ξ−=
ξ
−ξ=
ξ
que cumpleque cumple
2
2
2
2
2
v
dx
d
dt
d ξ
=
ξ

17. 6 – Ondas elásticas. 17
• Cuando se produce unaCuando se produce una perturbaciónperturbación en elen el extremo de una varillaextremo de una varilla (golpeándola con(golpeándola con
un martillo) la perturbación se propaga a lo largo de la varilla llegando finalmente alun martillo) la perturbación se propaga a lo largo de la varilla llegando finalmente al
extremo. Se dice queextremo. Se dice que a lo largo de la varilla se ha propagado una ondaa lo largo de la varilla se ha propagado una onda con unacon una
velocidad determinada por las propiedades del medio.velocidad determinada por las propiedades del medio.
 Ondas elásticas longitudinales en una varillaOndas elásticas longitudinales en una varilla
• Sea una varilla de secciónSea una varilla de sección AA sujeta por un extremo y sometida a unasujeta por un extremo y sometida a una fuerza normalfuerza normal FF
a lo largo del eje.a lo largo del eje.
• LaLa tensión normaltensión normal se define comose define como AF=σn
x
dx
O
Varilla sin
deformarA A’ X
Tracción
Varilla deformada
dx+dξ
A A’
F F’
x+ξ
XO

18. 6 – Ondas elásticas. 18
x
dx
x+ξ
dx+dξ
X
XO
O
A
A
A’
A’
Tracción
Varilla sin
deformar
Varilla deformada
F F’
• LaLa tensión normaltensión normal y la deformación unitaria están relacionadas a través dey la deformación unitaria están relacionadas a través de
ε=σ Yn
• LaLa deformación unitariadeformación unitaria que sufre un trozo de varilla de longitudque sufre un trozo de varilla de longitud dxdx y limitada por lasy limitada por las
seccionessecciones AA yy A’A’ cuando se somete a esta tensión normal escuando se somete a esta tensión normal es
dxdξ=ε
donde Y es el módulo de Young
• De este modo se tieneDe este modo se tiene
dx
d
YAF
ξ
=
derivando respecto a x
2
2
dx
d
YA
dx
dF ξ
= Relación 1

19. 6 – Ondas elásticas. 19
x
dx
x+ξ
dx+dξ
X
XO
O
A
A
A’
A’
Tracción
Varilla sin
deformar
Varilla deformada
F F’
• Por otro lado, aplicando laPor otro lado, aplicando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton al mismo trozo de varilla se tieneal mismo trozo de varilla se tiene
( ) 2
2
dt
d
AdxdF
ξ
ρ= donde FFdF −′= Fuerza neta que actúa sobre el trozo de
varilla
AdxdVdm ρ=ρ= Masa del trozo de varilla
22
dtda ξ= Aceleración del trozo de varilla
• Despejando la expresión anterior se obtieneDespejando la expresión anterior se obtiene
2
2
dt
d
A
dx
dF ξ
ρ= Relación 2

20. 6 – Ondas elásticas. 20
• Igualando laIgualando la relación 2relación 2 y lay la relación 1relación 1 quedaqueda
2
2
2
2
dx
dY
dt
d ξ
ρ
=
ξ
• Que es laQue es la ecuación básica de una onda unidimendionalecuación básica de una onda unidimendional que se propaga con unaque se propaga con una
velocidadvelocidad
ρ
=
Y
v
queque depende de las propiedades del mediodepende de las propiedades del medio..

21. 6 – Ondas elásticas. 21
 Ondas de presión en un gasOndas de presión en un gas
Perturbación en un
gas
x
Gas en equilibrio
• La situación es parecida al caso anterior, pero ahora las expansiones y compresionesLa situación es parecida al caso anterior, pero ahora las expansiones y compresiones
del gas producidas por cambios de presióndel gas producidas por cambios de presión dpdp dan lugar a cambios de densidaddan lugar a cambios de densidad ddρρ, y, y
se define la magnitudse define la magnitud
ρ
ρ=κ
d
dp Módulo volumétrico de
elasticidad
• Y en este caso el desplazamiento del gasY en este caso el desplazamiento del gas ξξ satisface lasatisface la ecuación de ondaecuación de onda con unacon una
velocidad de propagaciónvelocidad de propagación
ρ
κ
=v
dx
A’A
p p
XO
dx+dξ
A A’
p p’
XO
x+ξ
• Las variaciones de presión en un gas producenLas variaciones de presión en un gas producen ondas elásticas longitudinalesondas elásticas longitudinales queque
consisten en expansiones y compresiones que se propagan a lo largo del gas (sonido)consisten en expansiones y compresiones que se propagan a lo largo del gas (sonido)

22. 6 – Ondas elásticas. 22
• Cuando se produce unaCuando se produce una perturbaciónperturbación en elen el extremo de una varillaextremo de una varilla golpeándolagolpeándola
transversalmente también se produce una perturbación que se propaga a lo largo detransversalmente también se produce una perturbación que se propaga a lo largo de
la varilla con una velocidad determinada por las propiedades del medio.la varilla con una velocidad determinada por las propiedades del medio.
 Ondas elásticas transversales en una varillaOndas elásticas transversales en una varilla
• En este caso las fuerzas son tangenciales definiéndose laEn este caso las fuerzas son tangenciales definiéndose la tensión tangencialtensión tangencial comocomo
AF=σt
Varilla sin
deformar
Varilla deformada
• LaLa deformación unitariadeformación unitaria que sufre un trozo de varilla de longitudque sufre un trozo de varilla de longitud dxdx al someterse aal someterse a
esta tensión tangencial esesta tensión tangencial es
dxdξ=ε
ξ+d ξξ
dx
F
F’

23. 6 – Ondas elásticas. 23
• LaLa tensión tangencialtensión tangencial y lay la deformación unitariadeformación unitaria están relacionadas a través deestán relacionadas a través de
ε=σ Gt donde G es el módulo de rigidez o cizalladura
• Y procediendo de igual modo que para las ondas elásticas longitudinales en unaY procediendo de igual modo que para las ondas elásticas longitudinales en una
varilla se llega a unavarilla se llega a una ecuación de ondaecuación de onda similar para las perturbaciones transversalessimilar para las perturbaciones transversales
propagándose éstas con unapropagándose éstas con una velocidadvelocidad
ρ
=
G
v
queque depende de las propiedades del mediodepende de las propiedades del medio..
Varilla sin
deformar
Varilla deformada
ξ+d ξξ
dx
F
F’

24. 7 – Descripción del movimiento ondulatorio en una dirección arbitraria. 24
• Hemos visto que la expresión para representar a unHemos visto que la expresión para representar a un movimiento ondulatorio que semovimiento ondulatorio que se
propaga según el ejepropaga según el eje xx (onda plana o unidimensional) es(onda plana o unidimensional) es
( )txf v−=ξ
x
r
 u

X
Y
Z
O
P
Frente de onda
Dirección de
propagación
r

Vector de posición de un punto
cualquiera del frente de onda
u

Vector unitario en la dirección de
propagación
• De la figura, se observa queDe la figura, se observa que
urx

⋅=
resulta que laresulta que la onda unidimensionalonda unidimensional anterior puede expresarse comoanterior puede expresarse como
( )truf v−⋅=ξ


25. 7 – Descripción del movimiento ondulatorio en una dirección arbitraria. 25
• Esta última expresión es bastante útil porque representa a una onda unidimensionalEsta última expresión es bastante útil porque representa a una onda unidimensional
que se propaga en una dirección arbitraria (no solo a lo largo del eje X)que se propaga en una dirección arbitraria (no solo a lo largo del eje X)
• En el caso de una onda plana armónica o senoidal que se propaga en una direcciónEn el caso de una onda plana armónica o senoidal que se propaga en una dirección
arbitraria, escribimosarbitraria, escribimos
X
Y
Z
r

u

O
P
Dirección de
propagación
Q
( ) ( ) ( )trktruktx ω−⋅ξ=−⋅ξ=ξ

senvsen, 00 ukk

=donde es el vector de propagación o
vector número de onda
• Para una onda plana que se propaga en una dirección arbitraria, la ecuación de ondaPara una onda plana que se propaga en una dirección arbitraria, la ecuación de onda
se convierte ense convierte en








∂
ξ∂
+
∂
ξ∂
+
∂
ξ∂
=
∂
ξ∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
v
zyxt

26. 7 – Descripción del movimiento ondulatorio en una dirección arbitraria. 26
• Un tipo de ondas importantes que se propagan en todas las direcciones del espacioUn tipo de ondas importantes que se propagan en todas las direcciones del espacio
son lasson las ondas esféricasondas esféricas..
• En estas la perturbación de la magnitud física que se propaga será una función de laEn estas la perturbación de la magnitud física que se propaga será una función de la
distancia a la que se encuentra del foco donde se generó la onda,distancia a la que se encuentra del foco donde se generó la onda, rr, y el tiempo,, y el tiempo, tt..
• La ecuación básica de una onda esférica esLa ecuación básica de una onda esférica es
( ) ( ) ( )tkr
r
trk
r
tx ω−
ξ
=−
ξ
=ξ senvsen, 00
• De este modo, la expresión de una onda armónica esférica esDe este modo, la expresión de una onda armónica esférica es
ξ2
ξ1
r1
r2
X
Y
Z
( )tr,ξ=ξ








∂
ξ∂
+
∂
ξ∂
=
∂
ξ∂
rrrt
2
v 2
2
2
2
2
• La solución de esta ecuación es de la formaLa solución de esta ecuación es de la forma
( ) ( )trf
r
tr v
1
, ±=ξ
donde el signo menos se utiliza cuando ladonde el signo menos se utiliza cuando la
onda se aleja del foco puntual.onda se aleja del foco puntual.

27. 8 – Energía transportada por una onda. Intensidad. 27
• Se ha indicado en la introducción queSe ha indicado en la introducción que una característica importante del movimientouna característica importante del movimiento
ondulatorio es que transporta energíaondulatorio es que transporta energía (pero no materia). En este apartado se tratará(pero no materia). En este apartado se tratará
de caracterizar estede caracterizar este transporte de energíatransporte de energía..
• Supóngase el caso de una onda armónica que se propaga por una cuerda. Cada trozoSupóngase el caso de una onda armónica que se propaga por una cuerda. Cada trozo
de cuerda de masade cuerda de masa ∆∆mm por la que pasa la ondapor la que pasa la onda oscila con un MASoscila con un MAS,,
• Su energía será por tantoSu energía será por tanto
Onda armónica en una cuerda
2
0
22
0
2
2
1
2
1
ξω∆µ=ξω∆=∆ xmE
• Se define la densidad de energíaSe define la densidad de energía ρρEE como lacomo la energíaenergía
por unidad de volumenpor unidad de volumen,,
donde•Cuerda
2
0
2
2
1
ξµω=
∆
∆
=ρ
x
E
E µ Densidad lineal
donde• Superficie
de líquido
2
0
2
2
1
ξσω=
∆
∆
=ρ
S
E
E σ Densidad superficial
donde• Onda
sonora
2
0
2
2
1
ξρω=
∆
∆
=ρ
V
E
E ρ Densidad volumétrica
xm ∆µ=∆
µ Densidad lineal
(masa/longitud)
x∆ Longitud de un
trozo de cuerda
donde

28. 8 – Energía transportada por una onda. Intensidad. 28
• Supóngase laSupóngase la onda armónica que se propaga por la cuerdaonda armónica que se propaga por la cuerda y que en el instantey que en el instante tt11 haha
alcanzado el puntoalcanzado el punto PP11..
• Durante un intervalo de tiempoDurante un intervalo de tiempo ∆∆tt la onda recorre una distanciala onda recorre una distancia ∆∆x =x = vv∆∆tt ..
• De esta forma laDe esta forma la energíaenergía que ha pasado porque ha pasado por PP11 durante el intervalo de tiempodurante el intervalo de tiempo ∆∆tt eses
txE ∆ξµω=∆ξµω=∆ v
2
1
2
1 2
0
22
0
2
• De este modo, se define la potenciaDe este modo, se define la potencia PP como la energía transmitida en la unidad decomo la energía transmitida en la unidad de
tiempotiempo
v
2
1
lim 2
0
2
0
ξµω=
∆
∆
=
→∆ t
E
P
t
La energía y la potencia transmitidas son
proporcionales al cuadrado de la amplitud
de la onda

29. 8 – Energía transportada por una onda. Intensidad. 29
• LaLa intensidadintensidad ,, II, es la energía que atraviesa en la unidad de tiempo un área unidad,, es la energía que atraviesa en la unidad de tiempo un área unidad,
colocada perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.colocada perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.
• Por tantoPor tanto IAP = donde A es el área
 Ondas esféricasOndas esféricas
• Sea unaSea una onda esféricaonda esférica que se propaga en un medio sin disipación de energía yque se propaga en un medio sin disipación de energía y
tomamos dos superficies esféricas situadas a una distanciatomamos dos superficies esféricas situadas a una distancia RR11 yy RR22 del foco (del foco (RR11 << RR22).).
P2
P1
R1
R2
• La potencia transmitida a través de cada superficie esLa potencia transmitida a través de cada superficie es
2
11111 4 RIAIP π== 2
22222 4 RIAIP π==
• Como la energía se conserva en este casoComo la energía se conserva en este caso
21 PP = 2
22
2
11 44 RIRI π=π
2
22
2
11 RIRI =
• Y ya queY ya que RR11 << RR22 entonces se tiene queentonces se tiene que II11 >> II22
• Al igual que la potencia, la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud.Al igual que la potencia, la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud.
2
1
2
2
2
1
R
R
I
I
=
• Ya que la intensidad es proporcional al cuadrado de laYa que la intensidad es proporcional al cuadrado de la
amplitudamplitud
2
1
2
2
2
02
2
01
R
R
=
ξ
ξ
1
2
02
01
R
R
=
ξ
ξ
202101 RR ξ=ξ

30. 8 – Energía transportada por una onda. Intensidad. 30
 Ondas planasOndas planas
• Sea unaSea una onda planaonda plana que se propaga en un medio en el que no hay disipación deque se propaga en un medio en el que no hay disipación de
energía.energía.
• Si tomamos dos superficies planas se verifica queSi tomamos dos superficies planas se verifica que
• Con lo cual se tiene queCon lo cual se tiene que
222111 , AIPAIP ==
21 PP = 21 AA =
21 II = 0201 ξ=ξP1 P2
A1 A2
 AbsorciónAbsorción
• Fenómeno por el que laFenómeno por el que la intensidad de una onda disminuyeintensidad de una onda disminuye porque parte de su energíaporque parte de su energía
se disipa en el medio en el que se propaga.se disipa en el medio en el que se propaga.
• Para una onda plana que se propaga según el ejePara una onda plana que se propaga según el eje xx, se verifica la siguiente relación, se verifica la siguiente relación
I(0) I(0)e-γl
x
l
dx
dx
I
dI
γ−=
• A partir de la cual se obtiene queA partir de la cual se obtiene que
( ) ( )
( ) ( )
x
x
ex
eIxI
2
00 0
0
γ
−
γ−
ξ=ξ
=

31. 9 – Superposición o interferencia de ondas. 31
• Cuando dos o más ondas coinciden en el tiempo y en el espacio, la función de ondaCuando dos o más ondas coinciden en el tiempo y en el espacio, la función de onda
resultante es la suma vectorial de las funciones de onda individuales (resultante es la suma vectorial de las funciones de onda individuales (Principio dePrincipio de
superposición de ondassuperposición de ondas).).
1 2
12
1
2
1 + 2
1 + 2
1 + 2
1
2
1 + 2
1
2
1
2
1 + 2
1 + 2
Interferencia Constructiva Interferencia
Destructiva
( ) ( )txftx v, 11 −=ξ ( ) ( )txftx v, 22 +=ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txftxftxtxtx vv,,, 2121 ++−=ξ+ξ=ξ

32. 9 – Superposición o interferencia de ondas. 32
 Interferencias de ondas de igual frecuencia.Interferencias de ondas de igual frecuencia.
• SupongamosSupongamos dos fuentes de ondas armónicasdos fuentes de ondas armónicas SS11 yy SS22 queque
emiten ondasemiten ondas en faseen fase ((ϕϕ0101 == ϕϕ0202 = 0= 0), con), con idéntica frecuencia yidéntica frecuencia y
número de ondanúmero de onda y dey de amplitudesamplitudes ξξ0101 yy ξξ0202..
• Las expresiones de las dos ondas en un puntoLas expresiones de las dos ondas en un punto PP que distaque dista rr11
yy rr22 de las fuentes respectivas esde las fuentes respectivas es
S1
S2
r2r1
P
( )1011 krt −ωξ=ξ sen ( ).2022 sen krt −ωξ=ξ
• LaLa superposición de ambas ondassuperposición de ambas ondas enen PP eses
( ) ( )20210111 sensen krtkrt −ωξ+−ωξ=ξ+ξ=ξ
• Esto corresponde a laEsto corresponde a la superposición de dos MASsuperposición de dos MAS de la mismade la misma
frecuencia y con una diferencia de fase igual afrecuencia y con una diferencia de fase igual a
( ) ( ) ( )121221 rrkkrkrkrtkrt −=−=−ω−−ω=δ
con lo que lacon lo que la amplitud del movimiento resultanteamplitud del movimiento resultante enen PP eses
( )12020102010 cos2 rrk −ξξ+ξ+ξ=ξ
x
y
O
ξ01
ξ02
kr1
ξ0
kr2
δ

33. 9 – Superposición o interferencia de ondas. 33
• LaLa amplitud es mínimaamplitud es mínima e igual ae igual a ξξ00 == ξξ0101 −− ξξ0202 cuandocuando
( ) ( ) ( ) ( )
2
12
12
2
1cos 121212
λ+
=−⇒π+=−
λ
π
⇒−=−
n
rrnrrrrk Interferencia Destructiva
dondedonde nn = 0,= 0, ±±1,1, ±±2,2, ±±3,...3,...
Interferencia Constructiva Interferencia Destructiva
• LaLa amplitud es máximaamplitud es máxima e igual ae igual a ξξ00 == ξξ0101 ++ ξξ0202 cuandocuando
( ) ( ) λ=−⇒π=−
λ
π
⇒=− nrrnrrrrk 121212 2
2
1cos Interferencia Constructiva
dondedonde nn = 0,= 0, ±±1,1, ±±2,2, ±±3,...3,...

34. 9 – Superposición o interferencia de ondas. 34
P
S1
S2
X
Y
0λ -λ
2λ -2λ
3λ
-3λ
λ/2 -λ/23λ/2 -3λ/2
5λ/2 -5λ/2
• Como se observa, el valor de la amplitud del movimiento resultante (o el tipo deComo se observa, el valor de la amplitud del movimiento resultante (o el tipo de
interferencia) depende de la diferenciainterferencia) depende de la diferencia rr22 −− rr11..
• Además, ya que la ecuaciónAdemás, ya que la ecuación rr22 −− rr11 = cte= cte corresponde a una hipérbole, se tiene que loscorresponde a una hipérbole, se tiene que los
lugares donde se producen las interferencias son superficies hiperbólicaslugares donde se producen las interferencias son superficies hiperbólicas tal quetal que
Interferencia
destructiva
Interferencia
constructiva

35. 9 – Superposición o interferencia de ondas. 35
 Ondas estacionarias.Ondas estacionarias.
• LasLas ondas estacionariasondas estacionarias se producen a través de la interferencia de dosse producen a través de la interferencia de dos ondasondas
idénticasidénticas (igual amplitud, frecuencia y número de onda) que(igual amplitud, frecuencia y número de onda) que se propagan en sentidose propagan en sentido
contrariocontrario..
• Supongamos que tenemos dos de estas ondas propagándose en el ejeSupongamos que tenemos dos de estas ondas propagándose en el eje XX y que tieneny que tienen
por expresión,por expresión,
( )kxt +ωξ=ξ sen01 ( )kxt −ωξ=ξ sen02
• LaLa superposición de ambas ondassuperposición de ambas ondas viene dada porviene dada por
( ) ( ) ( ) ( )[ ]kxtkxtkxtkxt −ω++ωξ=−ωξ++ωξ=ξ+ξ=ξ sensensensen 00021
Y teniendo en cuenta la siguiente propiedad trigonométrica que estableceY teniendo en cuenta la siguiente propiedad trigonométrica que establece
se obtiene quese obtiene que
2
sen
2
cos2sensen
BABA
BA
+−
=+
tkx ωξ=ξ+ξ=ξ sencos2 021 Onda
Estacionaria
Y como se observa laY como se observa la onda estacionariaonda estacionaria no es una función dependiente deno es una función dependiente de xx±±vtvt que esque es
la característica de lasla característica de las ondas viajerasondas viajeras..
Esta expresión indica que cualquier partícula del medio situada en un punto dadoEsta expresión indica que cualquier partícula del medio situada en un punto dado xx
oscila con unoscila con un MASMAS de amplitudde amplitud
kxcos2 00r ξ=ξ

36. 9 – Superposición o interferencia de ondas. 36
• LaLa amplitud de la onda estacionariaamplitud de la onda estacionaria es por tanto una función de la distanciaes por tanto una función de la distancia xx..
• Adquiere suAdquiere su valor máximovalor máximo que es igual a,que es igual a,
• Adquiere suAdquiere su valor mínimovalor mínimo que es igual a,que es igual a,
cuandocuando
2
2
1cos
λ
=⇒π=
λ
π
⇒±= nxnxkx00r 2ξ=ξ Vientres o antinodos
cuandocuando ( ) ( )
4
12
2
12
2
0cos
λ
+=⇒
π
+=
λ
π
⇒= nxnxkx00r =ξ Nodos
A Antinodos
N Nodos
• LaLa distancia entre dos vientres consecutivosdistancia entre dos vientres consecutivos
((ddAAAA) o) o entre dos nodos consecutivosentre dos nodos consecutivos ((ddNNNN) es) es
2λ== NNAA dd
y lay la distancia entre un vientre y un nododistancia entre un vientre y un nodo
consecutivoconsecutivo ((ddANAN) es) es
4λ=ANd

37. 9 – Superposición o interferencia de ondas. 37
 Superposición de ondas de distinta frecuencia. Pulsaciones. Velocidad de grupo.Superposición de ondas de distinta frecuencia. Pulsaciones. Velocidad de grupo.
( )xkt 1101 sen −ωξ=ξ ( )xkt 2202 sen −ωξ=ξ
• La superposición de ambas ondas viene dada porLa superposición de ambas ondas viene dada por
( ) ( )xktxkt 11022012 sensen −ωξ+−ωξ=ξ+ξ=ξ
• Supongamos dos ondas armónicas deSupongamos dos ondas armónicas de igual amplitudigual amplitud que se propagan a lo largo delque se propagan a lo largo del
ejeeje XX, y que tienen, y que tienen frecuencias angularesfrecuencias angulares ωω11 yy ωω22 yy números de ondanúmeros de onda kk11 yy kk22 próximospróximos
Y teniendo en cuenta la propiedad trigonométricaY teniendo en cuenta la propiedad trigonométrica
se obtiene quese obtiene que
2
sen
2
cos2sensen
BABA
BA
+−
=+
( ) ( )kxtkxt −ω∆−ω∆ξ=ξ+ξ=ξ sencos2 021
( ) ( )


≈+=ω≈ω+ω=ω
−=∆ω−ω=ω∆
kkkk
kkk
mm 2,2
2,2
2121
1212
donde
• LaLa amplitud de la onda resultante no es constanteamplitud de la onda resultante no es constante y viene dada por la expresióny viene dada por la expresión
( )kxt ∆−ω∆ξ cos2 0

38. 9 – Superposición o interferencia de ondas. 38
• La onda resultante está formadaLa onda resultante está formada
porpor grupos o paquetesgrupos o paquetes de ondasde ondas
individuales separados por puntosindividuales separados por puntos
de amplitud nula.de amplitud nula.
ξ1 , ξ2
x
ξ
x
x1
x1
x2
x2
x3
x3
vg
v
• La envolvente de la amplitud seLa envolvente de la amplitud se
desplaza a lo largo del ejedesplaza a lo largo del eje XX concon
una velocidad llamadauna velocidad llamada velocidadvelocidad
de grupode grupo vvgg, que viene dada por, que viene dada por
k∆
ω∆
=gv
• En el límiteEn el límite ∆ω∆ω →→ddωω yy ∆∆kk →→ddkk lala velocidad de grupovelocidad de grupo viene expresada comoviene expresada como
dkdω=gv
• LaLa velocidad de grupovelocidad de grupo vvgg y lay la velocidad de fasevelocidad de fase vv ((vv ==ωω//kk) están relacionadas por) están relacionadas por
( )
dk
kd
dk
d v
vg =
ω
=
dk
d
k
v
vvg +=
• Si el medio esSi el medio es dispersivodispersivo 0v ≠dkd vvg ≠
• Si el medio esSi el medio es no dispersivono dispersivo 0v =dkd vvg =

39. 10 – Difracción de ondas. 39
• Sin embargo cuando unaSin embargo cuando una ondaonda encuentra un obstáculo tiende a rodearlo. Si una ondaencuentra un obstáculo tiende a rodearlo. Si una onda
encuentra una barrera con una pequeña abertura se extiende alrededor del obstáculoencuentra una barrera con una pequeña abertura se extiende alrededor del obstáculo
en forma de onda esférica o circular. A este comportamiento se le denominaen forma de onda esférica o circular. A este comportamiento se le denomina
difraccióndifracción..
• Cuando unCuando un haz de partículashaz de partículas incide sobre una abertura con un obstáculo, estasincide sobre una abertura con un obstáculo, estas
partículas son detenidas por la barrera o pasan sin cambiar de dirección.partículas son detenidas por la barrera o pasan sin cambiar de dirección.
Fuente
Haz de partículasHaz de partículas
Fuente
OndaOnda

40. 10 – Difracción de ondas. 40
• La magnitud del fenómeno de la difracción depende de laLa magnitud del fenómeno de la difracción depende de la relación entre la longitud derelación entre la longitud de
onda y el tamaño del obstáculo o aberturaonda y el tamaño del obstáculo o abertura..
• SiSi la longitud de onda es pequeña en relación con la aberturala longitud de onda es pequeña en relación con la abertura entonces laentonces la difracción esdifracción es
pequeñapequeña..
• En cambio siEn cambio si la longitud de onda tiene las dimensiones de la aberturala longitud de onda tiene las dimensiones de la abertura, los efectos de la, los efectos de la
difracción son grandesdifracción son grandes..
λλ << tamaño abertura<< tamaño abertura λλ ≈≈ tamaño aberturatamaño abertura

41. 11 – Reflexión y refracción de ondas. 41
Ondas enOndas en
una cuerdauna cuerda
Ondas enOndas en
un muelleun muelle
• Cuando unaCuando una onda incideonda incide sobre unasobre una superficie límite o de separación de dos regionessuperficie límite o de separación de dos regiones
en las que laen las que la velocidad de onda es diferentevelocidad de onda es diferente, parte de la onda, parte de la onda se reflejase refleja
(propagándose en la misma región que la incidente) y parte(propagándose en la misma región que la incidente) y parte se transmitese transmite
(propagándose en la otra región).(propagándose en la otra región).

42. 11 – Reflexión y refracción de ondas. 42
• En tres dimensiones una frontera entre dos regiones de diferente velocidad de ondaEn tres dimensiones una frontera entre dos regiones de diferente velocidad de onda
eses una superficieuna superficie..
Ondas incidentesOndas incidentes Ondas reflejadasOndas reflejadas
Ondas refractadasOndas refractadas
θ i
θ r
θ’r
(1)
(2)
S
Rayo incidenteRayo incidente Rayo reflejadoRayo reflejado
Rayo refractadoRayo refractado
θ i
θ r
θ’r
(1)
(2)
N
S
• Se verifican lasSe verifican las siguientes leyessiguientes leyes comprobadas experimentalmente:comprobadas experimentalmente:
• Las direcciones de incidencia, refracción y reflexión se encuentran en unLas direcciones de incidencia, refracción y reflexión se encuentran en un
mismo plano perpendicular a la superficie de separación.mismo plano perpendicular a la superficie de separación.
• ElEl ángulo de incidenciaángulo de incidencia es igual ales igual al ángulo de reflexiónángulo de reflexión
ri θ′=θ

43. 11 – Reflexión y refracción de ondas. 43
• La relación entre la dirección en que se propagan las ondas incidentes y lasLa relación entre la dirección en que se propagan las ondas incidentes y las
refractadas viene dada a través derefractadas viene dada a través de la ley de Snellla ley de Snell que establece que elque establece que el
cociente entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo decociente entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de
refracción es constanterefracción es constante e igual ale igual al índice de refraccióníndice de refracción del medio (2) respectodel medio (2) respecto
al medio (1),al medio (1), nn2121
21
2
1
r
i
v
v
sen
sen
n==
θ
θ
θ i
θ r
(1)
(2)
N
S
ir
12
21
vv
1
θ<θ
<
>n
θ i
θ r
(1)
(2)
N
S
ir
12
21
vv
1
θ>θ
>
<n
• CuandoCuando nn2121<1<1 hay un cierto ángulo de incidenciahay un cierto ángulo de incidencia θθii para el cual el ángulo de refracciónpara el cual el ángulo de refracción
θθrr eses ππ/2/2. A este ángulo de incidencia se le llama. A este ángulo de incidencia se le llama ángulo críticoángulo crítico θθcc . Así si el. Así si el ángulo deángulo de
incidencia es mayor que el ángulo críticoincidencia es mayor que el ángulo crítico, solo habrá onda reflejada y no refractada., solo habrá onda reflejada y no refractada.

44. 12 – Polarización de ondas. 44
• En lasEn las ondas longitudinalesondas longitudinales la dirección en que la perturbación se produce está bienla dirección en que la perturbación se produce está bien
definida (es la dirección de propagación), mientras que en lasdefinida (es la dirección de propagación), mientras que en las ondas transversalesondas transversales nono
sucede así, ya que la perturbación tiene lugar en un plano perpendicular a la direcciónsucede así, ya que la perturbación tiene lugar en un plano perpendicular a la dirección
de propagación, pero en ese plano no está definida una dirección particular.de propagación, pero en ese plano no está definida una dirección particular.
• Cuando la perturbación en una onda transversal es según una dirección bien definidaCuando la perturbación en una onda transversal es según una dirección bien definida
la onda se dice quela onda se dice que está polarizadaestá polarizada..
• Si la dirección de vibración va variando de forma aleatoria de unos puntos a otros seSi la dirección de vibración va variando de forma aleatoria de unos puntos a otros se
dice que la ondadice que la onda no está polarizadano está polarizada..
X
Y Z
θ
• En el caso de una onda transversal en una cuerda una simple rendija vertical puedeEn el caso de una onda transversal en una cuerda una simple rendija vertical puede
polarizar la onda, tal como se observa en la figura.polarizar la onda, tal como se observa en la figura.

45. 13 – Efecto Doppler. 45
• Hasta ahora hemos estudiado las ondas tomando tanto el foco emisor de la ondaHasta ahora hemos estudiado las ondas tomando tanto el foco emisor de la onda
como el observador que la percibe en reposo. En este apartado trataremos lo quecomo el observador que la percibe en reposo. En este apartado trataremos lo que
sucede cuandosucede cuando existe movimiento relativo entre ambosexiste movimiento relativo entre ambos, y como se verá se produce un, y como se verá se produce un
cambio en la frecuencia de la onda percibida que se denominacambio en la frecuencia de la onda percibida que se denomina efecto Dopplerefecto Doppler..
• Veamos en primer lugar que es lo que sucede cuandoVeamos en primer lugar que es lo que sucede cuando el observador se mueveel observador se mueve
acercándose hacia el foco que permanece en reposoacercándose hacia el foco que permanece en reposo..
• Si el observador seSi el observador se encontrara en reposoencontrara en reposo, el, el
número de ondasnúmero de ondas que percibe en un tiempoque percibe en un tiempo tt es,es,
λ
=ν=
t
t
P
t v
• Pero si el observador sePero si el observador se acerca al focoacerca al foco concon
velocidadvelocidad vvOO, el, el número de ondasnúmero de ondas que percibe enque percibe en
un tiempoun tiempo tt es,es,
vO
F
O
( )
λ
+
=ν′=
′
t
t
P
t 0vv ( ) ( ) ν
+
=
ν
+
=ν′
v
vv
v
vv 00
• Igualmente si el observador seIgualmente si el observador se aleja del focoaleja del foco concon
velocidadvelocidad vvOO, se tiene que,, se tiene que,
( ) ( ) ν
−
=
ν
−
=ν′
v
vv
v
vv 00

46. 13 – Efecto Doppler. 46
• Veamos ahora que sucede cuandoVeamos ahora que sucede cuando es la fuente la que se acerca hacia el observadores la fuente la que se acerca hacia el observador
que permanece en reposoque permanece en reposo..
F
O
vF
• Si la fuente seSi la fuente se encontrara en reposoencontrara en reposo lala longitudlongitud
de ondade onda de las ondas sería,de las ondas sería,
ν
==λ
v
vP
• Pero si laPero si la fuente que emite las ondas se acercafuente que emite las ondas se acerca
al observadoral observador con velocidadcon velocidad vvFF, la, la longitud delongitud de
ondaonda es,es,
ν
=λ′ Fv-v
• Y laY la frecuencia de la ondafrecuencia de la onda percibida por elpercibida por el
observador será,observador será,
ν=
λ′
=ν′
Fv-v
vv
• Y del mismo modo si laY del mismo modo si la fuente se aleja del observadorfuente se aleja del observador
con velocidadcon velocidad vvFF, se tiene que, se tiene que
ν
+
=
λ′
=ν′
Fvv
vv

47. 13 – Efecto Doppler. 47
• Teniendo en cuenta lo anterior, laTeniendo en cuenta lo anterior, la expresión generalexpresión general que agrupa a todas lasque agrupa a todas las
situaciones posibles, es de la siguiente formasituaciones posibles, es de la siguiente forma
ν
±
=ν′
F
o
vv
vv

NumeradorNumerador
++ Observador se acerca al focoObservador se acerca al foco
−− Observador se aleja del focoObservador se aleja del foco
DenominadorDenominador
−− Foco se acerca al observadorFoco se acerca al observador
++ Foco se aleja del focoFoco se aleja del foco