Ecuacion de onda

1
PROGRAMAS:
ING. SISTEMAS, ELECTRÓNICA – BIOINGENIERIA – QUÍMICA
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y
ESTADÍSTICA
FÍSICA III
ECUACIÓN DE ONDA
LUIS HERNANDO TAMAYO

ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO
ARMÓNICO SIMPLE
(SIMPLE HARMONIC MOTION: S.H.M)
2

ENERGÍA EN EL (S. H. M)
E = K + U →
𝑚 𝑣2
2
+
𝑘 𝑥2
2
EnergíaCinética
EnergíaPotencial
Fig. 2
3

Movimiento circular uniforme
Velocidad angular, Velocidad tangencial,
Aceleración centrípeta
http://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_en.html
http://www.xtec.net/~ocasella/applets/movcirc/appletsol2.htm
4
𝑣 =
𝑠
𝑡
=
2𝜋𝑅
𝑇
= (2𝜋𝑅)𝑓𝑤 =
2𝜋
𝑇
= 2𝜋 𝑓
𝑥 = 𝐴 cos 𝑤𝑡
𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑥 = 𝐴 cos 𝜃
⟹
⟹
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑤 =
𝜃
𝑡
⟹ 𝜃 = 𝑤𝑡
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑣 =
𝑠
𝑡
𝑆𝑖 𝑅 = 𝐴
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 𝑇 ⟹ 𝜃 = 2𝜋 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
⟹ 𝑣 = 𝑤 𝑅
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟í𝑝𝑒𝑡𝑎 𝑎 𝑐 =
𝑣2
𝑅
= 𝑤2 𝑅
Fig. 3

FUNCIÓN DE ONDA
Fig. 4
Fig. 5 Función Espacial (Izq.) y Espacio Temporal (Der.)
5

PERIODO
SISTEMA MASA RESORTE (S. H. M)
6
𝑎 = − 𝑤2 𝑥
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑤𝑡)
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −𝑤𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑡) 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑤2 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑤𝑡)
𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒 𝐹 = −𝑘𝑥 ⟹ 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 𝑚 − 𝑤2
𝑥 = −𝑘𝑥 𝑤2 =
𝑘
𝑚
𝑤 =
𝑘
𝑚
𝑤 es la velocidad angular
⟺
𝑤 =
2 𝜋
𝑇
𝑘
𝑚
=
2𝜋
𝑇
⟹ 𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝑘

ENERGÍA TOTAL
7
𝐸 = 𝐾 + 𝑈𝑒 ⟹
1
2
𝑚 𝑣2
+
1
2
𝑘 𝑥2
𝑣 = −𝑤𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑡)
𝑥 = +𝐴 cos(𝑤𝑡)
𝐸 =
1
2
𝑚 [−𝑤𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 ]2 +
1
2
𝑘 [𝐴 cos 𝑤𝑡 ]2 [𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 ]2
+[cos 𝑤𝑡 ]2
= 1
𝑘 = 𝑚 𝑤2
𝐸 =
1
2
𝑘 𝐴2
1
2
𝑘 𝐴2
=
1
2
𝑚 𝑣2
+
1
2
𝑘 𝑥2
𝑣 =
𝑘
𝑚
(𝐴2 − 𝑥2)
𝑣 𝑚𝑎𝑥 = 𝐴
𝑘
𝑚
𝐿𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑠𝑖 𝑥 = 0
Velocidad de Oscilación

PERIODO PÉNDULO SIMPLE
Fig. 7
9
𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐹 = −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑚𝑎 = −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ⟹ 𝑎 = −𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑇 = 2𝜋
𝑙
𝑔
𝑎 = − 𝑤2
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑥
𝑙
𝑤 =
2𝜋
𝑇

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN
T 2T
Fig. 8
10
𝑣 =
𝜆
𝑇
= 𝜆𝑓

ONDA VIAJERA, VELOCIDAD DE
PROPAGACIÓN: 𝑣 = 𝜆 𝑓
Fig. 9
11
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑂𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑉𝑖𝑎𝑗𝑒𝑟𝑎, 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜𝑟𝑎𝑙
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝑤𝑡 Δ 𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡 𝑜 ⟹ Δ 𝑡 =
𝑥
𝑣
− 𝑡 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝑤 (
𝑥
𝑣
− 𝑡)
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 2𝜋𝑓 (
𝑥
𝑣
− 𝑡)

ECUACIÓN, ONDA VIAJERA
12
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 2𝜋𝑓 (
𝑥
𝑣
− 𝑡) 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 2𝜋
𝑥𝑓
𝑣
− 𝑡𝑓
𝑓 =
𝑣
𝜆
𝑓 =
1
𝑇
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos (
2𝜋𝑥
𝜆
−
2𝜋𝑡
𝑇
) 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑂𝑛𝑑𝑎 𝑘 =
2𝜋
𝜆
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos (𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)
Propagación de izquierda a derecha . Dirección positiva de X
Propagación de derecha a izquierda. Dirección negativa de X
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos (𝑘𝑥 + 𝑤𝑡)
𝑣 =
𝜕
𝜕𝑡
𝑦 (𝑥, 𝑡) 𝑎 =
𝜕
𝜕𝑡
𝑣 (𝑥, 𝑡)

UNA ONDA ES UNA PERTURBACIÓN QUE SE PROPAGA DESDE EL PUNTO EN QUE SE PRODUJO, A
TRAVÉS DEL ESPACIO TRANSPORTANDO ENERGÍA Y NO MATERIA.
EN CUALQUIER PUNTO DE LA TRAYECTORIA DE PROPAGACIÓN SE PRODUCE UNA OSCILACIÓN
PERIÓDICA, ALREDEDOR DE UNA POSICIÓN DE EQUILIBRIO Y SÓLO LA ENERGÍA AVANZA DE FORMA
CONTINUA.
RESUMEN
13

14
SEGÚN EL MEDIO EN EL QUE SE
PROPAGAN:
 ONDAS MECÁNICAS
 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
EN FUNCIÓN DE SU PROPAGACIÓN:
 UNIDIMENSIONALES
 BIDIMENSIONALES O SUPERFICIALES
 TRIDIMENSIONALES O ESFÉRICAS
EN FUNCIÓN DE LA DIRECCIÓN DE
PERTURBACIÓN:
 ONDAS LONGITUDINALES
 ONDAS TRANSVERSALES
EN FUNCIÓN DE SU PERIODICIDAD
 PERIÓDICAS
 NO PERIÓDICAS
CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS
14

NECESITAN UN MEDIO ELÁSTICO PARA PROPAGARSE.
NO REQUIEREN DE UN MEDIO PARA PODERSE PROPAGAR. SE PROPAGAN EN EL VACÍO.
ONDAS MECÁNICAS
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Fig. 10
15

 SE PROPAGAN A LO LARGO DE UNA SOLA DIRECCIÓN DEL ESPACIO,
COMO LAS ONDAS EN LOS RESORTES O EN LAS CUERDAS.
ONDAS TRIDIMENSIONALES O ESFÉRICAS
ONDAS UNIDIMENSIONALES
ONDAS BIDIMENSIONALES O SUPERFICIALES
 SE PROPAGAN EN DOS DIRECCIONES. LAS ONDAS EN LA SUPERFICIE DE AGUA.
 SE PROPAGAN EN TRES DIRECCIONES. SUS FRENTES DE ONDAS SON ESFERAS CONCÉNTRICAS
QUE SALEN DE LA FUENTE DE PERTURBACIÓN EXPANDIÉNDOSE EN TODAS DIRECCIONES.
Fig. 11, Ondas Superficiales Fig. 12, Ondas Esféricas
16

La perturbación se produce de
manera paralela a la dirección de
propagación de la onda.
La perturbación es en sentido
perpendicular a la dirección de
propagación.
ONDAS LONGITUDINALES ONDAS TRANSVERSALES
Fig. 13 Fig. 14
17

LA PERTURBACIÓN LOCAL QUE LAS ORIGINA
SE PRODUCE EN CICLOS REPETITIVOS EN EL TIEMPO.
LA PERTURBACIÓN QUE LAS ORIGINA SE DA AISLADAMENTE O, EN EL CASO DE QUE SE REPITA, LAS
PERTURBACIONES SUCESIVAS TIENEN CARACTERÍSTICAS DIFERENTES. LAS ONDAS AISLADAS SE
DENOMINAN TAMBIÉN PULSOS.
ONDAS PERIÓDICAS
ONDAS NO PERIÓDICAS
Fig. 15
Fig.16
18

FENÓMENOS DE ONDA
http://phet.colorado.edu/sims/wave-on-a-string/wave-on-a-string_es.html
CUANDO UNA ONDA CHOCA CON OTRO OBJETO O LLEGA A UNA FRONTERA CON OTRO MEDIO, A
LOS CUALES NO PUEDE ATRAVESAR Y SE DESVÍA, AL MENOS EN PARTE, OTRA VEZ HACIA EL MEDIO
INICIAL. 𝜃𝑖 = 𝜃𝑟
REFLEXIÓN
19
Fig. 17

PARA UNA ONDA CON UN ÁNGULO DE INCIDENCIA SOBRE EL PRIMER MEDIO, 𝜃1 SE PROPAGA EN
EL SEGUNDO MEDIO CON UN ÁNGULO DE REFRACCIÓN 𝜃2, CUYO VALOR SE OBTIENE POR MEDIO DE
LA LEY DE SNELL
REFRACCIÓN
https://phet.colorado.edu/es/simulation/bending-light
INDICE DE REFRACCIÓN
ES EL CAMBIO DE DIRECCIÓN DE PROPAGACIÓN
QUE EXPERIMENTA UNA ONDA AL CAMBIAR DE UN MEDIO MATERIAL A OTRO.
EL COCIENTE ENTRE LA VELOCIDAD DE LA LUZ EN EL VACÍO Y LA VELOCIDAD DE LA LUZ EN EL
MEDIO CUYO ÍNDICE SE CALCULA. SE SIMBOLIZA CON LA LETRA N. 𝑛 =
𝑐
𝑣
LEY DE SNELL
𝑛1 sen 𝜃1 = 𝑛2 sen 𝜃2
𝑛1 < 𝑛2
Fig. 18
20

ES UN FENÓMENO QUE CONSISTE EN EL CURVADO APARENTE
QUE EXPERIMENTAN CUANDO ATRAVIESAN UN OBSTÁCULO.
DIFRACCIÓN
Fig. 19
21

FENÓMENO EN EL QUE DOS O MÁS ONDAS SE SUPERPONEN PARA FORMAR UNA ONDA
RESULTANTE DE MAYOR O MENOR AMPLITUD. LA PERTURBACIÓN DE CUALQUIER PUNTO DEL
MEDIO EN EL CUAL SE INTERFIEREN LAS ONDAS, SERÁ LA SUMA ALGEBRAICA DE LAS
PERTURBACIONES DE TODAS LAS ONDAS QUE SE ENCUENTREN EN ESE PUNTO.
INTERFERENCIA
Fig. 20Fig. 21 Fig. 22
22

EJERCICIOS
TAREA EVALUATIVA:
1. En la figura se muestra el desplazamiento de un objeto oscilante en función del tiempo. calcule:
a) la frecuencia b) la amplitud c) el periodo d) escriba la ecuación de onda
T 2T
Fig. 23
23

2. Un bloque de 1.8 kg sobre una superficie horizontal sin fricción está sujetado a un resorte cuya constante de
fuerza es 570 N/ m. El bloque es jalado desde su posición de equilibrio en x = 0 hasta desplazarse a x = +0.080
m y parte del reposo. Entonces, el bloque realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje x
(horizontal). El desplazamiento del bloque al tiempo t = 0.40 s corresponde a:
• A) 0.06 m B) -0.06 m C)-0.05 m D) 0.6 m E) 0.05 m
fuerza es 240 N/ m. El bloque es jalado desde su posición de equilibrio en x = 0 hasta desplazarse a x = +
0.080 m y parte del reposo. Entonces, el bloque realiza un SHM a lo largo del eje x (horizontal). La velocidad del
bloque al tiempo t = 0.40 s corresponde a:
• A) 6 m/s B) Cero C) -6 m/s D) -5 m/s E) 5 m/s
fuerza es 500 N/m. El bloque es jalado desde su posición de equilibrio en x = 0 hasta desplazarse a x = +0.080
(horizontal). Cuando el desplazamiento es x = - 0.052 m, la aceleración del bloque corresponde a:
• A) 230 m/s² B) 46 m/s² C) 92 m/s² D) 69 m/s² E) 280 m/s²
fuerza es 140 N/m. El bloque es jalado desde su posición de equilibrio en x = 0 hasta desplazarse a x = +0.080
(horizontal). La energía potencial elástica máxima del sistema corresponde a:
• A) 0.45 J B) 0.41 J C) 0.49 J D) 0.53 J E) 0.57 J
24

 SEARS - ZEMANSKY - YOUNG - FREEDMAN, FÍSICA UNIVERSITARIA. EDITORIAL
PEARSON ADDISON WESLEY . 12ª EDICIÓN, 2009
 WILSON - BUFFA - LOU, FÍSICA, EDITORIAL PEARSON ADDISON WESLEY. SEXTA
EDICIÓN.
 CURSO DE ONDAS: http://colos.inf.um.es/ondas/cursoondas.htm (CC)
 PHYSICAL EDUCATION TECHNOLOGY PHET:
http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=wave_on_a_string#versions (CC)
 MOVIMIENTO CIRCULAR VS. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:
http://www.xtec.net/~ocasella/applets/movcirc/appletsol2.htm (CC)
 PROYECTO NEWTON:
http://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/ondas/ondas-
estacionarias.htm?2&1
BIBLIOGRAFÍA - CIBERGRAFÍA
25

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