Avance frontal

1. CLASE 2. Interpretación de la Teoría de Avance Frontal. 1
3. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE AVANCE FRONTAL.
Una forma alterna de observar e interpretar la ecuación de avance frontal se detalla
con el siguiente desarrollo:
De la ecuación (33) se obtiene para un caudal constante con el tiempo.
∫ ∫=
x t
w
T
Sw dtf
A
q
dx
0 0
')
φ ∫=
t
T
w
dtq
A
f
0
'
φ
'' w
i
w
T
Sw f
A
w
tf
A
q
X
φφ
==
• Para un caudal variable con el tiempo:
'
''
0
w
i
iTi
w
t
T
w
Sw f
A
w
tq
A
f
dtq
A
f
X
φφφ
∑∫ =∆== (35)
Con la ecuación (34) o (35), se halla la posición de una saturación dada en función
del volumen del agua inyectada wi. .
'wa
i
a f
A
w
X
φ
= , 'wb
i
b f
A
w
X
φ
= , 'wc
i
c f
A
w
X
φ
=
En función de los volumenes porosos inyectados se obtiene relaciones análogas:
'w
i
Sw
f
LA
w
L
x
φ
=


) 'wDiSw fLVx = (36)
Se puede construir el perfil de distribución de las fases al interior del
modelo para un volumen de agua inyectado Vdi, independiente de sí el
desplazamiento se realiza a caudal ó caída de presión constante. El
procedimiento puede ser:
Sw wf´
swX
Swc 0.0 0.0
- - -
- - -
- - -
mxSw 0.0 0.0
Graficar la saturación de la fase desplazante wS en función de su
posición swX y se configura así, el grafico denominado perfil de
saturación en función del tiempo ó del agua inyectada.
FORMA DEL PERFIL DE SATURACIÓNFORMA DEL PERFIL DE SATURACIÓNFORMA DEL PERFIL DE SATURACIÓNFORMA DEL PERFIL DE SATURACIÓN. Para visualizar la forma del
perfil de saturación, primero se infiere la forma del gráfico Sws.vf ,
La curva fw'vs Sw se conoce como “curva de la campana”. El área
encerrada por la curva de la campana y el eje x tiene un valor unitario.
101''
11 1
=−====
−− −
∫ ∫
Sor
Swcw
Sor
Swc
Sor
Swc
w
w fdS
dS
df
dSfA
Perfil de Velocidades. De Figura 5 y de la ecuación (33), se deduce
que la forma del gráfico de velocidades en función de la saturación,
debe ser de igual forma.

2. CLASE 2. Interpretación de la Teoría de Avance Frontal. 2
Figura 6. Perfil de velocidades.
Se identifican dos zonas. Una primera zona de altas saturaciones de agua, zona de
agua, y una segunda zona donde predominan altas saturaciones de aceite, zona de
aceite.
Los planos de saturación Swc y Swmax presentan velocidad cero; su posición no
depende del tiempo ó del agua inyectada.
A medida que disminuye la saturación de agua las velocidades aumentan. A un
tiempo dado estarán más alejadas del extremo inyector saturaciones de agua cada
vez menores. La saturación de agua disminuye con la distancia.
De manera análoga al caso anterior, a un tiempo dado estarán más alejadas de la
zona de aceite, saturaciones de agua cada vez mayores. La saturación de agua
aumenta cuando disminuye la distancia medida desde el extremo inyector.
De la Figura 6, además se nota:
Dos saturaciones diferentes - una mayor y una menor-, viajan a la misma velocidad.
A un tiempo de inyección dado estarán ambas en la misma posición. La diferencia
en la magnitud entre estas dos saturaciones se aumenta cuando la velocidad
disminuye.
Con base en las anotaciones anteriores se puede inferir la forma del perfil
de saturaciones, Figura7.
Figura 7. Perfil de saturaciones.
De la Figura 7 se observa, en forma clara, el hecho de coexistir en una
misma posición, x1, tres valores distintos de saturación; dos inferidos de la
forma del perfil de velocidad y la saturación connata, la cual inicialmente
se encuentra uniformemente distribuida en toda la longitud. Esta
imposibilidad física o solución incongruente de la ecuación de avance
frontal opacó inicialmente la importancia de la teoría de avance frontal.
• Area encerrada por el perfil de saturaciones.
Al Observar la Figura 7 se puede obtener el área encerrada (A1) para la
curva que define el perfil.
∫
−
=
Sor
Swc
xdSA
1
1 (37)
Al resolver para X de la ecuación (35 y llevar a la (37), se obtiene.
φφφ A
w
dS'f
A
w
dS'f
A
w
A i
Sor
Swc
w
i
w
Sor
Swc
i
=== ∫∫
−− 11
1 (38)

3. CLASE 2. Interpretación de la Teoría de Avance Frontal. 3
De la ecuación (38) y de la Figura 7 se nota que el área encerrada es función directa
del agua inyectada, wi.
Para un tiempo t1, se tendrá un área A1 y wi1 , Figura 8.
Figura 8. Perfil de Saturación para un tiempo t1.
φ
=
A
w
A i1
1
11 tqw Ti =
Para un tiempo t2, se tendrá un área A2 y wi2 , Figura 9.
Figura 9. Perfiles de saturación para tiempos de flujo t1 y t2.
φA
w
A i2
2 =
22 tqw Ti =
Para un tiempo tn, se tendrá un área An y win , Figura 10.
Figura 10. Perfiles de saturación obtenidos a diferentes tiempos.
φ
=
A
w
A in
n
nTin tqw =
Para una distancia dada x1, se tiene, en cada momento y para cada
distancia tres saturaciones distintas. Incongruencia física.
Buckley y Leverett postulan el siguiente enunciado para resolver la
incongruencia anterior de las trés saturaciones para una misma distancia
X.
. Una parte de la curva no es real.
. Existe un frente de saturación, un plano, el cual separa la zona
invadida por la fase desplazante de la zona no invadida - zona de
petróleo.
. El verdadero perfil de saturación se define hallando la posición del
frente.
. La ubicación del frente en un perfil se halla trazando una recta de
forma tal que el área A1 sea igual al área A2. Ver Figura 11.

4. CLASE 2. Interpretación de la Teoría de Avance Frontal. 4
Figura 11. Ubicación del frente xf por la
Esta técnica gráfica se conoce como “balance de áreas”. El verdadero perfil está
conformado por 1-2-5-6 y no por 1-2-3-4-5-6.
Se nota que para un volumen de agua inyectado dado, (un perfil), la misma área
está encerrada tanto por el perfil 1-2-3-4 así como por el perfil verdadero 1-2-5,
pero este último elimina la inconsistencia física del primero.
Para varios volumenes inyectados wi, el perfil será como se presenta en la Figura
12.
Figura 12. Ubicación del frente para diferentes
volúmenes de agua inyectados. Técnica Balanceo de Area.
El perfil verdadero para diferentes tiempos será el presentado en la
Figura 13.
Figura 13. Perfil verdadero de saturaciones a diferentes
tiempos.
El procedimiento gráfico anterior continua hasta que el frente llegue al
extremo productor, xf=L, momento en el cual ocurre la ruptura. Se
conoce la ruptura como el momento en el cual el frente de invasión llega
al extremo productor.
Del perfil de la Figura 13 se destaca una característica fundamental de la
teoría de desplazamiento Buckley-Leverett: La saturación
correspondiente a la posición del frente es constante. El frente se
desplaza con un valor de saturación, Swf ,el cual es constante en todo el
desplazamiento hasta la ruptura. De la Figura 13 se puede observar:
. La saturación del frente, no depende del tiempo.
. Para una distancia dada, Sw aumenta con el tiempo.
. Para un tiempo dado, Sw disminuye con la distancia.
. Después del frente, Sw=Swc.
Buckley - Leverett plantea entonces:
. No existe inconsistencia física en el verdadero perfil de saturación.
. Se presenta un frente de invasión.
. Utilizando la técnica del balanceo de áreas se obtiene la posición y la
saturación a la cual viaja el frente (Swf).
. La saturación del frente es única.

5. CLASE 2. Interpretación de la Teoría de Avance Frontal. 5
SOLUCIÓN DE HENRYSOLUCIÓN DE HENRYSOLUCIÓN DE HENRYSOLUCIÓN DE HENRY----WELGEWELGEWELGEWELGE
Fundamentado en un desarrollo analítico, Henry Welge propone en 1951 un
método simple gráfico para hallar la saturación del frente, evitando el complicado,
aunque no menos importante, procedimiento gráfico de Buckley-Leverett.
El método de Welge conocido como el “método de la recta tangente” permitió
aclarar en toda su dimensión el trabajo inicial de Buckley-Leverett.
Se tiene un modelo lineal y un diferencial de volumen en la zona invadida
mostrado en la Figura 14, se tiene entonces para el elemento diferencial de área
transversal A:
Figura 14. Modelo lineal y diferencial de volumen.
∆ ∆V x A= φ
donde: ∆V= diferencial de volumen
Para el elemento considerado, el diferencial de agua inyectada, ∆wi, es:
)( wci SSVw −∆=∆
)( wci SSxAw −∆=∆ φ
donde: ∆wi = Diferencial de agua inyectada,
S = Saturación de agua después de producirse ∆wi en el elemento.
Para el modelo, el agua inyectada total wi, es:
( )dxSSAw
fx
wci ∫ −=
0
φ (39)
donde la posición del frente xf, define el tamaño de la zona invadida.
Ahora, diferenciando los términos de la ecuación (34) se tiene:
w
i
df
A
w
dx '
φ
= (40)
Reemplazando la ecuación (40) en la (39) y variando los límites entre
S Sw or= −1 para x=0 y Swf para x=xf.
w
Swf
Sor
i
wcw
Swf
Sor
i
i df
A
w
SAdf
A
w
SAw ''
11 ∫∫ −−
−=
φ
φ
φ
φ
Al cancelar los términos semejantes y realizar la segunda integral del
término de la derecha se llega a:
wf
or
S
Swwc
Swf
Sor
w fSdfS −−
−= ∫ 11
''1
0''1
1
+−= ∫−
wwc
Swf
Sor
w fSdfS
wwc
Swf
Sor
w 'fS'dfS∫−
+=
1
1 (41)
Ahora, se soluciona la integral del lado izquierdo de la ecuación (41) e
integrando por partes.
∫∫ −
−
−
−=
Swf
Sor
w
Swf
Sorw
Swf
Sor
w dS'f|'Sf'dfS
1
1
1

6. CLASE 2. Interpretación de la Teoría de Avance Frontal. 6
Swf
Swwfwf
Swf
Sor
w or
|f'fS'Sdf −
−
−−=∫ 1
1
0
10''
1
+−−=∫−
wfwfwf
Swf
Sor
w ffSSdf (42)
Reemplazando (42) en (41)
wfwcwfwfwf 'fSf'fS +=+− 11
wcwf
wf
wf
SS
f
'f
−
= (43)
Donde
f'wf = La derivada de la función fw evaluada en el valor de saturación del frente.
Swf = Saturación de agua a la cual se desplaza el frente.
Welge (2), demuestra, con la deducción anterior, que la derivada de la función fw
correspondiente a la saturación del frente tiene la forma dada por la ecuación (43).
De igual manera, por ser la saturación del frente un valor único o constante, la
recta tangente a la curva que posea la pendiente dada por la ecuación (43) debe
tener un único punto de tangencia, ó también, la recta tangente a la curva en el
punto correspondiente a la saturación del frente con pendiente dada por la
ecuación (43) debe ser única. Según se muestra en la ecuación (43), esa recta única
pasa o se levanta desde Swc.
En consideración a lo anterior, la recta en mención solo puede ser la
mostrada en la Figura 15.
Swf
Figura 15. Recta tangente a la curva f'w vs Sw en la saturación del frente.
La Figura 15 muestra la única recta tangente a la curva de flujo fraccional
que pasa por Swc. Esta recta define entonces el valor de saturación en el
frente Swf, y el valor de fw correspondiente, fwf. La pendiente de la
recta es entonces la expresión de la ecuación (43).
Welge, postula: La recta tangente a la curva fw vs Sw, levantada desde
Swc define la saturación y el valor de fw correspondiente al frente de
invasión y tiene una pendiente dada por la ecuación (43).
Obtención de la Posición del Frente en función del Agua Inyectada,
wi

7. CLASE 2. Interpretación de la Teoría de Avance Frontal. 7
La contribución práctica del desarrollo de Welge es poder hallar la posición del
frente en función del tiempo ó del agua inyectada, evitando el complejo
procedimiento de sus predecesores. En este caso, la posición xf se halla utilizando
directamente la ecuación (34),
x
w
A
ff
i
wf=
φ
'
(44)
donde f'wf viene dado por la ecuación (43) ó calculando directamente la pendiente
de la recta tangente a la curva de flujo fraccional.
Observación. Se habla indistintamente de agua inyectada ó del tiempo de inyección
porque dado uno el otro está definido, debido a que la tasa de inyección es
constante.
Se nota también que dados los datos de: Permeabilidad relativa y saturación, kri vs
Sw, Propiedades de la formación: Area (A), longitud (L) y porosidad (φ), Viscosidad
del agua (µw) y viscosidad del aceite (µo), entonces se puede:
. Hallar valores de fw para cada saturación con la ecuación (18)
. Graficar fwi para cada Swi.
. Hallar la saturación a la cual viaja el frente en una inyección de agua y el valor
de f'wf.
. Hallar la posición del frente xf, en función de wi con la ecuación (34).
3.3. Comparación de la Técnica de Buckley-Leverett y de Welge para hallar la
Saturación del Frente
En forma simultánea al trabajo de Welge se logra demostrar que la técnica de
balance de áreas descrita en la Figura 11 y el desarrollo analítico de la ecuación (43)
son equivalentes. Observando la Figura 16, se nota que la posición xf y la
saturaciónSwf, se halla de manera tal que A2 = A1. Por lo tanto, se cumple que:
Figura 16. Equivalencia de la Técnica de Buckley-Leverett y de
Welge
2313 AAAA +=+ (45)
dSdf
A
w
dSxAA
Swf
Swc
w
Swf
Swc
i
∫∫ ==+ '13
φ
[ ]wSwcwf
iSwf
Swcw
i
ff
A
w
f
A
w
AA −==+
φφ
|13
wf
i
f
A
w
AA
φ
=+ 13 (46)
Además se observa :
( ) fwcwf xSSAA −=+ 23
Al remplazaar la ecuación (44) en la (47):
( ) wf
i
wcwf f
A
w
SSAA '23
φ
−=+ (48)
Igualando las ecuaciones (46) y (48), de acuerdo a la
ecuación (45), entonces:
( ) wfwcwfwf fSSf '−=
de donde se obtiene:

8. CLASE 2. Interpretación de la Teoría de Avance Frontal. 8
wcwf
wf
wf
SS
f
f
−
='
La expresión anterior obtenida igualando las áreas A1 y A2 de la figura 16 es
exactamente la expresión (43). Buckley - Leverett y Henry Welge hallan los
mismos resultados pero por procedimientos diferentes.