Informe_fProblama_de_tres_cuerpos.pdf

1
Análisis Numérico – Catedrático Ing. Darwin Edisniel Quiroz Betanco
Investigación: Problema de los tres
Cuerpos
Kevin Pineda Pérez 20181030395, Gustavo Adolfo Midence Marcia 20111000567,
Luis Enrique Izaguirre Abrego. 20172034261, Kattia Gonzales Gálvez
20021003480
Resumen-Explicar el problema de dos cuerpos y tres cuerpos,
que tienes un sistema definido, básicamente es intentar
establecer sus trayectorias de cuerpos masivos, considere tres
partículas puntuales en el espacio que actúan sobre su propia
fuerza gravitacional de manera que 𝑀1 , 𝑀2 𝑦 𝑚 son
cuerpos no necesariamente al mismo nivel, se asume
encontrar sus trayectorias.
El uso de un modelo Matemático Numérico es una forma
práctica de visualizar los posibles escenarios que nos permitan
buscar soluciones.
Índice de Términos –Cuerpo, Sistema Ecuación
Diferencial, modelo matemático: Análisis Numérico.
I. INTRODUCCION
En la clase de Análisis numérico se brinda los conocimientos
necesarios para la construcción de modelos numéricos
matemáticos para tratar los problemas del mundo real, por
tal razón se nos asignó la investigación de los PROBLEMA
DOS CUERPOS Y DE TRES CUERPOS, para solucionar
este tipo de problemas se debe aplicar los procedimientos
matemáticos numérico adecuados que puedan dar respuesta
a la incógnita que se debe hacer cando se nos presente un
problema similar al antes mencionado.
II. DEDUCCIÓN DE ECUACIONES PARA DOS
CUERPO
LA TRAYECTORIA ENTRE CUERPOS
DEVIDA A LAS FURZAS
GRAVITACIONALES.
Dos partículas en el espacio 𝑀1 𝑦 𝑀2 tiene una relación
de fuerza que interactúan mutuamente se relaciona con la
fuerza F = m. a , de manera 𝑚 es la masa, 𝑎 es la
aceleración del cuerpo, lo importante es conocer la
posición respecto a la otra, no necesariamente del mismo
nivel, se asume encontrar su trayectoria.
Fig. 1 Diagrama de Dos cuerpos en el espacio.
Fig.2
Sea la sumatoria de fuerzas 𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 y que la
sumatorias de fuerzas es cero, y escoja los ejes X y Y como
en la figura, donde Y es la altura de 𝑀1 . X es considera
aquella parte del desplazamiento de 𝑀1 y así respectivamente
para 𝑀2 , y así determinar cualquier punto en las con
coordenadas (X, Y). Esta parte estará en equilibrio debido a
la fuerza gravitacional en 𝑀1 𝑦 𝑀2 . Sobre los cuerpos
actúan dos fuerzas: el peso de la masa 𝑀1 𝑦 𝑀2 y las
Fig.2
Fuerzas de atracción 𝑀1 𝑦 𝑀2 en los puntos de posición,
(𝑥, 𝑦) respectivamente. Si 𝐹1 es la fuerza ejercida del cuerpo
𝑀1 (expresada en masa por aceleración) y 𝑟 la longitud del
del segmento 𝑀1 𝑦 𝑀2 , entonces esa será su trayectoria. La
sumatoria de fuerzas 𝐹 se puede descomponer en las
direcciones horizontal y vertical, y las correspondientes
cantidades escalares son 𝐹1 𝑦 𝐹2 . Para el equilibrio, la suma
algebraica de las fuerzas en la dirección X (u horizontal) debe
ser igual a cero, y la suma algebraica de las fuerzas en la
dirección Y(o vertical) debe ser igual a cero. Otra manera de

2 Ecuaciones diferenciales – Catedrático Ing. Darwin Edisniel Quiroz Betanco
decirlo es que la suma de las fuerzas hacia la derecha debe ser
igual a la suma de las fuerzas hacia la izquierda, y la suma de
fuerzas hacia arriba debe ser igual a la suma de las fuerzas
hacia abajo. Las fuerzas en la dirección X son 𝐹2𝑥 hacia la
izquierda y 𝐹1𝑥 hacia la derecha, mientras
que las fuerzas en la dirección Y
son hacia abajo y 𝐹1𝑦 𝑦 𝐹2𝑦 .
Utilizando la condición de equilibrio, realizamos la
sumatoria de fuerzas en la dirección horizontal y vertical
∑ 𝐹𝑥 = 0; F2x – F1x𝐶𝑜𝑠𝜃 = 0
F2x = F1x𝑐𝑜𝑠𝜃 (1)
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑑𝐹𝑣1
𝑑𝑡
∑ 𝐹𝑦 = 0; F2y𝑆𝑒𝑛𝜃 −F1y = 0
F2y𝑆𝑒𝑛𝜃 = F1y (2)
𝑆𝑒𝑛𝜃 =
𝑑𝐹𝑣2
𝑑𝑡
De manera que la fuerzas que interactúan sobre la masa
𝑀1 𝑦 𝑀2 Y utilizando la condición de equilibrio, realizamos
la sumatoria de fuerzas en la dirección horizontal y vertical.
𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 = 0 (3)
De manera que la fuerza es 𝐹 = 𝑚. 𝑎 remplazando
obtenemos.
𝐹1 =
𝑚1𝑑𝐹𝑣1
𝑑𝑡
𝑦 𝐹2 =
𝑚2𝑑𝐹𝑣2
𝑑𝑡
𝐹1
𝑚1
=
𝑑𝐹𝑣1
𝑑𝑡
,
𝐹2
𝑚2
=
𝑑𝐹𝑣2
𝑑𝑡
𝐹2
𝑚2
−
𝐹1
𝑚1
=
𝑑𝐹(𝐹𝑣1+𝐹𝑣2)
𝑑𝑡
De manera que la fuerza 𝐹𝑣1 + 𝐹𝑣2 es 𝐹12 obtenemos que
velocidad es aceleración es decir 𝐹12 lo podemos expresar
𝑎12
𝐹1
𝑚2
−
𝐹2
𝑚1
= 𝑎12
Y así mismo de la ecuación (3) es obtenemos que
𝐹2 = − 𝐹1 lo podemos expresar de la siguiente forma.
𝐹1
𝑚2
−
(− 𝐹1 )
𝑚1
= 𝑎12
𝐹1 (
1
𝑚1
+
1
𝑚2
) = 𝑎12
𝐹1 (
𝑚2 + 𝑚1
𝑚1𝑚2
) = 𝑎12
𝐹1(𝑚2 + 𝑚1) = 𝑎12𝑚1𝑚2
𝐹1 = (
𝑎12𝑚1𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
)
De manera que la aceleración 𝑎12 es constante la
podemos expresar como aceleración gravitacional 𝑔,
De manera similar 𝑚1 corresponde a la posición y el
vector representante descrito como 𝑚1 = (𝑥, 𝑦) de tal
manera que 𝑚2 = (𝑥, 𝑦) y realizando la suma de
componente a componente se determina.
𝐹1 = (
𝑔𝑚1𝑚2
𝑥2 + 𝑦2
)
De la misma manera para 𝐹2 tenemos la misma fuerza de
atracción de 𝑚2 .
𝐹2 = (
𝑔𝑚1𝑚2
𝑥2 + 𝑦2
)
La posición de las masas mediante (𝑥, 𝑦) quedando que la
distancia es 𝑟 lo podemos expresar 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 y
podemos expresar con el vector de dirección
𝑟1 = −
𝑥
√𝑥2+𝑦2
y 𝑟2 = −
𝑦
√𝑥2+𝑦2
De tal manera que el
vector unitario representante en esta dirección es.
(−
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2
, −
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
)
Así mismo las fuerzas 𝐹1 𝑦 𝐹2 en las correspondientes
posiciones (𝑥, 𝑦) por lo tanto las fuerzas sobre las masas, en
términos de sus componentes.
(𝐹𝑥 , 𝐹𝑦) = (−
𝑔𝑚1𝑚2
𝑥2 + 𝑦2
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2
, −
𝑔𝑚1𝑚2
𝑥2 + 𝑦2
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
, )
Al sustituir estas fuerzas en la ley del movimiento de
Newton 𝐹 = 𝑚
𝑑𝒗
𝑑𝑡
= 𝑚𝑎 se obtienen, las dos ecuaciones
de segundo orden.
𝑚1𝑥′′
= − (
𝑔𝑚1𝑚2𝑥
(𝑥2 + 𝑦2)3/2
)
𝑚1𝑦′′
= − (
𝑔𝑚1𝑚2𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)3/2
)
Al sustituir un cambio de variable 𝑣𝑥 = 𝑥′
y 𝑣𝑦 = 𝑦′
y sus
derivadas 𝑣𝑥
′
= 𝑥′′
y 𝑣𝑦
′
= 𝑦′′
nos permite que las dos
ecuaciones de segundo orden, se reduzcan a un sistema de
cuatro ecuaciones de primer orden.
𝑥′
= 𝑣𝑥
𝑣𝑥
′
= − (
𝑔𝑚2𝑥
(𝑥2 + 𝑦2)3/2
)
𝑦′
= 𝑣𝑦
𝑣𝑦
′
= − (
𝑔𝑚2𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)3/2
)
Esas ecuaciones de primer orden satisfacen para un cuerpo,
por lo que el problema de tres cuerpos restringido es un
sistema de 12 ecuaciones, 4 para cada cuerpo, así que las
ecuaciones del primer cuerpo son.

𝑥1
′
= 𝑣1𝑥
𝑣1𝑥
′
=
𝑔𝑚2(𝑥2− 𝑥1)
((𝑥2 + 𝑥1)2 + (𝑦2 + 𝑦1)2)3/2
+
𝑔𝑚3(𝑥3 − 𝑥1)
((𝑥3 + 𝑥1)2 + (𝑦3 + 𝑦1)2)3/2
𝑦1
′
= 𝑣1𝑦
𝑣1𝑦
′
=
𝑔𝑚2(𝑦2 − 𝑦1)
((𝑥2 + 𝑥1)2 + (𝑦2 + 𝑦1)2)3/2
+
𝑔𝑚3(𝑦3 − 𝑦1)
((𝑥3 + 𝑥1)2 + (𝑦3 + 𝑦1)2)3/2
Por lo que el sistema de ecuaciones de primer orden, nos
permite, asi para poder determinar la trayectoria y así poder
determinar donde se encuentra ese cuerpo respecto a la otra.
De igual manera los cuerpos Segundo y Tercero, en
(𝑥2 , 𝑦2) y (𝑥3 , 𝑦3) respectivamente, satisfacen las
Ecuaciones similares.
III. PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
MODELADOS DE TRAYECTORIAS CON
SISTEMA DE ECUACIONES
Las trayectorias de los dos cuerpos las cuales pueden ser:
circular, elíptica, parabólica, hiperbólica, y así poder
determinar donde se encuentra ese cuerpo respecto a la otra.
Fig. 3 Diagrama de trayectorias de Dos cuerpos.

IV. EXPERIMENTOS
I. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS.
A este problema también cele conoce como el problema de
Kepler en astronomía, siendo en esencia un problema de
mecánica celeste que busca, conocer las trayectorias de las
orbitas de dos objetos astronómicos, como estrellas,
planetas, hasta galaxias.
Para resolver este problema de dos cuerpos establecemos
las posiciones de ambos cuerpos, respectivamente sus
masas, y condiciones iniciales:
Cuerpo uno con una masa 𝑚1 = 0.3 y así mismo 𝑚2 = 0.3
Del cuerpo dos, de tal manera que la posición del cuerpo
uno es (𝑥1 , 𝑦1) = (2,2) y su condición inicial
(𝑥1
′
, 𝑦1
′) = (0 . 2, −0 . 2), y respectivamente las
componentes del cuerpo dos es (𝑥2 , 𝑦2) = (0,0) y su
condición inicial (𝑥2
′
, 𝑦2
′ ) = (−0 . 01 , 0 .01), de tal
manera lo resolvemos construyendo un programa que
obtengamos el resultado y grafique las trayectorias con las
respectivas condiciones dadas. Y así determinar su
trayectoria.
𝑚1(2,2)
(0 . 2, −0 . 2)
𝑚2(0,0)
(−0 . 01 , 0 . 01)
Fig. 4 Diagrama de sus componentes (𝑥, 𝑦) Dos cuerpos.
El programa que diseñamos calcula lo que se llama
Solución Numérica al problema, es decir una aproximación
de la realidad. Resultado del Problema de Dos Cuerpos.
Al compilar este programa en Octave GNU se obtuvo.
Fig. 5 Grafica. Para las condiciones iniciales de este
problema las masa 𝑚1 𝑦 𝑚2, En este problema se dice que
el sistema es estable.
II. PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS.
En esencia la pregunta tratar de responder el problema de los tres
cuerpos, de la misma, se quiere conocer la trayectoria de tres cuerpos
masivos que interactúan a través de la fuerza de gravedad lo que hace
interesante es que este problema no tiene solución analítica, es es decir
dadas cualquier condiciones iniciales no existe una ecuación implícita
que nos permita predecir las trayectorias que van a seguir los cuerpos.
Al añadir alguna condición adicional al problema se puede obtener
soluciones, implícitas para las trayectorias.
Este problema de tres cuerpos básicamente tiene un comportamiento
caótico, lo que quiere decir que es altamente sensible a las condiciones
iniciales.
Para resolver el problema de tres cuerpos, establecemos, las posiciones
de los cuerpos con condiciones iniciales y sus respectivas masas, asi
mismo el cuerpo uno con masa 𝑚1 = 0.3 y el cuerpo dos, tres con
masas iguales 𝑚2 = 𝑚3 = 0.03, de tal manera que la posición del
cuerpo uno es (𝑥1 , 𝑦1) = (2,2) con su velocidad inicial
(𝑥1
′
, 𝑦1
′) = (0 . 2, −0 . 2), respectivamente el cuerpo dos con
posición (𝑥2 , 𝑦2) = (0,0) y su velocidad inicial
(𝑥2
′
, 𝑦2
′ ) = ( 0 , 0 ), y el cuerpo tres con su posición (𝑥3 , 𝑦3) =
(−2, −2) su velocidad inicial (𝑥3
′
, 𝑦3
′ ) = (−0 . 2 , 0 .2), de la
misma forma es construir un programa que calcula la solución
numérica al problema y que obtenga el resultado y grafique las
trayectorias con condiciones iniciales.
𝑚1(2,2)
(0 . 2, −0 . 2)
𝑚2(0,0)
(0 , 0 )
𝑚3(−2, −2)
(−0 . 2 , 0 . 2)
Fig. 6 Diagrama de sus componentes (𝑥, 𝑦) Tres cuerpos.
El programa que diseñamos calcula lo que se llama Solución
Numérica al problema, es decir una aproximación de la realidad.
Resultado del Problema de Tres Cuerpos.

Al compilar este programa en Octave GNU se obtuvo.
Fig. 7 Grafica. Para las condiciones iniciales de este
problema las masa 𝑚3 se comporta como un cometa
alrededor de las masas 𝑚1 𝑦 𝑚2, En este problema se dice
que el sistema es estable.
Fig. 8 Grafica. Para este ejemplo, se utilizó la posición
(32,0.5) y la velocidad inicial(−0.35,1.4) y un paso
ℎ = 0.05..
Comparando la Fig(7) y Fig(8) las trayectorias resultantes, es un
claro ejemplo visual de la dependencia sensible de las condiciones
iniciales.
III. COMPARACION ENTRE LOS DOS PROBLEMAS.
Veamos que el problema de los dos cuerpos y tres cuerpos difieren
en dos puntos importantes.
1. EL problema de los dos cuerpos tiene una solución analítica,
explicita que sirve en todos los casos y es estable, mientras que
el problema de tres cuerpos no tiene y por ello tenemos que
recurrir a casos especiales propuestos por Euler y Lagrange
Que son los casos que tiene una misma línea o ayudarnos con
herramientas computacionales. Comparación entre los dos
problemas
2. El problema de los tres cuerpos es caótico las trayectorias de
los cuerpos varían considerable, dependiendo de sus
condiciones iniciales y posición iniciales.
VI. CONCLUSIONES
1) Las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento
de la 𝑚3, conforma un sistema el cual se conserva la energía, es
decir es un sistema conservativo.
2) El comportamiento de los dos cuerpos tiene solución
analítica, que sirve para en todos los casos, además puede modelarse
fácilmente con sistemas ecuaciones diferenciales, lineales o no
lineales, así como la mayoría de los problemas de la física.
3) La aproximación numérica del Método de Runge Kutta es
suficiente para lograr un desarrollo de las trayectorias que no
difieran, considerablemente de las trayectorias reales.
4) Los métodos numéricos resultan ser muy útiles para la
resolución de sistemas ecuaciones diferenciales cuando lo que se
busca es analizar paso a paso lo que sucede con el problema
planteado.
5) El manejo de software matemático para visualizar los
distintos escenarios ha demostrado ser esencial en la vida de un
estudiante de ingeniería.
VII. ANEXOS
SOLUCION NUMERICA PROBLEMA DE DOS CUERPOS.
# valores de referencia en el programa Octave GNU.
h=0.05;x0=11.6; y0=0.5; u0=-0.8; v0=0.9;
m2=2.8985e+015; m1=2.2489e+015; a=20; t0=0; t=t0+h;
hold on;
%h=0.05; x0=11.4; y0=1.4; u0=-1.2; v0=-1.2;
%h=0.05; x0=11.4; y0=1.4; u0=-0.5 v0=-1.2;
%h=0.005; x0=32; y0=0.5; u0=-1.6; v0=0.6; %resulta un movimiento de
%cuasicometa
%h=0.05; x0=32; y0=0.5; u0=-1.67; v0=0.6;
%h=0.05; x0=-20; y0=0.5; u0=0.0; v0=1.4;
%h=0.5; x0=-20; y0=0.5; u0=0.0; v0=1.55; %resulta un movimiento de
cometa
%h=0.05; x0=32; y0=0.5; u0=-1.4; v0=1.2;
%h=0.05; x0=32; y0=0.5; u0=-1.35; v0=1.4;
%h=0.05; x0=32; y0=0.5; u0=-1.53; v0=1.4;
%h=0.05; x0=32; y0=0.5; u0=-1.6; v0=1.4;
plot(0,0,'*r'); plot(20,0,'*r'); plot(x0,y0,'+g');
for i=1:100000,
t=t+h;
k1=h*campovectorial(x0,y0,u0,v0,m1,m2,a);
k2=h*campovectorial(x0+k1(1)/2,y0+k1(2)/2,u0+k1(3)/2,v0+k1(4)/2,m1,
m2,
a);
k3=h*campovectorial(x0+k2(1)/2,y0+k2(2)/2,u0+k2(3)/2,v0+k2(4)/2,m1,
m2,
a);
k4=h*campovectorial(x0+k3(1),y0+k3(2),u0+k3(3),v0+k3(4),m1,m2,a);
x0=x0+(k1(1)+2*k2(1)+2*k3(1)+k4(1))/6;
y0=y0+(k1(2)+2*k2(2)+2*k3(2)+k4(2))/6;
u0=u0+(k1(3)+2*k2(3)+2*k3(3)+k4(3))/6;
v0=v0+(k1(4)+2*k2(4)+2*k3(4)+k4(4))/6;
plot(x0,y0,'.b');

end
Función de las Ecuaciones de 2 cuerpos.
function a = campovectorial (x,y,u,v,m1,m2,d)
G=0.00000000000000667;
f1=u;
f2=v;
f3=G*(-(m1*x)/((x^2+y^2)^(3/2))+(m2*(d-x))/(((d-
x)^2+y^2)^(3/2)));
f4=-G*((m1*y)/((x^2+y^2)^(3/2))+(m2*y)/(((d-x)^2+y^2)^(3/2)));
a=[f1,f2,f3,f4];
endfunction
Funciones en componente vectorial.
# valores de referencia.
#Problema de los dos cuerpos
# con las condiciones iniciales siguientes
clear all ##para que selinpie la pantalla y las variables ##
global g m1 m2 d
g=1;#gravedad#
m1=0.3;#masa1= cuerpo 1#
m2=0.03;#masa2=cuerpo 2#
d=20.0;
x1=2;y1=2;#posicion inicial del cuerpo 1#
u1=0.2; v1=-0.2;#velocidad o condicion inicial cuerpo 1#
u2=-0.01;v2=0.01;#velocidad o condicion inicial cuerpo 1#
a=0.0;b=100.0;N=100; # a <=t<= b; N=numero de iteraciones #
ya=[x1,y1,x2,y2,u1,v1,u2,v2];
f=@(t,y) F2_cuerpos (t,y );
[vt,mw]= RK4_sistema_para_2_cuerpos(a,b,N,ya,f);
%prompt=' t_i , w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, w_7,
w_8 ';
%input(prompt);
[vt,mw]
plot(x1,y1,'*r'); plot(20,0,'*r'); plot(x2,y2,'+g')
plot(vt,mw,'.b');
%plot3(mw(:,1),mw(:,2),mw(:,3),mw(:,4),mw(:,5),mw(:,6),mw(:,7),
mw(:,8))
Función de Ecuaciones Diferenciales.
#Funcion#
#Sistema de Ecuaciones Diferenciales#
function e = F2_cuerpos (t, w)
global g m1 m2 d
e=[w(5),...
w(6),...
((-g).*m1.*(w(1)))/(((w(1)).^2+(w(2)).^2).^(3.0/2.0))+(m2.(d-
w(1)))/(((d-w(1)).^(2)+(w(2)).^(2)).^(3.0/2.0)),...
((-
g).*m1.*(w(2)))/(((w(1)).^2+(w(2)).^2).^(3.0/2.0))+(m2.(w(2)))/(((
d-w(1)).^(2)+(w(2)).^(2)).^(3.0/2.0)) ];
endfunction
Función del Método Runge Kutta.
#Funcion de Metodo Runge-Kutta orden 4 Para #
# El Sistema de Ecuaciones Diferenciales #
function [vt,mw]= RK4_sistema_para_2_cuerpos (a,b,N,ya,Fv)
h=(b - a)/N;
nvar=length(ya);
vt=zeros(N+1,1);%% vector es vt = vector t_i%%
mw=zeros(N+1,nvar);%% vector es vw = vector w_i%%
vt(1)=a; %% es t=a en la picicion 1 del vector%%
mw(1,:)=ya;%% es w=ya(es la condicion inicial) en la pocicion 1 %%
for i=1:1:N
k1=h*Fv(vt(i),mw(i,:));
k2=h*Fv(vt(i)+(h/2.0),mw(i,:)+(k1/2.0));
k3=h*Fv(vt(i)+(h/2.0),mw(i,:)+(k2/2.0));
k4=h*Fv(vt(i)+h,mw(i,:)+k3);
mw(i+1,:)= mw(i,:)+(k1+2*(k2)+2*(k3)+k4)*(1/6);
vt(i+1)=a+i*h;
endfor
endfunction
SOLUCION NUMERICA PROBLEMA DE TRES CUERPOS.
# valores de referencia.
#Problema de los tres cuerpos
# con las condiciones iniciales siguientes
clear all ##para que selinpie la pantalla y las variables ##
global g m1 m2 m3 p
x1=11.6;y1=0.5;#posicion inicial del cuerpo 1#
u1=-0.8; v1=0.9;#velocidad o condicion inicial cuerpo 1#
%u2=0;v2=0;#velocidad o condicion inicial cuerpo 2#
%x3=-2;y3=-2;#posicion inicial del cuerpo 3#
%u3=-0.2;v3=0.2;#velocidad o condicion inicial cuerpo 3#
g=0.00000000000000667;#gravedad#
p=20;
a=0.0;b=100.0;N=100; # a <=t<= b; N=numero de iteraciones #
ya=[x1,y1,u1,v1];
f=@(t,y) F3_cuerpos(t,y) ;
[vt,mw]= RK4_sistema(a,b,N,ya,f);
[vt,mw]
%plot3(mw(:,1),mw(:,2),mw(:,3),mw(:,4),mw(:,5),mw(:,6),mw(:,7),mw(:,
8),mw(:,9),mw(:,10),mw(:,11),mw(:,12))
#title('ploblema Tres cuerpos . experimento a) 3d')
%[vt,mw]
plot(x1,y1,'*r'); plot(20,0,'*r'); plot(x2,y2,'+g')
plot(vt,mw,'.b');
%xlabel('t')

%ylabel('x')
Función Ecuaciones Diferenciales.
#Funcion#
#Sistema de Ecuaciones Diferenciales#
function e = F3_cuerpos (t, w)
global g m1 m2 m3 p
e=[w(3),...
w(4),...
(-g.*m1.*(w(1)))/((w(1)).^2+(w(2)).^2).^(3.0/2.0)+(m2.*(p-
w(1)))/((p-w(1)).^2+(w(2)).^2).^(3.0/2.0),...
(-
g.*m1.*(w(2)))/((w(1)).^2+(w(2)).^2).^(3.0/2.0)+(m2.*(w(2)))/((p-
w(1)).^2+(w(2)).^2).^(3.0/2.0)];
endfunction
Función del Método Runge Kutta.
#Funcion de Metodo Runge-Kutta orden 4 Para #
# El Sistema de Ecuaciones Diferenciales #
function [vt,mw]= RK4_sistema (a,b,N,ya,Fv)
h=(b - a)/N;
nvar=length(ya);
vt=zeros(N+1,1);%% vector es vt = vector t_i%%
mw=zeros(N+1,nvar);%% vector es vw = vector w_i%%
vt(1)=a; %% es t=a en la picicion 1 del vector%%
mw(1,:)=ya;%% es w=ya(es la condicion inicial) en la pocicion 1
%%
for i=1:1:N
k1=h*Fv(vt(i),mw(i,:));
k2=h*Fv(vt(i)+(h/2.0),mw(i,:)+(k1/2.0));
k3=h*Fv(vt(i)+(h/2.0),mw(i,:)+(k2/2.0));
k4=h*Fv(vt(i)+h,mw(i,:)+k3);
mw(i+1,:)= mw(i,:)+(k1+2*(k2)+2*(k3)+k4)*(1/6);
vt(i+1)=a+i*h;
endfor
endfunction
VIII. REFERENCIAS
[1] Ecuciones Diferenciales con aplicaciones de modelado
[Libro] / aut. Zill Dennis y Wright Warren / - [s.2.] :
Referencia: Sauer, T. (2013) Análisis numérico (2da.
Edición), México: Pearson Educación, página 309. Learning,
2009. - Novena Edicion : pág. 650.[2] Ingenieria Mecanica [Libro]
/ aut. Hibbeler R.C. / ed. Cruz. - [s.l.] : PEARSON EDUCACION,:
pág. 672. - Seccion 7.4 ,pag. 368-375. - Estatica. años. Ing
Estática, 1a., 2009, pp. 59-61. el 2018, a la carrera de matemáticas

Informe_fProblama_de_tres_cuerpos.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a Informe_fProblama_de_tres_cuerpos.pdf

Similar a Informe_fProblama_de_tres_cuerpos.pdf (20)

Último

Último (20)

Informe_fProblama_de_tres_cuerpos.pdf