Mecánica de Cuerpos Rígidos

Mecánica de los
Cuerpos Rígidos:
Cinemática
MECANICA Y VIBRACIONES – 2023

MECÁNICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS
Cuerpo rígido: conjunto de partículas masivas sometidas a vínculos
holonómicos que mantienen fijas las distancias relativas (idealmente).
Las distancias entre las partículas no cambian.
Buena aproximación para la mayoría de los cuerpos macroscópicos (de
interés en Física e Ingeniería) en movimiento generado por interacciones
mutuas o fuerzas externas.
GRADOS DE LIBERTAD = 3 . N partículas – #Vínculos holónomos
distancias constantes
Esta reducción permite tratamiento accesible del problema con:
- Conjunto finito de partículas materiales
- Continuo de infinitos puntos materiales caracterizados por una densidad de masa r.
Para el calculo de la masa:
𝑚 = 𝑚  𝑚 = 𝜌 𝒓 𝑑𝒓
Para la posición del CM:

𝑅 =
1
𝑀
𝑚 𝑟
⃑ 𝑅 =
1
𝑀
𝑟
⃑ 𝑑𝑚

Un sistema posee 4 partículas de masa m están situadas según se muestra en la figura. Las aristas del tetraedro miden a.
En este sistema: 𝑟 = (0,0,0), 𝑟 = (𝑎 3/2, 𝑎/2,0) , 𝑟 = (0, 𝑎, 0) y 𝑟 = (𝑎 3/6, 𝑎/2, 𝑎 6/3). Calcular la posición del
centro de masas.

Un deportista realiza un salto en alto. Determinar el centro de masa del deportista suponiendo que el saltador en el aire
toma la forma de la figura.
Barra

La posición de un punto (O) del cuerpo con respecto a un sistema de referencia inercial
requiere tres grados de libertad, r0.
Dado r0, la posición de todos los demás puntos del cuerpo está determinada por la
orientación del cuerpo en el espacio => por 3 ángulos con respecto a los ejes de un
sistema S.
En definitiva, son 6 grados de libertad.
Las coordenadas de los puntos del cuerpo rígido son constantes en un sistema fijo al
cuerpo => Usaremos un sistema fijo al cuerpo para muchos cálculos.
El sistema fijo al cuerpo estará en general acelerado con respecto al inercial S, así que
aparecerán fuerzas inerciales en los cálculos. En resumen, tenemos:
- Sistema inercial S = (x; y; z)
- Sistema fijo al cuerpo S´= (x´; y´; z´)
Para el punto P en el cuerpo con coordenadas en S (con rP) y en S´(con r), la relación
entre ambas coordenadas será: 𝒓𝑷 = 𝒓𝑶 + 𝒓

Velocidad angular w:
La posición del cuerpo está determinada por la posición de un punto cualquiera (O) y una
orientación.
Si un cuerpo rígido cambia su posición infinitesimalmente => rP cambia.
El desplazamiento infinitesimal de P es un desplazamiento infinitesimal de O más una
rotación infinitesimal:
𝑑𝒓𝑷 = 𝑑𝒓𝑶 + 𝑑𝒓 donde 𝑑𝒓 = 𝑑𝝓 × 𝒓 => 𝑑𝒓𝑷 = 𝑑𝒓𝑶 + 𝑑𝝓 × 𝒓
Considerando que esto se da en un dt:
𝑑𝒓𝑷
𝑑𝑡
=
𝑑𝒓𝑶
𝑑𝑡
+
𝑑𝝓
𝑑𝑡
× 𝒓 ⇒ 𝒓̇𝑷 = 𝒓̇𝑶 + 𝝎 × 𝒓
donde r = rOP (posición de P respecto de O)
Relación de la velocidad
entre dos puntos con la
distancia entre ellos y el
movimiento de rotación:
es un Campo de
velocidades

¿Qué pasa si se cambia el origen del punto O a O´ ?
𝒓̇ = 𝒓̇ ´ + 𝝎´ × 𝒓´ (1) y 𝒓 = 𝒓´ + 𝒂
Originalmente: 𝒓̇ = 𝒓̇ + 𝝎 × 𝒓 ⇒ 𝒓̇ = 𝒓̇ + 𝝎 × 𝒓´ + 𝒂
𝒓̇ = 𝒓̇ + 𝝎 × 𝒓´ + 𝝎 × 𝒂 ⇒ 𝒓̇ = 𝒓̇ + 𝝎 × 𝒂
𝒓̇ ´ ∶ ´
+ 𝝎 × 𝒓´
𝒓̇ = 𝒓̇ ´ + 𝝎 × 𝒓´ (2)
Como (1) = (2): 𝒓̇ ´ + 𝝎´ × 𝒓´ = 𝒓̇ ´ + 𝝎 × 𝒓´ => w = w´
w es independiente de la elección del origen del sistema S´
w es la velocidad angular del cuerpo rígido
𝒓̇𝑷 = 𝒓̇𝑶 + 𝝎 × 𝒓

Vimos que w es independiente de la elección del origen del sistema S’
w es la velocidad angular del cuerpo rígido. Esto no puede afirmarse para un cuerpo no rígido
¿Qué punto elegir como origen del cuerpo rígido?
Para determinar la velocidad de un punto del cuerpo rígido, se puede elegir el origen del
sistema S´. Hay dos situaciones generales:
• Si el cuerpo presenta un punto estático (aunque sea instantáneamente estático,
por ejemplo rodadura), se elige O como referencia, y 𝒓̇O = 0. (Ver página siguiente)
• Si el cuerpo no tiene ningún punto estático, se elige O en el centro de masa, y 𝒓̇O = 𝒓̇CM.
A veces conviene elegir algún otro punto particular que simplifique el planteo. Depende de cada caso en particular.
Se eligen las seis coordenadas generalizadas utilizando un sistema de ejes cartesianos solidario al cuerpo y otro
independiente.
La posición del cuerpo queda totalmente definida por:
- Tres coordenadas del origen de la terna solidaria S´ respecto a S.
- Tres ángulos que definen la orientación de esta terna S´ respecto del sistema coordenado inercial S elegido, que
es externo al cuerpo.
𝒓̇𝑷 = 𝒓̇𝑶 + 𝝎 × 𝒓

¿Qué punto elegir como origen del cuerpo rígido?
• Si el cuerpo presenta un punto estático (aunque sea instantáneamente estático, por ejemplo rodadura), se elige O como
referencia, y 𝒓̇O = 0. El punto de contacto con el suelo está instantáneamente en reposo para que la rueda no resbale.
Para cualquier punto P su
velocidad será (vectorialmente):
Particularmente para el punto 1:
Podemos pensar que la rueda gira sobre
un eje de rotación instantáneo que pasa
por el punto de contacto con el suelo.
La energía cinética del cuerpo será:
Como el momento de inercia en 1 es: I1 = ICM + Mr2 (por el teorema de
Steiner), la energía cinética nos queda como:
𝒓̇𝑷 = 𝒓̇𝑪𝑴 + 𝝎 × 𝒓
𝒓̇𝟏 = 𝒓̇𝑪𝑴 + 𝝎 × 𝒓 = 𝒓̇𝑪𝑴 − 𝒓̇𝑪𝑴 = 𝟎
𝑇
𝑇

Hemos visto que la posición del Centro de Masa de un cuerpo está definido por:
Reescribiendo:
𝑀𝑹 = 𝑚 𝒓 ⇒ 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜: 𝑀𝑹
̇ = 𝑚 𝒓̇
Reemplazando:
El momento lineal total del sistema P es igual al momento lineal de una única partícula de masa M y que se mueve a
la misma velocidad que el CM.
Derivando: => El CM se mueve exactamente igual que si fuera una única partícula de
masa M sometida a una fuerza neta externa al sistema (que es el
modelo de partícula que hemos considerado siempre!!).

Dado un cuerpo rígido compuesto por N partículas de masas ma , la posición de una partícula ma respecto a O es ra y la
del CM respecto a O es R. Por lo tanto: (1)
El momento angular de cada parte alrededor de O será:
El momento angular total respecto a O:
Usando (1) y su derivada:
-
Como => =>
𝒓` = 0 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑀 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝐶𝑀

La energía cinética total de N partículas es:
Como =>
Para un cuerpo rígido, el único movimiento posible relativo al CM es la rotación. Por lo tanto:
Por ejemplo, la T total de una rueda es la T traslacional del CM más la energía de la rotación alrededor del eje.
La expresión de (2), es válida para cualquier punto R fijo en el cuerpo. R podría estar en reposo incluso sólo
instantáneamente, por ejemplo una rueda girando y avanzando por un camino.
0 en el CM
(2)

La energía potencial de un cuerpo rígido es la suma de todas las energías potenciales de las partículas que forman el
cuerpo.
Puede haber de dos tipos:
- Potenciales externos actuando sobre cada partícula debido a las fuerzas externas conservativas
- Energía de interacción de cada partícula con las demás del cuerpo
𝑈 = 𝑈 + 𝑈 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 = 𝑈
Pero en un cuerpo rígido, las rab están fijas, así que Uint es una constante y se puede ignorarla.
Para la dinámica sólo nos importa la energía potencial externa.

𝑅𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑖𝑗𝑜
Si consideramos que 𝜔 coincide con la dirección del eje z:
Como =>
El momento angular de
una partícula a será:
El momento angular del cuerpo rígido será y tiene componentes en x, en y y en z.
El momento angular del cuerpo rígido respecto al eje z será:
Para un punto P, su distancia al eje z está representada en el gráfico como r.
Como sobre el plano xy: => con
Iz representa el momento de inercia respecto al eje z.
𝑳 = 𝑚 𝜔 −𝑧 𝑥 , −𝑧 𝑦 , 𝑥 + 𝑦

Como 𝐿 = 𝐼 𝜔 , 𝐿 = 𝐼 𝜔 y 𝐿 = 𝐼 𝜔 :
Ixz e Iyz se llaman Productos de Inercia y Izz se llama Momento de Inercia
Usaremos la notación Ixz que nos define la componente x de L cuando w está en la dirección z (y lo mismo para Iyz), Izz se
refiere al momento de inercia alrededor del eje z.
Como vemos, las componentes x e y del momento angular (Lx y Ly) no son cero. La velocidad angular w (que coincide
con el eje z) no tiene la misma dirección y sentido que el vector momento angular L. (Uno
esperaría que ambos vectores tuvieran igual dirección y sentido dado que 𝑳 = 𝐼𝝎). El punto
radica en que el momento de inercia I ya no es una magnitud escalar!!.
Para un cuerpo que rota alrededor del eje z, su momento angular será:
Calculando el momento angular especto a los ejes x e y:
𝑳 = 𝑚 𝜔 −𝑧 𝑥 , −𝑧 𝑦 , 𝑥 + 𝑦

Calcule el momento de inercia y los productos de inercia para la rotación alrededor del
eje z para los siguientes cuerpos rígidos:
a) Una masa m localizada en (0, y0, z0)
b) Ídem punto a) pero con una segunda masa m ubicada en (0, y0, -z0)
c) Un anillo de masa uniforme M y radio r0 centrado en el eje z y paralelo al plano xy

Donde:
Ixx, Iyy e Izz son momentos de inercia y
Ixy, Ixz, Iyx, …. son productos de inercia

Para Ixx: y lo mismo para Iyy y para Izz
Mientras que para: y el resto de los productos de inercia
De esta manera podemos definir el Tensor de Inercia como:
Considerando matricialmente:
Entonces: se transforma en: que tiene forma matricial compacta.
Reemplazando los subíndices x, y, z por 1, 2, 3 respectivamente; tenemos en líneas generales:
Tensor de Inercia: 𝐼 =
𝐼 𝐼 𝐼
𝐼 𝐼 𝐼
𝐼 𝐼 𝐼
𝑳 = 𝐼 𝜔

Los componentes del Tensor de inercia referidos al CM son:
𝐼 =
𝑚 𝑦 + 𝑧 − 𝑚 𝑥 𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑧
− 𝑚 𝑥 𝑦 𝑚 𝑥 + 𝑧 − 𝑚 𝑦 𝑧
− 𝑚 𝑥 𝑧 − 𝑚 𝑦 𝑧 𝑚 𝑥 + 𝑦
→ Es una matriz simétrica: Iij = Iji
→ El tensor de inercia de un cuerpo depende de la masa y de la posición de las partículas con respecto a un cierto
sistema de referencia. Captura matemáticamente la geometría de la distribución de masa alrededor de este punto.
→ El valor de sus componentes depende de la elección del punto de referencia O y del sistema sujeto al cuerpo S´. Si
varía la posición de S´, cambia de base y cambian las componentes.
→ Si el cuerpo rígido está constituido por una distribución continua de masa definida por una densidad 𝜌 𝒓 , la S sobre
puntos discretos se reemplaza por una integral sobre el volumen del cuerpo.

𝐼 =
𝐼 𝐼 𝐼
𝐼 𝐼 𝐼
𝐼 𝐼 𝐼
→ Es aditivo: todos los elementos son Sa
→ Si 𝐼 = 𝐼 = 𝐼 se llama peonza o trompo esférico (una pelota, un cubo).
→ Si 𝐼 = 𝐼 ≠ 𝐼 , el cuerpo rígido se denomina peonza o trompo simétrico (un huevo, una pelota de rugby, la Tierra,
un cilindro, un trompo)
→ Si 𝐼 ≠ 𝐼 ≠ 𝐼 se llama trompo asimétrico.
→ Puede demostrarse que: 𝐼 + 𝐼 ≥ 𝐼
→ Si es plano en 𝑥, 𝑦 : I3 = I1 + I2
→ Si es unidimensional en 𝑧̂: I3 = 0, I1 = I2 (se llama rotor).

Calcular el tensor de inercia del sistema de la figura
𝐼 =
𝑚 𝑦 + 𝑧 − 𝑚 𝑥 𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑧
− 𝑚 𝑥 𝑦 𝑚 𝑥 + 𝑧 − 𝑚 𝑦 𝑧
− 𝑚 𝑥 𝑧 − 𝑚 𝑦 𝑧 𝑚 𝑥 + 𝑦

Calcular el tensor de inercia de:
(a) Un cubo sólido uniforme de masa M y lado a, respecto al punto O.
(b) Ídem punto (a) pero respecto al centro de masa.
Usar ejes paralelos a los bordes del cubo para ambos casos.
(c) Encontrar el momento angular cuando el eje de rotación es paralelo a 𝒙.
(d) Ídem punto (c) pero con w con dirección de la diagonal del cuerpo.

Calcular el tensor de inercia de:
(a) Un cubo sólido uniforme de masa M y lado b, respecto al punto O.
(b) Ídem punto (a) pero respecto al centro de masa.
Usar ejes paralelos a los bordes del cubo para ambos casos.
(c) Encontrar el momento angular cuando el eje de rotación es paralelo a 𝒙.
(d) Ídem punto (c) pero con w con dirección de la diagonal del cuerpo.
𝐼 = 𝑀𝑎
⁄ − ⁄ − ⁄
− ⁄ ⁄ − ⁄
− ⁄ − ⁄ ⁄
𝐼 = 𝑀𝑎
⁄ 0 0
0 ⁄ 0
0 0 ⁄
Teorema de Steiner para Tensor de Inercia (ejes paralelos):
𝐼 = 𝐼 + 𝑀(𝛿 𝑟 − 𝑟 𝑟 )
donde:
A: antes de trasladar los ejes (inicial)
D: después de trasladar los ejes (final)
r: distancia entre los puntos de referencia
𝛿 : Delta de Kronecker
𝛿 =
1 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗
0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗

→ Como es un tensor real y simétrico, siempre existe una base donde el tensor es diagonal: 𝐼 =
𝜆 0 0
0 𝜆 0
0 0 𝜆
Los ejes de esa base son los ejes principales de inercia del cuerpo rígido y los 𝜆1, 𝜆2 e 𝜆3 son los momentos principales
de inercia. Esto es, hay 3 ejes perpendiculares que pasan por O con respecto a los cuales el tensor de inercia I es
diagonal.
→ Si el cuerpo es homogéneo y tiene simetrías (geométricas), los ejes principales son los ejes de simetría. Pero aun si
es heterogéneo y no tiene simetrías, igual tiene ejes principales (para todo O).
→ En la base de los ejes principales la energía de rotación es:
𝑇 =
1
2
𝝎 𝑳 =
1
2
𝝎 𝐼𝝎 =
1
2
𝜔 , 𝜔 , 𝜔
𝜆 0 0
0 𝜆 0
0 0 𝜆
𝜔
𝜔
𝜔
⇒ 𝑇 =
1
2
𝜆 𝜔 + 𝜆 𝜔 + 𝜆𝜔

Dado un cuerpo rígido, tomamos como referencia el punto O, y tiene tensor de inercia IO. Encontrar los ejes principales.
Sabemos que en c/u de los ejes principales: L = lw => L //w
Y se debe cumplir L = Iw =>
Reescribimos: =>
Podemos plantear el polinomio característico:
Se obtiene una ecuación cúbica para los autovalores l y tendrá 3 soluciones: l1, l2 y l3, los 3 momentos principales.
Para cada uno de estos valores, puede resolverse para obtener el vector correspondiente w, cuya
dirección indica la dirección de uno de los 3 ejes principales del cuerpo rígido en estudio.

Encontrar los ejes principales y los momentos correspondientes para el cubo de la figura respecto al origen de
coordenadas O.

Se suspende un cuerpo plano y simétrico de un punto P ∈ eje de simetría. P no es CM (que también ∈ eje de simetría).
Eje de simetría = eje 𝒆𝟏 y el eje 𝒆𝟑 sale del plano vertical.
El tensor de inercia 𝐼 es diagonal en los ejes principales.
¿Cuántos grados de libertad hay? Uno, el ángulo ϕ => 𝝎 = 𝜙̇𝒆𝟑
El momento angular respecto a P será (𝐼 es diagonal):
𝑳𝑷 = 𝐼 𝝎 = 𝜆 𝜔𝟏𝒆𝟏 + 𝜆 𝜔 𝒆𝟐 + 𝜆 𝜔𝟑𝒆𝟑 𝑳𝑷 = 𝜆 𝜙̇𝒆𝟑
El momento angular cambia porque hay un torque aplicado (TP). El torque es el que produce el peso con respecto al
punto de suspensión: 𝑻 = −𝑀𝑔𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜙𝒆𝟑. La ecuación de movimiento será:
𝑑𝑳
𝑑𝑡
= 𝑻 ⇒ 𝜆 𝜙̈ = −𝑀𝑔𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜙
𝒆𝟑
𝒆𝟏
𝒆𝟐

𝜆 𝜙̈ = −𝑀𝑔𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜙
Si se define: 𝜔 = => se puede escribir la ecuación para pequeñas oscilaciones:
𝜙̈ + 𝜔 𝜙 = 0
El momento de inercia será (por Teorema de Steiner):
𝜆 = 𝜆 + 𝑀𝑙
Por lo tanto:
T = 2𝜋
𝜆 + 𝑀𝑙
𝑀𝑔𝑙
𝜔 = ; T = => T = 2𝜋
𝒆𝟑
𝒆𝟏
𝒆𝟐

Si hiciéramos oscilar un anillo de masa m y radio r que pivota en el punto O:
Comparando con el periodo de un péndulo simple:
Lo que nos indica que este péndulo físico tendrá un periodo igual al que tendría un péndulo simple de longitud 2r.
T = 2𝜋
𝜆 + 𝑀𝑙
𝑀𝑔𝑙
= 2𝜋
𝑚𝑟 + 𝑚𝑟
𝑚𝑔𝑟
= 2𝜋
2𝑟
𝑔
𝑇 = 2𝜋
𝑙
𝑔
⇒ 𝑙 = 2𝑟

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