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Movimiento Armónico Simple y Movimiento
Oscilatorio
(Sí, esta letra de título es un poco hortera, pero es la que me recordaba a algo con muchas curvas, como un M.A.S.)
En el mundo que nos rodea, hay un montón de objetos que funcionan vibrando,
oscilando. De hecho, TODO vibra, TODO oscila. No sólo los péndulos, los muelles, las
cuerdas de guitarra o de violín, no sólo los tambores o las olas del mar, las mareas, la
luz, la electricidad, el sonido, sino también los átomos alrededor de sus posiciones de
equilibrio. Aún cuando pudiéramos coger un átomo y ponerlo a 𝑇𝑇 = 10−12
K, éste
vibraría alrededor de su posición de equilibrio. Por esto es fundamental conocer y
comprender el movimiento oscilatorio.
El movimiento oscilatorio se da en sistemas en equilibrio que han sufrido una
perturbación (usualmente pequeña, en caso contrario puede aparecer una
amortiguación del movimiento u otros factores no lineales) y que se mueven alrededor
de su posición de equilibrio con una cierta amplitud y frecuencia.
El más sencillo de todos, y en el que nos vamos a centrar por ahora, es el
movimiento armónico simple (m.a.s.). Este movimiento es el que se daría al dejar oscilar
un muelle del que colgara una masa, o un péndulo, o el movimiento que haría un punto
de una cuerda que vibrase en una guitarra. Y antes de ponernos más serios, vamos a
dar algunas…
Definiciones.
Ciclo: es una oscilación completa
Posición de equilibrio: es la posición donde se encontraría el sistema si no fuese
perturbado.
Amplitud (𝑥𝑥0): se define como el máximo desplazamiento que sufre el sistema desde su
posición de equilibrio. En el S.I. se mide en m.
Periodo (𝑇𝑇): es el tiempo que tarda el sistema en completar un ciclo. En el S.I. se mide
en s.
Frecuencia (𝑓𝑓 𝑜𝑜 𝜈𝜈): es el número de ciclos que realiza el péndulo por unidad del tiempo.
Es la inversa del periodo. En el S.I. se mide en Hz (1 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 1 𝑠𝑠−1
).
𝑇𝑇 =
1
𝜈𝜈
Frecuencia angular (𝜔𝜔): indica el ángulo barrido en la unidad de tiempo. En el S.I. se
mide en 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑠𝑠−1
.
𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 =
2𝜋𝜋
𝑇𝑇
Desfase inicial (𝜙𝜙0): es la separación angular inicial de la posición de equilibrio. En el
caso del péndulo, generalmente, 𝜙𝜙0 = 0.
Estas magnitudes pueden aplicarse a diferentes sistemas, de los cuales los más
sencillos son un muelle y un péndulo.
Ecuaciones de un M.A.S. para un muelle y un péndulo.
Lo primero de todo es recalcar que todas las ecuaciones que vamos a ver sirven para
cualquier sistema que realice un m.a.s. Sólo algunas vamos a restringirlas a estos dos
sistemas.
Vamos a suponer un muelle que tira de un objeto sobre una superficie horizontal sin
rozamiento.
En este caso, la fuerza con la que el muelle tira del objeto, cuando éste se desplaza
hacia un lado será contraria al desplazamiento. Es decir, la llamada Ley de Hooke:
𝐹𝐹� = −𝑘𝑘Δ𝑟𝑟⃗ (1)
Para hacer más fácil de ver el cálculo, vamos a considerar el movimiento en una
dimensión sobre el eje X, y renombrar Δ𝑥𝑥⃗ → 𝑥𝑥⃗, quedando así como:
𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝑘𝑘 (2)
La segunda Ley de Newton nos dice que:
𝐹𝐹� =
𝑑𝑑2
𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡2
(3)
Volviendo a poner esto en una dimensión paralela al eje X y suponiendo un sistema
donde 𝑚𝑚 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, tenemos que:
𝐹𝐹 = 𝑚𝑚
𝑑𝑑2
𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡2
= 𝑚𝑚𝑥𝑥̈(𝑡𝑡) (4)
Igualando las ecuaciones (2) y (4) y pasando la masa del cuerpo al otro miembro
obtenemos
𝑥𝑥̈(𝑡𝑡) = −
𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑥𝑥(𝑡𝑡) (5)
Esta es una ecuación diferencial, donde las soluciones serán una combinación lineal de
funciones. Estas funciones deben ser de tal manera que al derivarlas dos veces
obtengamos esa misma función por una constante y un signo menos delante. Esto nos
lleva a que las soluciones deben ser del tipo:
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐵𝐵1 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) + 𝐵𝐵2 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0
′
) (6)
O bien,
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐵𝐵1
′
𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖
+ 𝐵𝐵2
′
𝑒𝑒−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖
(7)
Esta última forma es la que se suele adoptar en el estudio de las ondas
electromagnéticas, por ejemplo.
Fig. 1 Un muelle que oscile realizará un movimiento que podremos describir mediante una
función sinusoidal.
Nosotros, sin embargo, vamos a quedarnos con la ecuación (6). En esta ecuación 𝐵𝐵1 y
𝐵𝐵2 son dos parámetros desconocidos que vamos a descubrir imponiendo una serie de
condiciones iniciales. Estas condiciones van a ser:
1. Inicialmente (𝑡𝑡 = 0), el cuerpo se encuentra en su posición de equilibrio, es decir:
𝑥𝑥(0) = 0 (C1)
2. Cuando lleva un cuarto de ciclo (𝑡𝑡 = 𝑇𝑇/4), debe encontrarse en su posición de
máxima elongación, esto es:
𝑥𝑥 �
𝑇𝑇
4
� = 𝐴𝐴 (C2),
donde 𝐴𝐴 representa la amplitud de la oscilación. Imponiendo la condición C1 en la
ecuación (6) obtenemos que 𝐵𝐵2 = 0; e imponiendo la condición C2, tenemos que 𝐵𝐵1 =
𝐴𝐴. Por tanto:
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) (8).
El desfase inicial no se tiene en cuenta en este caso, ya que hemos dicho que el tiempo
empieza a contar en el momento en el que el objeto que realiza el M.A.S. se separa de
su posición de equilibrio y, por tanto, 𝜙𝜙0 = 0. Si esto no fuera así, simplemente se añade,
obteniendo la ecuación más general:
𝒙𝒙(𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (9).
La velocidad, y la aceleración del objeto en función del tiempo, las obtenemos derivando.
La velocidad:
𝒗𝒗(𝒕𝒕) =
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
(𝒕𝒕) = 𝒙𝒙̇ (𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝝎𝝎𝒕𝒕 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (10),
y la aceleración:
𝒂𝒂(𝒕𝒕) =
𝒅𝒅𝟐𝟐
𝒙𝒙
𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐
(𝒕𝒕) = 𝒙𝒙̈ (𝒕𝒕) = −𝑨𝑨𝝎𝝎𝟐𝟐
𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (11)1.
1
Tanto la velocidad como la aceleración tendrán un valor máximo cuando el coseno o el seno asociado a
dichas magnitudes sea igual a ±1, respectivamente. En ese caso: 𝑣𝑣𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝜔𝜔 y 𝑎𝑎 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝜔𝜔2
.
Podemos obtener de estas tres ecuaciones unas expresiones subsidiarias que pueden
ser útiles (aunque no son, ni mucho menos imprescindibles) en algunos casos. Estas
ecuaciones nos van a relacionar la aceleración con la posición de la masa mediante:
𝑎𝑎(𝑡𝑡) = −𝜔𝜔2
𝑥𝑥(𝑡𝑡) (12).
Y la velocidad con la posición mediante:
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝜔𝜔�𝐴𝐴2 − 𝑥𝑥2(𝑡𝑡) (13).
Si comparamos esta Ec. (11) con la anterior Ec. (5) observamos que la frecuencia
angular, en el caso de un muelle va a venir dada por:
𝝎𝝎 = �
𝒌𝒌
𝒎𝒎
(14).
Y, por tanto, su periodo por:
𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟐𝟐�
𝒎𝒎
𝒌𝒌
(15).
Es importante darse cuenta de que el periodo de las oscilaciones (en el caso descrito
en el que se cumple la Ley de Hooke) no depende de la amplitud de la oscilación, sino
únicamente de propiedades intrínsecas al sistema, como la masa que se cuelga y la
constante elástica del muelle.
Podemos hacer también un estudio análogo para un péndulo que oscile libremente una
vez apartado de su posición de equilibrio.
Como indicio de lo que habría que hacer, se puede observar el dibujo que aparece
debajo de estas líneas, donde 𝜃𝜃 ≡ 𝑥𝑥.
Fig. 2 Descomposición de fuerzas en un péndulo de longitud 𝑙𝑙 y masa 𝑚𝑚 .
En este caso, llegamos a que el periodo de dicho péndulo vendrá dado por:
𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟐𝟐�
𝒍𝒍
𝒈𝒈
(16).
Idealmente, esta expresión es exacta para ángulos pequeños, en los que se pueda
hacer la aproximación sin 𝑥𝑥 ≈ 𝑥𝑥. Además, para que podamos hacer uso de estas
ecuaciones, la cuerda debe ser inextensible y, tanto en este caso como en el muelle,
la masa del cuerpo que se supone atado a cualquiera de estos dos sistemas debe ser
mucho mayor que la masa de éstos. De esta forma podemos despreciar la
contribución del peso de la cuerda (o del muelle), que harían los cálculos más
complicados.
¡Hala! ¡A hacer ejercicios! (Las soluciones las tenéis al final)
1. Un péndulo oscila con una frecuencia 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 𝐇𝐇𝐳𝐳 y amplitud 𝑨𝑨 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜.
a. ¿Cuál es su longitud?
b. ¿En qué posición se moverá con velocidad máxima y cuál será ésta?
c. Si para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝐬𝐬 se encuentra en 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝐜𝐜𝐜𝐜, escribe la ecuación de su
movimiento.
2. Un cuerpo de 2,0 kg de masa unido al extremo de un muelle realiza 20
oscilaciones cada segundo. Calcula:
a. La constante elástica del muelle.
b. El valor de la fuerza que actúa sobre el cuerpo cuando la elongación valga
5 cm.
3. Se coloca una bola sobre una plataforma que oscila con una amplitud de 𝟏𝟏 𝐜𝐜𝐜𝐜 a
una frecuencia inicial de 𝟏𝟏 𝐇𝐇𝐇𝐇. Al incrementarse la frecuencia, la bola empieza a
perder contacto con la plataforma. ¿A qué frecuencia ocurre eso?
4. Un cuerpo que realiza un m.a.s. alcanza una velocidad máxima de 𝟏𝟏, 𝟏𝟏 m/s, y su
máxima aceleración es de 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟐𝟐 𝐦𝐦/𝐬𝐬𝟐𝟐
. Calcula la amplitud y la frecuencia de las
oscilaciones.
Energía mecánica y M.A.S.
Ya que hemos visto la cinemática y la dinámica (en el ejercicio anterior) asociada a
un movimiento armónico simple, nos queda describir físicamente la energía
mecánica asociada a dicho movimiento.
Ya sabemos que la energía mecánica de un sistema cualquiera se divide en energía
cinética y energía potencial, de tal forma que, en ausencia de fuerzas no
conservativas, su suma siempre sea constante, es decir:
𝑬𝑬𝒄𝒄 + 𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 = 𝐄𝐄 𝐦𝐦 (𝟏𝟏𝟏𝟏).
O lo que es lo mismo, la energía mecánica de un sistema (en ausencia de fuerzas
disipativas) no varía:
Δ𝐸𝐸𝑚𝑚 = Δ𝐸𝐸𝑐𝑐 + Δ𝐸𝐸𝑝𝑝 = 0 (18).
En el caso de la energía cinética, ésta se puede calcular usando la expresión ya
conocida,
𝐸𝐸𝑐𝑐 =
1
2
𝑚𝑚𝑣𝑣2 (19),
Que, juntándola con la expresión que teníamos para la velocidad, Ec. (10), nos lleva
a:
𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒎𝒎𝑨𝑨𝟐𝟐
𝝎𝝎𝟐𝟐
𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬𝟐𝟐(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (𝟐𝟐𝟐𝟐).
Es importante notar que la energía cinética de una partícula sometida a un M.A.S.,
al contrario de lo que habíamos visto hasta ahora, va a estar acotada debido a la
función coseno. Es decir, si representamos 𝐸𝐸𝑐𝑐 obtenemos la siguiente gráfica:
Fig. 3 Energía cinética en función del tiempo en un movimiento armónico simple.
Cuando la energía cinética sea máxima, la energía potencial será cero. Tanto en el
caso del péndulo, como en el del muelle, esto se dará cuando el cuerpo pase por
su posición de equilibrio (𝑥𝑥 = 0). En ambos casos, su velocidad será máxima y su
aceleración será, por tanto, nula.
En este punto (donde 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐
𝑚𝑚á𝑥𝑥
), su energía potencial debe ser mínima, cero, por
lo tanto, el valor de la energía mecánica vendrá dada por el valor máximo de la
energía cinética.
𝐸𝐸𝑚𝑚 = 𝐸𝐸𝑐𝑐
𝑚𝑚á𝑥𝑥
=
1
2
𝑚𝑚𝐴𝐴2
𝜔𝜔2 (21).
De igual manera, en el punto de máxima elongación (cuando el
muelle/péndulo/sistema-que-oscila se encuentra en el punto más alejado de la
posición de equilibrio) su velocidad es cero, por lo tanto su energía cinética es
mínima (es cero) y su energía potencial máxima e igual a la energía mecánica. Es
decir, podemos reescribir la expresión anterior como:
𝑬𝑬 𝒎𝒎 = 𝑬𝑬𝒄𝒄
𝒎𝒎á𝒙𝒙
= 𝑬𝑬𝒑𝒑
𝒎𝒎á𝒙𝒙
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒎𝒎𝑨𝑨𝟐𝟐
𝝎𝝎𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐).
Hay veces, sin embargo, que lo que necesitamos calcular es la energía potencial
en un punto que no es el de su máxima elongación. Para ello podemos siempre unir
la expresión anterior, Ec. (22), con la Ec. (17). Recordemos que en esta Ec. (17) lo
que se dice es que la energía mecánica se puede descomponer como suma de la
energía cinética y potencial, y que permanece siempre constante en el tiempo. De
esta forma podemos hacer:
𝐸𝐸𝑝𝑝 = 𝐸𝐸𝑚𝑚 − 𝐸𝐸𝑐𝑐 ⇒ 𝐸𝐸𝑝𝑝 =
1
2
𝑚𝑚𝐴𝐴2
𝜔𝜔2
−
1
2
𝑚𝑚𝐴𝐴2
𝜔𝜔2
cos2(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) ⇒
⇒ 𝐸𝐸𝑝𝑝 =
1
2
𝑚𝑚𝐴𝐴2
𝜔𝜔2[1 − cos2(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0)] ⇒
⇒ 𝑬𝑬𝒑𝒑 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒎𝒎𝑨𝑨𝟐𝟐
𝝎𝝎𝟐𝟐
𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬𝟐𝟐(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (𝟐𝟐𝟐𝟐).
Si superponemos las curvas de la energía cinética y la energía potencial tenemos
la siguiente gráfica, donde se puede apreciar que la suma de energía potencial y
cinética siempre da un mismo valor, que coincide con el máximo de éstas:
Fig. 4 Representación de la energía mecánica, descompuesta en potencial y cinética,
frente al tiempo.
En el caso de un muelle estas expresiones se simplifican mucho. Por ejemplo, la
expresión para la energía potencial de un muelle que oscile según un movimiento
armónico si usamos la Ec. (14), 𝜔𝜔 = �𝑘𝑘/𝑚𝑚, queda:
𝑬𝑬𝒑𝒑 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒌𝒌𝑨𝑨𝟐𝟐
𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬𝟐𝟐(𝝎𝝎𝒕𝒕 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒙𝒙𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐).
Si comparamos esta ecuación con la que usábamos en el tema de trabajo y energía
para un péndulo que fuese elongado una longitud 𝑥𝑥, vemos que es la misma
(teniendo en cuenta que hemos hecho el cambio Δ𝑥𝑥 → 𝑥𝑥). Menos mal. Eso quiere
decir que la Física funciona (si habéis llegado hasta aquí podéis dar gritos de júbilo
y alegría).
Si hacemos el mismo cambio en la energía cinética, tenemos que:
𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒌𝒌𝑨𝑨𝟐𝟐
𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (𝟐𝟐𝟐𝟐).
Y, por tanto, la energía mecánica será:
𝑬𝑬 𝒎𝒎 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒌𝒌𝑨𝑨𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐).
Y con esto terminamos la teoría de este curso. Ahora, a hacer un par de
ejercicios…
5. (PAU 2014) Un muelle de longitud en reposo 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜 cuya constante elástica
es 𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐍𝐍𝐍𝐍𝐦𝐦−𝟏𝟏
tiene uno de sus extremos fijos a una pared. El extremo
libre del muelle se encuentra unido a un cuerpo de masa 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝐠𝐠, el cual oscila
sin rozamiento sobre una superficie horizontal, siendo su energía mecánica
igual a 0,3 J. Calcule:
a. La velocidad máxima del cuerpo. Indique en qué posición, medida
con respecto al extremo fijo del muelle, se alcanza dicha velocidad.
b. La máxima aceleración experimentada por el cuerpo.
6. Un cuerpo se mueve en el eje OX alrededor del punto 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝐜𝐜𝐜𝐜 describiendo
un M.A.S. con 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐, 𝟎𝟎 𝐬𝐬. En 𝒕𝒕 = 𝟎𝟎 𝐬𝐬 se encuentra en el punto de equilibrio
moviéndose hacia el origen de coordenadas. Si la fuerza máxima que actúa
sobre la partícula es de 0,050 N y la energía total de 0,020 J.
a. Calcula la amplitud de la oscilación.
b. Calcula la coordenada x de la partícula (expresada en centímetros)
cuando su energía potencial elástica es el doble que la cinética.
Solución a los ejercicios.
1. Un péndulo oscila con una frecuencia 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 𝐇𝐇𝐳𝐳 y amplitud 𝑨𝑨 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜.
a. ¿Cuál es su longitud?
b. ¿En qué posición se moverá con velocidad máxima y cuál será ésta?
c. Si para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝐬𝐬 se encuentra en 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝐜𝐜𝐜𝐜, escribe la ecuación de su
movimiento.
a. Como su frecuencia es de 1Hz, su periodo será:
𝑇𝑇 =
1
𝑓𝑓
= 1 s
Como el periodo de un péndulo está relacionado con su longitud mediante la Ec. (16),
podemos despejar la longitud 𝑙𝑙 de esta expresión:
𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋�
𝑙𝑙
𝑔𝑔
⇒ 𝑙𝑙 =
𝑇𝑇2
4𝜋𝜋2
𝑔𝑔 = 0,25 m
b. El péndulo se moverá con velocidad máxima cuando pase por el punto de
equilibrio, es decir, 𝑥𝑥 = 0. La razón de esto es que la velocidad viene dada por:
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝐴𝐴 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0)
Es decir, la velocidad siempre pertenecerá al rango 𝑣𝑣(𝑡𝑡) ∈ (−𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴), y su valor
máximo será:
𝒗𝒗 𝒎𝒎á𝒙𝒙 = 𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝐴𝐴2𝜋𝜋𝜋𝜋 = 0,19 m/s
c. La ecuación de su movimiento la obtendremos despejando todos los parámetros
que nos faltan, es decir, 𝜙𝜙0, usando los datos que tenemos. Puesto que
𝑥𝑥(1s) = 0,015 = 0,030 sin(2𝜋𝜋 + 𝜙𝜙0) (S. I. ) ⇒ 𝜙𝜙0 = arcsin �
0,015
0,030
� − 2𝜋𝜋 = −
11
6
𝜋𝜋
Por lo tanto, la ecuación del movimiento que nos piden será:
𝒙𝒙(𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬 �𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 −
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟔𝟔
𝝅𝝅� (𝐒𝐒. 𝐈𝐈. )
2. Un cuerpo de 2,0 kg de masa unido al extremo de un muelle realiza 20
oscilaciones cada segundo. Calcula:
a. La constante elástica del muelle.
b. El valor de la fuerza que actúa sobre el cuerpo cuando la elongación valga
5 cm.
a. De la ecuación Ec. (15) conocemos la relación entre el periodo de oscilación, la
masa que se cuelga y la constante elástica del muelle:
𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋�
𝑚𝑚
𝑘𝑘
⇒ 𝑘𝑘 =
4𝜋𝜋2
𝑇𝑇2
𝑚𝑚 = 4𝜋𝜋2
𝑓𝑓2
𝑚𝑚 = 3,2 · 103
N/m
b. La fuerza podemos calcularla de dos formas distintas:
Bien por medio de la Ley de Hooke, ya que sabemos la constate elástica del
muelle:
𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝑘𝑘 = −1580 N
Bien por medio de la 2ª Ley de Newton,
∑𝐹𝐹⃗ = 𝑚𝑚𝑎𝑎⃗
En este caso la aceleración viene dada por:
𝑎𝑎(𝑡𝑡) = −𝜔𝜔2
𝑥𝑥(𝑡𝑡)
Por lo tanto,
𝐹𝐹 = −𝑚𝑚𝜔𝜔2
𝑥𝑥 = −4𝜋𝜋2
𝑚𝑚𝑓𝑓2
𝑥𝑥 = −1580 N
3. Se coloca una bola sobre una plataforma que oscila con una amplitud de 𝟏𝟏 𝐜𝐜𝐜𝐜 a
una frecuencia inicial de 𝟏𝟏 𝐇𝐇𝐇𝐇. Al incrementarse la frecuencia, la bola empieza a
perder contacto con la plataforma. ¿A qué frecuencia ocurre eso?
Para resolver este problema hay que pensar qué es lo que tiene que ocurrir
para que pierdan el contacto. Para ello, la velocidad de la plataforma y la de la
bola deberían ser distintas. Por otro lado, también sabemos que la velocidad de
ambas, cuando se encuentren a 𝑥𝑥 = 1cm será nula. Por lo tanto, si la velocidad
tiene que cambiar en ese punto y ser mayor para la plataforma que para la
bola, lo que tiene que ocurrir es que la aceleración de la plataforma al moverse
sea mayor que la aceleración de la bola al caer, que es 𝑔𝑔 = −9,8 m/s2
. Por lo
tanto, el límite será cuando:
𝑎𝑎 = 𝑔𝑔
Como 𝑎𝑎 = −𝜔𝜔2
𝑥𝑥, y en ese momento tenemos que 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 = 10−2
m, podemos
concluir que:
−𝜔𝜔2
𝐴𝐴 = 𝑔𝑔 ⇒ −(2𝜋𝜋𝜋𝜋)2
𝐴𝐴 = 𝑔𝑔 ⇒ 𝑓𝑓 =
1
2𝜋𝜋
�−
𝑔𝑔
𝐴𝐴
⇒
⇒ 𝑓𝑓 = 5Hz
4. Un cuerpo que realiza un m.a.s. alcanza una velocidad máxima de 𝟏𝟏, 𝟏𝟏 m/s, y su
máxima aceleración es de 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟐𝟐 𝐦𝐦/𝐬𝐬𝟐𝟐
. Calcula la amplitud y la frecuencia de las
oscilaciones.
Sabemos que las ecuaciones que rigen el movimiento de un movimiento armónico
simple son:
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) (𝑖𝑖)
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝐴𝐴 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) (𝑖𝑖𝑖𝑖)
𝑎𝑎(𝑡𝑡) = −𝐴𝐴𝜔𝜔2
sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) = −𝜔𝜔2
𝑥𝑥(𝑡𝑡) (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)
Su máxima velocidad será:
𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥. = 𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
Y su máxima aceleración es
𝑎𝑎 𝑚𝑚á𝑥𝑥. = 𝐴𝐴𝜔𝜔2 (𝑣𝑣)
Dividiendo la Ec. (𝑣𝑣) entre la Ec. (𝑖𝑖𝑖𝑖) y operando obtenemos:
𝑎𝑎 𝑚𝑚á𝑥𝑥
𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥
= 𝜔𝜔 = 22
rad
s
⇒ 𝐴𝐴 =
𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥
𝜔𝜔
= 0,05 𝑚𝑚
5. (PAU 2014) Un muelle de longitud en reposo 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜 cuya constante elástica es
𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐍𝐍𝐍𝐍𝐦𝐦−𝟏𝟏
tiene uno de sus extremos fijos a una pared. El extremo libre del
muelle se encuentra unido a un cuerpo de masa 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝐠𝐠 , el cual oscila sin
rozamiento sobre una superficie horizontal, siendo su energía mecánica igual a
0,3 J. Calcule:
a. La velocidad máxima del cuerpo. Indique en qué posición, medida
con respecto al extremo fijo del muelle, se alcanza dicha velocidad.
b. La máxima aceleración experimentada por el cuerpo.
La energía mecánica del cuerpo es igual a la energía cinética máxima, 𝐸𝐸𝑚𝑚 = 𝐸𝐸𝑐𝑐
𝑚𝑚á𝑥𝑥
, por
lo tanto.
𝐸𝐸𝑚𝑚 =
1
2
𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥
2
⇒ 𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = �
2𝐸𝐸𝑚𝑚
𝑚𝑚
= 1,4 m/s
La velocidad máxima se alcanza cuando el cuerpo pasa por el punto de equilibrio del
sistema, es decir, aquél en el que la longitud del muelle coincide con su longitud natural.
Por tanto será cuando el cuerpo se encuentre a 0,25 m de la pared.
La aceleración máxima del cuerpo viene dada por 𝑎𝑎 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝜔𝜔2
. Su velocidad máxima
por 𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 (ver nota 1). Como la frecuencia angular la podemos calcular por medio
de
𝜔𝜔 = �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
Si introducimos todo esto en la expresión de la aceleración máxima obtenemos que esta
será:
𝑎𝑎 = 𝐴𝐴𝜔𝜔2
= 𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥 𝜔𝜔 = 𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥�
𝑘𝑘
𝑚𝑚
= 1,2 m/s2
6. Un cuerpo se mueve en el eje OX alrededor del punto 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝐜𝐜𝐜𝐜 describiendo un
M.A.S. con 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐, 𝟎𝟎 𝐬𝐬 . En 𝒕𝒕 = 𝟎𝟎 𝐬𝐬 se encuentra en el punto de equilibrio
moviéndose hacia el origen de coordenadas. Si la fuerza máxima que actúa sobre
la partícula es de 0,050 N y la energía total de 0,020 J.
a. Calcula la amplitud de la oscilación.
b. Calcula la coordenada x de la partícula (expresada en centímetros)
cuando su energía potencial elástica es el doble que la cinética.
Debido a la 2ª Ley de Newton ya sabemos que ∑𝐹𝐹⃗ = 𝑚𝑚𝑎𝑎⃗, por tanto, la fuerza
máxima, 𝐹𝐹𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 5 · 10−2
N, se ejercerá cuando aceleración sea máxima, es decir,
𝑎𝑎 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝜔𝜔2
𝐴𝐴. Así,
𝐹𝐹𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝜔𝜔2
𝐴𝐴 (𝑖𝑖)
La energía total (la energía mecánica) es:
𝐸𝐸𝑚𝑚 =
1
2
𝑚𝑚𝜔𝜔2
𝐴𝐴2 (𝑖𝑖𝑖𝑖)
Dividiendo la Ec. (𝑖𝑖) por la Ec. (𝑖𝑖𝑖𝑖) llegamos a que:
𝐹𝐹𝑚𝑚á𝑥𝑥
𝐸𝐸𝑚𝑚
=
2
𝐴𝐴
⇒ 𝐴𝐴 = 2
𝐸𝐸𝑚𝑚
𝐹𝐹𝑚𝑚á𝑥𝑥
= 2 ·
10−2
J
5 · 10−2 N
= 0,4 m
Como el cuerpo se encuentra en el punto de equilibrio en el instante inicial, 𝑥𝑥(0𝑠𝑠) =
0 m, esto quiere decir que
0 = 𝐴𝐴 sin(𝜙𝜙0) ⇒ 𝜙𝜙0 = 0
Sabiendo esto, podemos expresar la energía potencial elástica como:
𝐸𝐸𝑝𝑝 =
1
2
𝑚𝑚𝐴𝐴2
𝜔𝜔2
sin2(𝜔𝜔𝜔𝜔). (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)
Mientras que la cinética:
𝐸𝐸𝑐𝑐 =
1
2
𝑚𝑚𝐴𝐴2
𝜔𝜔2
cos2(𝜔𝜔𝜔𝜔) (𝑖𝑖𝑖𝑖)
Como nos piden que 𝐸𝐸𝑝𝑝 = 2𝐸𝐸𝑐𝑐 esto implica que:
sin2(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) = 2 cos2(𝜔𝜔𝜔𝜔) ⇒ tan(𝜔𝜔𝜔𝜔) = √2
Como conocemos el periodo y que:
𝜔𝜔 =
2𝜋𝜋
𝑇𝑇
Tenemos que:
𝑡𝑡 =
arctan √2
2𝜋𝜋
𝑇𝑇 = 0,30 s
De aquí sacamos que la elongación de la partícula en el instante pedido es:
Δ𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) = 0,33 𝑚𝑚
Por lo tanto, la coordenada 𝑥𝑥 de la partícula cuando se cumple dicha condición será
𝑥𝑥 = 30 ± 0,3 m. Sin embargo, como nos dice que para 𝑡𝑡 = 0𝑠𝑠 la partícula pasa por
el punto de equilibrio hacia el origen de coordenadas y el tiempo que hemos
calculado es menor que medio periodo, no le ha dado tiempo más que a pasar una
vez por el punto de equilibrio. Por tanto, la posición que nos piden es la que se
encuentra a la izquierda del punto de equilibrio, es decir,
𝑥𝑥 = 26,7 m

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Movimiento armónico simple y movimiento oscilatorio

  • 1. Movimiento Armónico Simple y Movimiento Oscilatorio (Sí, esta letra de título es un poco hortera, pero es la que me recordaba a algo con muchas curvas, como un M.A.S.) En el mundo que nos rodea, hay un montón de objetos que funcionan vibrando, oscilando. De hecho, TODO vibra, TODO oscila. No sólo los péndulos, los muelles, las cuerdas de guitarra o de violín, no sólo los tambores o las olas del mar, las mareas, la luz, la electricidad, el sonido, sino también los átomos alrededor de sus posiciones de equilibrio. Aún cuando pudiéramos coger un átomo y ponerlo a 𝑇𝑇 = 10−12 K, éste vibraría alrededor de su posición de equilibrio. Por esto es fundamental conocer y comprender el movimiento oscilatorio. El movimiento oscilatorio se da en sistemas en equilibrio que han sufrido una perturbación (usualmente pequeña, en caso contrario puede aparecer una amortiguación del movimiento u otros factores no lineales) y que se mueven alrededor de su posición de equilibrio con una cierta amplitud y frecuencia. El más sencillo de todos, y en el que nos vamos a centrar por ahora, es el movimiento armónico simple (m.a.s.). Este movimiento es el que se daría al dejar oscilar un muelle del que colgara una masa, o un péndulo, o el movimiento que haría un punto de una cuerda que vibrase en una guitarra. Y antes de ponernos más serios, vamos a dar algunas… Definiciones. Ciclo: es una oscilación completa Posición de equilibrio: es la posición donde se encontraría el sistema si no fuese perturbado. Amplitud (𝑥𝑥0): se define como el máximo desplazamiento que sufre el sistema desde su posición de equilibrio. En el S.I. se mide en m. Periodo (𝑇𝑇): es el tiempo que tarda el sistema en completar un ciclo. En el S.I. se mide en s. Frecuencia (𝑓𝑓 𝑜𝑜 𝜈𝜈): es el número de ciclos que realiza el péndulo por unidad del tiempo. Es la inversa del periodo. En el S.I. se mide en Hz (1 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 1 𝑠𝑠−1 ). 𝑇𝑇 = 1 𝜈𝜈 Frecuencia angular (𝜔𝜔): indica el ángulo barrido en la unidad de tiempo. En el S.I. se mide en 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑠𝑠−1 . 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 = 2𝜋𝜋 𝑇𝑇
  • 2. Desfase inicial (𝜙𝜙0): es la separación angular inicial de la posición de equilibrio. En el caso del péndulo, generalmente, 𝜙𝜙0 = 0. Estas magnitudes pueden aplicarse a diferentes sistemas, de los cuales los más sencillos son un muelle y un péndulo. Ecuaciones de un M.A.S. para un muelle y un péndulo. Lo primero de todo es recalcar que todas las ecuaciones que vamos a ver sirven para cualquier sistema que realice un m.a.s. Sólo algunas vamos a restringirlas a estos dos sistemas. Vamos a suponer un muelle que tira de un objeto sobre una superficie horizontal sin rozamiento. En este caso, la fuerza con la que el muelle tira del objeto, cuando éste se desplaza hacia un lado será contraria al desplazamiento. Es decir, la llamada Ley de Hooke: 𝐹𝐹� = −𝑘𝑘Δ𝑟𝑟⃗ (1) Para hacer más fácil de ver el cálculo, vamos a considerar el movimiento en una dimensión sobre el eje X, y renombrar Δ𝑥𝑥⃗ → 𝑥𝑥⃗, quedando así como: 𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝑘𝑘 (2) La segunda Ley de Newton nos dice que: 𝐹𝐹� = 𝑑𝑑2 𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡2 (3) Volviendo a poner esto en una dimensión paralela al eje X y suponiendo un sistema donde 𝑚𝑚 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, tenemos que: 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 𝑑𝑑2 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡2 = 𝑚𝑚𝑥𝑥̈(𝑡𝑡) (4) Igualando las ecuaciones (2) y (4) y pasando la masa del cuerpo al otro miembro obtenemos 𝑥𝑥̈(𝑡𝑡) = − 𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑥𝑥(𝑡𝑡) (5) Esta es una ecuación diferencial, donde las soluciones serán una combinación lineal de funciones. Estas funciones deben ser de tal manera que al derivarlas dos veces obtengamos esa misma función por una constante y un signo menos delante. Esto nos lleva a que las soluciones deben ser del tipo: 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐵𝐵1 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) + 𝐵𝐵2 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0 ′ ) (6) O bien, 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐵𝐵1 ′ 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝐵𝐵2 ′ 𝑒𝑒−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 (7)
  • 3. Esta última forma es la que se suele adoptar en el estudio de las ondas electromagnéticas, por ejemplo. Fig. 1 Un muelle que oscile realizará un movimiento que podremos describir mediante una función sinusoidal. Nosotros, sin embargo, vamos a quedarnos con la ecuación (6). En esta ecuación 𝐵𝐵1 y 𝐵𝐵2 son dos parámetros desconocidos que vamos a descubrir imponiendo una serie de condiciones iniciales. Estas condiciones van a ser: 1. Inicialmente (𝑡𝑡 = 0), el cuerpo se encuentra en su posición de equilibrio, es decir: 𝑥𝑥(0) = 0 (C1) 2. Cuando lleva un cuarto de ciclo (𝑡𝑡 = 𝑇𝑇/4), debe encontrarse en su posición de máxima elongación, esto es: 𝑥𝑥 � 𝑇𝑇 4 � = 𝐴𝐴 (C2), donde 𝐴𝐴 representa la amplitud de la oscilación. Imponiendo la condición C1 en la ecuación (6) obtenemos que 𝐵𝐵2 = 0; e imponiendo la condición C2, tenemos que 𝐵𝐵1 = 𝐴𝐴. Por tanto: 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) (8). El desfase inicial no se tiene en cuenta en este caso, ya que hemos dicho que el tiempo empieza a contar en el momento en el que el objeto que realiza el M.A.S. se separa de su posición de equilibrio y, por tanto, 𝜙𝜙0 = 0. Si esto no fuera así, simplemente se añade, obteniendo la ecuación más general: 𝒙𝒙(𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (9). La velocidad, y la aceleración del objeto en función del tiempo, las obtenemos derivando. La velocidad: 𝒗𝒗(𝒕𝒕) = 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝒕𝒕) = 𝒙𝒙̇ (𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝝎𝝎𝒕𝒕 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (10), y la aceleración: 𝒂𝒂(𝒕𝒕) = 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐 (𝒕𝒕) = 𝒙𝒙̈ (𝒕𝒕) = −𝑨𝑨𝝎𝝎𝟐𝟐 𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (11)1. 1 Tanto la velocidad como la aceleración tendrán un valor máximo cuando el coseno o el seno asociado a dichas magnitudes sea igual a ±1, respectivamente. En ese caso: 𝑣𝑣𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝜔𝜔 y 𝑎𝑎 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝜔𝜔2 .
  • 4. Podemos obtener de estas tres ecuaciones unas expresiones subsidiarias que pueden ser útiles (aunque no son, ni mucho menos imprescindibles) en algunos casos. Estas ecuaciones nos van a relacionar la aceleración con la posición de la masa mediante: 𝑎𝑎(𝑡𝑡) = −𝜔𝜔2 𝑥𝑥(𝑡𝑡) (12). Y la velocidad con la posición mediante: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝜔𝜔�𝐴𝐴2 − 𝑥𝑥2(𝑡𝑡) (13). Si comparamos esta Ec. (11) con la anterior Ec. (5) observamos que la frecuencia angular, en el caso de un muelle va a venir dada por: 𝝎𝝎 = � 𝒌𝒌 𝒎𝒎 (14). Y, por tanto, su periodo por: 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟐𝟐� 𝒎𝒎 𝒌𝒌 (15). Es importante darse cuenta de que el periodo de las oscilaciones (en el caso descrito en el que se cumple la Ley de Hooke) no depende de la amplitud de la oscilación, sino únicamente de propiedades intrínsecas al sistema, como la masa que se cuelga y la constante elástica del muelle. Podemos hacer también un estudio análogo para un péndulo que oscile libremente una vez apartado de su posición de equilibrio. Como indicio de lo que habría que hacer, se puede observar el dibujo que aparece debajo de estas líneas, donde 𝜃𝜃 ≡ 𝑥𝑥. Fig. 2 Descomposición de fuerzas en un péndulo de longitud 𝑙𝑙 y masa 𝑚𝑚 .
  • 5. En este caso, llegamos a que el periodo de dicho péndulo vendrá dado por: 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟐𝟐� 𝒍𝒍 𝒈𝒈 (16). Idealmente, esta expresión es exacta para ángulos pequeños, en los que se pueda hacer la aproximación sin 𝑥𝑥 ≈ 𝑥𝑥. Además, para que podamos hacer uso de estas ecuaciones, la cuerda debe ser inextensible y, tanto en este caso como en el muelle, la masa del cuerpo que se supone atado a cualquiera de estos dos sistemas debe ser mucho mayor que la masa de éstos. De esta forma podemos despreciar la contribución del peso de la cuerda (o del muelle), que harían los cálculos más complicados. ¡Hala! ¡A hacer ejercicios! (Las soluciones las tenéis al final) 1. Un péndulo oscila con una frecuencia 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 𝐇𝐇𝐳𝐳 y amplitud 𝑨𝑨 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜. a. ¿Cuál es su longitud? b. ¿En qué posición se moverá con velocidad máxima y cuál será ésta? c. Si para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝐬𝐬 se encuentra en 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝐜𝐜𝐜𝐜, escribe la ecuación de su movimiento. 2. Un cuerpo de 2,0 kg de masa unido al extremo de un muelle realiza 20 oscilaciones cada segundo. Calcula: a. La constante elástica del muelle. b. El valor de la fuerza que actúa sobre el cuerpo cuando la elongación valga 5 cm. 3. Se coloca una bola sobre una plataforma que oscila con una amplitud de 𝟏𝟏 𝐜𝐜𝐜𝐜 a una frecuencia inicial de 𝟏𝟏 𝐇𝐇𝐇𝐇. Al incrementarse la frecuencia, la bola empieza a perder contacto con la plataforma. ¿A qué frecuencia ocurre eso? 4. Un cuerpo que realiza un m.a.s. alcanza una velocidad máxima de 𝟏𝟏, 𝟏𝟏 m/s, y su máxima aceleración es de 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟐𝟐 𝐦𝐦/𝐬𝐬𝟐𝟐 . Calcula la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones. Energía mecánica y M.A.S. Ya que hemos visto la cinemática y la dinámica (en el ejercicio anterior) asociada a un movimiento armónico simple, nos queda describir físicamente la energía mecánica asociada a dicho movimiento. Ya sabemos que la energía mecánica de un sistema cualquiera se divide en energía cinética y energía potencial, de tal forma que, en ausencia de fuerzas no conservativas, su suma siempre sea constante, es decir: 𝑬𝑬𝒄𝒄 + 𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 = 𝐄𝐄 𝐦𝐦 (𝟏𝟏𝟏𝟏).
  • 6. O lo que es lo mismo, la energía mecánica de un sistema (en ausencia de fuerzas disipativas) no varía: Δ𝐸𝐸𝑚𝑚 = Δ𝐸𝐸𝑐𝑐 + Δ𝐸𝐸𝑝𝑝 = 0 (18). En el caso de la energía cinética, ésta se puede calcular usando la expresión ya conocida, 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 1 2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 (19), Que, juntándola con la expresión que teníamos para la velocidad, Ec. (10), nos lleva a: 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝑨𝑨𝟐𝟐 𝝎𝝎𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬𝟐𝟐(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (𝟐𝟐𝟐𝟐). Es importante notar que la energía cinética de una partícula sometida a un M.A.S., al contrario de lo que habíamos visto hasta ahora, va a estar acotada debido a la función coseno. Es decir, si representamos 𝐸𝐸𝑐𝑐 obtenemos la siguiente gráfica: Fig. 3 Energía cinética en función del tiempo en un movimiento armónico simple. Cuando la energía cinética sea máxima, la energía potencial será cero. Tanto en el caso del péndulo, como en el del muelle, esto se dará cuando el cuerpo pase por su posición de equilibrio (𝑥𝑥 = 0). En ambos casos, su velocidad será máxima y su aceleración será, por tanto, nula. En este punto (donde 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑚𝑚á𝑥𝑥 ), su energía potencial debe ser mínima, cero, por lo tanto, el valor de la energía mecánica vendrá dada por el valor máximo de la energía cinética. 𝐸𝐸𝑚𝑚 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 1 2 𝑚𝑚𝐴𝐴2 𝜔𝜔2 (21). De igual manera, en el punto de máxima elongación (cuando el muelle/péndulo/sistema-que-oscila se encuentra en el punto más alejado de la posición de equilibrio) su velocidad es cero, por lo tanto su energía cinética es mínima (es cero) y su energía potencial máxima e igual a la energía mecánica. Es decir, podemos reescribir la expresión anterior como: 𝑬𝑬 𝒎𝒎 = 𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎á𝒙𝒙 = 𝑬𝑬𝒑𝒑 𝒎𝒎á𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝑨𝑨𝟐𝟐 𝝎𝝎𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐). Hay veces, sin embargo, que lo que necesitamos calcular es la energía potencial en un punto que no es el de su máxima elongación. Para ello podemos siempre unir la expresión anterior, Ec. (22), con la Ec. (17). Recordemos que en esta Ec. (17) lo
  • 7. que se dice es que la energía mecánica se puede descomponer como suma de la energía cinética y potencial, y que permanece siempre constante en el tiempo. De esta forma podemos hacer: 𝐸𝐸𝑝𝑝 = 𝐸𝐸𝑚𝑚 − 𝐸𝐸𝑐𝑐 ⇒ 𝐸𝐸𝑝𝑝 = 1 2 𝑚𝑚𝐴𝐴2 𝜔𝜔2 − 1 2 𝑚𝑚𝐴𝐴2 𝜔𝜔2 cos2(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) ⇒ ⇒ 𝐸𝐸𝑝𝑝 = 1 2 𝑚𝑚𝐴𝐴2 𝜔𝜔2[1 − cos2(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0)] ⇒ ⇒ 𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝑨𝑨𝟐𝟐 𝝎𝝎𝟐𝟐 𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬𝟐𝟐(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (𝟐𝟐𝟐𝟐). Si superponemos las curvas de la energía cinética y la energía potencial tenemos la siguiente gráfica, donde se puede apreciar que la suma de energía potencial y cinética siempre da un mismo valor, que coincide con el máximo de éstas: Fig. 4 Representación de la energía mecánica, descompuesta en potencial y cinética, frente al tiempo. En el caso de un muelle estas expresiones se simplifican mucho. Por ejemplo, la expresión para la energía potencial de un muelle que oscile según un movimiento armónico si usamos la Ec. (14), 𝜔𝜔 = �𝑘𝑘/𝑚𝑚, queda: 𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒌𝒌𝑨𝑨𝟐𝟐 𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬𝟐𝟐(𝝎𝝎𝒕𝒕 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒙𝒙𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐). Si comparamos esta ecuación con la que usábamos en el tema de trabajo y energía para un péndulo que fuese elongado una longitud 𝑥𝑥, vemos que es la misma (teniendo en cuenta que hemos hecho el cambio Δ𝑥𝑥 → 𝑥𝑥). Menos mal. Eso quiere decir que la Física funciona (si habéis llegado hasta aquí podéis dar gritos de júbilo y alegría). Si hacemos el mismo cambio en la energía cinética, tenemos que: 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒌𝒌𝑨𝑨𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (𝟐𝟐𝟐𝟐). Y, por tanto, la energía mecánica será: 𝑬𝑬 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒌𝒌𝑨𝑨𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐).
  • 8. Y con esto terminamos la teoría de este curso. Ahora, a hacer un par de ejercicios… 5. (PAU 2014) Un muelle de longitud en reposo 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜 cuya constante elástica es 𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐍𝐍𝐍𝐍𝐦𝐦−𝟏𝟏 tiene uno de sus extremos fijos a una pared. El extremo libre del muelle se encuentra unido a un cuerpo de masa 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝐠𝐠, el cual oscila sin rozamiento sobre una superficie horizontal, siendo su energía mecánica igual a 0,3 J. Calcule: a. La velocidad máxima del cuerpo. Indique en qué posición, medida con respecto al extremo fijo del muelle, se alcanza dicha velocidad. b. La máxima aceleración experimentada por el cuerpo. 6. Un cuerpo se mueve en el eje OX alrededor del punto 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝐜𝐜𝐜𝐜 describiendo un M.A.S. con 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐, 𝟎𝟎 𝐬𝐬. En 𝒕𝒕 = 𝟎𝟎 𝐬𝐬 se encuentra en el punto de equilibrio moviéndose hacia el origen de coordenadas. Si la fuerza máxima que actúa sobre la partícula es de 0,050 N y la energía total de 0,020 J. a. Calcula la amplitud de la oscilación. b. Calcula la coordenada x de la partícula (expresada en centímetros) cuando su energía potencial elástica es el doble que la cinética.
  • 9. Solución a los ejercicios. 1. Un péndulo oscila con una frecuencia 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 𝐇𝐇𝐳𝐳 y amplitud 𝑨𝑨 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜. a. ¿Cuál es su longitud? b. ¿En qué posición se moverá con velocidad máxima y cuál será ésta? c. Si para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝐬𝐬 se encuentra en 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝐜𝐜𝐜𝐜, escribe la ecuación de su movimiento. a. Como su frecuencia es de 1Hz, su periodo será: 𝑇𝑇 = 1 𝑓𝑓 = 1 s Como el periodo de un péndulo está relacionado con su longitud mediante la Ec. (16), podemos despejar la longitud 𝑙𝑙 de esta expresión: 𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋� 𝑙𝑙 𝑔𝑔 ⇒ 𝑙𝑙 = 𝑇𝑇2 4𝜋𝜋2 𝑔𝑔 = 0,25 m b. El péndulo se moverá con velocidad máxima cuando pase por el punto de equilibrio, es decir, 𝑥𝑥 = 0. La razón de esto es que la velocidad viene dada por: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝐴𝐴 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) Es decir, la velocidad siempre pertenecerá al rango 𝑣𝑣(𝑡𝑡) ∈ (−𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴), y su valor máximo será: 𝒗𝒗 𝒎𝒎á𝒙𝒙 = 𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝐴𝐴2𝜋𝜋𝜋𝜋 = 0,19 m/s c. La ecuación de su movimiento la obtendremos despejando todos los parámetros que nos faltan, es decir, 𝜙𝜙0, usando los datos que tenemos. Puesto que 𝑥𝑥(1s) = 0,015 = 0,030 sin(2𝜋𝜋 + 𝜙𝜙0) (S. I. ) ⇒ 𝜙𝜙0 = arcsin � 0,015 0,030 � − 2𝜋𝜋 = − 11 6 𝜋𝜋 Por lo tanto, la ecuación del movimiento que nos piden será: 𝒙𝒙(𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬 �𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝝅𝝅� (𝐒𝐒. 𝐈𝐈. ) 2. Un cuerpo de 2,0 kg de masa unido al extremo de un muelle realiza 20 oscilaciones cada segundo. Calcula: a. La constante elástica del muelle. b. El valor de la fuerza que actúa sobre el cuerpo cuando la elongación valga 5 cm. a. De la ecuación Ec. (15) conocemos la relación entre el periodo de oscilación, la masa que se cuelga y la constante elástica del muelle: 𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋� 𝑚𝑚 𝑘𝑘 ⇒ 𝑘𝑘 = 4𝜋𝜋2 𝑇𝑇2 𝑚𝑚 = 4𝜋𝜋2 𝑓𝑓2 𝑚𝑚 = 3,2 · 103 N/m b. La fuerza podemos calcularla de dos formas distintas: Bien por medio de la Ley de Hooke, ya que sabemos la constate elástica del muelle: 𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝑘𝑘 = −1580 N
  • 10. Bien por medio de la 2ª Ley de Newton, ∑𝐹𝐹⃗ = 𝑚𝑚𝑎𝑎⃗ En este caso la aceleración viene dada por: 𝑎𝑎(𝑡𝑡) = −𝜔𝜔2 𝑥𝑥(𝑡𝑡) Por lo tanto, 𝐹𝐹 = −𝑚𝑚𝜔𝜔2 𝑥𝑥 = −4𝜋𝜋2 𝑚𝑚𝑓𝑓2 𝑥𝑥 = −1580 N 3. Se coloca una bola sobre una plataforma que oscila con una amplitud de 𝟏𝟏 𝐜𝐜𝐜𝐜 a una frecuencia inicial de 𝟏𝟏 𝐇𝐇𝐇𝐇. Al incrementarse la frecuencia, la bola empieza a perder contacto con la plataforma. ¿A qué frecuencia ocurre eso? Para resolver este problema hay que pensar qué es lo que tiene que ocurrir para que pierdan el contacto. Para ello, la velocidad de la plataforma y la de la bola deberían ser distintas. Por otro lado, también sabemos que la velocidad de ambas, cuando se encuentren a 𝑥𝑥 = 1cm será nula. Por lo tanto, si la velocidad tiene que cambiar en ese punto y ser mayor para la plataforma que para la bola, lo que tiene que ocurrir es que la aceleración de la plataforma al moverse sea mayor que la aceleración de la bola al caer, que es 𝑔𝑔 = −9,8 m/s2 . Por lo tanto, el límite será cuando: 𝑎𝑎 = 𝑔𝑔 Como 𝑎𝑎 = −𝜔𝜔2 𝑥𝑥, y en ese momento tenemos que 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 = 10−2 m, podemos concluir que: −𝜔𝜔2 𝐴𝐴 = 𝑔𝑔 ⇒ −(2𝜋𝜋𝜋𝜋)2 𝐴𝐴 = 𝑔𝑔 ⇒ 𝑓𝑓 = 1 2𝜋𝜋 �− 𝑔𝑔 𝐴𝐴 ⇒ ⇒ 𝑓𝑓 = 5Hz 4. Un cuerpo que realiza un m.a.s. alcanza una velocidad máxima de 𝟏𝟏, 𝟏𝟏 m/s, y su máxima aceleración es de 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟐𝟐 𝐦𝐦/𝐬𝐬𝟐𝟐 . Calcula la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones. Sabemos que las ecuaciones que rigen el movimiento de un movimiento armónico simple son: 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) (𝑖𝑖) 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝐴𝐴 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) (𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑎𝑎(𝑡𝑡) = −𝐴𝐴𝜔𝜔2 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) = −𝜔𝜔2 𝑥𝑥(𝑡𝑡) (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) Su máxima velocidad será: 𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥. = 𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑖𝑖𝑖𝑖) Y su máxima aceleración es 𝑎𝑎 𝑚𝑚á𝑥𝑥. = 𝐴𝐴𝜔𝜔2 (𝑣𝑣) Dividiendo la Ec. (𝑣𝑣) entre la Ec. (𝑖𝑖𝑖𝑖) y operando obtenemos: 𝑎𝑎 𝑚𝑚á𝑥𝑥 𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝜔𝜔 = 22 rad s ⇒ 𝐴𝐴 = 𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥 𝜔𝜔 = 0,05 𝑚𝑚
  • 11. 5. (PAU 2014) Un muelle de longitud en reposo 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜 cuya constante elástica es 𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐍𝐍𝐍𝐍𝐦𝐦−𝟏𝟏 tiene uno de sus extremos fijos a una pared. El extremo libre del muelle se encuentra unido a un cuerpo de masa 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝐠𝐠 , el cual oscila sin rozamiento sobre una superficie horizontal, siendo su energía mecánica igual a 0,3 J. Calcule: a. La velocidad máxima del cuerpo. Indique en qué posición, medida con respecto al extremo fijo del muelle, se alcanza dicha velocidad. b. La máxima aceleración experimentada por el cuerpo. La energía mecánica del cuerpo es igual a la energía cinética máxima, 𝐸𝐸𝑚𝑚 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑚𝑚á𝑥𝑥 , por lo tanto. 𝐸𝐸𝑚𝑚 = 1 2 𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥 2 ⇒ 𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = � 2𝐸𝐸𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 1,4 m/s La velocidad máxima se alcanza cuando el cuerpo pasa por el punto de equilibrio del sistema, es decir, aquél en el que la longitud del muelle coincide con su longitud natural. Por tanto será cuando el cuerpo se encuentre a 0,25 m de la pared. La aceleración máxima del cuerpo viene dada por 𝑎𝑎 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝜔𝜔2 . Su velocidad máxima por 𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 (ver nota 1). Como la frecuencia angular la podemos calcular por medio de 𝜔𝜔 = � 𝑘𝑘 𝑚𝑚 Si introducimos todo esto en la expresión de la aceleración máxima obtenemos que esta será: 𝑎𝑎 = 𝐴𝐴𝜔𝜔2 = 𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥 𝜔𝜔 = 𝑣𝑣 𝑚𝑚á𝑥𝑥� 𝑘𝑘 𝑚𝑚 = 1,2 m/s2 6. Un cuerpo se mueve en el eje OX alrededor del punto 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝐜𝐜𝐜𝐜 describiendo un M.A.S. con 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐, 𝟎𝟎 𝐬𝐬 . En 𝒕𝒕 = 𝟎𝟎 𝐬𝐬 se encuentra en el punto de equilibrio moviéndose hacia el origen de coordenadas. Si la fuerza máxima que actúa sobre la partícula es de 0,050 N y la energía total de 0,020 J. a. Calcula la amplitud de la oscilación. b. Calcula la coordenada x de la partícula (expresada en centímetros) cuando su energía potencial elástica es el doble que la cinética. Debido a la 2ª Ley de Newton ya sabemos que ∑𝐹𝐹⃗ = 𝑚𝑚𝑎𝑎⃗, por tanto, la fuerza máxima, 𝐹𝐹𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 5 · 10−2 N, se ejercerá cuando aceleración sea máxima, es decir, 𝑎𝑎 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝜔𝜔2 𝐴𝐴. Así, 𝐹𝐹𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝜔𝜔2 𝐴𝐴 (𝑖𝑖) La energía total (la energía mecánica) es: 𝐸𝐸𝑚𝑚 = 1 2 𝑚𝑚𝜔𝜔2 𝐴𝐴2 (𝑖𝑖𝑖𝑖) Dividiendo la Ec. (𝑖𝑖) por la Ec. (𝑖𝑖𝑖𝑖) llegamos a que:
  • 12. 𝐹𝐹𝑚𝑚á𝑥𝑥 𝐸𝐸𝑚𝑚 = 2 𝐴𝐴 ⇒ 𝐴𝐴 = 2 𝐸𝐸𝑚𝑚 𝐹𝐹𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 2 · 10−2 J 5 · 10−2 N = 0,4 m Como el cuerpo se encuentra en el punto de equilibrio en el instante inicial, 𝑥𝑥(0𝑠𝑠) = 0 m, esto quiere decir que 0 = 𝐴𝐴 sin(𝜙𝜙0) ⇒ 𝜙𝜙0 = 0 Sabiendo esto, podemos expresar la energía potencial elástica como: 𝐸𝐸𝑝𝑝 = 1 2 𝑚𝑚𝐴𝐴2 𝜔𝜔2 sin2(𝜔𝜔𝜔𝜔). (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) Mientras que la cinética: 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 1 2 𝑚𝑚𝐴𝐴2 𝜔𝜔2 cos2(𝜔𝜔𝜔𝜔) (𝑖𝑖𝑖𝑖) Como nos piden que 𝐸𝐸𝑝𝑝 = 2𝐸𝐸𝑐𝑐 esto implica que: sin2(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) = 2 cos2(𝜔𝜔𝜔𝜔) ⇒ tan(𝜔𝜔𝜔𝜔) = √2 Como conocemos el periodo y que: 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋 𝑇𝑇 Tenemos que: 𝑡𝑡 = arctan √2 2𝜋𝜋 𝑇𝑇 = 0,30 s De aquí sacamos que la elongación de la partícula en el instante pedido es: Δ𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) = 0,33 𝑚𝑚 Por lo tanto, la coordenada 𝑥𝑥 de la partícula cuando se cumple dicha condición será 𝑥𝑥 = 30 ± 0,3 m. Sin embargo, como nos dice que para 𝑡𝑡 = 0𝑠𝑠 la partícula pasa por el punto de equilibrio hacia el origen de coordenadas y el tiempo que hemos calculado es menor que medio periodo, no le ha dado tiempo más que a pasar una vez por el punto de equilibrio. Por tanto, la posición que nos piden es la que se encuentra a la izquierda del punto de equilibrio, es decir, 𝑥𝑥 = 26,7 m