Las tres Leyes de Kepler describen el movimiento planetario alrededor del Sol. La Primera Ley establece que la órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos. La Segunda Ley indica que un planeta describe áreas iguales en tiempos iguales a medida que se mueve. La Tercera Ley relaciona el cuadrado del periodo orbital de un planeta con el cubo del semieje mayor de su órbita elíptica. Más tarde, Newton demostró que las Leyes de Kepler se derivan de su Ley de la Gravit

1. LEYES DE KEPLER
Tras haber analizado durante varios años una gran cantidad de datos empíricos, el
astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) formuló tres leyes que describen
el movimiento planetario de los planetas alrededor del Sol. Estas leyes se enuncian
así:
Primera Ley: La órbita de cada planeta es una elipse que tiene al Sol en uno de sus
focos.
Segunda Ley: El vector que va del centro del Sol al del planeta en movimiento
describe áreas iguales en tiempos iguales.
Tercera Ley: Si el tiempo que requiere un planeta para recorrer una vez su órbita
elíptica es 𝑇 y el eje mayor de tal elipse es 2𝑎, entonces 𝑇2
= 𝑘𝑎3
Unos cincuenta años más tarde, Sir Isaac Newton (1642-1727) demostró que las
Leyes de Kepler son consecuencia de su Ley de la Gravitación Universal y de su
Segunda Ley del Movimiento. La aportación de estos dos hombres fue
extraordinaria porque estas leyes explicaron todas las observaciones astronómicas
que se habían realizado hasta esa fecha.
Demostraremos la Primera Ley de Kepler usando vectores. Como la fuerza
gravitatoria que el Sol ejerce sobre un planeta es mucho mayor que la ejercida por
otros cuerpos celestes, se despreciarán todas las otras fuerzas que actúan sobre un
planeta. Desde este punto de vista sólo hay que considerar dos objetos: el Sol y un
planeta que gira alrededor de él.
Es conveniente que introduzcamos un
sistema coordenado con el centro de
masa del Sol en el origen O, como
podemos ver en la Figura 1. El punto P
representa el centro de masa del
planeta. Para simplificar la notación,
denotaremos al vector de posición de P
por r en vez de r( t), y usaremos v y a
para denotar la velocidad r’(t) y la
aceleración r’’(t), respectivamente.
Antes de iniciar con las demostraciones correspondientes a las Leyes de Kepler,
vamos a probar que el movimiento del planeta se realiza en un plano. Si se define
𝑟 = 𝐫 , entonces 𝐮 = (1/𝑟)𝐫 es un vector unitario que tiene la misma dirección
de r. De acuerdo con la Ley de la Gravitación de Newton, la fuerza F de atracción
gravitatoria sobre el planeta está dada por:
𝐅 = −𝐺
𝑀𝑚
𝑟2
𝐮
Donde 𝑀 es la masa del Sol, 𝑚 la del planeta y 𝐺 es la constante de la gravitación
universal. La Segunda Ley del Movimiento de newton afirma que
𝐅 = 𝑚𝐚
Si igualamos estas dos expresiones de 𝐅 y obtenemos 𝐚 obtenemos:
𝐚 = −
𝐺𝑀
𝑟2
𝐮
Esto demuestra que 𝐚 es paralela a 𝐫 = 𝑟𝐮 y por lo tanto, 𝐫 × 𝐚 = 𝟎. Además,
como 𝐯 × 𝐯 = 𝟎, podemos ver que:
𝑑
𝑑𝑡
( 𝐫 × 𝐯 = 𝐫 ×
𝑑𝐯
𝑑𝑡
+
𝑑𝐫
𝑑𝑡
× 𝐯
𝐫 × 𝐯 = 𝐜
Donde 𝐜 es un vector constante. El vector 𝐜 desempeñará un papel importante en la
demostración de las Leyes de Kepler. Como 𝐫 × 𝐯 = 𝐜, el vector 𝐫 es perpendicular
a 𝐜 para todo valor de t. Esto implica que la curva trazada por P está en un plano, es
decir, la órbita del planeta es una curva plana.
Demostración Primera Ley de Kepler
Podemos suponer que el movimiento del planeta se realiza en el plano 𝑥𝑦. En este
caso, el vector 𝐜 es perpendicular a dicho plano y se puede considerar que 𝐜 tiene la
misma dirección del eje 𝑧, como se ilustra en la Figura 2.
Puesto que 𝐫 = 𝑟𝐮, entonces:
𝐯 =
𝑑𝐫
𝑑𝑡
= 𝑟
𝑑𝐮
𝑑𝑡
+
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝐮
Sustituimos en 𝐜 = 𝐫 × 𝐯 y usando las
propiedades del producto vectorial
resulta
𝐜 = 𝑟𝐮 × 𝑟
𝑑𝐮
𝑑𝑡
+
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝐮
= 𝑟2
𝐮 ×
𝑑𝐮
𝑑𝑡
+ 𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
(𝐮 × 𝐮)
Como 𝐮 × 𝐮 = 𝟎, esto se reduce a:

2. 𝐜 = 𝑟2
𝐮 ×
𝑑𝐮
𝑑𝑡
Usando (3) y (1) junto con (ii) y (vi) del siguiente Teorema
(i) 𝐚 × 𝐛 = −𝐛 × 𝐚
(ii) ( 𝑚𝐚 × 𝐛 = 𝑚( 𝐚 × 𝐛 = 𝐚 × (𝑚𝐛)
(iii) 𝐚 × ( 𝐛 + 𝐜 = ( 𝐚 × 𝐛 + ( 𝐚 × 𝐜
(iv) ( 𝐚 + 𝐛 × 𝐜 = ( 𝐚 × 𝐜 + ( 𝐛 × 𝐜
(v) ( 𝐚 × 𝐛 ∙ 𝐜 = 𝐚 ∙ (𝐛 × 𝐜)
(vi) 𝐚 × ( 𝐛 × 𝐜 = ( 𝐚 ∙ 𝐜 𝐛 − (𝐚 ∙ 𝐛)𝐜
Podemos ver:
𝐚 × 𝐜 = −
𝐺𝑀
𝑟2
𝐮 × 𝑟2
𝐮 ×
𝑑𝐮
𝑑𝑡
= −𝐺𝑀 𝐮 × 𝐮 ×
𝑑𝐮
𝑑𝑡
= −𝐺𝑀 𝐮 ∙
𝑑𝐮
𝑑𝑡
𝐮 − ( 𝐮 ∙ 𝐮
𝑑𝐮
𝑑𝑡
Como 𝐮 = 1, del siguiente Ejemplo
Deducimos que ( 𝐮 ∙ 𝑑𝐮/𝑑𝑡 = 0. Además, 𝐮 ∙ 𝐮 = 𝐮
2
= 1 y por lo tanto, la
última fórmula para 𝐚 × 𝐜 se reduce a:
𝐚 × 𝐜 = 𝐺𝑀
𝑑𝐮
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝐺𝑀𝐮)
Esto podemos escribirlo también:
𝐚 × 𝐜 =
𝑑𝐯
𝑑𝑡
× 𝐜 =
𝑑
𝑑𝑡
(𝐯 × 𝐜)
Y por consiguiente,
𝑑
𝑑𝑡
( 𝐯 × 𝐜 =
𝑑
𝑑𝑡
(𝐺𝑀𝐮)
Si integramos en ambas partes de la ecuación, obtenemos
𝐯 × 𝐜 = 𝐺𝑀𝐮 + 𝐛
donde 𝐛 es un vector constante.
El vector 𝐯 × 𝐜 es ortogonal a 𝐜 y por lo
tanto, está en el plano 𝑥𝑦, deducimos de
(4) que 𝐛 está en el mismo plano.
Hasta ahora la demostración ha sido
independiente de la posición de los ejes 𝑥 y
𝑦. Escogemos ahora un sistema de
coordenadas tal que la parte positiva del eje 𝑥 tenga la misma dirección que el
vector constante 𝐛, como podemos ver en la Figura 3.
Sean (𝑟, 𝜃) las coordenadas polares del punto P, donde 𝑟 = 𝐫 . Resulta entonces
que
𝐮 ∙ 𝐛 = 𝐮 𝐛 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃
donde 𝑏 = 𝐛 . Si se define 𝑐 = 𝐜 , entonces usando (2) junto con las
propiedades de los productos escalar y vectorial y también (4),
𝑐2
= 𝐜 ∙ 𝐜 = ( 𝐫 × 𝐯 ∙ 𝐜 = 𝐫 ∙ (𝐯 × 𝐜)
= ( 𝐫𝑢 ∙ (𝐺𝑀𝐮 + 𝐛)
= 𝑟𝐺𝑀( 𝐮 ∙ 𝐮 + 𝑟( 𝐮 ∙ 𝐛
= 𝑟𝐺𝑀 + 𝑟𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃
Si despejamos 𝑟 de esta ecuación
𝑟 =
𝑐2
𝐺𝑀 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃
Dividimos el numerador y el denominador de la fracción entre 𝐺𝑀 y obtenemos
𝑟 =
𝑝
1 + 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝜃
donde 𝑝 = 𝑐2
/𝐺𝑀 y 𝑒 = 𝑏/𝐺𝑀. De acuerdo con el siguiente Teorema
Una ecuación polar que tiene una de las formas
𝑟 =
𝑑𝑒
1±𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝜃
o bien 𝑟 =
𝑑𝑒
1±𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝜃
en una sección cónica. La cónica es una paralela si 𝑒 = 1, una elipse si 0 < 𝑒 < 1, o
una hipérbola si 𝑒 > 1
La gráfica de esta ecuación polar es una cónica con excentricidad 𝑒 y foco en el
origen. Como la órbita es una curva cerrada, tenemos que 0 < 𝑒 < 1 y la cónica es
en consecuencia una elipse. Esto completa la demostración de la Primera Ley de
Kepler.