2. Lógica matemática
• La lógica matemática también llamada lógica
simbólica lógica teorética lógica formal
o logística es parte tanto de la lógica y como
de la matemática, y consiste en el estudio
matemático de la lógica, y en la aplicación de
dicho estudio a otras áreas de la matemática y
de las ciencias. La lógica matemática tiene
estrechas conexiones con las ciencias de la
computación y con la lógica filosófica.
4. Proposiciones
• Una proposición debe tener la cualidad de ser
verdadera o falsa y una oración o concepto
que no tiene uno u otro sentido no puede ser
considerado comoproposición lógica; es así
que la lógica proporcional en su concepto
previo solo puede tener tres
elementos: Proposición. Valor verdadero o.
Valor falso.
5. Clases de proposiciones
• Proposiciones Simples
Son aquellas que no tienen oraciones
componentes afectadas por negaciones
("no") o términos de enlace como
conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o
implicaciones ("si . . . entonces"). Pueden
aparecer términos de enlace en el sujeto o en
el predicado, pero no entre oraciones.
6. Clases de proposiciones
• Proposiciones Compuestas
Una proposición será compuesta si no es
simple. Es decir, si está afectada por
negaciones o términos de enlace entre
oraciones componentes.
7. Ejemplos de proposiciones
• Ejemplos
Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones:
1) Carlos Fuentes es un escritor. (Simple)
2) Sen(x) no es un número mayor que 1. (Compuesta)
3) El 14 y el 7 son factores del 42. (Simple)
4) El 14 es factor del 42 y el 7 tambiénesfactordel42. (Compuesta)
5) El 2 o el 3 son divisores de 48. (Simple)
6) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de48. (Compuesta)
7) Si x es número primo, entonces x impar. (Compuesta)
8) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. (Compuesta)
9) No todos los números primos son impares. (Compuesta
8. Conectivos lógicos en posiciones
compuestas
• Recordamos que una proposición es una oración
declarativa a la cual se le puede asociar un valor de verdad.
•
Para representar proposiciones usaremos las letras p, q, r,...
• Por ejemplo
• p = el sol brilla todo el día
q = hace fríoson proposiciones simples.
• Así como en álgebra las variables que representan
cantidades pueden formar expresiones más complejas
mediante el uso de las operaciones básicas de aritmética y
algunas funciones, en lógica podemos relacionar
proposiciones mediante los conectivos lógicos.
9. Ejemplo
• ISYUNCIÓN: Se representan dos enunciados
separadas por la expresión o basta con que una
sea verdadera para que se cumpla la
proposición (pvq). Su símbolo es: V
• EJEMPLOS:
• Está lloviendo o es de noche.
• Está feliz o está enojado.
• Está caminando o está lloviendo.
• Hay derivadas o hay integrales.
10. ejemplo
• ~CONJUNCIÓN: Es cuando dos proposiciones
simples se combinan mediante la
expresión y , la proposición compuesta
resultante se le llama conjunción (pΛq). Su
símbolo es: Λ, &, ·
• EJEMPLOS:
• La puerta está vieja y oxidada.
• Hace frío y está nevando.
• Está lloviendo y es de noche.
• Tiene gasolina y tiene corriente.
11. ejemplo
• ~NEGACIÓN: Si p es una proposición fundamental, de
ésta se puede formar otra proposición, que se le
llama Negación de p, escribiendo: “Es falso
que” antes de p, ó, cuando es posible, se inserta en p
la palabra “No”, (¬p) Su símbolo es: ¬, ~
• EJEMPLOS:
• No está lloviendo.
• La señora no ceno.
• Es falso que 5×2=12.
• Es falso que Alemania se encuentra en Europa.
12. ejemplo
• CONDICIONAL: Es aquella proposición compleja cuya
conectiva dominante es el condicional, es decir, aquella
expresión apofánatica que tiene la forma p → q, y que se
lee “si p, entonces q” o bien “p es condición suficiente de
q”, donde A es el antecedente y B el consecuente. Su
símbolo es: →
• EJEMPLOS:
• Si está dormido entonces está soñando.
• Si quiere comer entonces tiene hambre.
• Si Londres está en Inglaterra entonces París está en
Francia.
• Si hay gasolina en mi tanque entonces mi automóvil
funciona.
13. Ejemplo
• ~BICONDICIONAL: También llamado equivalencia o
implicación doble, es una proposición de la forma “P si y
sólo si Q”, en la cual tanto P como Q son ambas ciertas o
ambas falsas. También se dice que Q es una condición
necesaria y suficiente para P, (p↔q). Su símbolo es: ↔, ≡
• EJEMPLOS:
• Esta completo si y solo si tienes todas las actividades.
• Saldrás si y solo si acabaste tu tarea.
• Está lloviendo si y solo si está nublado.
• 3+2=5 si y solo si 4+4=8
•
14. Proposiciones condicionales
• Las Proposiciones Condicionales expresan la
condición necesaria para que tenga efecto lo
que indica la oración principal; ésta indica la
causa o efecto de tal condición,
15. Ejemplo
• EJEMPLOS DE PROPOSICIONES CONDICIONALES:
•
• 1.Me alegraría mucho, si me acompañaras.
• 2.Si quieres, paso por ti a las seis.
• 3.Te llevaré al baile; si me prometes ser puntual.
• 4.Si pones atención, aprenderás más pronto.
• 5.Podría llevar dos materias, si asisto por las
tardes.
16. Proposición bicondicional
• Definición. El valor de verdad de
un bicondicional «p si y solo si q» es
verdadero cuando ambas proposiciones (p y
q) tienen el mismo valor de verdad, es decir,
ambas son verdaderas o falsas
simultáneamente; de lo contrario, es falso.
17. Ejemplo
Ejemplos de coimplicaciones
verdaderas:
Motivos por los que pq es verdadera:
pq
(a) "La Tierra es cúbica si y sólo si el Sol es
un planeta"
p: "La Tierra es
cúbica": F
q: "El Sol es un
planeta": F
(b) "La Tierra es esférica si y sólo si el Sol es
una estrella"
p: "La Tierra es
esférica": V
q: "El Sol es una
estrella": V
(c) "Los cocodrilos tienen ruedas si y sólo si
los sapos bailan flamenco"
p: "Los cocodrilos
tienen ruedas": F
q: "Los sapos bailan
flamenco": F
(d) "Los cocodrilos no tienen ruedas si y
sólo si los sapos no bailan flamenco".
p: "Los cocodrilos no
tienen ruedas": V
q: "Los sapos no
bailan flamenco": V
18. Tautología equivalencia y tradición
• ♦Con cinco conectivas lógicas básicas se construyen
proposiciones compuestas que pueden ser
tautologías, contradicciones o contingencias.
• Si la tabla de verdad de la proposición es siempre
verdadera, independientemente de la verdad o
falsedad de las proposiciones simples, entonces la
expresión es tautológica.
• Si la tabla de verdad es siempre falsa, será
una contradicción.
• Si es verdadera y falsa, la proposición es
una contingencia.
19. Ejemplo
• •TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es
una tautología si es verdadera para todas las
asignaciones de valores de verdad para sus
proposiciones componentes. Dicho de otra
forma, su valor V no depende de los valores de
verdad de las proposiciones que la forman, sino
de la forma en que están establecidas las
relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el
caso:
•
20. ejemplo
• •CONTRADICCIÓN: Se entiende por
proposición contradictoria, o contradicción,
aquella proposición que en todos los casos
posibles de su tabla de verdad su valor
siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F
no depende de los valores de verdad de las
proposiciones que la forman, sino de la
forma en que están establecidas las
relaciones sintácticas de unas con otras. Sea
el caso:
21. Ejmplo
• •CONTINGENCIA:Se entiende por verdad
contingente, o verdad de hecho, aquella
proposición que puede ser verdadera o
falsa, (combinación entre tautología y
contradicción) según los valores de las
proposiciones que la integran. Sea el caso:
22. Leyes notables en lógica
• Ley de doble negación: Dentro de un sistema de lógica
clásica, la doble negación, esto es, la negación de la
negación de una proposición p, eslógicamente
equivalente a p. Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p.
En lógica intuicionista, una proposición implica su doble
negación, pero no al revés. Esto marca una importante
diferencia entre la negación clásica e intuicionista.
Algebraicamente, la negación clásica es llamada
una involución de periodo dos.Sin embargo, en lógica
intuicionista, sí tenemos la equivalencia entre ¬¬¬p y ¬p. Es
más, en el caso proposicional, una oración es demostrable
de forma clásica, si su doble negación es demostrable de
manera intuicionista. Este resultado es conocido como
el teorema de Glivenko.
23. Leyes notables en lógica
• Leyes de idempotencia: En matemática y lógica,
la idempotencia es la propiedad para realizar una
acción determinada varias veces y aun así conseguir el
mismo resultado que se obtendría si se realizase una
sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es
un elemento idempotente, o un idempotente. De esta
manera, si un elemento al multiplicarse por sí mismo
sucesivas veces da él mismo, este elemento
es idempotente. Por ejemplo, los dos únicos números
reales que son idempotentes, para la operación
producto (·), son 0 y 1. (0·0=0,1·1=1).
24. Leyes notables en lógica
• Leyes asociativas: Las "Leyes asociativas" quieren
decir que no importa cómo agrupes los números
(o sea, qué calculas primero) cuando sumas o
cuando multiplicas.(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)
• Leyes conmutativas:Las "leyes conmutativas"
sólo quieren decir que puedes intercambiar los
números cuando sumas o cuando multiplicas y la
respuesta va a ser la misma.a + b = b + a
a × b = b × a
25. Métodos de demostración
• Métodos de Demostración en Matemática. ...
El método de demostración directo
tienecomo fundamento lógico la regla
deinferencia clásica o esquemaargumentativo
válido llamado ModusPonens: [ P∧ (P→Q) ]
→Qque significa: si la hipótesis P esverdadera
y la hipótesis P implica laconclusión Q
entonces la conclusión Q esverdadera.
26. Tabla de verdad
• Una tabla de verdad, o tabla de valores
de verdad, es unatabla que muestra el valor
de verdad de una proposición compuesta,
para cada combinación de verdad que se
pueda asignar.
