Texto docente segundo medio tomo2

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN
EDICIÓN ESPECIAL PARA EL
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN
MEDIO
2º
TOMO II
MATEMÁTICA2ºMEDIO/GUÍADIDÁCTICADELDOCENTE
TOMO
II
MATEMÁTICA
Guía didáctica del docente
Antonieta Santis Ávalos • Verónica Muñoz Correa
Marta Díaz Díaz
Tapa_Mat_2M_Gui_Tomo_II.indd Todas las páginas 1/10/19 09:16

Guía didáctica del docente • TOMO II
MATEMÁTICA
Antonieta Santis Ávalos
Licenciada en Matemática
Profesora de Matemática Educación Media
Pontificia Universidad Católica
Verónica Muñoz Correa
Profesora de Matemática Educación Media
Pontificia Universidad Católica
Marta Díaz Díaz
Profesora de Matemática
Universidad Católica Cardenal Raúl Silva Henríquez
MEDIO
2º
U0_Mat_2M_Gui_TomoII.indd 103 30/9/19 12:58

Tanto en el texto del estudiante
como en la Guía Didáctica del Docente
los enlaces a páginas web se realizan
por medio de un código que permite
resguardar la permanencia de la
información como la pertinencia de la
misma. Para esto, tanto el y la estudiante
como el y la docente deberán ingresar el
código que se indica en la página:
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La Guía Didáctica del Docente de Matemática 2.° medio, es una
creación de Ediciones SM, Chile
Dirección Editorial
Arlette Sandoval Espinoza
Coordinación área Matemática
Carla Frigerio Cortés
Edición
Autoría
Antonieta Santis Ávalos
Marta Díaz Díaz
Asesoría pedagógica
Guadalupe Álvarez Pereira
Corrección de estilo y prueba
Victor Navas Flores
Coordinación de diseño
Gabriela de la Fuente Garfias
Diseño y diagramación
Karina Riquelme Riquelme
Madelaine Inostroza Vargas
Macarena Balladares Maluje
Fotografía
Archivo fotográfico SM
Gestión de Derechos
Loreto Ríos Melo
Jefatura de producción
Andrea Carrasco Zavala
Esta Guía corresponde al Segundo año de Enseñanza Media y ha sido elaborado conforme al
Decreto Supremo 614/2013 del Ministerio de Educación de Chile.
©2017 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – Providencia
ISBN: 978-956-363-311-5 / Depósito legal: 280471
Se terminó de imprimir esta edición de 4458, ejemplares en el mes de noviembre del año 2019.
Impreso por A Impresores
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del
“Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de
esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento
informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

índice
Tomo II................................................................. 103Tomo I...................................................................... 1
Fundamentación general .....................................................4
Articulación de la propuesta ...............................................6
Fundamentación diseño instruccional ..............................8
Elementos claves de la propuesta .....................................12
Visión global .......................................................................14
Reproducción Texto del estudiante ........................... 1
Unidad 1 – Números...........................................................18
Planificación de la unidad ................................................ 20
Inicio de la unidad..............................................................24
Desarrollo de la unidad......................................................25
Cierre de la unidad .............................................................38
Actividades complementarias ..........................................40
Reproducción Texto del estudiante ..........................12
Unidad 2 – Álgebra y funciones............................... 50
Planificación de la unidad........................................52
Inicio de la unidad .................................................. 58
Desarrollo de la unidad ............................................59
Cierre de la unidad ................................................. 84
Actividades complementarias ................................. 86
Reproducción Texto del estudiante ......................... 76
Anexo.................................................................... 100
Bibliografía ............................................................102
Articulación de la propuesta .......................................... 106
Elementos claves de la propuesta .................................. 108
Visión global .....................................................................110
Reproducción Texto del estudiante ........................... 1
Unidad 3 – Geometría.......................................................114
Planificación de la unidad ...............................................116
Inicio de la unidad............................................................120
Desarrollo de la unidad.................................................... 121
Cierre de la unidad ...........................................................133
Actividades complementarias .........................................135
Reproducción Texto del estudiante ....................... 186
Unidad 4 – Probabilidad y estadística ............................146
Planificación de la unidad ...............................................148
Inicio de la unidad............................................................152
Desarrollo de la unidad....................................................153
Cierre de la unidad ...........................................................170
Actividades complementarias .........................................172
Reproducción Texto del estudiante ....................... 246
Anexo.................................................................................184
Bibliografía........................................................................188
RDC ....................................................................................189
Matemática • 2.º Medio

Articulación de la propuesta
Unidad 2: Álgebra y funciones
Lección 3: Cambio porcentual.
Lección 4: Ecuaciones
cuadráticas.
Lección 5: Funciones cuadráticas.
Lección 6: Función inversa.
Los componentes de la propuesta editorial: Texto del
estudiante (TE), Guía Didáctica del Docente (GDD) y
Cuaderno de ejercicios (CE) se articulan a partir de un hilo
conductor que cruza los distintos momentos didácticos
y establece una secuencia y progresión que da cuenta
de los Objetivos de Aprendizaje (OA) y responde a sus
respectivos Indicadores de Evaluación (IE).
Desarrollo CierreInicio
se organiza que son:
Unidades
que están construidas según
tres momentos didácticos
Unidad 1: Números
Lección 1: Números reales.
Lección 2: Raíces enésimas y
logaritmos.
Unidad 3: Geometría
Lección 7: La esfera.
Lección 8: Razones
trigonométricas.
Unidad 4: Probabilidad y
estadística
Lección 9: Técnicas de conteo.
Lección 10: Variable aleatoria.
Lección 11: Probabilidades.
106
Articulación de la propuesta

Instancias para
la motivación,
activación y el
registro de los
aprendizajes previos y
el establecimiento de
metas y estrategias.
Actividades que
apoyan el desarrollo
e integración de
los contenidos,
habilidades y
actitudes.
Actividades de
síntesis, aplicación
y consolidación
de las habilidades
y los aprendizajes
adquiridos y revisión
de las metas y
estrategias.
Para dar cuenta de los OA, las habilidades y las actitudes, en el modelo
didáctico del texto y de la GDD se proponen las siguientes instancias:
Proceso metacognitivo continuo que permite
monitorear la evaluación y regular su
autonomía.
Actividades que
apoyan el desarrollo
e integración de
los contenidos,
habilidades y
actitudes.
Actividades de
síntesis, aplicación
y consolidación de
las habilidades y los
aprendizajes adquiridos
y revisión de las metas
y estrategias.
Actividades
remediales y de
profundización
para las
evaluaciones.
Sugerencias
para abordar las
dificultades y errores
frecuentes.
Ampliación y
profundización de
tipo disciplinar y
didáctica.
Orientaciones
metodológicas que
responden a las
secciones del Texto.
Material
complementario
fotocopiable.
Actividades
complementarias
para apoyar el
desarrollo de los
aprendizajes.
Instancias de
evaluación,
rúbricas, pautas y
solucionarios.
Desde la guía (GDD)
Desde el texto (TE)
Desde el cuaderno
(CE)
107
GuíaDidácticadelDocente

Elementos claves de la propuesta
c. Evaluación para el aprendizaje
La propuesta didáctica concibe la evaluación en función
del aprendizaje, en otras palabras, como un medio y no
como un fin. En consonancia con los principios antes
mencionados, las actividades de evaluación se presentan
contextualizadas en situaciones problema y apuntan
a habilidades superiores. Su objetivo es entregar, a
estudiantes y docentes, información útil para la mejora
de las prácticas y el logro cabal de los aprendizajes.
Para esto, proveen de instrumentos que explicitan los
indicadores que les permitirán conocer sus niveles
de logro. Este trabajo se entrecruza con el proceso
de reflexión metacognitiva antes descrito, ya que,
estrictamente se trata de un mismo proceso.
Si decimos que se trata de un proceso es porque es
posible distinguir una secuencia de acciones que debería
ser constitutiva de la evaluación para el aprendizaje. Estas
son:
“Búsqueda de indicios: ya sea a través de la observación o
de ciertas formas de medición se obtiene información […]
de modo no caprichoso sino sistemático y planificado […].
Forma de registro y análisis: a través de un conjunto
variado de instrumentos se registran estos indicios, este
conjunto de información que permitirá llevar a cabo la
tarea de evaluación […].
Criterios: elementos a partir de los cuales se puede
establecer la comparación respecto del objeto de
evaluación o algunas de sus características […].
Juicio de valor: íntimamente vinculado con el anterior,
pero constituyendo el componente distintivo de todo
proceso de evaluación se encuentra la acción de juzgar, de
emitir o formular juicios de valor […].
Toma de decisiones: por último la toma de decisiones es
un componente inherente al proceso de evaluación y que
lo diferencia de otro tipo de indagación sistemática. Las
acciones evaluativas cobran sentido en tanto soporte para
la toma de decisiones […]” .
Estas etapas pueden constituirse en una forma de definir
la evaluación, pero su adecuada aplicación requiere
algunas precisiones. La definición de criterios es una
actividad que implica ciertos riesgos: por un lado, caer en
un normativismo que atente contra la motivación de los y
las estudiantes y, por otro, renunciar a la elaboración de
criterios en nombre de una aproximación más intuitiva.
Consideramos que ambos riesgos deben ser evitados y
en este sentido recomendamos enfáticamente poner en
común con el estudiantado los instrumentos y criterios de
evaluación desde el comienzo de las actividades.
En cuanto a los juicios de valor, es fundamental no perder
de vista que generan impacto emocional e inciden en
la motivación de los estudiantes. Para evitar la carga
negativa que pueden arrastrar los juicos, además de tener
criterios claros y comunes, es necesario “desmitificar el
error”, pues sin este elemento el aprendizaje es imposible.
En este sentido, puede decirse que: “Estas elecciones
equivocadas se llaman adecuadamente “error” cuando
son de tal clase que puedan proporcionar al organismo
una información que contribuya a su futura destreza”. Si
se comprende que el “error”, por definición, es condición
necesaria del aprendizaje, se entenderá la importancia de
formar juicios razonablemente fundados. En el conjunto
de recursos que conforman la propuesta se ha optado
por preferir conceptos con un impacto emocional menor,
como “problema” o “inadecuación”.
108
Elementos claves de la propuesta

d. Motivación para el aprendizaje
“Motivación” y “emoción” son términos estrechamente
ligados. Estas palabras derivan del verbo latino moveré
que significa ‘moverse’, ‘poner en movimiento’, ‘estar
listo para la acción’. La motivación es lo que nos impulsa
a actuar para conseguir un objetivo, un estado interno
que excita, dirige y sostiene el comportamiento.
En el ámbito escolar se entiende que la motivación
es un proceso interno que activa, dirige y mantiene
una conducta hacia un aprendizaje concreto y en el
que participan, obviamente, variables biológicas,
psicológicas, de personalidad, sociales y cognitivas. El
desarrollo y equilibrio de estos procesos favorecerá una
motivación intrínseca, gracias a la cual los alumnos y las
alumnas podrán presentar un conducta positiva frente
al aprendizaje sin necesidad de recurrir a la motivación
extrínseca relacionada con refuerzos exteriores,
recompensas, castigos, notas, etc.
La motivación es crucial para el aprendizaje exitoso y se
encuentra vinculada muy de cerca con la comprensión
y las emociones. La motivación puede ser descrita como
la fuerza resultante de los componentes emocionales y
refleja hasta dónde está preparado un organismo para
actuar física y mentalmente de una manera focalizada.
De acuerdo con esto, la motivación está íntimamente
relacionada con las emociones, ya que estas últimas
constituyen la forma en que el cerebro evalúa si actuar
o no sobre las cosas. Por lo tanto, es posible formular
la hipótesis de que los sistemas emocionales crean
motivación. Las emociones y las motivaciones son los
verdaderos impulsores de cualquier aprendizaje humano.
El profesor o la profesora deberían controlar el estado
de ánimo de sus estudiantes, puesto que este va a ser
determinante en la motivación, en la elaboración de
contenidos docentes, en la comprensión y en la ejecución
de los mismos. El cerebro dispone de un sistema muy
bueno de motivación que consiste en la búsqueda de
novedades; el niño o la niña se motivan si tiene nuevos
estímulos que explorar o conocer. En un ambiente
aburrido, estable, sin contrastes, anodino, el cerebro del
niño o niña se vuelve pasivo por falta de motivación.
Por el contrario, en un ambiente enriquecido, lleno de
estímulos y con perspectivas de futuro, el cerebro se activa
enormemente.
Pero los estados de motivación y desmotivación no son
permanentes, por lo que durante un día de clase, los y las
estudiantes pueden pasar por varios estados sucesivos.
Según Jensen (2004), puede haber tres razones diferentes
por las que el alumnado no está motivado temporalmente:
1. Las asociaciones del pasado, que le pueden provocar
un estado negativo o apático. La memoria emocional
es asociativa y puede dispararse ante un determinado
estímulo que recuerde una situación negativa.
2. Estilos de enseñanza poco o nada participativos,
carencia de recursos, temperatura inadecuada, etc.
3. Falta de objetivos claramente definidos o creencias
limitantes respecto de su aprendizaje, lo cual no les
permite activar la parte izquierda de la corteza frontal,
asociada a las emociones positivas.
Podemos recomendar cinco estrategias que propone
Jensen (2004) para ayudar a los alumnos y las alumnas a
motivarse.
1. Eliminar la amenaza. Es importante que el o la docente
descubra y neutralice los problemas que pueden existir
en el aula y ser percibidos por los y las estudiantes
como amenazas.
2. Fijar objetivos. Estos deben ser conocidos por los y las
estudiantes, y relacionados con sus vidas e intereses.
3. Influir positivamente. Es necesario influir sobre las
creencias de alumnos y alumnas respecto a sí mismos
y sus capacidades, para desarrollar su autoconfianza.
4. Gestionar sus emociones. Se debe enseñar la
regulación emocional; también puede promoverse
mediante el trabajo de rituales, celebraciones,
movimiento, etc.
5. Generar un proceso de retroinformación continua.
Tanto si se da entre docentes y estudiantes, como entre
compañeros y compañeras, el feedback enriquece la
experiencia de aprendizaje.
109

Visión global
Unidad 3: Geometría
Hilo Conductor: Funcionalidad instrumental de la Matemática Tiempo estimado: 55 horas
Lecciones Objetivos de aprendizaje Habilidades Actitudes Objetivos transversales
Lección 1:
La esfera
(OA 7) Desarrollar las
fórmulas del área de la
superficie y del volumen de
la esfera:
– conjeturando la fórmula
– representando de
manera concreta y
simbólica, de manera
manual y/o con software
educativo
– resolviendo problemas
de la vida diaria y de
geometría.
Argumentar y comunicar
– Describir relaciones y
situaciones matemáticas
usando lenguaje
matemático, esquemas y
gráficos.
– Explicar demostraciones
de resultados mediante
definiciones, axiomas,
propiedades y teoremas.
(OA D) Trabajar en equipo,
en forma responsable y
proactiva, ayudando a
los otros, considerando
y respetando los aportes
de todos, y manifestando
disposición a entender
sus argumentos en
las soluciones de los
problemas.
Proactividad y trabajo
– Demostrar interés por
conocer la realidad y
utilizar el conocimiento.
– Comprender y valorar la
perseverancia, el rigor
y el cumplimiento, por
un lado, y la flexibilidad,
la originalidad, la
aceptación de consejos
y críticas y el asumir
riesgos, por el otro, como
aspectos fundamentales
en el desarrollo y la
consumación exitosa de
tareas y trabajos.
Lección 2:
Razones
trigonométricas
(OA 8) Mostrar que
comprenden las razones
trigonométricas de seno,
coseno y tangente en
triángulos rectángulos:
– relacionándolas con
las propiedades de la
semejanza y los ángulos.
– explicándolas de manera
pictórica y simbólica, de
manera manual y/o con
software educativo
– aplicándolas para
determinar ángulos o
medidas de lados
– resolviendo problemas
geométricos y de otras
asignaturas
(OA 9) Aplicar las
razones trigonométricas
en diversos contextos
en la composición y
descomposición de
vectores y determinar las
proyecciones de vectores.
Representar
Elegir o elaborar
representaciones de
acuerdo a las necesidades
de la actividad,
identificando sus
limitaciones y validez de
éstas.
(OA B) Demostrar
curiosidad, interés
por resolver desafíos
matemáticos, con
confianza en las propias
capacidades, incluso
cuando no se consigue un
resultado inmediato.
Tecnologías de la
información y la
comunicación.
– Utilizar TIC que
resuelvan las
necesidades de
información,
comunicación, expresión
y creación dentro del
entorno educativo y
social inmediato.
– Utilizar aplicaciones para
representar, analizar y
modelar información y
situaciones, comprender
y resolver problemas
de manera eficiente y
efectiva.
110
Visión global

Unidad 4: Probabilidad y estadística
Hilo Conductor: Funcionalidad instrumental de la Matemática Tiempo estimado: 71 horas
Lecciones Objetivos de aprendizaje Habilidades Actitudes Objetivos transversales
Lección 1:
Técnicas de
conteo
(OA 11) Utilizar
permutaciones y la
combinatoria sencilla para
calcular probabilidades
de eventos y resolver
problemas.
Resolver problemas
– Evaluar el proceso y
comprobar resultados y
soluciones dadas de un
problema matemático
(OA E) Mostrar una
actitud crítica al
evaluar las evidencias
e informaciones
matemáticas y valorar
el aporte de los datos
cuantitativos en la
comprensión de la
realidad social.
Dimensión socio-cultural
y ciudadana
– Reconocer y respetar la
igualdad de derechos
entre hombres y mujeres
y apreciar la importancia
de desarrollar relaciones
que potencien su
participación equitativa
en la vida económica
familiar, social y cultural.
Lección 2:
Variable
aleatoria
(OA 10) Mostrar que
comprenden las variables
aleatorias finitas:
– definiendo la variable
– determinando los
posibles valores de la
incógnita
– calculando su
probabilidad
– graficando sus
distribuciones.
Argumentar y comunicar
Describir relaciones y
situaciones matemáticas,
usando lenguaje
matemático, esquemas y
gráficos.
(OA F) Usar de manera
responsable y efectiva
las tecnologías de la
comunicación en la
obtención de información,
dando crédito al trabajo
de otros y respetando la
propiedad y la privacidad
de las personas.
Tecnologías de la
información y la
comunicación (TIC)
– Utilizar aplicaciones
para presentar,
representar, analizar y
modelar información y
situaciones, comunicar
ideas y argumentos,
comprender y resolver
problemas de manera
eficiente y efectiva,
aprovechando múltiples
medios (texto, imagen,
audio y video)
Lección 3:
Probabilidades
(OA 12) Mostrar que
comprenden el rol de
la probabilidad en la
sociedad:
– revisando informaciones
de los medios de
comunicación
– identificando
suposiciones basadas en
probabilidades
– explicando cómo una
probabilidad puede
sustentar suposiciones
opuestas
– explicando decisiones
basadas en situaciones
subjetivas o en
probabilidades.
Modelar
Evaluar modelos,
comparándolos entre
sí y con la realidad
y determinando sus
limitaciones.
(OA E) Mostrar una
actitud crítica al
evaluar las evidencias
e informaciones
matemáticas y valorar
el aporte de los datos
cuantitativos en la
comprensión de la
realidad social.
Dimensión
cognitiva-intelectual
– Desplegar las habilidades
de investigación que
involucran identificar,
procesar y sintetizar
información de diversas
fuentes; organizar
información relevante
acerca de un tópico
o problema; revisar
planteamientos a la luz
de nuevas evidencias
y perspectivas; y
suspender los juicios en
ausencia de información
suficiente.
111

112

Texto del estudiante
MATEMÁTICA
Ana José Chacón Aguirre
Licenciada en Educación de Matemática
y Computación
Profesora de Estado de Matemática y Computación
Universidad de Santiago de Chile
Guillermo García Castillo
Licenciado en Educación de Física y Matemática
Profesor de Estado de Física y Matemática
Universidad de Santiago de Chile
Pedro Rupin Gutiérrez
Licenciado en Matemática, Profesor de Matemática,
Pontificia Universidad Católica de Chile
Javiera Setz Mena
Licenciada en Matemática,
Profesora de Matemática,
Marcia Villena Ramírez
Licenciada en Educación, Profesora de Matemática
Magíster en Educación con mención
Dificultades del Aprendizaje
MEDIO
2º
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Coordinación de Diseño
Gabriela de la Fuente Garfias
Diseño y diagramación
Karina Riquelme Riquelme
Iconografía
Vinka Guzmán Tacla
Diseño de portada
Estudio SM
Ilustración de portada
Estevan Silveira
Ilustración
Julio Bastral Delgado
Luis Santelices Catalán
Fotografías
Archivos fotográficos SM
Shutterstock
Wikimedia Commons
Gestión de derechos
Loreto Ríos Melo
Jefatura de producción
Andrea Carrasco Zavala
Este texto corresponde al Segundo año de Educación Media y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo
N° 614/2013, del Ministerio de Educación de Chile.
©2017 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – Providencia
ISBN: 978-956-363-295-8 / Depósito legal: 280416
Se terminó de imprimir esta edición de 209.271 ejemplares en el mes de octubre del año 2019.
Impreso por A Impresores
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas
en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía
y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
Dirección editorial
Arlette Sandoval Espinoza
Coordinación editorial
María José Martínez Cornejo
Coordinación Matemática
Carla Frigerio Cortés
Edición
Javiera Setz Mena
Ayudantía de edición
Rodolfo Godoy Sinn
Autoría
Ana José Chacón Aguirre
Guillermo García Castillo
Pedro Rupin Gutiérrez
Javiera Setz Mena
Marcia Villena Ramírez
Asesoría pedagógica
Guadalupe Álvarez Pereira
Corrección de estilo y prueba
Víctor Navas Flores
Desarrollo de solucionario
Tomás Bralic Muñoz
Sergio Muñoz Venegas
Cristian Rosas Gómez
El Texto del Estudiante de Matemática 2.º medio es una
creación de Ediciones SM, Chile.
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Presentación
A descubrir la utilidad de la matemática
en diversas situaciones, desarrollando mis
habilidades de argumentación y comunicación
de ideas, conclusiones y fundamentos; de
representación de conceptos en distintas
modalidades; de selección y aplicación de
modelos y de resolución de problemas.
A partir de actividades desarrolladas, las que me
desafiarán en diversos contextos y temas. Cada
una de las actividades y secciones propuestas
son instancias de aprendizaje que harán
cuestionarme, reflexionar y buscar respuestas
creativas para llegar a la o las soluciones posibles.
Aprender es un proceso natural que requiere
de trabajos colaborativos que me permitirán
debatir ideas, cuestionar procedimientos y llegar
a acuerdos y conclusiones grupales.
Para confiar en mi propio razonamiento y para que
sea capaz de aplicar los conceptos, los procedimientos
y las habilidades propios de la matemática a la
resolución de problemas reales en diferentes
contextos.
¿Qué voy a aprender?
¿Cómo voy a aprender?
¿Para qué voy a aprender?
La matemática es una herramienta fundamental para explicar la mayoría de
los avances de nuestra sociedad: es dinámica y creativa, utiliza un lenguaje
universal y ha sido desarrollada como medio para aprender a pensar y para
resolver problemas. El Texto que tienes en tus manos es un material pensado
en ti, y su finalidad es que, a partir de actividades, desarrolles habilidades,
manejes procedimientos y adquieras conocimientos y actitudes.
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NÚMEROS 12 - 15
Lección 1 Números reales ......................................................................................... 16
Tema 1: ¿Existen números que no sean racionales?............................................. 18
Tema 2: ¿Cómo se ordenan y aproximan los números irracionales? ............... 22
Tema 3: ¿Cómo se puede calcular con números reales? ..................................... 28
¿Cómo voy?: Evaluación de proceso..................................................................34 – 37
Lección 2 Raíces enésimas y logaritmos ................................................................ 38
Tema 1: ¿Cuáles son las raíces enésimas? ................................................................ 40
Tema 2: ¿Qué representan las potencias de exponente fraccionario?............ 46
Tema 3: ¿Qué son los logaritmos? .............................................................................. 50
Tema 4: ¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos?.................................... 54
Taller de habilidades ............................................................................................... 60
¿Cómo voy?: Evaluación de proceso..................................................................62 – 65
Matemática en acción ............................................................................................. 66
Sintetizo mis aprendizajes ..................................................................................... 68
¿Qué aprendí? Evaluación final ......................................................................70 – 75
4 Índice
Índice
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ÁLGEBRA Y FUNCIONES 76 - 79
Lección 3 Cambio porcentual .................................................................................. 80
Tema 1: ¿Qué se entiende por cambio porcentual?.............................................. 82
Tema 2: ¿Cómo se aplica el interés compuesto?.................................................... 86
¿Cómo voy?: Evaluación de proceso................................................................ 92 – 93
Lección 4 Ecuaciones cuadráticas........................................................................... 94
Tema 1: ¿Cuándo se dice que una ecuación es cuadrática?............................... 96
Tema 2: ¿En qué consiste la resolución por factorización?................................ 100
Tema 3: ¿Cuál es el algoritmo para completar el cuadrado?............................ 106
Tema 4: ¿Cómo se aplica la fórmula general?....................................................... 110
Taller de habilidades .............................................................................................. 116
¿Cómo voy?: Evaluación de proceso............................................................. 118 – 121
Lección 5 Funciones cuadráticas.......................................................................... 122
Tema 1: ¿Cuándo se dice que una función es cuadrática?................................ 124
Tema 2: ¿Cómo se interpretan los parámetros de la gráfica?........................... 130
Tema 3: ¿Cómo cambia la gráfica según cada parámetro? .............................. 136
Tema 4: ¿En qué situaciones se aplican las funciones cuadráticas?............... 142
¿Cómo voy?: Evaluación de proceso............................................................ 146 – 149
Lección 6 Función inversa....................................................................................... 150
Tema 1: ¿Cuándo una función tiene función inversa? ........................................ 152
Tema 2: ¿Cómo se relaciona la gráfica de una función y la de su inversa? 158
Tema 3: ¿Cómo es la función inversa de funciones lineales y afines? ........... 164
Tema 4: ¿Cuál es la función inversa de la función cuadrática? ........................ 168
¿Cómo voy?: Evaluación de proceso............................................................. 172 – 175
Matemática en acción ........................................................................................... 176
Sintetizo mis aprendizajes ................................................................................... 178
¿Qué aprendí? Evaluación final ................................................................ 180 – 185
5Matemática • 2.° Medio
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GEOMETRÍA 186 - 189
Lección 7 La esfera................................................................................................. 190
Tema 1: ¿Qué es una esfera?...................................................................................... 192
Tema 2: ¿Cómo se calcula el volumen de la esfera? ........................................... 196
Tema 3: ¿Cómo se calcula el área de la esfera?.................................................... 202
¿Cómo voy?: Evaluación de proceso........................................................... 208 – 209
Lección 8 Razones trigonométricas..................................................................... 210
Tema 1: ¿Qué son las razones trigonométricas?................................................... 212
Taller de habilidades.............................................................................................. 218
Tema 2: ¿En qué se aplican las razones trigonométricas?................................. 220
Tema 3: ¿Cómo se determinan las componentes de un vector?..................... 226
¿Cómo voy?: Evaluación de proceso............................................................ 232 – 235
Matemática en acción............................................................................................ 236
Sintetizo mis aprendizajes.................................................................................... 238
¿Qué aprendí? Evaluación final..................................................................240 – 245
6 Índice
Índice
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 246 - 249
Lección 9 Técnicas de conteo............................................................................... 250
Tema 1: ¿Cuándo se aplica el principio multiplicativo?....................................... 252
Tema 2: ¿Qué son las permutaciones y las combinaciones? .............................256
Tema 3: ¿En qué se aplican las combinaciones? .................................................. 262
¿Cómo voy?: Evaluación de proceso.............................................................268 – 269
Lección 10 Variable aleatoria.................................................................................. 270
Tema 1: ¿Qué es una variable aleatoria?................................................................. 272
Tema 2: ¿Cuál es la probabilidad de una variable aleatoria?............................ 278
Tema 3: ¿Cómo se grafica la distribución de una variable aleatoria? ............ 284
¿Cómo voy?: Evaluación de proceso.............................................................290 – 293
Lección 11 Probabilidades...................................................................................... 294
Tema 1: ¿Cómo se aborda la probabilidad en
los medios de comunicación?.................................................................... 296
Tema 2: ¿Cómo se aplica la probabilidad en la toma de decisiones?............ 302
Tema 3: ¿Cómo puede interpretarse la probabilidad?........................................ 306
Taller de habilidades.............................................................................................. 310
¿Cómo voy?: Evaluación de proceso..............................................................312 – 315
Matemática en acción............................................................................................ 316
Sintetizo mis aprendizajes.................................................................................... 318
¿Qué aprendí? Evaluación final..................................................................320 – 325
Solucionario ............................................................................................................ 326
Glosario ................................................................................................................... 364
Bibliografía ............................................................................................................ 367
7Matemática • 2.° Medio
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Geometría
Fundamentación de la unidad
La unidad de Geometría se compone de dos lecciones que
combinan el estudio y la aplicación de representaciones
en tres dimensiones, (la esfera en la Lección 7), y en dos
dimensiones, (trigonometría y vectores en la Lección 8).
El hilo conductor para esta unidad, en la dimensión de la
compresión de otras áreas, es la astronomía. En ese con-
texto, se pone énfasis en motivar a las y los estudiantes
a conocer más tanto de los observatorios astronómicos
como de la esfera celeste. En cuanto a la dimensión de
herramientas para la vida, se destacan actitudes relacio-
nadas con el trabajo colaborativo y el interés y curiosidad
implícitos en el trabajo de la matemática.
Con la esfera se finaliza el estudio de los cuerpos geomé-
tricos como tales, y se retoman en 4° año de Educación
Media en el cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos
generados por traslación y rotación de figuras planas
en el espacio. Por otra parte, el estudio de las razones
trigonométricas será prerrequisito para el trabajo en el
conjunto de los números complejos en 3° año de Edu-
cación Media. Además, su relación con los vectores
permitirá la comprensión del sistema tridimensional de
coordenadas (rectas, planos y vectores en 3D) que se es-
tudiarán en el mismo nivel.
Para Hernández y Villalba (2001) la Geometría es “tal
vez la parte de las matemáticas más intuitiva, concreta y
ligada a la realidad” puesto que describe el espacio en el
cual vivimos, sin embargo “como disciplina matemática
también se apoya en procesos de formalización, abstrac-
ción y generalización.” Esta dualidad está presente en las
experiencias de aprendizaje propuestas, por ejemplo al
utilizar material concreto para deducir una fórmula para
el cálculo del área de una esfera, o partiendo de lo abs-
tracto de las razones trigonométricas para finalizar en lo
concreto del cálculo de distancias inasequibles y la crea-
ción de las herramientas necesarias para ello.
En esta unidad la conceptualización de la enseñanza de
la geometría responde al modelo Van Hiele. Sin embar-
go, aun cuando este considera cinco niveles específicos
de pensamiento y conocimiento, se han elegido solo los
primeros tres: visualización, análisis y ordenación. Ello,
en correspondencia con Fouz (2005), quien sostiene
que estos son los esperables a nivel escolar. A los nive-
les definidos por los profesores Van Hiele, se agregan las
habilidades específicas de la geometría planteadas por
Hoffer (1990). Dichas habilidades, presentes en todos
y cada uno de los niveles, se expresan resumidamente
en nuestro currículo: las habilidades visual, verbal y de
dibujo de Hoffer corresponden a la habilidad de Repre-
sentar de nuestro currículo, mientras que las habilidades
lógica y de modelación corresponden, en nuestro siste-
ma, a la habilidad de Argumentar y comunicar. Esto
puede ser representado en el siguiente esquema.
Reconocimiento Visual
Ordenación Para dibujar
Análisis Verbal Representar
Argumentar
y comunicar
Deducción Lógica
Rigor Para modelar
Unidad 3 • Geometría
114
U3_Mat_2M_Gui_Lic_L07_L08.indd 114 30/9/19 12:56

Bibliografía
• Sobre las habilidades desarrolladas por el estudio de la geometría.
Recuperado el 11 de abril de 2017 en
https://pedagogic07.wordpress.com/2007/07/17/habilidades-desarrolladas-por-la-geometria-en-los-ninos/
• Galindo, C. (1996). Desarrollo de habilidades básicas para la comprensión de la geometría. Revista EMA, 1
(2), 49-58. Recuperado el 11 de abril de 2017 en
http://funes.uniandes.edu.co/1035/1/22_Galindo1996Desarrollo_RevEMA.pdf
• Hoffer, A. (1990). La geometría es más que demostración. Notas de Matemática, 29, 10-24.
Sobre las dificultades de la enseñanza de la geometría.
• Gamboa, R. y Ballestero, E. (2010). La enseñanza y aprendizaje de la geometría en secundaria, la perspectiva
de los estudiantes. Revista Electrónica Educare, J125-142.
Recuperado el 10 de junio de 2016 en http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=194115606010
• Fouz, F. y De Donosti, B. (2005). Modelo de Van Hiele para la didáctica de la Geometría. Centro virtual de
divulgación matemática. Real Sociedad Matemática Española. Recuperado el 02 de mayo de 2017 de http://
www.xtec.cat/~rnolla/Sangaku/SangWEB/PDF/PG-04-05-fouz.pdf
Organizaciónde la unidad
Hiloconductor
La Esfera
Volumen y área
de la esfera
Razones
trigonométricas
Trigonometría
y vectores
Trigonometría
Actitudes
• Trabajar en equipo, en forma
responsable y proactiva.
• Demostrar curiosidad, interés por
resolver desafíos matemáticos.
Habilidades
• Argumentar y comunicar
• Representar
Geometría
Hilo conductor: Funcionalidad instrumental de la Matemática
Herramienta para la vida:
Desarrollo de actitudes.
Herramienta para la comprensión de
otras áreas:
Comprensión del universo
Herramienta para seguir estudiando matemática:
Desarrollo de habilidades espaciales y visuales
115

Planificaciónde la unidad
Lección 7: La esfera
OA Temas
(OA 8) Desarrollar las fórmulas del área de la superficie y del
volumen de la esfera:
• conjeturando la fórmula
• representando de manera concreta y simbólica, de manera
manual y/o con software educativo
• resolviendo problemas de la vida diaria y de geometría
Tema 1: ¿Qué es una esfera?
Tema 2: ¿Cómo se calcula el volumen de la esfera?
Tema 3: ¿Cómo se calcula el área de la esfera?
Lección 8: Razones trigonométricas
(OA 8) Mostrar que comprenden las razones trigonométricas
de seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos:
• relacionándolas con las propiedades de la semejanza y los
ángulos
• explicándolas de manera pictórica y simbólica, de manera
manual y/o con software educativo
• aplicándolas para determinar ángulos o medidas de lados
• resolviendo problemas geométricos y de otras asignaturas
(OA 9) Aplicar las razones trigonométricas en diversos
contextos en la composición y descomposición de vectores y
determinar las proyecciones de vectores.
Tema 1: ¿Qué son las razones trigonométricas?
Tema 2: ¿En qué se aplican las razones trigonométricas?
Tema 3: ¿Cómo se determinan las componentes de un vector?
116

Tiempo: 20 horas
Indicadores de evaluación
Recursos
TE CE Otros
• Relacionan la esfera con objetos cotidianos (balón de
fútbol, pelota de tenis, etc.)
• Reconocen la esfera como lugar geométrico y como
cuerpo de revolución.
Páginas 190 a
195
Páginas 92 y 93
• Relacionan medidas de contenidos en envases en
forma de cono, cilindro y esfera, que tienen el mismo
radio y cuya altura también es igual al diámetro.
• Derivan la fórmula del volumen de una esfera, a partir
de los datos obtenidos en la comparación.
• Determinan la relación entre el volumen de la esfera y
el volumen de un cono inscrito en ella.
• Reconocen que el volumen del cono es un cuarto del
volumen de la esfera, si el radio y la altura son iguales
en ambas figuras 3D.
• Representan el volumen de la esfera como un conjun-
to infinito de conos, que están unidas en el centro.
• Aplican las fórmulas de volumen para resolver proble-
mas geométricos, científicos y de la vida diaria.
Páginas 196 a
201
Páginas 94 y 95
• Derivan el área de la esfera a partir de su volumen, el
cual está igualado al volumen de infinitos conos y de
la suma de sus bases, que representaría una aproxima-
ción al área de la esfera.
• Aplican las fórmulas de superficie para resolver pro-
blemas geométricos, científicos y de la vida diaria.
Páginas 202 a
207
Páginas 96 y 97 Act. fotocopia-
ble GDD: página
135 y 136
Tiempo: 35 horas
• Explican las razones trigonométricas por medio de
dibujos.
• Resuelven triángulos en ejercicios rutinarios; es decir,
determinan todos sus ángulos y la medida de todos
sus lados.
Páginas 212 a
217
Páginas 101 a
103
Calculadora
TE: página 221,
CE: página 105
y 106
• Resuelven problemas de la vida cotidiana, de geo-
metría y de ciencias naturales, aplicando las razones
trigonométricas.
Páginas 220 a
225
Páginas 107 y
108
• Representan vectores, utilizando seno y coseno.
• Utilizan las razones trigonométricas para componer
(descomponer) vectores.
• Determinan las proyecciones perpendiculares de vec-
tores utilizando las razones trigonométricas.
Páginas 226 a
231
Páginas 109 a
111
Act. fotocopia-
ble GDD: página
137 y 138
117
3
unid
ad

Planificación del desarrollo de habilidades
Planificación del desarrollo de actitudes
Los talleres de habilidades de esta unidad se relacionan con las habilidades de Argumentar y comunicar
y de Representar, las cuales se explicitan a través de los indicadores de la siguiente tabla.
No se debe olvidar que en todo momento del proceso de enseñanza aprendizaje están en juego todas las
habilidades matemáticas, no obstante los talleres se centran en las dos antes nombradas.
Lección Habilidad Indicador Páginas
7 Argumentar y
comunicar
• Describir relaciones y situaciones matemáti-
cas usando lenguaje matemático, esquemas y
gráficos.
• Explicar demostraciones de resultados mediante
definiciones, axiomas, propiedades y teoremas.
8 Representar • Elegir o elaborar representaciones de acuerdo a
las necesidades de la actividad, identificando sus
limitaciones y validez de éstas.
• TE: página 218
• CE: página 104
Los Objetivos de aprendizaje transversales (OAT) propuestos para esta unidad corresponden a las dimen-
siones de Proactividad y trabajo y Tecnologías de la información y la comunicación, estas se relacionan
con las actitudes descritas a continuación.
Lección Actitud Indicador
7 Trabajar en equipo, en forma res-
ponsable y proactiva, ayudando a los
otros, considerando y respetando los
aportes de todos, y manifestando dis-
posición a entender sus argumentos
en las soluciones de los problemas.
(OA D)
• Respetan y valoran las opiniones y logros de otros.
• Comparten, obedecen y asumen responsabilidades.
• Manejan formas de convivencia, como trabajo entre pa-
res, en grupos chicos, en pleno o en forma individual.
• Aceptan reglas y plazos.
• Trabajan sin supervisión.
8 Demostrar curiosidad, interés por
resolver desafíos matemáticos, con
confianza en las propias capacidades,
incluso cuando no se consigue un
resultado inmediato. (OA B)
• Comparten de forma desinteresada sus puntos de vista.
• Formulan preguntas o exponen hipótesis propias acerca
de una situación o un problema.
• Participan en la búsqueda de una posible solución a un
problema.
118

Planificación del desarrollo de objetivos de aprendizaje transversales
Plan de evaluación
Los objetivos de aprendizaje transversales están relacionados a las actividades de aprendizaje de cada
lección, en este caso se escogieron los que siguen, específicamente para cada lección.
Lección Habilidad Indicador
7 Proactividad y trabajo • Demostrar interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.
• Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, por
un lado, y la flexibilidad, la originalidad, la aceptación de consejos y
críticas y el asumir riesgos, por el otro, como aspectos fundamentales
en el desarrollo y la consumación exitosa de tareas y trabajos.
8 Tecnologías de la
información y la
comunicación.
• Utilizar TIC que resuelvan las necesidades de información, comuni-
cación, expresión y creación dentro del entorno educativo y social
inmediato.
• Utilizar aplicaciones para representar, analizar y modelar información
y situaciones, comprender y resolver problemas de manera eficiente y
efectiva.
La evaluación es un aspecto que acompaña al aprendizaje en todos los momentos de este, como puede
observarse en la siguiente tabla.
Tipo de evaluación Páginas TE Páginas CE
Diagnóstica Inicio Unidad Página 187
Inicio Lección 7 Páginas 190 y 191 Página 91
Inicio Lección 8 Páginas 210 y 211 Página 100
Intermedia ¿Cómo voy? Lección 7 Páginas 208 y 209 Páginas 98 y 99
¿Cómo voy? Lección 8 Páginas 232 a 235 Páginas 112 y 113
Final ¿Qué aprendí? Páginas 240 a 245 Páginas 118 a 121
Reviso mis metas y estrategias Página 245
3
unid
ad
119

Orientaciones al docente
Componentes: (TE: página 186 y 189, CE: página 90)
La unidad comienza presentando el observatorio de La
Silla, uno de los más grandes de la organización ESO (Ob-
servatorios europeos del sur). En ese contexto se plantean
preguntas que tienen como objetivo rescatar conocimien-
tos previos sobre los conceptos claves de las lecciones, la
esfera en la primera lección y la semejanza de triángulos
que será utilizada para definir las razones trigonométricas
en la segunda.
Se recomienda detenerse un momento en la segunda pre-
gunta de la página 187, esta se refiere a objetos de la vida
real que pueden ser modelados utilizando la esfera. Se
considera importante discutir el concepto de modelo en
el trabajo matemático y conectar esta discusión con los
modelos vistos en la unidad anterior de funciones.
A lo largo de todo el Texto se recomienda este tipo de
discuciones que motivará a los y las estudiantes a plan-
tearse preguntas matemáticas y, en conjunto, llegar a
respuestas o despertar inquietudes motivadoras en las y
los estudiantes.
El trabajo en la sección Mis metas y estrategias, tal como
se ha planteado en las unidades anteriores, puede ser di-
vidido en tres partes. En la primera, las y los estudiantes
podrán revisar los objetivos de aprendizaje propuestos en
el texto bajo la visión de los efectos que podrían llegar a
tener en la vida práctica de ellas y ellos.
Se recomienda detenerse en la pregunta ¿Para qué me ser-
virá? y explorar con los y las estudiantes otras posibles
respuestas. Esta pregunta es importante puesto que las
Bases curriculares proponen que las y los estudiantes “de-
ben percibir la matemática en su entorno y que se valga de
los conocimientos adquiridos para describir y analizar el
mundo con del fin de desenvolverse efectivamente en él.”
En una segunda instancia los y las estudiantes podrán re-
visar las habilidades matemáticas que se ponen en juego
para el logro de dichos aprendizajes. En esta unidad se
hace hincapié en las de Argumentar y comunicar y Re-
presentar, que como se fundamentó en la introducción
de la unidad involucran las habilidades propias de la
Geometría.
Las actitudes, tanto como las habilidades, juegan un
rol preponderante en la predisposición de las y los es-
tudiantes para enfrentar el trabajo de los contenidos.
Se recomienda detenerse en este punto para que ellas y
ellos discutan qué diferencia se puede observar en los
resultados de un trabajo si este se enfrenta con interés y
de forma cooperativa.
Una vez que los y las estudiantes han revisado objetivos,
actitudes y habilidades pueden, en una tercera instan-
cia, plantearse metas y las estrategias personales para
lograrlas.
Tal como se dijo con anterioridad, llegar a conocer los
objetivos que se quieren alcanzar y la posibilidad de la
elección de las estrategias para conseguir los objetivos
planteados son dos características de la metacognición.
El objetivo final de la enseñanza de la matemática, junto
con la de otras áreas es desarrollar estudiantes indepen-
dientes y seguros de sus capacidades. Para lograr esto es
indispensable que las y los estudiantes sientan que ellos
y ellas pueden determinar la forma en que desarrollan sus
aprendizajes.
En la página 90 del Cuaderno de ejercicios se encuentra
un esquema que puede utilizar no solo para conversar
con los y las estudiantes sobre los contenidos, habilida-
des y actitudes, sino también cómo se relacionan unas
con otras. Además, de cómo es necesario trabajar ar-
moniosamente todas estas dimensiones del proceso de
aprendizaje.
Si estima adecuado, puede complementar la información
de La Silla con la entregada en los Links de interés que se
entregan más adelante.
Links de interés
Para visitar el sitio del observatorio La Silla, utilice el
siguiente enlace:
http:/codigos.auladigital.cl código 18GM2M120A
En este enlace, puede descargar un PDF con la historia,
ubicación y funcionamiento de los observatorios que
se ubican a lo largo de Chile.
http:/codigos.auladigital.cl código 18GM2M120B
En el siguiente enlace puede encontrar una historia
del telescopio, además de otros temas de difusión de la
astronomía:
http:/codigos.auladigital.cl código 18GM2M120c
Inicio de la unidad
120

LECCIÓN 7: La esfera
Objetivo: Desarrollar las fórmulas del área de la superficie y del volumen de la esfera.
Prerrequisitos:
• Número π.
• Perímetro y área del círculo.
• Área y volumen del cilindro y cono.
Para:
• conjeturar las fórmulas de área y volumen de la esfera.
• representar de manera concreta y simbólica, de manera manual
y/o con software educativo.
• resolver problemas de la vida diaria y de geometría.
Fundamento de la lección
Gamboa y Ballestero (2010) entrevistaron a estudian-
tes de secundaria sobre la enseñanza de geometría, los
cuales afirmaron que esta era tradicional, “donde los do-
centes presentan la teoría, desarrollan ejemplos y apor-
tan los ejercicios que deben ser resueltos por los y las
estudiantes.”
Lo anterior se contrapone con la visión que presentan
muchos didactas, como Hernández y Villalba (2001), los
cuales muestran la geometría como:
• Una manera de pensar y entender.
• Un ejemplo y un modelo para la enseñanza del razo-
namiento deductivo.
• Un método para las representaciones visuales de
conceptos y procesos de otras áreas en matemática.
• Un punto de encuentro entre una matemática teórica
y una matemática como fuente de modelos.
El objetivo y desafío de esta lección consiste entonces, en
mostrar algunas de estas características de la geometría a
través de las actividades de aprendizaje propuestas, en la
forma de talleres y actividades de proceso y de práctica.
Las y los estudiantes se verán enfrentados a situaciones
contextualizadas en las cuales desarrollarán herramien-
tas geométricas requeridas para encontrar una solución o
utilizar material concreto para deducir o generalizar fór-
mulas y propiedades.
Es importante guiar a los y las estudiantes a través de to-
das las actividades ya que están pensadas en la diversidad
de los diferentes estilos de aprendizajes que ellos y ellas
pueden presentar. Desde actividades con material concre-
to, como la construcción de sólidos de revolución o una
forma concreta para deducir la fórmula para calcular el
área de la superficie de la esfera, hasta otras que exigirán
a las y los estudiantes comprensión del desarrollo teórico
de los conceptos matemáticos, como la relación entre los
volúmenes del cono, cilindro y semiesfera.
Dada la naturaleza de talleres grupales de las actividades
que las y los estudiantes desarrollarán a lo largo de la lec-
ción, se prepone trabajar la actitud referida al trabajo en
equipo.
En estos talleres grupales se pide que cada estudiante se
haga responsable de su trabajo y el de sus compañeros
y compañeras. En las páginas finales de esta guía puede
encontrar pautas de evaluación y autoevaluación para el
trabajo grupal.
Por otra parte, y en respuesta de las actividades referidas
a la deducción de fórmulas y propiedades se propone el
Objetivo de aprendizaje transversal en la dimensión
Proactividad y trabajo referido a “demostrar interés por
conocer la realidad y utilizar el conocimiento.”
Las actividades de la lección se complementan con las
propuestas en el Cuaderno de ejercicios y la Actividad
complementaria fotocopiable de la página 135 de esta
guía que conecta la esfera con el OA d de Historia, Geogra-
fía y Ciencias Sociales.
El Ministerio de Educación propone que la evaluación
proporciona información que permite conocer fortalezas
y debilidades de los estudiantes y, sobre esa base, retro-
alimentar la enseñanza y potenciar los logros esperados
en la asignatura. Dado esto el Texto propone en la sección
¿Qué aprendí hoy? una instancia de autoevaluación.
A continuación se describen los aspectos didácticos mate-
máticos que estructuran esta lección. Por una parte se des-
tacan las tareas matemáticas, en la forma de indicadores
de evaluación, las actividades de aprendizaje propuestas
en el Texto y finalmente la o las habilidades que se ponen
en juego en cada una de ellas.
Desarrollo de la unidad
121
3
unid
ad

Tareas matemáticas
• Relacionan la esfera con objetos
cotidianos (balón de fútbol, pelota
de tenis, etc.)
• Reconocen la esfera como lugar
geométrico y como cuerpo de
revolución.
Tareas matemáticas
• Determinan la relación entre el
volumen de la esfera y el de un
cono inscrito en ella.
• Reconocen que el volumen del
cono es un cuarto del volumen de
la esfera, si el radio y la altura son
iguales en ambas figuras 3D.
Tareas matemáticas
• Derivan el área de la esfera a
partir de su volumen, el cual
está igualado al volumen de
infinitos conos y de la suma de
sus bases, que representaría una
aproximación al área de la esfera.
Actividades
Taller de reconocimiento. Utilizar
vocabulario matemático para describir la
esfera.
Taller con material concreto. Construcción
de volúmenes de revolución.
Actividad de práctica. Resolución de
problemas contextualizados.
Actividades
Taller de comprensión del principio de
Cavalieri para el volumen de cuerpos
geométricos.
Actividad de modelamiento. Deducción de
la fórmula del volumen de la esfera.
problemas contextualizados
Actividades
Taller con material concreto. Deducir la
fórmula del área de una esfera.
problemas contextualizados.
Habilidades
• Argumentar y comunicar.
• Modelar.
• Resolver problemas.
Habilidades
• Modelar
• Argumentar y comunicar.
Habilidades
• Modelar.
Lección 7: La esfera
Evaluación de conocimientos previos: Inicio de lección
Evaluación de la lección: ¿Cómo voy?
Objetivo de la lección
Tema 2: ¿Cómo se calcula el volumen de la esfera?
122

Orientaciones para el inicio de lección
Componentes: (TE: página 190 y 191, CE: página 91)
Uno de los pioneros en el aprendizaje significativo fue Da-
vid Ausubel (1978) y lo define como aquel aprendizaje con
sentido, el cual se produce cuando la o el estudiante logra
establecer relaciones entre los nuevos conceptos y los cono-
cimientos ya existentes, creando un conocimiento propio.
Consecuentemente con lo anterior el objetivo de estas pá-
ginas es preparar a las y los estudiantes para crear esas
relaciones.
Las actividades del Inicio de lección pueden clasificarse
en dos tipos:
• Ideas previas. (Exploro)
Se recomienda que esta sección sea trabajada, en una
primera instancia, en forma individual respondiendo
las preguntas y leyendo los objetivos, para luego, de-
sarrollar un plenario de tal manera que las respuestas
individuales puedan ser enriquecidas por las opiniones
de los demás.
El docente puede guiar la discusión para explicitar algu-
nas variables que deberían estar presentes. Por una par-
te, la habilidad de Argumentar y comunicar que se pone
en juego cada vez que un o una estudiante presenta sus
respuestas; por otra parte la actitud de Trabajar en equi-
po, con su indicador: Respetar y valorar las opiniones y
logros de otros y, finalmente, el objetivo de aprendizaje
transversal que se manifiesta como “demostrar interés
y utilizar el conocimiento.”
Las variables anteriores estarán presentes en todo el de-
sarrollo de la lección, por lo que podría ser conveniente
que se explicitarán en esta instancia.
• Conocimientos previos. (¿Qué debo saber?)
Para que a los y las estudiantes les haga sentido los
contenidos que deberán repasar en esta sección se reco-
mienda hacer un paralelo entre ellos y los objetivos pro-
puestos que puede ser, por ejemplo, como el siguiente:
Se debe recordar: el número π.
Porque: se utiliza en las fórmulas del área y el volumen
de la esfera.
Se debe recordar: el área y el volumen del cilindro y
cono.
Porque: se utilizarán para deducir las fórmulas respec-
tivas en la esfera y además se establecerá una relación
entre las fórmulas de los primeros con la esfera.
Otro aspecto importante de considerar al trabajar estas
páginas es plantear preguntas matemáticas que permi-
tan a las y los estudiantes revisitar y aclarar conceptos
básicos y utilizar un lenguaje matemático adecuado.
Estas preguntas deben corresponder al nivel del grupo
curso, pero algunos ejemplos pueden ser las siguientes.
¿Qué significa volumen de un cuerpo?
¿Por qué el volumen se mide en unidades cúbicas y la
superficie en unidades cuadradas?
¿Cuál es la diferencia, si la hay, entre los conceptos de
superficie y área?
Recuerde que el trabajo de estas páginas se complementa
con el Cuaderno de ejercicios en el cual se puede encon-
trar más actividades de práctica de estos contenidos, ade-
más de ejercicios de operatoria con números reales.
Componentes: (TE: página 192 a 195, CE:
página 92 y 93)
Objetivo: Caracterizar la esfera y relacionarla con ob-
jetos cotidianos.
En este tema las y los estudiantes relacionarán objetos
cotidianos con la idea de esfera. Se recomienda discutir
con ellos y ellas que muchos de esos objetos se asemejan
a una esfera pero no necesariamente cumplen con todas
sus características, por ejemplo si uno de sus estudiantes
da como ejemplo la luna o un balón de fútbol.
Se sugiere plantear una discusión con sus estudiantes
en la cual, utilizando el razonamiento matemático, po-
drían extender el concepto de función como modelo que
estudiaron en la unidad anterior, a la esfera como modelo
geométrico.
Las actividades de este tema están diseñadas para ser
realizadas por parejas de estudiantes en las cuales cada
uno de los y las participantes deberán expresar sus ideas
respetando y valorando las opiniones y logros del otro,
esto es uno de los indicadores de la actitud propuesta para
esta lección.
123
3
unid
ad

Profundización didáctica
Estilos de aprendizaje
Otra ventaja del trabajo en parejas es permitir que cada
estudiante pueda enfrentar la tarea respetando su pro-
pio estilo de aprendizaje y compartirlo con su compañe-
ro o compañera.
Cada uno podrá enriquecer el trabajo del otro con sus
propias habilidades y capacidades específicas.
Links de interés:
Para mayor información sobre la esfera celeste se puede
visitar el siguiente sitio.
http:/codigos.auladigital.cl código 18GM2M124a
Tema 2: ¿Cómo se calcula el volumen de la
esfera?
Componentes: (TE: página 196 a 201, CE: página 94
y 95)
Objetivo: Calcular el volumen de la esfera.
En la primera unidad los y las estudiantes trabajaron en
el conjunto de los números irracionales, por lo tanto de-
berían estar familiarizados con las implicancias en los
resultados cuando se opera con el número π.
A pesar de lo anterior se recomienda recordarles que todo
cálculo que involucre este número será una aproximación,
puesto que tuvo que redondearse, independiente del nú-
mero de cifras decimales que se utilice y que, por lo tanto
el resultado obtenido será siempre una estimación.
En las actividades propuestas se recomienda utilizar la
aproximación π ≈ 3,14 pero puede ignorar esa indica-
ción y aprovechar la ocasión para orientarlos en el uso
de TICS y pedirle a sus estudiantes que utilicen el valor
predeterminado en sus calculadoras. Si ese es el caso es
conveniente que les comunique el redondeo que deben
realizar al momento de entregar sus respuestas.
Profundización disciplinar
El principio de Cavalieri
Puede complementar la primera actividad propuesta en
este tema con información sobre Bonaventura Cavalieri,
sacerdote jesuita nacido en Italia en el siglo 17 y alum-
no de Galileo. Aunque fue el primero matemático en
introducir en Italia el cálculo logarítmico, su verdadero
aporte fue en plantear que el cálculo de un volumen se
puede efectuar sumando un infinito número de elemen-
tos (principio del cálculo de una integral definida).
El principio de Cavalieri se refiere a que dos cuerpos de
igual área basal e igual altura tienen igual volumen.
Componentes: (página 202 a 207, CE: página 96
y 97)
Objetivo: Calcular el área de la esfera.
El tema se desarrolla con un taller grupal que utiliza mate-
rial concreto para deducir la fórmula del área de la esfera.
Esto presenta una oportunidad valiosa para las y los es-
tudiantes cuyo estilo de aprendizaje sea principalmente
kinestésico, es decir, que aprenden al interactuar física-
mente con el material educativo.
Recuerde complementar los contenidos y actividades de
este tema con las actividades propuestas en el Cuaderno
de ejercicios.
124

Dificultades y errores frecuentes
Cálculo del área total de un cuerpo.
La actividad 1 de la página 204 del Texto puede ser apro-
vechada para detectar una dificultad que se presenta
regularmente. Las y los estudiantes tienden a separar
los sólidos para calcular el volumen y luego los suman,
haciendo lo mismo para calcular el área total, sin darse
cuenta que, por ejemplo, las bases del cilindro y de la se-
miesfera no se deben sumar porque se repetirían. Para re-
solver esto es conveniente pedirles que primero muestren
las caras que deben sumarse.
Evaluación intermedia
Componentes: (página 208 y 209, CE: página 98 y
99)
Objetivo: Obtener información sobre el logro de los
objetivos de aprendizajes propuestos.
Al finalizar la primera lección de esta unidad se presenta
una evaluación de proceso que puede ser utilizada por los
y las estudiantes como una autoevaluación.
Al finalizar la actividad otorgue el tiempo necesario para
que sus estudiantes puedan revisar sus respuestas con las
de sus compañeros y corregir posibles errores.
En la página 98 del Cuaderno de ejercicios encontrará
remediales para cada tema evaluado y en la siguiente pá-
gina una actividad de profundización. Cada uno de sus
estudiantes deberá determinar cuáles actividades deberá
realizar según los resultados obtenidos en esta evaluación.
Autoevaluación
La autoevaluación como estrategia educativa ofrece ven-
tajas, como por ejemplo atiende la diversidad y desarro-
lla hábitos de responsabilidad.
Para recordar otras ventajas de esta modalidad de
evaluación puede visitar es siguiente sitio.
http:/codigos.auladigital.cl código 18GM2M125A
OA Tema Indicador Ítem
superficie y del volumen
de la esfera.
Tema 1 Relacionan la esfera con objetos cotidianos (balón de fútbol,
pelota de tenis, etc.)
1
Reconocen la esfera como lugar geométrico y como cuerpo de
revolución.
2 y 3
Tema 2 y 3 Calculan el área y volumen de una esfera. 4
Aplican las fórmulas de volumen y superficie para resolver
problemas geométricos, científicos y de la vida diaria.
5, 6 y 7
125
3
unid
ad

LECCIÓN 8: Razones trigonométricas
Inicio de la lección
Objetivo: Comprenden las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos.
Prerrequisitos:
• Semejanza de triángulos.
• Teorema de Pitágoras.
• Plano cartesiano.
• Vectores.
Para:
• Definir las razones trigonométricas.
• Resolver triángulos rectángulos.
• Graficar los vectores en el plano cartesiano.
• Determinar los componentes de un vector.
Fundamento de la lección
Las orientaciones del Ministerio de Educación indican
que se deben planificar cuidadosamente situaciones de
aprendizaje en las que los alumnos puedan demostrar
su comprensión por sobre la mecanización, usando una
variedad de materiales, luego con imágenes y representa-
ciones avanzar, progresivamente, hacia un pensamiento
simbólico que requiere de un mayor nivel de abstracción.
Esas orientaciones guían el planteamiento de las activida-
des de aprendizaje en el desarrollo de la unidad. Uniendo
el teorema de Pitágoras y la semejanza de triángulos, con-
tenidos que las y los estudiantes trabajaron en 8° año de
Educación Básica y 1° año de Educación Media respectiva-
mente, ellas y ellos definirán las razones trigonométricas
en el triángulo rectángulo. Este contenido se presenta por
primera vez y su propósito, citando las Bases Curricula-
res, es que los y las estudiantes tengan más herramientas
para la resolución de problemas y el desarrollo del pen-
samiento matemático, entendiendo este como “formar
un alumno (alumna) que perciba la matemática en su
entorno y que se valga de los conocimientos adquiridos
como una herramienta útil para describir el mundo y para
manejarse efectivamente en él; que reconozca las aplica-
ciones de la matemática en diversos ámbitos y que la use
para comprender situaciones y resolver problemas.” (Ba-
ses Curriculares, 2013)
Pero, tanto las estrategias y situaciones de aprendizaje,
serán efectivas solo si están dirigidas a estudiantes mo-
tivados e interesados en “demostrar curiosidad, interés
por resolver desafíos matemáticos, con confianza en las
propias capacidades, incluso cuando no se consigue un
resultado inmediato” (Objetivo actitudinal B), en otras
palabras, junto con los objetivos de aprendizajes especí-
ficos de la asignatura se deben desarrollar las actitudes
necesarias para que el trabajo de las y los estudiantes sea
significativo.
A través del desarrollo de la lección, los y las estudiantes
deberán utilizar herramientas tecnológicas, conociendo
sus ventajas y limitaciones. Es importante que las y los es-
tudiantes puedan utilizar, por ejemplo la calculadora, con
seguridad. Si las y los estudiantes poseen una calculadora
deben aprender las características propias de ese modelo,
si no la poseen, puedan acceder a algún modelo en línea.
En el desarrollo del Tema 1, se propone una actividad
alternativa a la del texto de crear el conocimiento de las
razones trigonométricas utilizando este tipo de herra-
mientas (OAT 30), en este caso el programa GeoGebra.
Se recomienda utilizar las actividades de aprendizaje tipo
talleres para que las y los estudiantes organicen exposi-
ciones frente a sus compañeros, compañeras y docente.
También puede pedir que utilicen otras herramientas
tecnológicas para estas exposiciones, por ejemplo Power-
Point. En los Anexos de esta Guía encontrará un instru-
mento de evaluación para las exposiciones orales.
Las actividades de la lección se complementan con las
propuestas en el Cuaderno de ejercicios y la Actividad
complementaria fotocopiable al final de esta unidad que
relaciona las razones trigonométricas con el problema ma-
temático del cálculo del área de un triángulo.
Recuerde que el Ministerio de educación, en el Programa
de este nivel, declara que la evaluación forma parte cons-
titutiva del proceso de enseñanza. Cumple un rol central
en la promoción, la retroalimentación y el logro del apren-
dizaje, para lograr esto se presenta en el Texto en la sec-
ción ¿Qué aprendí hoy?
A continuación se describen los aspectos didácticos mate-
máticos que estructuran esta lección.
126

Tareas matemáticas
• Explican las razones
trigonométricas por medio de
dibujos.
• Resuelven triángulos en ejercicios
rutinarios; es decir, determinan
todos sus ángulos y la medida de
todos sus lados.
Tareas matemáticas
• Resuelven triángulos en ejercicios
rutinarios; es decir, determinan
todos sus ángulos y la medida de
todos sus lados.
Tareas matemáticas
• Representan vectores, utilizando
seno y coseno.
• Utilizan las razones
trigonométricas para componer
(descomponer) vectores.
• Determinan las proyecciones
perpendiculares de vectores
utilizando las razones
trigonométricas.
Actividades
Taller. Cálculo de la pendiente de un
camino.
Actividad de modelación. Determinación
de las razones trigonométricas en el
triángulo rectángulo.
problemas en el triángulo rectángulo.
Actividades
Taller. Cálculo de la distancia entre la
Tierra y la Luna.
Actividades de proceso. Aplicación de las
razones trigonométricas.
problemas en el triángulo rectángulo.
Actividades
Taller. Determinación de los elementos de
un vector.
Actividad de proceso.
problemas que involucran la composición y
descomposición de vectores.
Habilidades
• Modelar.
• Representar.
Habilidades
• Modelar.
Habilidades
• Representar.
• Resolver problemas y
Argumentar y comunicar.
Lección 8: Razones trigonométricas
Evaluación de conocimientos previos: Inicio de lección
Evaluación de la lección: ¿Cómo voy?
Objetivo de la lección
Tema 2: ¿En qué se aplican las razones trigonométricas?
Tema 3: ¿Cómo determinar los componentes de un vector?
127
3
unid
ad

Orientaciones para el inicio de lección
Componentes: (TE: página 210 y 221, CE: página
100)
Garcés (1999) define las ideas previas como:
Construcciones individuales, representaciones mentales
del mundo, que permiten entender el entorno y actuar de
manera acordes con ellas.
Por otra parte Moreira (2000) afirma que “Las nuevas
ideas, conceptos, proposiciones pueden ser aprendi-
dos significativamente en la medida en que otras ideas,
conceptos, proposiciones, relevantes e inclusivos, estén
adecuadamente claros y disponibles en la estructura cog-
nitiva del individuo y funcionen de esta forma, como pun-
to de anclaje de los primeros.”
Es claro entonces que es necesario reconocer las ideas
previas por una parte y por otra revisar los conocimientos
previos que poseen las y los estudiantes. Por esta razón se
combinan en esta sección la discusión sobre lo que ellas y
ellos piensan que puede ser la trigonometría, en Exploro,
con los conocimientos que se tienen y que se pondrán en
juego, en ¿Qué debo saber?
Es necesario detenerse un momento en la pregunta sobre
las posibles dificultades para analizar los prejuicios que
las y los estudiantes puedan tener sobre los temas a tratar.
Este punto es especialmente importante en cuanto este
tema es nuevo en el currículo.
En la segunda sección es importante que el docente pueda
relacionar cada contenido que se repasa con un tema es-
pecífico de la lección. Por ejemplo, es necesario recordar
vectores porque, utilizando trigonometría, se podrá deter-
minar su dirección o, utilizando el teorema de Pitágoras se
podrá calcular su magnitud.
Después que los y las estudiantes terminen la autoevalua-
ción de la página 211, complemente el trabajo de estas
páginas con el Cuaderno de ejercicios, donde se puede
encontrar más actividades de práctica de los contenidos
propuestos.
La habilidad de Representar se releva en esta lección. Se-
gún Duval (1999) esta habilidad significa “manejar una
variedad de representaciones matemáticas de un mismo
concepto y transitar fluidamente entre ellas, permitirá a
las y los estudiantes lograr un aprendizaje significativo
y desarrollar su capacidad de pensar matemáticamente.
Toda representación debe transformarse de modo tal que
puedan extraerse de ellas variados conocimientos, y así,
no solo comunicar datos, sino que también transformar
una representación para hacer explícito lo implícito.” (De-
sarrollo de habilidades: Aprender a pensar matemática-
mente. Ministerio de Educación, 2016)
Es recomendable discutir con las y los estudiantes la im-
portancia de comenzar un trabajo matemático con una
actitud de curiosidad, interés por resolver desafíos mate-
máticos, con confianza en las propias capacidades, inclu-
so cuando no se consigue un resultado inmediato.
Puede utilizar el gráfico de la actividad 6 de la página 211
para plantear algunas preguntas matemáticas, como por
ejemplo: se puede observar gráficamente que los vectores
a y d tienen distintas direcciones, pero ¿cómo se podría
describir matemáticamente esas direcciones?
Componentes: (TE: página 212 a 217, CE: páginas
101 a 103)
Objetivo: Comprender las razones trigonométricas de
seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos.
El Ministerio de Educación recomienda el uso de las TIC
“como herramienta de aprendizaje para aprender y
complementar los conceptos aprendidos en las diferen-
tes asignaturas.” (Programa de Estudio Matemática – 2°
Medio, Ministerio de Educación – 2014). Por otra parte
el Objetivo de aprendizaje transversal 30 de la dimensión
Tecnologías de información y comunicación nos dice: uti-
lizar aplicaciones para presentar, representar, analizar y
modelar información y situaciones.
Dado lo anterior se presenta la siguiente actividad en Geo-
Gebra que complementa la Actividad de modelación de
la página 212 del Texto. El objetivo de esta actividad es
presentar las razones trigonométricas con los y las estu-
diantes deduciendo que los cocientes corresponden a la
razón de semejanza de cualquier triángulo que tenga un
ángulo específico.
128

Actividad complementaria
Instrucciones: Formen parejas y realicen las siguientes
actividades.
1. En una hoja de GeoGebra dibujen un triángulo ABC
rectángulo en B.
2. Midan uno de los ángulos agudos.
3. Marquen 3 puntos en el cateto que forma el ángulo
agudo que midieron (cateto adyacente).
4. Con la herramienta recta perpendicular, constru-
yan perpendiculares al cateto adyacente que con-
tengan los tres puntos que dibujaron en el cateto.
Lo que tienen hasta ahora debe ser similar a la siguiente
figura.
A 38.06º
D
G
E
H
F
I
C
B
5. En el menú Vista elijan Hoja de cálculo y en la pri-
mera fila escriban los siguientes nombres:
C.O. C.A. C.O./C.A.
(Los puntos son importantes porque si no, el progra-
ma leerá segmento CO)
6. En la casilla A2, es decir bajo C.O. anoten las letras
mayúsculas que forman el primer cateto opuesto
al ángulo agudo elegido (DG en la figura anterior).
Al apretar “enter” debe aparecerles un valor que
corresponde a la longitud de ese segmento. Comple-
ten los valores restantes en el mismo orden. Luego
en la columna D, bajo C.O./C.A. escriban “=A2/B2”,
y el programa calculará ese valor.
7. Repitan el proceso con columnas correspondientes
a:
C.O. H. C.O./H.
y:
C.A. C.H. C.A./H.
8. Júntense, con la tabla obtenida, con los integrantes
de otros dos grupos y respondan las siguientes
preguntas justificando sus respuestas.
a. Los cocientes obtenidos, ¿dependen de la longi-
tud de los lados o del ángulo elegido?
b. Si dibujan un triángulo rectángulo que tenga un
ángulo agudo de igual medida que los usados en
los grupos, ¿deben medir los catetos y la hipote-
nusa para calcular los cocientes?
c. Averigüen los nombres de los siguientes cocien-
tes de un triángulo rectángulo con un ángulo
agudo α, en el que este ángulo está formado por
el cateto adyacente (CA) y la hipotenusa (H) y el
tercer lado se llama cateto opuesto (CO) al ángu-
lo dado α. CO/CA de α, CO/H de α y CA/H de α
Si estima conveniente considerar la actividad
complementaria anterior como evaluación de proceso,
en los Anexos de esta guía encontrará la pauta y rúbrica
correspondientes.
Profundización disciplinar
Visión panorámica de la trigonometría
Para los y las estudiantes esta es una rama nueva de la
matemática por lo que se recomienda explicar cómo este
tema se desarrolla desde las razones trigonométricas en
el triángulo rectángulo (que se trabajará este año). Lue-
go, a través de la ley del seno y la ley del coseno se am-
plía el tema a un triángulo cualquiera y, finalmente, se
puede trabajar la trigonometría desde un punto de vista
algebraico a través de las funciones trigonométricas.
En la enseñanza de la trigonometría se presenta una difi-
cultad para las y los estudiantes pues por un lado, comen-
zamos con el triángulo rectángulo en que se consideran
los ángulos medidos en grados y se asocia con una pro-
porción de los lados del triángulo.
Para evitar esto, al comenzar a trabajar las razones trigo-
nométricas, escriba por ejemplo tg(α) pero lea “la razón
entre el cateto opuesto y el cateto adyacente del ángulo α.
Links de interés:
Para acceder a la biblioteca de GeoGebra con material para
mostrar las razones trigonométricas puede conectarse con
el siguiente sitio.
129
3
unid
ad

Taller de habilidades
Componentes: (TE: páginas 218 y 219, CE: página
104)
Objetivo: Aplicar la habilidad de representar en la re-
solución de un problema.
El taller consiste en resolver dos problemas en los cuales
los y las estudiantes son guiados a encontrar las respues-
tas comenzando con un diagrama que refleje la situación.
Pero el objetivo del taller no es ese, está dirigido a que las
y los estudiantes tomen conciencia de esta habilidad.
Una definición de la habilidad de Representar es “Descri-
bir relaciones y situaciones matemáticas usando lenguaje
matemático, esquemas y gráficos.” Los y las estudiantes
tienen clara la parte de los esquemas pero no tanto el que,
en el paso 3 cuando se escribe una relación algebraica,
también se está poniendo en juego la misma habilidad.
Por lo tanto se recomienda que el docente guíe la discu-
sión más allá de los problemas específicos, con preguntas
del tipo:
• Sin utilizar el dibujo, ¿sería más fácil o más difícil
resolver el problema?
• ¿Qué significa esta habilidad?
• ¿Qué ventajas y qué limitaciones tiene el hacer
diagramas?
• ¿Por qué también se habla de representar el proble-
ma cuando se escribe una expresión algebraica?
También se recomienda realizar las actividades del Cua-
derno de ejercicios que complementan las del Texto.
Metacognición y la conciencia de los propios procesos
Junto con los aprendizajes de contenidos los y las estu-
diantes deberán aprender a aprender, convirtiéndose en
estudiantes autónomos y autorreguladores de los proce-
sos cognitivos.
Dada la importancia de este objetivo el docente deberá
estar atento a los procesos de metacognición que debe-
rán desarrollar las y los estudiantes, se recomienda para
ello la lectura del artículo al que puede acceder en el
siguiente enlace.
Links de interés
El siguiente artículo Metacognición: un camino para apren-
der a aprender, fue escrito por profesores de la Universidad
de la Frontera de Temuco y profundiza sobre la importancia
de la metacognición en la formación de los y las escolares.
Tema 2: ¿En qué se aplican las razones
trigonométricas?
Componentes: (TE: páginas 220 a 225, CE: páginas
107 a 108)
Objetivo: Aplicar las razones trigonométricas en di-
versos contextos.
En el tema del hilo conductor se presenta un taller refe-
rido al cálculo de distancias inaccesibles. Se recomienda
que el docente motive a las y los estudiantes a realizar el
taller aunque se deba esperar a una noche de luna llena.
Este taller, junto con la sección Matemática en acción de
esta unidad, muestra a los y las estudiantes una forma
“experimental” de aplicar la matemática, fuera de la sala
de clases. Este tipo de actividades permite a las y los estu-
diantes, cuyo estilo de aprendizaje es kinestésico, tener la
posibilidad de mostrar sus potenciales.
Estilo de aprendizaje kinestésico
Corresponden a este estilo los y las estudiantes que
aprenden mejor en entornos educativos de participación
activa en los cuales físicamente pueden manipular algo
para aprender acerca de ello.
En el siguiente sitio puede encontrar un documento
destinado a las y los estudiantes para que aprendan a
identificar el estilo de aprendizaje que mejor los y las
representa.
http:/codigos.auladigital.cl código 18GM2M130b
130

Recuerde complementar las actividades de este tema con
las del Cuaderno de ejercicios.
Se recomienda también conversar con las y los estudian-
tes sobre la importancia de la actitud con que se enfrenta
el trabajo, en este caso los indicadores de la actitud rele-
vada son:
• Comparten de forma desinteresada sus puntos de
vista.
• Formulan preguntas o exponen hipótesis propias
acerca de una situación o un problema.
• Participan en la búsqueda de una posible solución a
un problema.
Taller TIC: uso de calculadora
Componentes: (TE: página 221, CA: páginas 105 y
106)
Objetivo: Conocer las ventajas y limitaciones de las
herramientas tecnológicas.
Antes de comenzar con las actividades del Tema 2 es con-
veniente que los y las estudiantes se familiaricen con el
uso de las calculadoras y sus funciones trigonométricas.
Se recomienda también que trabajen las páginas del Cua-
derno de ejercicios que se centran en algunos de los posi-
bles errores que las y los estudiantes comenten al utilizar
la calculadora.
A menudo las y los estudiantes es realizar los cálculos co-
rrectos pero con la calculadora programada en radianes
(Rad) o gradianes (Gra). Se recomienda hacer una peque-
ña reseña de estos sistemas de medidas.
• Radián: Representa el ángulo central en una circun-
ferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la
del radio. Es la única medida aceptada en el Sistema
Internacional de Medidas.
• Gradián: Divide una circunferencia en 400 partes
iguales. Su símbolo es g. Un ángulo recto mide 100g.
Suele restringirse a los ámbitos especializados de la
topografía y la ingeniería civil.
Tema 3: ¿Cómo se determinan los
componentes de un vector?
109 a 113)
Objetivo: Aplicar las razones trigonométricas en di-
versos contextos en la composición y descomposición
de vectores y determinar las proyecciones de vectores.
Las actividades propuestas en este tema se centran en
aplicaciones que conectan la matemática con otras asig-
naturas, en este caso a las Ciencias Naturales pero en
términos de conceptos conocidos para todos los y las es-
tudiantes, como fuerza, velocidad o peso.
Se recomienda que al finalizar este tema realice con las y
los estudiantes la actividad complementaria correspon-
diente a esta lección que se encuentra en la guía al final
de esta unidad. Dicha actividad está relacionada con la
asignatura de Historia y Ciencias Sociales, ya que se defi-
ne la latitud y longitud de un punto en la superficie de la
Tierra con las componentes de un vector que tiene como
vértice el centro de la tierra y los rayos contienen el punto
y el meridiano de Greenwich o el Ecuador.
Por la naturaleza de las actividades se recomienda utili-
zar una modalidad de trabajo colaborativo. Como afirma
Monge (2006) el trabajo colaborativo “considera el diá-
logo, las interacciones positivas y la cooperación como
fundamentos esenciales de su quehacer.”
De acuerdo a lo anterior pida que en cada grupo realicen
una lista con las tareas y con los y las responsables de
cada una. La o el estudiante que mejor hace diagramas, el
o la que mejor maneja la calculadora, etcétera.
Recuerde a los y las estudiantes que la actitud a desa-
rrollar en esta lección es: Demostrar curiosidad, interés
por resolver desafíos matemáticos, con confianza en las
propias capacidades, incluso cuando no se consigue un
resultado inmediato. Esto puede aplicarse en situaciones
que puedan resultar difíciles para ellos y ellas y deban
manejar la capacidad de superar las frustraciones.
En los Anexos de esta guía encontrará rúbricas para eva-
luar el trabajo colaborativo, de manera que cada estudian-
te se autoevalúe y evalúe a sus compañeros de grupo.
131
3
unid
ad

Evaluación intermedia
112 y 113)
Objetivo: Obtener información sobre el logro de los
objetivos de aprendizajes propuestos.
Al finalizar esta lección se presenta una evaluación de
proceso que se complementa con las actividades propues-
tas en el Cuaderno de ejercicios. Cada estudiante sabrá el
contenido en el cual puede mostrar debilidades o fortale-
zas por lo tanto podrá elegir el reforzamiento o la profun-
dización en el cuaderno.
Esta es una buena ocasión para llevar a cabo una evalua-
ción de pares. Como se afirma en el artículo que se reco-
mienda a continuación “Investigadores han encontrado
que este tipo de evaluación profundiza la comprensión de
los estudiantes de su propio aprendizaje y permite que
se involucren de manera más activa y autodirigida en su
proceso de aprendizaje.”
(OA 8) Mostrar que
triángulos rectángulos.
(OA 9) Aplicar las razones
trigonométricas en diver-
sos contextos.
Tema 1 y 2 Resuelven triángulos en ejercicios rutinarios; es decir, deter-
minan todos sus ángulos y la medida de todos sus lados.
1 a 5
Resuelven problemas de la vida cotidiana, de geometría y de
ciencias naturales, aplicando las razones trigonométricas.
6 a 15 y 17
Tema 3 Utilizan las razones trigonométricas para componer (descom-
poner) vectores.
16
Muchos didáctas de la matemática han cambiado el rol
que juegan los errores en el aprendizaje mostrando el
aspecto positivo que tiene los errores en el contexto
educativo y sus repercusiones en la motivación de los
estudiantes.
Se considera que el error se convierte para los y las es-
tudiantes en un desafío y objeto de nuevas pruebas para
conseguir la meta deseada,
Links de interés:
El artículo de Educar Chile que se encuentra en el
siguiente sitio explica en qué consiste y las ventajas de
la coevaluación o evaluación de pares.
Si desea saber más sobre las nuevas consideraciones
del error en el proceso de enseñanza aprendizaje se
recomienda el siguiente artículo.
http:/codigos.auladigital.cl código 18GM2M132b
132

Matemática en acción
Componentes: (TE: páginas 236 a 237, CE: página
114)
Objetivo: Aplicar los conocimientos y habilidades tra-
bajados a lo largo de la unidad en un problema real.
Se eligió para esta sección un problema que los y las estu-
diantes han resuelto en forma teórica durante la lección
8. Pero en este caso tendrán que hacerlo en una situación
real, fuera de la sala de clases.
Para organizar la actividad se proponen los siguientes
pasos:
◗ Organizar el curso en grupos pequeños de 3 a 4
estudiantes.
◗ Determinar el objeto a medir. Puede ser por ejemplo
un árbol muy alto o el frontis del colegio si este es de
varios pisos. Se recomienda que sea un solo objeto
para todos los grupos para que puedan compararse
los resultados.
◗ Construir el instrumento. Si se cuenta con un trans-
portador de pizarra, se recomienda utilizarlo por ser
más fácil de manejar que el tipo pequeño de los y las
estudiantes.
Las actividades propuestas en el Cuaderno de ejercicios
tienen como objetivo enriquecer la discusión sobre los re-
sultados obtenidos en la experiencia y los posibles errores
cometidos.
El objetivo subyacente a esta actividad es desarrollar en
las y los estudiantes el pensamiento matemático que se
define como la capacidad que nos permite comprender
las relaciones que se dan en el entorno, cuantificarlas, ra-
zonar sobre ellas, representarlas y comunicarlas (Bases
Curriculares). El Ministerio de Educación plantea la im-
portancia del pensamiento matemático en las y los estu-
diantes para que perciba(n) la matemática en su entorno y
que se valga(n) de los conocimientos adquiridos como una
herramienta útil para describir el mundo y para manejarse
efectivamente en él; que reconozca(n) las aplicaciones de
la matemática en diversos ámbitos y que la(s) use para
comprender situaciones y resolver problemas.”
Síntesis
115 a 117)
Objetivo: Posibilitar una visión global de todos los
contenidos, habilidades y actitudes trabajados en la
unidad.
La idea nueva que se introduce en esta unidad en las no-
tas visuales es el énfasis, que puede ser utilizado a través
de globos de texto o agregando color a algunos elementos.
Es importante recordar a las y los estudiantes que deben
incluir en sus esquemas no solo los contenidos vistos, sino
también las habilidades y actitudes trabajadas.
Recuerde que en el Cuaderno de ejercicios también se pre-
senta una síntesis que contiene actividades tema por tema
de las dos lecciones de esta unidad.
Se puede considerar también utilizar el Sistema Cornell
como método de estudio de cada tema, este consiste en
completar el siguiente esquema.
Título o pregunta principal
Palabras o preguntas clave Notas
Resumen (usando mis propias palabras)
Links de interés:
El artículo del siguiente enlace muestra más información
sobre el Sistema Cornell si considera que puede ser útil
para los y las estudiantes.
Cierre de la unidad
133
3
unid
ad

Evaluación final
118 a 121)
Objetivo: Promover el aprendizaje entregando infor-
mación relevante a docentes y estudiantes.
A través de toda la unidad se ha potenciado una evalua-
ción permanente a través de los talleres y actividades indi-
viduales y grupales de tal manera que las y los estudiantes
reciban constante retroalimentación sobre lo que saben y
lo que son capaces de hacer. En esa línea, se recomienda
recordar permanentemente a los y las estudiantes que el
objetivo de las evaluaciones es entregar información para
conocer sus fortalezas y debilidades.
Se recuerda que a través de los instrumentos de evalua-
ción también se pide a las y los estudiantes que realicen
una autoevaluación respecto a las actitudes y habilidades
relevadas a lo largo de la unidad. Para ello pueden utilizar
las preguntas presentes en el Texto o utilizar las rúbricas
presentes en las páginas finales de esta guía.
Como una forma de considerar la diversidad de estilos de
aprendizaje se presentan diversos instrumentos de eva-
luación, tanto en el Texto como en el Cuaderno de ejerci-
cios y en esta guía. Cualquiera sea la forma de evaluación
elegida, es importante que las y los conozcan los criterios
bajo los cuales serán evaluados.
La retroalimentación a la luz de los resultados de aprendi-
zaje se convierte en una actividad crucial para evaluar la
construcción de conocimientos por lo que se recomienda
planificar el tiempo necesario para realizarlas.
Finalmente se recomienda, al igual que en las unidades
anteriores, que cada estudiante vuelva a leer las metas y
estrategias que se propuso al iniciar el trabajo en Geome-
tría y determinar hasta qué grado fueron logradas y los
cambios que debe realizar para enfrentar el trabajo en la
siguiente unidad.
superficie y del volumen
de la esfera.
Tema 1 Relacionan la esfera con objetos cotidianos (balón de fútbol,
pelota de tenis, etc.)
1
Reconocen la esfera como lugar geométrico y como cuerpo de
revolución.
2
Tema 2 y 3 Relacionan medidas de contenidos en envases en forma de
cono, cilindro y esfera, que tienen el mismo radio y cuya
altura también es igual al diámetro.
5, 20, 21
Aplican las fórmulas de volumen y de superficie para resolver
problemas geométricos, científicos y de la vida diaria.
3, 4, 6, 17, 18,
19, 20, 21, 22,
23
(OA 8) Mostrar que
triángulos rectángulos.
Tema 1 y 2 Explican las razones trigonométricas por medio de dibujos. 7
Resuelven triángulos en ejercicios rutinarios; es decir, deter-
minan todos sus ángulos y la medida de todos sus lados.
8, 9, 10, 12, 14
Resuelven problemas de la vida cotidiana, de geometría y de
ciencias naturales, aplicando las razones trigonométricas
11, 13, 24, 26
(OA 9) Aplicar las razo-
nes trigonométricas en
diversos contextos en la
composición y descom-
posición de vectores y
determinar las proyeccio-
nes de vectores.
Tema 3 Representan vectores, utilizando seno y coseno. 15
Utilizan las razones trigonométricas para componer (descom-
poner) vectores.
16
Determinan las proyecciones perpendiculares de vectores
utilizando las razones trigonométricas
25, 27, 28
Cierre de la unidad
134

Nombre:
Materialfotocopiable
135
3
unid
ad
Actividad Complementaria
Reúnete con dos o tres de tus compañeros o compañeras y realiza las siguientes actividades.
El sistema de coordenadas geográficas permite localizar un punto sobre la
superficie terrestre mediante la latitud (N, S) y la longitud (E, O), que expresan
mediciones angulares.
Polo sur
Eje polar
Ecuador
Oα Plano
ecuatorial
P
Polo norte
La latitud proporciona la localización
de un punto P, en dirección norte o
sur desde el ecuador. Varía desde
0° del ecuador hasta 90° N del polo
Norte y 90° S del polo Sur.
Polo sur
Eje polar
O
P
β
Meridiano de
Greenwich
Polo norte
La longitud proporciona la
localización de un punto, en dirección
este u oeste desde el meridiano
de Greenwich. Varía desde 0° de
Greenwich hasta 180° E y 180° O.
1. Observa el mapamundi e identifica el ecuador y el meridiano de Greenwich. Luego,
marca las coordenadas geográficas y completa la tabla.
A
B
C
D
E
F
G
Punto A B C D E F G
Latitud
Longitud
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Materialfotocopiable
2. Ubica en el mapamundi los siguientes puntos. Luego, indica el continente u océano al
cual pertenece cada uno.
Punto Coordenadas Continente/ Oceano
H 25° S 25° E
I 40° S 120
J 45° N 5° E
K 30° S 65° O
L 65° N 155° O
M 85° S 55° E
N 35° S 145° E
Ñ 5° S 140° E
3. Identifica las coordenadas geográficas de una persona ubicada en el punto P.
a. Polo Norte
Polo Sur
P
Ecuador
55°
MeridianodeGreenwich
30° Latitud:
Longitud:
b. Polo Norte
Polo Sur
P
Ecuador
100°
45°
Latitud:
Longitud:
c. Polo Norte
Polo Sur
P
Ecuador
65°
60°
Latitud:
Longitud:
d.
Polo Norte
Polo Sur
P
Ecuador
150°
35°
Latitud:
Longitud:
4. El radio de la tierra es de 6371 km. Calculen, al kilómetro más cercano, el radio del
paralelo en la Tierra en el cual se ubica las cuatro personas del ejercicio anterior.
5. Valparaíso tiene la latitud sur de β = 33°. Calculen el radio r del paralelo en el cual se
ubica esa ciudad.
6. Calculen la velocidad con la cual Valparaíso gira alrededor del eje terrestre.
Expresen la velocidad en km/h.
Nombre:
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3
unid
ad
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