Cap7 b y la 134-153

Cuaderno de Trabajo: Física II

7) Campo Magnético.
Ley de Ampere

134
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo


7.1) Interacción de campos magnéticos
i) Conocimiento histórico de la IM
ra
 IE ∼ 25s → 1 en desarrollarse
 IM ∼ 42s → después

IE → q
IM → I

IM:
Magnetita {FeO, Fe2O3}

 Ferrosos
Ciertos minerales 
 Elementos de transición

Tierra:

EG PNG EM
PN
PS

PS PN

PSG

135


De acuerdo a esta analogía con los polos geográficos, PG, se renombran los
extremos de las barras de magnetita como PN magnético (PMN → PN) y PS
magnético ( PSM → PS)

ii) Experimentos importantes

j) HC Oersted, 1820

r I I
r B

No se tiene certeza del montaje experimental usado por Oersted, es más,
el experimento hipotético es extremadamente sensible.

jj) Polaridad de la “I”

→ circulación

I1 I2

Circulaciones contrarias Circulaciones iguales

iii) ¿Cómo debe ser la fuerza que representa a
esta interacción magnética?
r
I → Fm

136


r r
Fe → E

__
q q __
F
E= e
ρ =q q

q
q
v
Fm B

v

I

Los cambios en el espacio producidos por la distribución de I s serán descritos
r r
por un campo magnético, B , asociado a una fuerza magnética, Fm , mediante
la siguiente ecuación:

__ __
m
u[ Fm ] = N u[ v ] = 1T = 104 G
r r r
Fm = q v × B s
u[q] = C
__ 1G = Gauss
u[ B ] = T

r
En adelante toda distribución de I estaría enlazada a un campo B

r r
( E ⇔ B)
I

137


iv) Generalización de la fuerza para una
distribución de Is
r r r
J → I : I ≡ ∫ J .da

I: distribución de Is

v I
dV J
dq

dFm __
N B

r r r
dFm = (dq )v × B  Lineales
r r r 
dFm = ( NqdV ) v × B Superficiales
r r r  Volumétricas
dFm = ( J × B)dV 

r r r r
→ Fm = ∫ dFm = ∫ ( J × B )dV
I I

I
Obteniendo la ecuación de fuerza
D para corrientes filiformes,

dl
__ __ __

dV Fm = ∫ J × B dV ← dV = Adl
I
__ __
Fm = ∫ { JûJr } × B { Adl} *
I
A
r
J û J Adl → { JA} {dl û J } = Idl
_ _

C

138


__ D __ __
→ Fm = ∫ Id l × B
C

Si C=D:

r r r
Fm = Ñ × B
∫ Idl
C I C

r
I dl : “elemento del circuito”,
describe espacialmente al C.

es la corriente en C.

__ uur
Si → I = cte ∀C ∧ B = cte
r _ __ __ __ __ r
Fm ≡ I Ñ l × B = I {Ñ l } × B → Fm = 0
∫ d ∫ d
c C

139


__
Fm
__

→ B
I
I

v) Torque sobre una I
r r
A
µ=m r r
m=I A

I

m

I
µ p
I
<>
140


__ __
p=m : Simetrías

IE IM

r r r r r r
τ = m×B ← Fm = ∫ Idl ×B

I m
r
B

dl

__
Fm r
B
m

I

__
Fm
-

7.2) Ley de Biot y Savart
r r
__
r k ρ dv '(r − r ')
Eρ ( r ) = ∫ r r 3
ρ r −r '

Esta ley permite conocer el campo partiendo de una ecuación empírica para la
fuerza magnética entre circuitos de Is,

141


Fm,21
C1
dl2
I1 dl1 C2
r1 I2
r2

B

F m ,21 = F m sobre C2 debido a C1

µ0 I 2 I1d l2 ×{d l1 × (r2 − r1 )}
F m 21 =
4π Ñ∫
∫Ñ
C2 C1 r2 − r1
3

Comparando…

Fm = Ñ × B
∫ IdlC

F m 21 = Ñ 2 dl2 × B1
∫I
C2

 
µ I1dl1 × (r2 − r1 ) 
→ F m 21 = Ñ 2 dl2 ×  0
∫ I Ñ r −r 3 
∫
C2  4π C1 
 2 1 

C
I
P
dl
r’ B
r

142


r r µ Idl × ( r − r ')
BC (r ) = 0
4π Ñ
∫ r −r '
3

µ0 : permeabilidad magnética del vacío

Tm
µ0 ≡ 4π ×10−7
A

C
Ejercicio: Calcule el B debido a la línea de I, B P = ?

z

ˆ ˆ
r = xi + yj
I
ˆ
r ' = z 'k
dl
r ˆ ˆ ˆ
r − r´ = xi + yj − z ' k
’ y r
θ
ˆ
dl = dz ' k
r
P
r − r´ = {x 2 + y 2 + z '2 }1/ 2
x
→ r − r´ = {r 2 + z '2 }1/ 2

143


µ0 ˆ ˆ ˆ ˆ
I {dz ' k} × ( xi + yj − z ' k )
Ñ
C
→ B (r ) =
4π ∫ 3
{r 2 + z '2 } 2
r
ˆ ˆ ˆ ˆ
k × ( xi + yj − zk ) = x( ˆ) + y (−i ) − z '(0)
j ˆ
 
C µ0 I  ∞ {− yiˆ + xj}dz ' 
ˆ
4π  ∫−∞
→ B (r ) =  3 
2 2 
 {r + z ' } 
2

Recordando…

x
yˆ x
u ≡ {− i + ˆ}
ˆ j
r r
≡ {− senθ i + cos θ ˆ} ≡ eθ
ˆ j ˆ

z
y
r ˆ
eθ
θ

P er
ˆ

ˆ
Introduciendo el vector eθ y la
integral,

∞ dz 2
I =∫
%
3
= , z ≡ z'
−∞ r2
(r 2 + z ) 2 2

Resulta,

r µI µI 2
ˆ %
B C (r ) = 0 reθ I ≡ 0 reθ × 2
ˆ
4π 4π r

C µ0 I
B (r ) = ˆ
eθ
2π r

7,3) Líneas de inducción, LI
Sinteticemos las simetrías,

144


IM IE
I q
r r µ Idl × ( r − r ') k ρ dv '(r − r ')
BC (r ) = 0
4π Ñ
∫ r −r'
3 Eρ ( r ) = ∫
r −r '
3
ρ

µ0 ε0
∀C ∀ρ
. .
. .
. .
LI : Lineas de induccion LF : Lineas de fuerza

i) Definición de LI
Son líneas que describen la distribución del campo magnético debido a una
distribución de corrientes I.

ii) Características de las LI

j) Son cerradas y con circulación.

PN

PS

jj) No se cruzan.

r
jjj) El B tangente a las LI y
P orientado según su circulación.

BP

145


jv) La distribución de las LI relacionadas con la uniformidad e intensidad de B .
r
k) La uniformidad de las LI de acuerdo a la uniformidad del B .

r uur
B1 = cte

1

kk) La densidad de LI vinculada a la B .

2

B1 < B2
1

El conocimiento de las LI para las distribuciones de I permitirá obtener
r
información valiosa del B , lo que permitirá para distribuciones de I especiales,
r
simplificar la obtención de los B .

Ejemplos de LI: I

146


*LI: I filiforme

*LI: I planares

I

I
A

7,4) Ley circuital de Ampere
Esta ley establece la proporcionalidad entre la integral de línea del y la
corriente encerrada por dicha línea. Esta línea es un circuito matemático, C,

ÑB.dl
∫C
α I enc = I , I = I cond

dl
B ÑB.dl
∫ = µ0 I
C

C

Ejercicio: Igual al ejercicio ultimo…

147


I ÑB.dl
∫ = µ0 I
A
C

1o ) ÑB dl = µ I
∫
C
0

C B 20 ) B { Ñdl} = µ I
∫ 0

dl
µ0 I
B =
2π r

Como las I están asociadas a los J , I = ∫ J .da , estas I deben de generalizarse
A
para todas las superficies, de la siguiente forma,

I=IC + ID IC: I de conducción, I
ID: I de desplazamiento

Caso interesante:

I=IC ID

E

B C

Donde las ID están definidas por,

dφ E
r
ID = ε0
dt

Con lo cual,

ÑB.dl
∫
C
= µ0 I ← I=IC + ID

Es la Ecuación circuital de Ampere- Maxwell

148


7,5) Energía magnética en el R3

IE :
r 1 2
Eeléctrica : → ρ , E → E p.el = ∫ ε E dv
2 R3

IM :
Is
Emagnética 
B

1 2 B2
Emagnética =
2µ ∫ 3
B dv uB =
2µ
R

Aplicaciones:

a) Problema ABP: “La Feria Escolar de Física”

149


OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
1. Comprender la inducción del campo magnético a partir del movimiento de cargas eléctricas
2. Caracterizar la fuerza magnética a partir de las cantidades físicas: carga eléctrica,
velocidad y campo magnético

EN LA FERIA ESCOLAR DE FÍSICA

Pedro y José ajustan los últimos detalles de su exposición científica. Pedro ha fijado
correctamente su banda de hule a cuatro soportes aislantes R, S, T y U, asegurándose
que la banda se ajuste adecuadamente con el rodillo metálico C(Cu). Con esto su
banda ha quedado conectada a tierra. Pedro será el encargado de hacer la explicación
del trabajo.
José ha terminado de ajustar las escobillas metálicas E contra la banda de hule, y ha
comprobado que al hacer girar la manivela el rozamiento produce la electrización de
aquella. Él será el encargado de mover la manivela.
Todo parece indicar que ellos han acusado esmero en su trabajo y que el generador
de cargas electrostáticas de su invención ha quedado listo para su presentación.
Pedro y José tienen planeado hacerle una broma a Luis, que perteneciendo al grupo
de trabajo es el que menos ha contribuido en su elaboración, sin embargo se le ha
prometido que lo consideraran ante el jurado, siempre que se anime a hacer una
pequeña demostración del nivel de electrización de la banda. La broma consistirá en
hacerle tocar la banda cargada con un delgado cable de cobre pero sin que él se de
cuenta.
El trabajo de Luis consistirá en dejar libre a una pequeña esfera de espuma plástica
desde un punto P cerca de la banda que deberá estar previamente electrizada
negativamente por frotación. Entonces se apreciará que la esferilla sube verticalmente

150


alejándose de la banda por efecto de repulsión, demostrándose así que la banda se
electrizada por fricción con las escobillas.
Iniciado el evento, el jurado le pide al
grupo hacer la explicación de su trabajo.
Pedro empieza demostrando que la
banda se encuentra inicialmente
descargada. A continuación José
empieza a mover impetuosamente la
manivela y Luis sin que se lo indiquen
sus compañeros suelta la esferilla
cargada, observándose que ésta no
sube verticalmente sino más bien sale
siguiendo una trayectoria que no había
sido prevista.

¿Qué causas justificarían tan inesperado resultado?

PREGUNTAS ADICIONALES

1. Sabiendo que toda superficie uniformemente cargada provoca un campo eléctrico
uniforme. En el experimento dado ¿qué efecto produce sobre este campo el
desplazamiento de la banda?

2. Colocando la esferilla electrizada negativamente y en reposo muy cerca de la
banda electrizada y en reposo, ésta logra ascender verticalmente. Explica las
razones que justifican este comportamiento.

3. En base a la situación de la pregunta anterior, supongan ahora que la banda se
encuentra en movimiento, se sabe que al liberar la esferilla no sigue la trayectoria
vertical. Elabore una hipótesis de existencia de la causa que genera el cambio de
una trayectoria vertical por otra distinta.

4. En una situación hipotética supongan que en lugar de una banda electrizada en
movimiento, existan un conjunto de cables conduciendo corriente en la dirección
del movimiento de aquella. Al repetir la experiencia anterior ¿la trayectoria de la
esferilla sería como cuando la banda electrizada se desplazaba?

5. Si en lugar de la carga eléctrica se instala una brújula en un plano paralelo a la
banda en movimiento, se observará que la aguja de ésta se perturba. ¿De qué
naturaleza es la fuerza que afecta a la brújula? ¿Es esta fuerza de la misma
naturaleza que la que afecta a la esferilla cargada cuando ésta se mueve?

6. En base a la situación de la pregunta anterior, la fuerza sobre la aguja de la brújula
está asociada a un campo magnético. ¿Son suficientes los datos para determinar
qué dirección tiene dicho campo magnético?. Si es así ¿cuál es esa dirección en
las proximidades de la banda electrizada y en movimiento?

7. Existe alguna relación entre las direcciones del campo magnético, de la dirección
de la velocidad de la esferilla y de la fuerza magnética aplicada sobre ella.
Expliquen.

151


8. Elaboren un DCL de la esferilla electrizada para el caso dado en el experimento
original. ¿Qué forma tiene la trayectoria que describe la esferilla mientras está
cayendo en dicho experimento ?

FUENTES DE INFORMACIÓN

A. FUENTES BIBLIOGRÁFICAS

1. Física Fundamental.
Jay Orear. Editorial Limusa- Wiley, S.A. México 1970.
2. Física , tomo II . 3ra Edición.
Raymond A. Serway. Mc GRAW-HILL. S.A. México 1993.
3. Física para la ciencia y la tecnología, volumen II . 4ta. Edición.
Paul A. Tipler. Editorial REVERTÉ, S.A. Barcelona 2000.
4. Física Conceptual. 3ra Edición
Paul G. Hewitt. Addison Wesley Longman. México 1999.
5. Física Clásica y Moderna
W. Edward Gettys, Frederick J. Keller, Malcolm J. Skove
Mc. Graw Hill. Madrid 1993
6. Física 3
G. Ya Miákishev, B. B. Bújovtsev
Editorial MIR Moscú 1986.

B. RECURSOS DE LAS NTIC(NUEVAS TECNOLOGIAS DE LA INFORMATICA Y
…)

1. Temas de electromagnetismo
: http//www.enebro.pntic.mc.es /fisica.html
2. Física Virtual

152


:http//www.pergamino virtual.com/categorías/ciencia_y_tecnología_fisica1.shtml
3. APPLETS de Fenómenos electromagnéticos.

SUPUESTOS

A. CONOCIMIENTOS PREVIOS
1. Diagrama de Cuerpo Libre.
2. 2da Ley de Newton.
3. Fuerza Electrostática.
4. Campo Eléctrico.

B. NECESIDADES DE APRENDIZAJE
1. Aprender que los campos electromagnéticos se generan a partir del
movimiento de cargas eléctricas.
2. Conocer y comprender la relatividad de los campos electromagnéticos.
3. Caracterizar un campo magnético generado por una corriente eléctrica en los
alrededores de ella.
4. Comprender y aplicar las reglas que relacionan a la Velocidad, Campo
Magnético y Fuerza Magnética.

C. HIPÓTESIS / CONJETURAS
1. Existe una fuerza que desvía el movimiento de la carga cuando esta se deja en
libertad.
2. La fuerza desconocida sólo aparece cuando las cargas de la banda se
encuentran en movimiento cuando ella se desplaza.

D. POSIBLES SOLUCIONESS
1. Si la fuerza de gravedad sobre la esferilla es mayor que la fuerza eléctrica, ésta
baja describiendo una trayectoria curva.

153


2. Si la fuerza de gravedad sobre la esferilla es de igual valor que la fuerza de
repulsión eléctrica, al liberarse quedará en reposo.
3. Si la fuerza de gravedad es menor que la fuerza de repulsión eléctrica, la
esferilla ascenderá en una trayectoria curva.

154

Cap7 b y la 134-153

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