1. Cuaderno de Actividades: Física II
2) CAMPO ELÉCTRICO
Y LEY DE GAUSS
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2. Cuaderno de Actividades: Física II
2.1) Definición de campo eléctrico, E
El vector E describe las propiedades eléctricas del espacio {medio}.
q0
Fe
E
Fe P P
E
q0
q q
Donde:
q0 : Carga de prueba , q0
q0 0
Campo eléctrico: Discusión…
“Las interacciones del campo no son instantáneas”
“La carga q modifica el medio que la rodea (campo)”
E
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3. Cuaderno de Actividades: Física II
Ecuaciones de E
i) q
kqq0 r r
3
q P
q r r kqr
E ( r ) , si r 0
q0 3
E (qr )
r r
r
En general :
kq r r
Eq (r ) 3
r r
ii) Distribuciones Discretas, DD
qi
qi P
E (qr )
i
i n i n
kqi r ri
ri r'
E DD r E qi r 3
r i 1 i 1 r ri
iii) Distribuciones continuas:
j) Volumétrica
k dv r r
E
r 3 , v : representa el volumen
r r
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4. Cuaderno de Actividades: Física II
jj) Superficial
k da r r
E
r 3 , a o s : representa el área
r r
jjj) Lineal
k dl r r
E
r 3 , l : representa la longitud
r r
“Las distribuciones de carga crean el campo”
Observaciones
j) u E N
C
Fe
jj) E : definición operacional
q0
Fe q0 E , Fe : Fuerza " sentida " por q0 .
jjj) E : creado por cierta distribución de
cargas en la posición de q0 .
jv) El E es usado intensivamente en las ecuaciones.
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5. Cuaderno de Actividades: Física II
2.2) Lineas de fuerza, LF
r
P
k r dv r r
E
r 3
r r
r
, E se obtiene por definicion
r
→ LEY DE GAUSS: ρ dealta simetría .
→ Útil sólo para de alta simetría: E “fácil” de calcular.
→ LF / LF=simetría .
Definición de lineas de fuerza
Son las trayectorias descritas por las q0 debido a la Fe qE generada por
cierta .
Fe
r' q0
LF
“La forma de las LF esta ligada a cómo se distribuye la q”
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6. Cuaderno de Actividades: Física II
LF para diversas distribuciones de carga
i) q
Fe
q0
q
q
|q|
ii) : q1 q2 +-
d
Caso especial:
q1 q2 q
q1
q2
d " pequeña "
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7. Cuaderno de Actividades: Física II
Dipolo eléctrico:
Modelo más simple para
describir sistemas cargados
(cuando d se aprox. a 0)
d
q -q
iii)
O
iv)
O
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8. Cuaderno de Actividades: Física II
v) 0 r
Q dv
Q
Características
q0
E
j) E tg LF
jj)
jjj) No se cruzan
jv) Distribución de LF:
k) Densidad LF: Relacionada a la intensidad.
kk) Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.
¿? Prepare maquetas de LFs
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9. Cuaderno de Actividades: Física II
2.3) Ley de Gauss
Establece la proporcionalidad entre el flujo eléctrico a través de cierta superficie
cerrada, llamada gausiana y la carga eléctrica encerrada por dicha superficie.
Johann Carl
Friedrich Gauss,
El príncipe de las
matemáticas.
(30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero de
1855, Göttingen)
Definición del flujo eléctrico,
E
Es la cantidad física escalar que informa acerca de cuanto E atraviesa la
superficie.
E ES
E
E.ds E.da ,
S S
ds da : vector de area elemental
da
da
da da
S A da
da da
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10. Cuaderno de Actividades: Física II
Ley de Gauss
E ,SG E.da
SG
qNE
qNE
SG
SG
E.da
0
qNE dV
SG
Para simplificar los cálculos ver que:
E da E da cos
1º 0 E da E da
2º E cte E da E da E sale dela
*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada}
¿? Investigue por lo menos una biografía del Príncipe de las Matemáticas.
¿? Que otros flujos se usan en la Física.
¿? Será posible matematizar las LF
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11. Cuaderno de Actividades: Física II
Ejemplo
Z
dl dz
dq dz
r Y
E
r
X
1º Por la definición de E
ˆ ˆ
k dl r r r ˆ
rj r r rj zk r r r2 z2
E
r 3
r r r ˆ
zk
ˆ ˆ
k dz rj zk
ˆ
E r 32
E y ˆ Ez k
j
2 2
r z
dz
Ey k r 32
¿?
2 2
r z
zdz
Ez k 32
0, por simetria
2 2
r z
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12. Cuaderno de Actividades: Física II
2º alta simetría Gauss
r r
r
da E
H H
E
O
SG=SCL+STS+STI
qNE
E da
SG SCL STS STI 0
da || E da E
qNE
E da 0 0 , SG : E cte
SCL 0
H
E da E 2 rH
SCL 0
E
2 r 0
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13. Cuaderno de Actividades: Física II
S1P22)
a) Localice en la figura los puntos donde el campo eléctrico es cero.
b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las líneas de fuerza del campo
resultante.
c) Haga un gráfico cualitativo de E vs. x, dónde E se evalúe en puntos del eje
X.
Solución:
Q q- q+ E- P E+ S
x
d1 0 d0 d x
k q k q 2q 5q
a) Para el punto S: E E
d2 d0 d
2
d2 1
2
d
2
1
2 d d2 5d 2
4
1
2 4 4 3
1 2 2 10
3d 2 2d 0 d1,2 d1 0,9
2 2 3 6
Igual en Q:
k 2q k 5q 5
E 2
E 2d12 5d12 5d1
1 d12 4
d1
2
5
5 25 4 3
5 4 5 10
3d12 5d1 0 d11,2 0,3; 1,4
4 2 3 6
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14. Cuaderno de Actividades: Física II
b)
- + x
c) Para el punto S:
k 2q k 5q 2 5 ˆ
ET ˆ
i ˆ
i kq i ˆ
ET i
2 2 2
1 x 1 x2
x x
2 2
2 5 1
ET kq 2
x , hay que especificar para cada región
1 x2 2
x
2
E-
y ET
E+
0,9
0 0,5 x
E+ E+
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15. Cuaderno de Actividades: Física II
S1P7) En la distribución mostrada 0 es
constante y q0 es una carga puntual. R0 0 centro de la circunferencia
Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0. q0
R0/2
d
Solución:
0 0’ q
r
R0/2 d
R0
0
Por superposición:
Q Q’
0 0’
+ r
- 0
0
kQ kQ '
Eq0 EQq0 EQ ' q0 ˆ
i;
d2 d R0 / 2
3
4 3 4 R0 Q
Q 0 R0 , Q ' 0
3 3 2 8
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16. Cuaderno de Actividades: Física II
4 1 1
Eq0 k 0
3
R0 ˆ
i ˆ
Eq0 i
3 d2 R0
2
8 d
2
R0
Si d R0 1{despreciando los cuadrados}
d
2 2
1 1 R0 R0 R0
2
1 1 1
2 R0 d2 2d 2d d
d 1
2d
Usando la aproximación del Binomio de Newton:
(1 x)n 1 nx cuando x 1
3
4 R0 1 R0 / d
Eq0 k 0 1
3 d2 8
3
4 R0 1 R0
Eq0 k 0 1 1
3 d2 8 d
3
1 R0 R0
Eq0 k 0 2
7
6 d d
¿? Encuentre este resultado usando la definición. Analice la expresión
integral.
Ahora, usando
1 R03
R0 ˆ
F q0 E Fq0 q0 k 0 2
7 i
6 d d
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17. Cuaderno de Actividades: Física II
S1P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal
( )= 0 cos , donde 0 es una constante positiva y el ángulo
azimutal, ¿Cuál es el modulo del vector campo eléctrico?
a) En el centro del anillo
b) En su eje a una distancia d de su centro. Analice la expresión
obtenida para d >> R.
Z k ( )dl r r '
P a) E 0
z d
3
r r'
r 0, r ' R cos i Rsen ˆ
ˆ j
0 y
R r r' R cos i Rsen ˆ
ˆ j
x dq 3
r r1 R 3 ; dl Rd
k 0 2 1
E 0 ˆ
cos 2 d i sen 2 d ˆ
R 0 2 j
1
1 cos 2
2
k 0 ˆ k 0
E 0 i E 0
R R
ˆ
b) r zk , r ' R cos i Rsen ˆ
ˆ j
ˆ
r r' R cos i Rsen ˆ zk
ˆ j
3 3/ 2
r r' R2 z2 ; dq Rd
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18. Cuaderno de Actividades: Física II
k 0 R2 ˆ 1 sen2 d ˆ z ˆ
2
E z cos 2 d i
j cos d k
R2 z2
3/ 2 0 2 R
k 0 R2 ˆ k 0 R2
E z 3/ 2
i E z 3/ 2
,
2 2 2 2
R z R z
k 0 R2
lim E z
z R z3
S1P47) Determine el campo eléctrico de un disco de radio R con densidad
superficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.
Solución:
A) Usando coordenadas polares ( coordenadas cilíndricas en el plano)
z y
r
da=(rd )dr
dr
d r
r y
x
r'
x
kdq r r '
E r 3 k I
r r'
dq da rd dr
r 0,0, z
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19. Cuaderno de Actividades: Física II
r' r cos , rsen ,0
k rd dr r cos , rsen , z
I 3/ 2
s
r2 z2
R 2 r cos , rsen , z rd dr
0 0 3/ 2
r2 z2
2 2
cos d =0 sen d =0 (por evaluarse en sus periodos)
0 0
rzdrd
I
2 R
ˆ
k
0 0 3/ 2
2 2
r z
2 R zrdr ˆ
d 3/ 2
k
0 0
r2 z2
R rdr ˆ
2 z 3/ 2
k
0 2 2
r z
z z
E z k 2 ˆ
k
z R2 z2
¿? Encuentre este resultado usando la definición con un elemento de área
cartesiano. Analice la expresión integral.
¿? Qué ocurre si R
R
z ˆ k 2 ˆ
k
E z k 2 k
z k 2 k ˆ
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20. Cuaderno de Actividades: Física II
1
E z k 2 2 : El E de un plano!
4 0 2 0
(verifíquelo usando LG)
B) Usando anillos de = dr
z
r
r y
r'
x
ˆ
b) r zk , r ' r cos i rsen ˆ
ˆ j
ˆ
r r' r cos i rsen ˆ zk
ˆ j
3 3/ 2
r r' r2 z2 ; dq rd
k rdr
dE z
2
ˆ ˆ
r cos d i rsen d ˆ zd k
3/ 2 0
j
r2 z2
k (2 ) zrdr ˆ R
k (2 ) zrdr ˆ
dE z 3/ 2
k E z 3/ 2
k
2 2 2 2
r z 0 r z
z z
E z k 2 ˆ
k
z R2 z2
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 38