Cap 6 elasticidad 156-168

Cuaderno de Actividades: Física I

6) ELASTICIDAD

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 156


6) ELASTICIDAD

6,1) Introducción

Cuerpos ← Deformables
{Descripción adecuada}

→ Esfuerzo

→ Deformación
Y

→ Módulos elásticos  S
B


→ Régimen elástico

6.2) Esfuerzo y deformación

Experimentalmente:

Li ≡ L
A: sección transversal
L A


F

L  
  F F
F F
∆L
Se observa:


→ los ∆L van a depender de las F y A
{siempre en régimen elástico}

→ los ∆L dependen de L

Se define:



a) Esfuerzo, s: (Fuerza por unidad de área)

F
Esfuerzo = s =
A

b) Deformación, e: (Deformación unitaria)

∆L
Deformación = e =
L

Con estas definiciones se observa relación directa entre los esfuerzos y las
deformaciones.

Módulo elástico = Esfuerzo/Deformación

1 s
D =   E → s ≡ Me → M ≡
M  e

D

E

Régimen elástico

N
M ∼ 1010
m2

¿? Podría describir curvas s-e donde se muestren las 3 fases: elástica,
plástica y de ruptura.

¿? Podría describir curvas s-e especiales.

6.3) Módulos elásticos

i) Modulo de Young, Y



Describe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales.

F/A
Y≡
∆L / L
N/m2

ii) Modulo de corte, S

Describe la resistencia del material al desplazamiento de sus planos por efecto
de fuerzas aplicadas según sus caras (fuerzas tangenciales o de corte)

A

F
h

f
 ∆x
F ∆x tgθ =
h

h θ
f

Para pequeñas fuerzas F la cara de área A se desplaza relativamente una
pequeña distancia ∆x hasta que las fuerzas internas del cuerpo logran
equilibrar dicha fuerza.

La resistencia al desplazamiento ∆x se describirá en base al modelo S,

Esfuerzo de corte F/A
S≡ ≡
Deformación de corte ∆x / h

Fh
→ S≡
A∆ x

iii) Modulo volumétrico, B

Describe la resistencia del material a deformaciones volumétricas.



F A

F

F

F

Supongamos que el cubo de área A esta sometido a las fuerzas F sobre cada
una de sus caras. El cubo está sometido a compresión, el modulo volumétrico
esta definido por,

F/A F/A
B≡− ≡−
∆V / V ∆V / V
F
Si esta presión, p ≡ , se escribe como una variación
A
de presión, ∆p ,

∆p
B≡−
∆V / V

En estas condiciones se introduce el “- “para obtener un B > 0.

Compresión: ∆p > 0 ∧ ∆V < 0→ B > 0.

Dilatación o expansión: ∆p < 0 ∧ ∆V > 0→ B > 0.

¿? Existirán otros módulos elásticos.

Ejercicio 1:

1° Ideal



y v2(0) ≡ 0

→ MRUV Polea ideal
Cuerda ideal, ∃ m

m1,m2 , puntuales
m2
L = 2 m1 = 3, m2 = 5
h2 ≡1m
m1 φ = 4 x 10-3

¿? t

2° Polea real → a afectada
→ I=I (m,r) , f ← polea
⇒ CR
⇒ MRUV

3° Cuerda real
→ Deformación
→ CR
→ MRUV

4°→1º) t ≡¿?

g
a≡ = 2,5 → t(y2 ≡0) ≡?
4

1 2
y(t) ≡y (0)+ v(0) t - at
2
2,5 2
0 ≡ 1+ 0 − t
2
2
t≡
2,5

5º→3°) Considerando sólo deformación de la cuerda, T=?, t=?

w 2 – T = m2 a
Acero T = w 2 – m2 a
≡ 50 – 5 x 2,5
T ≡ 37,5



F/A FL
Y≡ → ∆L = ← F =T
∆L / L YA

Yacero ≡ 20 x 1010

37,5 x 2
→ ∆L ≡ = 27,6 µm
(
20 x 1010 π 2 x 10 −3 ) 2

t ≡ ¿?

Ejercicio 2: La deformación causada a la barra de longitud L, x, mediante la
aplicación adecuada de la fuerza F, es decir, el trabajo efectuado por F sobre el
sistema elástico, queda almacenado como energía potencial elástica en el
sistema…veamos que es asi,

A

-F F

-L 0 x x

Mostraremos que en el sistema queda almacenada energía potencial elástica
que puede expresarse de esta manera,

1 F AL  E p ,el 
u≡ ⋅  
2 A L  unidad de volumen 

Al aplicar la fuerza F, tal como muestra la figura, producirá una deformación x,
descrita por,
F / A  AY 
Y≡ → x ≡ F
x/L  L 

De tal forma que la fuerza del sistema será,



AY
→ Felast ≡ − x {En todo momento la fuerza aplicada F es tan intensa como
L
la respuesta elástica del sistema, siempre que el proceso
se realice muy lentamente, estado cuasiestacionario}

Ahora, calculando el trabajo de esta fuerza,

W Fel ≡ −∆E p ,el ≡ − E p ,el , f + E p ,el ,i ≡ − E p ,el , f ≡ − E p ,el
{

∆L  AY  AY  1 2 ∆L 
W Fel ≡ ∫  − x  ⋅ dx ≡ −  x / 0  ≡ −∆E p ,el ≡ − E p ,el
0
 L  L 2 

AY 1
→ × × ∆L2 ≡ E p ,el
L 2

1  AY  2
→   ∆L ≡ E p ,el
2 L 

1 A (F / A )
→ × × × ∆L2 ≡ E p ,el
2 L ( ∆L / L )

1
→ F ∆L ≡ E p ,el
2

1 F ∆L E p ,el
→ ≡ ≡u
2 AL AL

1 F ∆L 
→ u ≡  
  
2  A  L 



1
se≡u
2

¿? Aplicaciones tecnológicas de la deformación de los cuerpos en sus
tres fases notables: elástica, plástica y de ruptura.

S6P10) Se cuenta con una barra troncocónica
maciza cuya sección circular varía
uniformemente a lo largo de su longitud L, entre
los diámetros d y D. Los extremos están sujetos
a una fuerza axial F, determine la deformación
unitaria ó específica debido a dicha fuerza.

SOLUCION: d/2 D/2
F F
Y

b/2 L
d/2 A(x)
De D/2

d/2 y F
L 0 x
X Ax L

FL Fdx d ( D−d)
∆L ≡ → dL ≡ , y≡ + x
YA Yπ y 2
2 2L

 
 
 
Fdx 2F  L dx  2 FL
dL ≡ ≡→ ∆L ≡  ∫0 2
≡
Yπ  ( D − d ) x
2
Yπ   ( D − d ) x   Y π dD
d +   d +  
2  L0   4 L 
 144 2444  3
 I 

→I ≡?

 D−d 
u ≡ d + x
 L 

 D−d 
du ≡   dx
 L 



L  D du  L
( D − d )  ∫d u 2  dD
→I ≡  ≡
I*

1 D 1 1 
u ∫d  d D 
→ I* ≡ − ≡ − 

2FL0 ∆L 2F
→ ∆L ≡ → ≡
Y π dD L Y π dD

S6P8) Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de
longitud (longitud sin estirar) con un diámetro de 0,1 mm.
El sistema es puesto en movimiento como un péndulo
cónico con un ángulo θ en el vértice.
a) Calcule la deformación del alambre.
b) El periodo del movimiento rotacional cuando la tensión en
θ
el alambre en dos veces el peso de la masa (Yacero = 21 x
1010 Pa).
m
SOLUCION:

DCL (m):

T
θ

m

w

Datos: m=1, l=2, d=φ=10-4, Yacero = 21x 1010.

Del equilibrio en la vertical,

T cos θ ≡ mg → T ≡ mg sec θ ...α
Y de la dinámica circular,



vt2
Fcp ≡ Tsenθ ≡ macp ≡ m ← R ≡ l ' senθ , l ' ≡ l + ∆l...β
R

vt2
De α y β, mg tan θ ≡ m ...γ
l ' senθ
a) Del modulo de Young,

FL Tl 4Tl
Y≡ →Y ≡ → ∆l ≡ ← T ≡ mg sec θ
∆LA   d 2 
  Yπ 2d 2
∆l π   
 2 
 

4lmg sec θ
∆l ≡
Yπ 2d 2

π
b) T (periodo)=?, con la condición T ≡ 2mg → θ ≡ ( T: tensión)
3
2π
T ( periodo) ≡
w
La frecuencia angular la obtenemos de β,

Fcp ≡ Tsenθ ≡ 2 m g senθ ≡ m l ' senθ w2

2g 2g
→w≡ ← l ' ≡ l + ∆l → w ≡
l' l + ∆l
Con lo que el T queda,

l + ∆l
T ≡ 2π usando ∆l ≡ 0,0242 →
2g
T ≡ 0, 6π

S6P1) La barra mostrada, en la figura tiene las siguientes
características: peso = w, área transversal = A,
barra
L 166
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

2w


longitud = L y módulo de Young = Y. Si una pesa de peso 2 w es
colocado en la parte inferior, halle la deformación de la barra
considerando la deformación por peso propio.

SOLUCION: Primero determinaremos la deformación causada por el peso
propio de la barra, para lo cual tomamos un elemento de la barra de longitud
infinitesimal dx, como se muestra en la figura, sobre la cual actúa la fuerza
w(x), es decir, la fuerza debido al peso del trozo de barra de longitud x,

X
 w
w( x) ≡   x
dx L
w(x)
x

0
w w(x)

Esta fuerza producirá un elemento de deformación dado por,

w 
x { dx}
FL w( x) { dx}  L 
  w
Y≡ → d (∆L) ≡ ≡ ≡ xdx
A∆L AY AY LAY

Para calcular la deformación total integramos para toda la barra,

L w wL
∆L ≡ ∫ xdx → ∆L ≡ ∆L1 ≡
0 LAY 2 AY

Ahora, para la deformación total, consideramos la deformación que produce la
pesa 2w,

(2w) L 2wL
∆L2 ≡ ≡
AY AY



wL 2 wL
Con lo que la deformación total es, ∆L ≡ ∆L1 + ∆L2 ≡ +
2 AY AY

5wL
∆L ≡
2 AY

S6P4) Una varilla de cobre de 1,40 m de largo y área transversal de 2,00 cm2
se sujeta por un extremo al extremo de una varilla de acero de longitud L
y sección de 1,00 cm2. La varilla compuesta se somete a tracciones
iguales y opuestas de 6,00 x 104 N en sus extremos.



a) Calcule L si el alargamiento de ambas varillas es el mismo
b) ¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla?
c) ¿Qué deformación sufre cada varilla?
Modulos de Young:
Cobre: 11 x 1010 Pa
Acero: 20 x 1010 Pa

SOLUCION: Representamos a la varilla compuesta en el siguiente diagrama,

F A1 L1 L A2 F

a) Determinamos L de la condición ∆L1 ≡ ∆L2 ≡ ∆L . Mostramos DCL de cada
varilla en la dirección de interés y aplicamos la condición,

F ∆L1 F F ∆L F

FL1 FL L AY
∆L1 ≡ ≡ ∆L2 ≡ ∆L ≡ →L≡ 1 2 2
AY1
1 A2Y2 AY1
1

Calculando, L ≡ ≡
(
L1 A2Y2 ( 1, 40 ) 1 × 10
−4
)(
20 × 1010
≡ 1,27
)
AY1
1 ( )(
2 × 10−4 11 × 1010 )
L ≡1, 27

b) Calculando los esfuerzos,

F F 6,00 × 104
s ≡ → s1 ≡ ≡ ≡ 3 × 108 ∧
A A1 2,00 × 10−4



F 6,00 × 104
s2 ≡ ≡ −4
≡ 6,00 × 108
A2 1,00 × 10

s1 ≡3 ×108 ∧s2 ≡ 6 ×108

c) Calculando las deformaciones,

s s s sL
Y≡ ≡ ≡ → ∆L ≡
e ∆L ∆L Y
L L

s1L1 ( 3 × 10 ) ( 1, 40 )
8

∆L1 ≡ ≡ ≡ 3,81 × 10−3
Y1 11 × 10 10

s2 L2 ( 6 × 10 ) ( 1, 27 )
8

∆L2 ≡ ≡ ≡ 3,81 × 10−3
Y2 20 × 1010

∆ 1 ≡∆ 2 ≡ 3,81 ×10−3
L L

S6P14) Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente 4,0 x 10 8,
el acero se rompe. Determine la fuerza de corte para, a) cortar un
perno de acero de 1 cm de diámetro, y b) hacer un hoyo de 1 cm de
diámetro en una plancha de acero de 0,50 cm de espesor.

SOLUCION:



a) Determinación de la fuerza de corte,

F

d

De la ecuación del esfuerzo de corte,

( )
4 × 108 π ( 1 × 10−2 )
2
F 4F sπ d 2
s≡ ≡ →F ≡ →F ≡
A πd2 4 4

F ≡31, 4 kN

Por lo tanto, una fuerza mayor que F cortara al perno.

b) Ahora, determinamos la fuerza de corte para hacer el hoyo,

w

d

F

F F
s≡ ≡ → F ≡ sπ d w
A ( π d w)



→ F ≡ ( 4 × 108 ) π ( 1 × 10−2 ) ( 0,5 × 10−2 )

F ≡ 62,8 kN

S6P2) Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M,
módulo de Young Y, gira libremente con velocidad
angular w = cte, sobre una mesa horizontal sin fricción y
pivoteando en uno de sus extremos.
Determine: w
a) La deformación producida en la barra



b) En donde se produce el esfuerzo máximo

SOLUCION:

M w
L dm
dFcp
r dr
O

a) dFcp ≡ dF ≡ { dm} w2 r

M 
dm ≡   dr
L

Mw2
dF ( r ) ≡ rdr
L

Mw2 2
∫ : F ( r ) ≡ 2L r ≡ " dFcp "

 Mw2 2 
( r )dr  2
FL  2L  → dL ≡ Mw r 2 dr
Y≡ →Y ≡
A∆L AdL 2 LAY
L L Mw2 2
→ ∆L ≡ ∫ dL ≡ ∫ r dr
0 0 2 LAY

Mw2 L2
→ ∆L ≡
6 AY



Mw2 2
r
b) De F 2L Mw2 2 ,
s (r ) = ≡ ≡ r
A A 2 LA

por lo tanto, en r=L,

Mw2 L
s( L) ≡
2A


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