Este documento presenta un resumen de tres oraciones sobre la historia de las reacciones químicas y la aplicación de ecuaciones diferenciales:
1) Las reacciones químicas han sido estudiadas desde hace miles de años, con hitos importantes como el dominio del fuego y el descubrimiento de gases como el oxígeno y el hidrógeno en los siglos XVIII y XIX.
2) Las ecuaciones diferenciales se han utilizado para modelar sistemas físicos como las reacciones químicas, permitiendo predecir la veloc
1. Curso – IC-420 (MA-107)
Integrantes:
Agüero Montoya Ronny Josué
Goñi Martínez Kristel
Inestroza Jostin
Madrigal Segura Luis Gilberto
Méndez Romero Christofer
Rivera Blandino Martha Patricia
Reacciones Químicas
I CUATRIMESTRE
29 abril, 2022
Prof.
Sergio Mata Céspedes
2. 1
1 Contenido
1 PLANTEAMIENTO DEL PROYECTO.............................................................. 2
1.1 Introducción................................................................................................ 2
1.2 Objetivos .................................................................................................... 5
1.2.1 Objetivo general................................................................................... 5
1.2.2 Objetivos específicos........................................................................... 5
1.3 Planteamiento del problema....................................................................... 6
1.3.1 Justificación del Problema ................................................................... 7
2 MARCO HISTÓRICO....................................................................................... 8
2.1 Historia “Reacciones químicas”.................................................................. 8
2.1.1 Representantes ................................................................................... 9
2.2 Historia “Ecuaciones Diferenciales”.......................................................... 11
2.2.1 Representantes ................................................................................. 12
3 MARCO TEÓRICO ........................................................................................ 14
4 DESARROLLO DEL PROBLEMA.................................................................. 19
4.1 Desarrollo................................................................................................. 19
4.2 Resultados ............................................................................................... 24
5 ANÁLISIS DE RESULTADOS........................................................................ 26
6 CONCLUSIONES .......................................................................................... 28
6.1 Conclusión 1 ............................................................................................ 28
6.2 Conclusión 2 ............................................................................................ 28
6.3 Conclusión 3 ............................................................................................ 29
7 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 30
Referencias ........................................................................................................... 30
7.1 Evaluación y Coevaluación. ..................................................................... 33
3. 2
1 PLANTEAMIENTO DEL PROYECTO
1.1 Introducción
Desde que en el siglo XVII Newton y Leibniz pusieron las bases de lo que ahora
llamamos "Calculo Diferencial", las ecuaciones diferenciales ordinarias han sido una
herramienta matemática fundamental para modelar sistemas físicos. Las leyes físicas que
gobiernan un sistema determinan las ecuaciones correspondientes, que después
intentamos resolver, es decir, de las cuales intentamos obtener una expresión del estado
del sistema en el instante de tiempo t como función explícita de t. Entre algunos de los
innumerables ejemplos de fenómenos que pueden ser modelados por ecuaciones
diferenciales ordinarias se encuentran: la interacción de planetas, flujos de fluidos,
reacciones químicas, dinámicas poblacionales y económicas. (Vasquez., 2015)
Dado lo anterior, se debe mencionar que este trabajo se centrará en el estudio de
la aplicación de ecuaciones diferenciales en las reacciones químicas, se estudiará de qué
forma se emplean dichas ecuaciones en esta materia, además de comprender que se logra
al desarrollarlas, que le aportan a la ciencia de la química específicamente en el campo de
reacciones. Para esto es necesario que se investigue en qué casos o, partes del proceso
del estudio de las reacciones se aplican estos cálculos.
Cabe destacar que, uno de los primeros pasos de cualquier análisis inicia con
conocer conceptualmente el tema en cuestión por lo tanto es muy importante definir el
concepto de reacción química: “Una reacción química, también llamada cambio
químico o fenómeno químico, es todo proceso termodinámico en el cual dos o
más especies químicas o sustancias (llamadas reactantes o reactivos), se transforman,
cambiando su estructura molecular y sus enlaces, en otras sustancias llamadas productos”.
(Wikipedia, 2006)
4. 3
Por otro lado, un texto sugiere que, la investigación, el trabajo y el pensamiento
químico, independientemente del área de aplicación, está guiada por cuatro preguntas
esenciales sobre las propiedades de las sustancias, las cuales definen cuatro áreas de
interés centrales: ¿Qué es esto? (Análisis), ¿Cómo lo hago? (Síntesis), ¿Cómo lo
cambió? (Transformación), y ¿Cómo lo explico o predigo? (Modelaje). (Talanquer, 2009)
Una vez clarificados los conceptos, se puede indicar que una aplicación práctica de
una ecuación diferencial en el estudio de las reacciones químicas seria, estimar la taza de
cambio en función del tiempo, a palabras simples, sería identificar que volumen cantidad o,
calidad de productos se tendrían al trascurrir el tiempo al momento de realizar un
experimento de reacción química. Lo anterior es un ejemplo posible de aplicación, sin
embargo, durante el desarrollo del presente se investigará más a fondo para comprender si
existen otras aplicaciones importantes o relevantes de dichas ecuaciones en la materia en
cuestión.
Finalmente, es importante conocer el área específica de estudio de las reacciones
químicas donde se enfocará este trabajo, esto se logra identificando el campo técnico, los
términos y los objetivos de aplicar la herramienta matemática escogida. Hay un término muy
importante en el campo de las reacciones este es la cinética de la reacción, este se refiere
a la velocidad con la que se obtiene el producto de la reacción, al igual que el ejemplo de
aplicación mencionado anteriormente, se pueden anotar dos caso donde la variación del
tiempo de la reacción es realmente importante, uno muy veloz este sería el tiempo que
puede tardar un “airback” o bolsa de aire de seguridad de un vehículo, en inflarse para
proteger al pasajero del impacto, el cual es el resultado de una explosión producto de
reacción química y, un caso contrario sería una mezcla de cemento con agregados
(arena/piedra) y agua la cual formará concreto y que tendrá un tiempo de fraguado extenso
5. 4
pero que al final lograra un producto de una reacción química, ambos escenarios contrarios
ejemplifican muy bien la necesidad de cálculos de tiempo de las reacciones. (Amigos de la
química, 2018)
6. 5
1.2 Objetivos
1.2.1 Objetivo general
Dar a conocer la gran utilidad que tienen las ecuaciones diferenciales aplicadas en
el mundo científico y matemático.
1.2.2 Objetivos específicos
Objetivo 1
Realizar un proyecto de investigación que permita relacionar el tema de
matemáticas, en particular las ecuaciones diferenciales, con el estudio de la química.
Objetivo 2
Entender la importancia de las ecuaciones diferenciales en el campo de la ingeniería
resolviendo un problema de reacciones químicas como ejemplo de aplicación.
7. 6
1.3 Planteamiento del problema
Al estudiar la clase de Ecuaciones diferenciales de las carreras de Ingeniería del
primer cuatrimestre 2022, se sabe que uno de los requerimientos para poder completar el
curso de forma exitosa, es realizar un proyecto que incluya un ejercicio que demuestre
cómo las Ecuaciones diferenciales se pueden aplicar al estudio de la Ingeniería, y en
particular a la experimentación química como parte de dicho estudio.
Entonces, trasciende la siguiente pregunta: ¿cómo se puede plantear este ejercicio?
Y es así como surge la necesidad de proponer un problema matemático, como ejemplo,
que pueda resolverse usando Ecuaciones diferenciales al desarrollar un ejercicio de
reacción química. Después de pensar en diferentes opciones posibles, la respuesta que
emerge es que es necesario plantear un ejemplo de un problema de dicho tema y
representar su modelo matemático de una forma simple para que pueda ser comprendido
por los estudiantes que tengan interés en esta materia, y por cualquier otro lector interesado
en este tema de estudio; incluso por el profesor evaluador, aunque para él sea
probablemente más fácil entender el problema planteado y su solución.
Se puede plantear uno de tantos ejemplos dentro del contexto nacional para
comprender mejor este tema, y es, por ejemplo, los estudios químicos que se hacen en el
Centro Tecnológico del Concreto de Holcim Costa Rica. Allí se hacen experimentos para
evaluar el cemento producido como agregado del concreto, controles de calidad de las
distintas plantas de producción y experimentación para desarrollar mejores fórmulas
químicas del concreto, con el fin de crear un mejor producto para competir en el mercado
de los materiales de construcción.
De esta manera se podrá profundizar un poco más en comprender de qué tratan las
Ecuaciones diferenciales, más allá de lo visto ya en clases, y cómo éstas se relacionan al
8. 7
desarrollar el cálculo de la solución a un problema de reacciones químicas, y a su vez cómo
esto tiene relación con los temas de estudio de los cursos de Cálculo anteriores. Esta
investigación puede ser utilizada por otros estudiantes como referencia para otros trabajos
futuros y por los profesores también para consultar un ejemplo nuevo de Ecuaciones
diferenciales aplicado a las reacciones químicas como parte del estudio de la Ingeniería y
la Ciencia en general.
1.3.1 Justificación del Problema
El planteamiento de este ejercicio es importante porque permite que los estudiantes
que desarrollan este proyecto y los que lo consultan, comprendan cómo los conceptos que
se aprenden en clase se relacionan con otro campo de estudio como la Química y cómo se
ejecutan en procesos no tan abstractos para el entendimiento de la aplicación de las
Ecuaciones diferenciales y la matemática ya estudiada.
Este tema específico, es un tema desconocido por todos los integrantes del presente
grupo de trabajo, por lo que el desarrollo de este proyecto brinda la oportunidad de conocer
nuevos temas y entender nuevos aspectos de los temas matemáticos por medio del
aprendizaje con la investigación, análisis y trabajo en equipo.
9. 8
2 MARCO HISTÓRICO
2.1 Historia “Reacciones químicas”
La historia de la química está unida al desarrollo del hombre ya que considera desde
las transformaciones de materias y las teorías correspondientes. A menudo la historia de la
química se relaciona íntimamente con la historia de los químicos y según la nacionalidad o
tendencia política del autor resalta en mayor o menor medida los logros hechos en un
determinado campo o por una determinada nación. El principio del dominio de la química
coincide con el principio del hombre moderno es el dominio del fuego. Hay indicios que hace
más de 500.000 años en tiempos del homo erectus algunas tribus consiguieron este logro
que aún hoy es una de las tecnologías más importantes, que permitía la preparación de
comida cocida. (OLVERA, 2019)
Por lo tanto, la primera reacción química de importancia que controlaron los
humanos fue el fuego. logro que se considera una de las tecnologías más importantes de
la historia. No solo proporcionaba calor y luz para alumbrarse, servía de protección contra
los animales salvajes y después para despejar los bosques para cazar o cultivar. (OLVERA,
2019)
Cuando se intenta elaborar un modelo que integre las partes que conformaron el
desarrollo de la reacción química entre el siglo XVIII y parte del siglo XIX, obtendríamos lo
que podemos ver en la Figura 1.
10. 9
Figura 1:Panorama histórico de la reacción química entre los siglos XVIII y XIX
(Revista de Historia de Ciencias, 2017)
2.1.1 Representantes
En ella se identifica que uno de los pilares relacionados con la reacción química y
que favoreció el desarrollo de la química fueron los gases, por ejemplo, Stephen Hales
(1677 – 1761) en los experimentos que presentó en su libro Vegetable Staticks (1777) logró
recoger por medio de la cuba hidroneumática el aire que se desprendía del calentamiento
de sólidos y líquidos, aunque él no logro diferenciar los gases químicamente, “proporciono
un aparato que habría de ser de gran valor a los investigadores que le siguieron en el campo
de la química de los gases. (LEICESTER, 1967)
Por su parte Joseph Black (1728-1799) demostró que “el aire fijo” (dióxido de
carbono) que se libera de la magnesia alba (carbonato de magnesio) tenía propiedades
diferentes del aire atmosférico ordinario en sus propiedades y densidad. Su obra logró
11. 10
“eliminar la idea de Van Helmont de que los gases no podían intervenir en las reacciones
químicas, abriendo así el camino a un nuevo modo de estudiar las sustancias. (LEICESTE,
Panorama histórico de la Química, 1967)
Para el caso de Georg Ernest Stahl (1659-1743) existían tres agentes mecánicos
fundamentales para el cambio de propiedades químicas (la mixtión química): 1. El fuego
(ponía en movimiento la tierra flogística). 2. El aire (arrastraba las partes más volátiles de
los cuerpos). 3. El agua (como disolvente ponía en movimiento las partes de la disolución).
(LEICESTE, Panorama histórico de la Química, 1967)
Mientras que la tierra era un principio constitutivo de la mixtión química y se
componía de la tierra vitrificable (la solidez con peso de los minerales), la tierra grasa o
flogística (ligera e inflamable) y la tierra mercurial o metálica (proporciona a los metales su
maleabilidad y su brillo). De estas a la que consideraba muy importante era la tierra grasa
y para entenderla se dedicó a estudiar lo relacionado con la combustión y la calcinación. A
esta tierra grasa o principio inflamable la denominó flogisto y correspondía al componente
esencial de todos los cuerpos combustibles que al quemarse lo liberaban. (LEICESTE,
Panorama histórico de la Química, 1967)
Henry Cavendish (1731-1810) aisló y caracterizó el “aire inflamable” (hidrógeno)
“este lo obtuvo tratando cinc, hierro o estaño con ácidos diluidos, midió las cantidades de
gas producidas por pesos iguales de los distintos metales y determinó con gran exactitud
el peso específico del hidrógeno por métodos diferentes. Las notables propiedades de este
gas lo llevaron a sugerir que podría tratarse de flogisto puro, ya que, como la mayoría de
sus contemporáneos, Cavendish era flogisticista. Estas investigaciones constituyeron la
primera aplicación de los métodos cuantitativos a los gases, y mostraron que sus
propiedades físicas tenían tanta importancia como las químicas”. (LEICESTER, 1967)
12. 11
Otros científicos fueron Carl Wilhelm Scheele (1742- 1786) que con sus
experimentos identifico al oxígeno; y, Joseph Priestley (1733-1804) quien logró aislar e
identificar lo que actualmente llamamos ácido clorhídrico, el gas amoniaco, el gas
sulfuroso, el ácido sulfhídrico, el etileno y el nitrógeno al cual llamaba “aire flogistizado”,
cabe recordar que “uno de los primeros gases estudiados por Priestley fue el “aire nitroso”
(óxido nítrico), que él preparo tratando ciertos metales con “espíritu de nitro” (ácido nítrico).
Le interesó en alto grado el hecho de que se formase un gas soluble de color pardo cuando
el “aire nitroso” se mezclaba con el “aire común”, y observó que, si se gastaba parte del aire
por respiración o por combustión, decrecía la cantidad de gas pardo formado a partir del
aire nitroso. De esto dedujo que dicha cantidad de gas pardo venía a ser una medida de la
“pureza relativa” del aire. Para determinar esta pureza construyó un aparato, el eudiómetro,
cuyo nombre deriva de dos voces griegas y cuyo significado es “medida de la bondad del
aire”. (LEICESTE, Panorama histórico de la Química, 1967).
2.2 Historia “Ecuaciones Diferenciales”
Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial
a f finales del siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas,
a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuaciones
diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin en sí mismo.
Ya Newton (los creadores del cálculo infinitesimal fueron Leibniz y Newton) observó que si
𝑑𝑛
𝑦/ 𝑑𝑥𝑛
= 0, entonces 𝑦(𝑥) es un polinomio de grado 𝑛 − 1, en particular, y depende de
n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para
poder ser demostrada con rigor (la demostración estándar actual usa el teorema del valor
medio). Los matemáticos de la época con frecuencia usaban argumentos físicos: si 𝑦(𝑡)
denota la posición en el tiempo t de una partícula, entonces 𝑑𝑦/𝑑𝑡 es su velocidad. Si
13. 12
𝑑𝑦/𝑑𝑡 = 0, se tiene que la velocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición,
por tanto, permanece constante. (López, 2008)
2.2.1 Representantes
En 1690, Jacques Bernoulli planteo el problema de encontrar la curva que adopta
una cuerda flexible, inextensible y colgada de dos puntos fijos, que Leibniz llamó catenaria
(del latín cadena). Galileo pensó que esta curva era una parábola, mientras que Huygens
probó que esto no era correcto. (López, 2008)
En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernoulli publicaron soluciones independientes.
La de Jean Bernoulli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mecánica.
En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismo
año, Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del triángulo
característico. (López, 2008)
En la última década del siglo XVII, los hermanos James y Johan Bernoulli
introdujeron términos como el de “integrar” una ecuación diferencial, así como el proceso
de separación (separatio indeterminatarum) de una ecuación diferencial. Johan Bernoulli I
(1692) encontró otro método, utilizando en una serie de problemas, la multiplicación por un
“factor integrante”, sobre todo para resolver ecuaciones en los cuales el método anterior no
se podía aplicar, método también usado por su sobrino Daniel Bernoulli (1720). Sin
embargo, los métodos eran incompletos y la teoría general de las ecuaciones diferenciales
a comienzos del siglo XVIII no podía ser propuesta. (Valdés, 1998)
Es a Euler (1770) a quien le correspondió la primera sistematización de los trabajos
anteriores en su obra: Institutiones Calculi Integralis, Ediderunt Friendrich Engel et Ludwing
Schlesinger, la cual contiene una buena parte (y mucho más) del material que
14. 13
encontraríamos en un libro de texto actual, como el estudio de las ecuaciones diferenciales
de primer orden y su correspondiente clasificación en: lineales, separables, homogéneas y
exactas; las de segundo orden y su generalización a las de orden superior; asimismo,
encontramos el método de series de potencias. (Costeño, Suárez, & Morales, 2006)
Los logros más importantes de esta etapa fueron los de D´Alambert (1776), quien
encontró que la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea es igual
a la suma de una cierta solución particular y la solución general de la correspondiente
solución homogénea, y Lagrange (1774), quien demostró que la solución general de una
ecuación diferencial lineal homogénea de orden con coeficientes constantes es de la forma:
Ilustración 1:ecuación diferencial lineal no homogénea
Donde son un conjunto de soluciones linealmente independiente y
son constantes arbitrarias. Esto es conocido como el “Principio de
superposición”. Este mismo autor, en 1774, descubrió en su forma general el método de
“Variación de parámetros”. (Costeño, Suárez, & Morales, 2006)
A principios del siglo XIX se desarrolló una fase en la que se trataba de demostrar
algunos hechos dados por válidos en el siglo anterior. En 1820 Cauchy probó la existencia
de soluciones de la ecuación diferencial 𝑦′ = 𝑓(𝑡, 𝑦) bajo ciertas condiciones.
En 1890 Picard estableció un método de aproximaciones sucesivas que permite
establecer con precisión el teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales
de orden 𝑛. (López, 2008)
15. 14
3 MARCO TEÓRICO
Química:
Podemos definir según (Álvarez, Química, 2021) la química como: “la ciencia que
estudia la composición, estructura y propiedades de la materia, incluyendo su relación con
la energía y también los cambios que pueden darse en ella a través de las
llamadas reacciones.”
Átomo:
El átomo se define como:
“Es la parte más pequeña de la que puede estar constituido un elemento. Su
estructura está compuesta por diferentes combinaciones de tres subpartículas:
los neutrones, los protones y los electrones.” (Planas, ¿Qué es un átomo?, 2020)
Neutrón:
Según (Planas, ¿Qué es un neutrón?, 2021) define neutrón como: “Una partícula
subatómica que forma parte del átomo (junto con el protón y el electrón). Los neutrones y
los protones forman el núcleo atómico y también se pueden llamar nucleones.”
Protón:
Podemos definir según (Planas, ¿Qué es un protón?, 2021) un protón como: “Una
partícula subatómica con carga eléctrica positiva que se encuentra dentro del núcleo
atómico de los átomos.”
Electrón:
16. 15
Según (Planas, ¿Qué es un electrón?, 2020) define electrón como: “Un electrón es
una partícula elemental estable cargada negativamente. Junto con
los neutrones y protones es una de las tres sub partículas que componen un átomo.”
Reacciones químicas:
Se define reacciones químicas como:
“Las reacciones químicas (también llamadas cambios químicos o fenómenos
químicos) son procesos termodinámicos de transformación de la materia. En estas
reacciones intervienen dos o más sustancias que cambian significativamente en el proceso,
y pueden consumir o liberar energía para generar dos o más sustancias
llamadas productos.” (Álvarez, Reacción Química, 2021)
Ecuaciones Químicas:
La definición de ecuaciones químicas según (LUMITOS AG, 2022) se da como: “Una
ecuación química indica las sustancias y la proporción en que participan en la reacción. Las
reacciones químicas se escriben de forma simplificada mediante ecuaciones químicas.”
Ilustración 2: Ecuaciones químicas.
Ecuaciones diferenciales:
Según (Universidad Tecnólogica de Panamá, 2020) define ecuaciones diferenciales
como: “Se le llama ecuación diferencial a una ecuación que contiene derivadas o
diferenciales.”
17. 16
Ilustración 3: Ecuaciones diferenciales.
Ecuaciones diferenciales ordinarias:
Se define ecuaciones diferenciales ordinarias como:
“Una ecuación diferencial que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más
variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.” (Universidad
Tecnólogica de Panamá, 2020)
Ilustración 4: Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Ecuaciones diferenciales parciales:
Podemos definir ecuaciones diferenciales según (Universidad Tecnólogica de
Panamá, 2020) como: “Son ecuaciones diferenciales que contienen las derivadas parciales
de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes.”
Ilustración 5: Ecuaciones diferenciales parciales.
18. 17
Solución de una ecuación diferencial:
Según (Universidad Tecnólogica de Panamá, 2020) se define solución de una
ecuación diferencial como: “Una función 𝑓(𝑡) definida en intervalo I es solución de una
ecuación diferencial en dicho intervalo si sustituida junto con sus derivadas satisfacen la
relación. Esto es, la función 𝑈 = 𝑓(𝑡) es solución de la ecuación diferencial
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′
, 𝑦′′
, … , 𝑦(𝑛)
) = 0 en el intervalo I si las derivadas 𝑢′
, 𝑢′′
, … , 𝑢(𝑛)
existen y satisfacen
la ecuación 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′
, 𝑦′′
, … , 𝑦(𝑛)
) = 0, para todo x en I.”
Variables separables:
La definición de variables separables según (Universidad Tecnólogica de Panamá,
2020) se da como: “Una ecuación de la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑦)
se conoce como ecuación separable
o que tiene variables separables y puede escribirse como: ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥. Integrando
∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐. Si h y g son funciones continuas las integrales existirán y al
evaluarlas se obtiene la solución general.”
Ecuaciones diferenciales homogéneas:
Podemos definir ecuaciones diferenciales homogéneas según (Universidad
Tecnólogica de Panamá, 2020) como: “Una ecuación diferencial homogénea de primer
orden es aquella que puede escribirse de la forma 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, donde
𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑛
𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑛
𝑁(𝑥, 𝑦). Es decir, M y N tienen el mismo grado de
homogeneidad.”
Ecuaciones diferenciales exactas:
Se define ecuaciones diferenciales exactas como:
19. 18
“Una expresión diferencial de la forma 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 es una diferencial
exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna función
𝑓(𝑥, 𝑦).
Factores de integración:
Según (Universidad Tecnólogica de Panamá, 2020) se define factores de
integración como: “Si la ecuación 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 no es exacta, pero la ecuación
𝜇(𝑥, 𝑦)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, resultante de multiplicar la ecuación 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 +
𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 por la función 𝜇(𝑥, 𝑦) sí es exacta, entonces 𝜇(𝑥, 𝑦)es un factor integrante.”
20. 19
4 DESARROLLO DEL PROBLEMA
Pare el desarrollo de este proyecto, como se explica en el planteamiento del
problema, se presenta un ejercicio matemático que permita ejemplificar cómo las
reacciones químicas se pueden relacionar con la solución de ecuaciones diferenciales.
Para dicho ejercicio, se toma en cuenta también el estudio de la cinética química.
Con el ejemplo que a continuación se presenta, se puede establecer la importancia de los
factores que influyen en la cinética molecular para controlar la naturaleza química de la
reacción en procesos de fabricación de materiales de construcción como el concreto; dichos
factores pueden ser concentración, temperatura y catalizadores. (Elia Trejo Trejo, 2013).
El tema de reacción química a relacionar con las ecuaciones diferenciales es la
velocidad de la reacción aplicada a los procesos de producción de materiales constructivos.
4.1 Desarrollo
Conocer el orden de una reacción química permite a los ingenieros y profesionales
de la materia a determinar la velocidad de reacción en que se realizará la misma. Esta
velocidad de reacción se determina por la cantidad de reactivo que se consume
(exactamente de su concentración), o la cantidad del producto que se forma, por unidad de
volumen en la unidad de tiempo.
Así para una reacción del tipo:
𝐴 → 𝐵 + 𝐶
La ecuación de la velocidad del proceso de reacción que se relaciona con la
concentración de los reactivos utilizados, se denomina Ley de velocidad de una reacción
química, y es:
21. 20
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝑉) = 𝑘[𝐴]𝑛
𝑑
𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑛 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢í𝑚𝑖𝑐𝑎
Se denomina reacción química de primer orden aquella reacción para un solo
reactante en la que la velocidad de reacción (V) es proporcional a la primera potencia de
concentración de un solo reactante, es decir, que sólo un reactante sufre cambio químico.
Una forma de obtener el orden de una reacción química es estudiar cómo varía la
velocidad de reacción con la concentración del reactivo, y a partir de los datos obtenidos se
construye la gráfica correspondiente, cuya representación en escala logarítmica es una
línea recta, y se determina su ecuación empírica.
Una vez conociendo esto, se puede plantear el siguiente ejemplo para el desarrollo
del modelo matemático:
Imaginar que, en la planta de producción de Holcim Costa Rica, se ha inventado una
fórmula nueva de un concreto que permite curar más rápidamente luego de su aplicación
en pavimentos, carreteras, losas, plazas, etc., y el Centro Tecnológico del Concreto de
Holcim está llevando a cabo un experimento para poder conocer la velocidad de reacción
del concreto cuando se le agregar un aditivo como catalizador al momento de su aplicación
en pavimentos, con el fin de conocer los tiempos de reacción mínimos y máximos y así
poder determinar el correcto proceso de aplicación del concreto, e incluir esta información
en las fichas técnicas del producto o en el manual técnico de aplicación.
Siguiendo con el ejemplo, la base de composición del catalizador es el Peróxido de
hidrógeno (H2O2), cuyo orden de reacción se sabe que es 1 y la reacción es clasificada
como de descomposición:
22. 21
𝐻2𝑂2 → 𝐻2𝑂2 + 𝑂2
Se considera que la siguiente Tabla muestra los datos de concentración del
Peróxido a través del tiempo.
Tabla 1: Concentración del Peróxido en el tiempo.
23. 22
De igual forma, con los datos de la Tabla 1, se puede observar que la concentración
del peróxido disminuye en el tiempo al realizar el siguiente gráfico:
Cuando se trabaja con una reacción química de descomposición se da la formación
de dos o más productos y, por tanto, el desgaste del reactivo. Esto significa que, de una
cantidad inicial total de moles, unidad “a”, habrá de consumirse la concentración hasta
quedar una fracción de la unidad (-).
Para conocer la velocidad en la que se lleva a cabo la reacción química, que indica
qué tan rápido se consume el reactivo o se forman los productos, se utiliza la siguiente
ecuación cinética:
𝑉 = 𝑘𝐶𝑝
𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐶𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 (𝑝𝑒𝑟ó𝑥𝑖𝑑𝑜)
Gráfico 1: Disminución de la concentración del peróxido en el tiempo.
24. 23
Dado que la concentración del reactivo varía a través del tiempo, la diferencia de
concentraciones puede expresarse mediante el diferencial:
𝑉 =
𝑑𝐶𝑝
𝑑𝑡
Si al inicio se tienen “a” moles, con el paso del tiempo se tendrán 1/a moles, es decir,
se consumen partes proporcionales de la concentración inicial; por lo que la ecuación
cinética 𝑉 = 𝑘𝐶𝑝 queda expresada:
𝑉 = −
1
𝑎
𝑑𝐶𝑝
𝑑𝑡
Al tratarse de dos ecuaciones que representan la velocidad de reacción, éstas se
pueden igualar para obtener el modelo matemático que corresponde a una ecuación
diferencial:
Ilustración 2: Modelo matemático de la velocidad de una reacción química de primer orden
25. 24
4.2 Resultados
Los resultados se obtienen de la solución matemática del modelo obtenido. Para
resolver esta ecuación diferencial se utiliza el método de separación de variables:
−
1
𝑎
𝑑𝐶𝑝
𝑑𝑡
= 𝑘𝐶𝑝
𝑑𝐶𝑝
𝐶𝑝
𝐶𝑝0
𝐶𝑝𝑡
= ∫ −𝑎𝑘
𝑡
0
(𝑑𝑡)
𝐿𝑛(𝐶𝑝)|0
𝑡
= −𝑎𝑘𝑡|0
𝑡
𝐿𝑛(𝐶𝑝)𝑡 − 𝐿𝑛(𝐶𝑝)0 = −𝑎𝑘𝑡
−𝐿𝑛(𝐶𝑝)𝑡 + 𝐿𝑛(𝐶𝑝)0 = 𝑎𝑘𝑡
𝐿𝑛(𝐶𝑝)0 − 𝐿𝑛(𝐶𝑝)𝑡 = 𝑎𝑘𝑡
𝐿𝑛
(𝐶𝑝)0
(𝐶𝑝)𝑡
= 𝑎𝑘𝑡
Esta solución matemática se utiliza para determinar si se trata de una reacción
química de primer orden. Con la Tabla 1 y la solución matemática obtenida se puede
encontrar la concentración del peróxido de hidrógeno a través del tiempo despejando 𝐶𝑝𝑡,
y se sabe que la representación gráfica de una reacción química de primer orden es una
gráfica lineal.
26. 25
-0,4
-0,35
-0,3
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0 100 200 300 400 500
Ln(Cp)
Tiempo (seg)
𝐿𝑛(𝐶𝑝)𝑡 = −𝑎𝑘𝑡 + 𝐿𝑛(𝐶𝑝)0
(𝐶𝑝)𝑡 = −𝑎𝑘𝑡 + 𝐿𝑛(𝐶𝑝)0
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Reacción química de Primer orden
Una vez obtenidos los grados de concentración de Peróxido como componente
catalizador del concreto a través del tiempo, con el fin de conocer los tiempos de reacción
mínimos y máximos, y sabiendo que la velocidad de reacción es constante, los ingenieros
pueden determinar los lineamientos para elaborar los manuales de aplicación del producto.
Tiempo
(seg)
Cp Ln(Cp)
0 0.97 -0.03046
10 0.96 -0.04082
19 0.95 -0.05129
26 0.94 0.06188
37 0.93 -0.07257
52 0.91 -0.09431
68 0.9 -0.10536
83 0.89 -0.11653
99 0.88 -0.12783
117 0.87 -0.13926
135 0.86 -0.15082
152 0.85 -0.16252
171 0.84 -0.17435
193 0.82 -0.19845
218 0.81 -0.21072
242 0.8 -0.22314
268 0.79 -0.23572
295 0.78 -0.24846
326 0.77 -0.26136
365 0.76 -0.27444
27. 26
5 ANÁLISIS DE RESULTADOS
Al realizar la investigación sobre ecuaciones es diferenciales se comprobó como
estas están relacionadas con muchos campos científicos, matemáticos y físicos, por esto
es importante recalcar la relevancia que tiene para el mundo de la ingeniería debido son
herramientas que ayudan a describir muchos fenómenos cotidianos.
Esta investigación se centró en la rama de la química la cual se relaciona con las
ecuaciones diferenciales al involucrarse procesos donde hay vínculos entre ciertas
magnitudes y sus tasas de variación.
El problema que se plantea es obtener la velocidad en la que actúa un catalizador
sobre el concreto para así poder obtener los tiempos de reacción máximos y mínimos para
poder determinar como sucede el evento obteniendo la información necesaria.
Este proceso sucede mediante la aplicación de Peróxido de hidrogeno el cual se
descompone en dos partes en los que se conoce como descomposición y su orden de
reacción corresponde a 1.
Al utilizar la fórmula de velocidad se observa como mediante la reacción de
descomposición el catalizador va perdiendo su concentración con respecto al tiempo y a su
vez se da la formación de 2 productos más debido a la reacción química de la
descomposición. Conociendo la reacción química que sucede se puede calcular el tiempo
que tarda en suceder esta reacción mediante la ecuación cinética.
Teniendo en cuenta que la reacción química que sucede se va reduciendo el
catalizador mediante la reducción de su concentración se tiene que la ecuación la para
encontrar la velocidad de reacción es una ecuación diferencial con respecto al tiempo.
28. 27
Con las dos ecuaciones obtenidas se puede obtener el modelo matemático
necesario que involucre tanto la rapidez de consumo del reactivo como las proporcionalidad
de la concentración del reactivo.
El modelo matemático elaborado cuenta con la derivada con respecto al tiempo lo
que lo convierte en una ecuación diferencial el cual fue abarcado mediante el método de
separación de variables.
Al resolver la ecuación diferencial se puede encontrar mediante el despeje la
concentración del catalizador con respecto al tiempo, con estos datos se puede observar la
reducción que presenta en reactivo, y la función que describe esta reacción química.
Mediante la medición de la velocidad de reacción; aparte de la elaboración de
manuales de aplicación del producto, se logra construir un modelo que sirve como guía para
la elaboración de mediciones a nivel teórico de otras mezclas con distintos catalizadores,
siendo muy importante resaltar que, existiendo dichos modelos con solo sustituir datos
como constantes o coeficientes se puede experimentar toda clase de preanálisis antes de
pasar a la parte de pruebas.
Por último, aclarar que a pesar de la exactitud de las matemáticas, por diversos
factores de entorno o ambientes no controlados, donde se realizan obras como la utilizada
como ejemplo práctico además de la importancia y costo que representan las mismas es
de comprender que estos cálculos siempre serán sometidos a una siguiente fase de
comprobación practica con pruebas de laboratorio, estas pruebas generalmente revelan si
existe algún aspecto el cual se deba considerar el cual haya quedado por fuera al momento
de considerar partes del cálculo como constantes y coeficientes característicos de los
materiales e insumos utilizados.
29. 28
6 CONCLUSIONES
6.1 Conclusión 1
En el desarrollo del problema seleccionado, además del análisis de resultados, se
logra evidenciar que es de gran utilidad la rama matemática estudiada (ecuaciones
diferenciales) para un campo trascendental para el ser humano como lo es la química, sin
esta no se podrían realizar muchas de las cosas que hoy se desarrollan en el campo de la
construcción, industria, medicina entre otros. Es evidente que para el desarrollo en estos
campos se requiere de los cálculos matemáticos previamente a los desarrollos, pruebas y
etc. Por eso se concluye que es la rama en cuestión algo fundamental para las ciencias
exactas.
6.2 Conclusión 2
Podemos concluir que como grupo logramos comprender la importancia de la
química y las ecuaciones diferenciales para resolver problemas ingenieriles que se nos
presenta en nuestra vida cotidiana, con la investigación logramos desarrollar un posible
problema que se presenta en la planta de fabricación de cemento de Holcim. También se
puede decirse que una reacción química es un proceso mediante el cual unas especies se
convierten en otras, un proceso en el que tiene lugar una reordenación de los núcleos y de
los electrones del sistema.
Con la información que logramos recopilar de las investigaciones existente, como
grupo logramos ver que las matemáticas, están presente para la resolución de los diferentes
problemas que se nos presenta en las diferentes áreas de trabajo.
30. 29
6.3 Conclusión 3
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en la vida cotidiana como por
ejemplo calcular ¿a qué velocidad se forman las bacterias?; también las ecuaciones
diferenciales son utilizadas como modelos matemáticos en el estudio de la dinámica de
poblaciones, los comportamientos radioactivos, aplicación a las leyes de la termodinámica,
reacciones químicas, el cálculo de circuitos y series, en física son muy usadas para el
cálculo de caída de los cuerpos y la resistencia del aire. Por esta razón tienen una
aplicabilidad en el día a día muy amplio.
31. 30
7 BIBLIOGRAFÍA
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