1. Prof. Navarro Maria Laura
Estadística
Introducción
¿Qué es la estadística?
Es una Ciencia que explica y provee de herramientas para trabajar con datos, ha
experimentado un gran desarrollo a lo largo de los últimos años.
¿En qué áreas se aplica la estadística?
Actualmente se aplica en todas las áreas del saber, por ejemplo en Sociología,
Educación, Psicología, Administración, Economía, Medicina, Ciencias Políticas,
entre otras.
Ejemplos de su aplicación son:
1) En Administración de Empresas: la estadística se utiliza para evaluar un producto
antes de comercializarlo.
2) En Economía: para medir la evolución de los precios mediante números índice o para
estudiar los hábitos de los consumidores a través de encuestas de presupuestos
familiares.
1

2. Estadística
Introducción
Ejemplos de su aplicación son:
3) En Ciencias Políticas: para conocer las preferencias de los electores antes de una
votación mediante sondeos y así orientar las estrategias de los candidatos.
4) En Sociología: para estudiar las opiniones de los colectivos sociales sobre temas de
actualidad.
5) En Psicología: para elaborar las escalas de los test y cuantificar aspectos del
comportamiento humano (por ejemplo los test que se aplican a los candidatos para un
cargo en una empresa).
6) En Medicina: uno entre muchos usos de la estadística, es para determinar el estado
de salud de la población.
En general en las Ciencias Sociales, la estadística se emplea para medir las relaciones
entre variables y hacer predicciones sobre ellas.
2

3. Estadística
Introducción
Etapas de un estudio estadístico
Un análisis estadístico se lleva a cabo siguiendo las etapas habituales en el llamado
método científico cuyas etapas son:
1)
Planteamiento del problema: consiste en definir el objetivo de la investigación y
precisar el universo o población.
2)
Recogida de la información: consiste en recolectar los datos necesarios
relacionados al problema de investigación.
3)
Análisis descriptivo: consiste en resumir los datos disponibles para extraer la
información relevante en el estudio.
4)
Inferencia estadística: consiste en suponer un modelo para toda la población
partiendo de los datos analizados para obtener conclusiones generales.
5)
Diagnóstico: consiste en verificar la validez de los supuestos del modelo que nos
han permitido interpretar los datos y llegar a conclusiones sobre la población
3

4. Estadística
Introducción
Esquema de las etapas de un estudio estadístico
AREA DE INTERES
Tema de Investigación
DATOS
ORGANIZAR Y
RESUMIR
(Tablas,
Gráficos, Medidas
Descriptivas, etc.)
-Antecedentes Previos
-Objetivos
-Preguntas de Investigación
-Posibles Hipótesis
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
INTERPRETACIÓN
¿Población o Muestra?
Muestra
-Unidad de Análisis
-Población
Población
-Variables
INFERENCIA ESTADÍSTICA
CONCLUSIONES
INFORMACIÓN
Probabilidad
4

5. Estadística
Introducción
Ejemplos de algunos problemas a estudiar
1) Se quiere estudiar si en cierto colectivo existe discriminación salarial debida al sexo de
la persona empleada.
2) Se quiere determinar el perfil de los trabajadores en términos de condiciones
económicas y sociales en diferentes comunidades.
3) Se quiere estudiar el consumo de las personas de una zona determinada en cuanto a
vestuario, alimentación, ocio y vivienda.
4) Se quiere determinar las tallas estándar en vestuario para mujeres españolas.
5) Se quiere determinar el tiempo que dedican al trabajo y a la familia los trabajadores de
distintas empresas del país.
6) Se quiere determinar el perfil sociodemográfico de los estudiantes de una Universidad.
7) Se quiere estudiar el gasto en teléfono móvil mensual de los estudiantes de una
Universidad, y si éste tiene alguna relación con su edad u otras características.
5

6. Estadística
Resumen de algunos conceptos planteados en la Introducción
• VARIABLE: es lo que se va a medir y representa una característica de la UNIDAD DE ANÁLISIS.
• ¿QUIÉNES VAN A SER MEDIDOS?: Los sujetos u objetos o Unidades de Análisis de una
Población o una Muestra
• POBLACIÓN : Es el total de unidades de análisis que son tema de estudio.
• MUESTRA: Es un conjunto de unidades de análisis provenientes de una población.
Población:
“Las personas que
trabajan en empresas de
comunicación”
Muestra
Muestra: 60 trabajadores de empresas de comunicación
Unidad de análisis: Trabajador de empresa de comunicación
Variables: sexo, edad, salario, Nº de horas de trabajo, etc.
6

7. Estadística
Variable: corresponde a la característica de la Unidad de Análisis
TIPOS DE VARIABLES
Variables Cuantitativas
CONTINUA
DISCRETA
Variables Cualitativas
NOMINAL
ORDINAL
Intervalo
Toma valores enteros
Ejemplos: Número de Hijos, Número de
empleados de una empresa, Número de
asignaturas aprobadas en un semestre, etc.
Toma cualquier valor dentro de un intervalo
Ejemplos: Peso; Estatura; Temperatura, etc.
Característica o cualidad
cuyas categorías no tienen
un orden preestablecido.
Ejemplos: Sexo, Deporte
Favorito, etc.
Característica o cualidad cuyas
categorías tienen un orden
preestablecido.
Ejemplos: Calificación (S, N, A);
Grado de Interés por un tema, etc.
Unidad de Medida: Gramos o Kilos para la variable Peso; Grados C o F para Temperatura
Medida:
7

8. Estadística
Frecuencia: desde un conjunto de unidades, corresponde al Número o Porcentaje de veces que se
presenta una característica.
Variable
Cuantitativa
CONTINUA
DISCRETA
Variable
Cualitativa
Variable
Cualitativa
NOMINAL
NOMINAL
ORDINAL
Variable
Cuantitativa
CONTINUA
ORDINAL
Frecuencia Absoluta (F)
DISCRETA
Frecuencia Relativa (f)
TIPO FRECUENCIA
Frecuencia Absoluta
Acumulada (FAA)
Frecuencia Relativa
Acumulada (fra)
8

9. Estadística
EJEMPLO
Problema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias
de conserva en función de algunas características.
Unidad de Análisis: Industria de Conserva
Población: Industrias de Conservas del país
Variables
- Tipo de Industria: se clasifica en industria tipo A, B, C o D. (cualitativa nominal)
- Nº de Empleados: se refiere al número de empleados en las líneas de producción. ( cuantitativa
discreta)
- Superficie: se refiere a los metros cuadrados (unidad de medida) disponibles para las áreas de
producción. (cuantitativa continua)
- Calificación: calificación realizada por una institución pública sobre cumplimiento de ciertos
estándares (Muy Bien, Bien, Regular, Mal). (cualitativa ordinal)
Datos
Industria nº
1
2
.
.
.
299
300
Tipo
A
B
.
.
.
D
C
Nº Empleados
100
150
.
.
.
250
300
Superficie
1000,6
1200,4
.
.
.
800,3
4000,2
Calificación
Muy Bien
Bien
.
.
.
Mal
Regular
9

10. Estadística
Problema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias de conserva en
Investigación:
función de algunas características.
EJEMPLO
Unidad de Análisis: Industria de Conserva
Análisis:
TABLAS DE
FRECUENCIA
Tipo de
Industria
A
B
C
D
Total
(1)
Frecuencia
Absoluta (Fj)
Población: Industrias de Conservas del país
Población:
Frecuencia
Relativa (fj)
300
Numero de
Empleados
<100
[100-150[
.
.
[950-1000]
Total
Porcentaje
(%)
1
Frec.
Absoluta (F j)
100
Frec.Relativa
(fj) o %
Calificación
Muy Bien
Bien
Regular
Mal
Total
Frec. Absol.
Acum. (FAAj)
Frec.
Absoluta (Fj)
Frec.Relativa
(fj) o %
Frec. Relat.
Acum. (fraj) o %
300
300
Frec. Absol.
Acum. (FAAj)
1 (o 100)
(2)
1 (o 100)
Frec. Relat.
Acum. (fraj) o %
(3)
300
300
1 (o 100%)
(4)
Superficie
(mt2)
<200
[200-400[
.
.
[50000-5200]
Total
1 (o 100%)
Frec.
Absoluta (F j)
1 (o 100%)
Frec. Absol.
Acum. (FAAj)
Frec. Relat.
Acum. (fraj) o %
300
300
Frec.Relativa
(fj) o %
1 (o 100%)
10

11. Estadística
Elementos de una tabla de frecuencia cuando la variable es continua (x)
[LI1 ; LS1 [
Intervalo
Centro
de clase Amplitud
I1
c1
I2
.
.
c2
Ik
ck
ak
FAA fra
a2
[LIk ; LSk]
f
a1
[LI2 ; LS2 [
F
Total
cj = (LIj) + LSj )/2
n
n
1
1
aj = (LSj – LIj))
11

12. Estadística
Ejercicio: confección de una tabla de frecuencia para una variable continua
Los datos corresponden a la edad de los
hijos de los trabajadores de una empresa
10,5
12,0
10,7
10,4
11,7
13,9
7,3
10,7
10,3
11,5
7,5
10,3
10,6
8,0
9,5
13,5
11,1
10,2
10,6
10,0
8,5
10,5
12,3
10,6
8,7
10,5
10,8
12,5
11,8
10,6
9,3
10,9
11,9
10,6
9,7
11,2
9,8
12,9
9,9
11,0
-
Realice la siguiente actividad
1)
Construya un Diagrama de Tallo y Hoja
2)
¿Cuál es la variable?; ¿Cuál es la Unidad de
análisis?; ¿Cuánto vale n?; ¿Cuál es el rango
de la variable?.
3)
Sobre una Tabla de frecuencia: ¿Cuántos
frecuencia:
intervalos podría construir?; ¿Cuál es la
amplitud de cada intervalo?; ¿Cuántas
medidas de frecuencia puede obtener para
cada intervalo?.
4)
Construir tabla de frecuencia para la
variable: Intervalos, centro de clase,
variable:
amplitud, frecuencias.
Datos ordenados de menor a mayor
7,3
7,5
8,0
8,5
8,7
9,3
9,5
9,7
9,8
9,9
10,0
10,2
10,3
10,3
10,4
10,5
10,5
10,5
10,6
10,6
10,6
10,6
10,6
10,7
10,7
10,8
10,9
11,0
11,1
11,2
11,5
11,7
11,8
11,9
12,0
12,3
12,5
12,9
13,5
13,9
-
Diagrama de Tallo y Hoja: permite organizar los
datos de una variable medida sobre un conjunto de
individuos. Su utilidad viene dada cuando no
contamos con herramientas automáticas para ordenar
los datos.
12

13. Estadística
TIPOS DE GRÁFICOS
1. Gráfico de Sectores Circulares (de Torta)
Distribución de las unidades de análisis de
acuerdo a variable 1
D
10%
Distribución de las unidades de
análisis de acuerdo a variable 1
D
10%
C
40%
A
20%
A
20%
B
30%
Distribución de las unidades de
análisis de acuerdo a variable 1
C
40%
B
30%
D
10%
C
40%
A
20%
B
30%
13

14. Estadística
TIPOS DE GRÁFICOS
2. Gráfico de Barras
Numero de unidades de análisis
de acuerdo a variable 1
Proporción de unidad de análisis de acuerdo a
variable 1
D
variable 1
500
300
200
C
B
A
100
0
A
B
C
D
variable 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Proporción de unidad de análisis
-Este tipo de gráfico se utiliza generalmente para
representar la frecuencia de las categorías de una
variable cualitativa.
Porcentaje de unidad de análisis de acuerdo a
variable 1
-Cuando una variable es cuantitativa se puede utilizar
este tipo de gráfico sólo si la variable se ha
transformada en categorías.
D
variable 1
Nº
400
C
B
A
0
20
40
60
% unidad de análisis
80
100
-Hay distintas versiones de estos gráficos (por ejemplo
en Excel), y en algunos casos son muy útiles para
describir el comportamiento de una variable en distintos
grupos.
14

15. Estadística
TIPOS DE GRÁFICOS
3. Histograma
Histograma
Distribución de los hijos de trabajadores
de la empresa de acuerdo a edad
Frecuencia
Nº
15
10
Histograma
- Permite la representación de
la frecuencia de una variable
Cuantitativa.
- El eje x se refiere a la
variable.
5
0
7
8
9
10
11
12
13
edad
edad
Ejemplo
En el gráfico se puede observar el número de
hijos , de menor edad (7-8 años), las de mayor
edad (13-14 años); y además que la mayoría de
hijos de los trabajadores están entre los 10 y 12
años.
14
- El eje y se refiere a la
frecuencia (Nº , %).
- Cada barra representa la
frecuencia de la variable en la
población en estudio (o la
muestra).
-El histograma se puede
construir desde los datos de la
tabla de frecuencia de la
variable en estudio.
15

16. Estadística
TIPOS DE GRÁFICOS
5. Polígono de Frecuencia
Distribución de los hijos de trabajadores
de la empresa de acuerdo a edad
Frecuencia
Nº
15
-Esta representación se basa en
el Histograma.
-Sólo es útil para variables
cuantitativas.
10
edad
-El eje x se refiere a la
variable.
5
0
7
8
9
10
11
edad
12
13
14
- El eje y se refiere a la
frecuencia (Nº , %).
-Los puntos que permiten la
unión de las líneas representa
el centro de clase (o marca de
clase).
16

17. Estadística
TIPOS DE GRÁFICOS
5. Diagrama de Caja
Edad de las personas que se realizaron
angioplastía entre 1980 y 2000
100
90
80
70
- Permite identificar gráficamente
mediana, los cuartiles 1 y
(percentiles 25 y 75), mínimo
máximo de una variable.
Edad
60
50
40
- Sólo es útil
cuantitativas.
30
20
variables
-El eje x permite identificar la
poblacion en estudio.
10
0
N=
para
la
3
y
584
1473
Mujeres
Hombres
- El eje y representa los valores de la
variable en estudio.
17

18. Estadística
TIPOS DE GRÁFICOS
6. Otros
Número de alumnos matriculados en la
Carrera B según año de ingreso
Nº de alumnos
100
80
60
40
20
0
1998
1999
2000
2001
2002
100
80
60
40
20
0
2003
1998
1999
año de ingreso
2000
2001
2002
2003
año de ingreso
Número de alumnos matriculados en las Carreras
según año de ingreso
año de ingreso
1998
1999
2000
2001
2002
2003
Nº de alumnos
Carrera A
Carrera B
60
80
55
70
80
50
40
60
68
50
70
75
Nº de alumnos
Nº de alumnos
Número de alumnos matriculados en la
Carrera A según año de ingreso
200
150
100
50
0
1998
Carrera B
Carrera A
1999
2000
2001
2002
2003
año ingreso
18

19. Estadística
NOTACION
Variables Cuantitativas
x = variable xi = valor de la variable en el individuo i
OBSERVACIONES
y = variable y = valor de la variable en el individuo i i = 1,..., n
i
* El Tipo de Gráfico seleccionado va a depender de la variable en estudio.
* El Gráfico debe contener un a, b, c :General y la identificación de cada eje
Título constantes
n
(variable en estudio y frecuencia).
+  + c = nc
∑ c =*c En ocasiones
i =1
n
frecuencia.
n
n
n
i =1
i =1
i =1
resulta cxi = ilustrativo cx n = c ∑ xi que unaxitabla1 de + x n
∑ más cx1 +  + un gráfico
∑ =x +
2
2
2
n
n
* Al igual que las tablas, los gráficos deben ser auto-explicativos.
2
∑ (axi + b) =(ax1 + b) +  + (axn + b) = a ∑ xi + b
i =1
i =1
(∑ xi ) = ( x1 +  + x n ) 2
i =1
n
∑ ( xi + yi ) = ( x1 + y1 ) +  + ( x n + y n )
i =1
n
∑ ( xi yi ) = ( x1 y1 ) +  + ( xn y n )
i =1
19

20. Estadística
-Media Aritmética (Promedio)
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
-Mediana
-Moda
Datos Cuantitativos
x
x1
x2

xn
Datos Cuantitativos ordenados de menor a mayor
Media Aritmética o Promedio
n
x=
∑ xi
i =1
n
Datos
Cualitativos y Cuantitativos
x
x(1)
Mediana
M E = x( k )
x( 2)
ME =

x(n )
Si n es impar
x( k ) + x( k +1) Si n es par
2
x( k ) = dato del centro
Moda
M o =" el dato que más se repite"
20

21. Estadística
-Percentil (ejemplo: 25, 50, 75)
Percentiles, Deciles o Cuartiles
-Decil (ejemplo: 4, 5, 8)
-Cuartil (ejemplo: 1, 2, 3)
Percentil, Decil o Cuartil: corresponde al valor que toma la variable (cuantitativa), cuando los
n datos están ordenados de Menor a Mayor
El Percentil va de 1 a 100
El percentil 25 (25/100): es el valor de la variable que reúne al menos el 25% de los datos
Ejemplo: Si N=80, el 25% de 80 es 20; por lo tanto, se busca el dato que este en la posición 20.
Si N=85, el 25% de 85 es 21,25; por lo tanto se busca el dato que este en la posición 22.
El Decil va de 1 a 10
El Decil 4 (4/10): es el valor de la variable que reúne al menos el 40% de los datos
Ejemplo: Si N=80, el 40% de 80 es 32; por lo tanto, se busca el dato que este en la posición 32.
Si N=85, el 40% de 85 es 34; por lo tanto se busca el dato que este en la posición 34.
El Cuartil va de 1 a 4
El Cuartil 3 (3/4): es el valor de la variable que reúne al menos el 75% de los datos
Ejemplo: Si N=80, el 75% de 80 es 60; por lo tanto, se busca el dato que este en la posición 60.
Si N=85, el 75% de 85 es 63,75; por lo tanto se busca el dato que este en la posición 64.
21

22. Estadística
-Rango
-Varianza
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
-Desviación Estándar
Datos Cuantitativos
x
x1
x2

xn
Varianza
1 n
∑ ( xi − x ) ∑ x − n (∑ xi ) 2 1 n 2 2
i =1
R = max( xi ) − min( xi ) s 2 = i =1
= i =1
= ∑ xi − x
n
n
n i =1
Rango
n
2
n
2
i
Desviación Típica o Estándar
s = s2
Comparación entre Variables
Se refiere al comportamiento de las variables cuantitativas en
un grupo. Por ejemplo: Si se tiene un conjunto de personas a las
que se les mide Estatura, Peso, Edad: Entre estas variables ¿cuál
presenta mayor variación?
Coeficiente de Variación
cv =
s
x
22

23. Estadística
-Asimetría
Otras medidas o Coeficientes
-Kurtosis o Apuntamiento
Además de la posición y la dispersión de los datos, otra medida de interés en una distribución de frecuencias
es la simetría y el apuntamiento o kurtosis.
n
Coeficiente de Asimetría CA =
∑ (x
i =1
i
− x)3
n ⋅ s3
n
Coeficiente de Apuntamiento CAp =
Si CA=0 si la distribución es simétrica alrededor de la media.
Si CA<0 si la distribución es asimétrica a la izquierda
Si CA>0 si la distribución es asimétrica a la derecha
∑ ( xi − x ) 4
i =1
n ⋅ s4
- Si CAp=0 la distribución se dice normal (similar
a la distribución normal de Gauss) y recibe el
nombre de mesocúrtica.
- Si CAp>0, la distribución es más puntiaguda que
la anterior y se llama leptocúrtica, (mayor
concentración de los datos en torno a la media).
- Si CAp<0 la distribución es más plana y se
llama platicúrtica.
23

24. Estadística
Otras medidas o Coeficientes
-Asimetría
-Kurtosis o Apuntamiento
Ejemplos Histogramas con distinta asimetría y apuntamiento
14
6
30
12
5
10
4
20
8
3
6
2
10
4
Desv. típ. = 1,67
1,0
2,0
3,0
4,0
V2
5,0
6,0
7,0
N = 30,00
1
Desv. típ. = 2,42
Media = 0,0
N = 30,00
0
Desv. típ. = ,64
Media = 3,9
2
0
-1,0
0,0
1,0
V4
2,0
Media = 5,2
N = 28,00
0
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
V5
24

25. Estadística
Otras medidas o Coeficientes
-Asimetría
-Kurtosis o Apuntamiento
Ejemplos
Datos
1
4
4
1
4
4
5
2
4
5
2
4
6
2
4
Histograma
Medidas descriptivas
Media
4
1
16
6
14
3,9
Mediana
4
12
Moda
4
10
Desviación estándar
1,67
Varianza de la muestra
2,78
8
kurtosis
-0,43
6
Coeficiente de asimetría
-0,02
Rango
6
Mínimo
1
Máximo
7
Cuenta
30
2
4
6
3
4
6
4
3
4
7
2
4
4
7
0
Desv. típ. = 1,77
Media = 5,4
N = 66,00
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
V1
25

26. Estadística
Media, Desviación típica, Coeficientes de Asimetría y Apuntamiento
para datos Agrupados (tabla de frecuencias)
Tabla de frecuencia (para variable cuantitativa)
Intervalo
Centro
de clase Amplitud
F
f
f1
f2
I1
c1
a1
I2
.
.
c2
a2
n1
n2



ck
ak
nk
fk
n
1
k

Ik
FAA fra
2) La Desviación típica para datos
agrupados esta dada por:
Total
sc =
n
1
Sea cj la marca de clase (o centro de clase) y fj la
frecuencia relativa de la clase j, donde j=1, 2,…, k.
1) La Media para datos agrupados es igual a
la suma de los productos de las marcas de
clase por sus frecuencias relativas, de la forma:
j =1
j =1
− xc ) 2 f j
j
3) El Coeficiente de Asimetría para
datos agrupados esta dado por:
k
CAc =
∑ (c
j =1
− xc ) 3 f j
j
3
sc
4) El Coeficiente de apuntamiento para
datos agrupados esta dada por:
k
k
Media c = x c = ∑ c j f j
∑ (c
CAp c =
∑ (c
j =1
j
− xc ) 4 f j
s c4
26

27. Estadística
Descripción de 2 variables cualitativas
Distribución conjunta
Problema
Interesa estudiar cual es el
principal medio de transporte
preferido por un grupo de
personas a la hora de dirigirse
al centro comercial.
Tabla 1
Actividad
Transporte
Pensionado
Trabaja
Autobus
5
7
0
Bicicleta
3
3
2
Caminar
2
5
2
Coche
5
4
5
Metro
Para esto se consultó a cada
persona sobre la actividad a
la que se dedicaba y el medio
de transporte preferido.
Estudia
6
7
4
Transporte
Nº
%
Autobus
12
20,0
Actividad
Bicicleta
8
13,3
Estudia
21
35,0
Caminar
9
15,0
Pensionado
26
43,3
Coche
14
23,3
Trabaja
13
21,7
Metro
17
28,3
TOTAL
60
100
TOTAL
60
100
Nº
%
27

28. Estadística
Descripción de 2 variables cualitativas
Distribución conjunta
Nº de personas
Tabla 2
Actividad
Transporte
Estudia
Pensionado
Trabaja
TOTAL
Autobus
5
7
0
12
Bicicleta
3
3
2
8
Caminar
2
5
2
9
Coche
5
4
5
14
Metro
6
7
4
17
TOTAL
21
26
13
60
Actividad: confeccionar tabla con porcentajes respecto del total de personas (n=60)
28

29. Estadística
Descripción de 2 variables cualitativas
Distribución conjunta
Nº de personas y % respecto de tipo de Transporte
Tabla 3
Transporte
Actividad
Estudia
Pensionado
Trabaja
TOTAL
5
7
0
12
41,7
58,3
0
100
3
3
2
8
37,5
37,5
25
100
2
5
2
9
22,2
55,6
22,2
100
5
4
5
14
35,7
28,6
35,7
100
6
7
4
17
35,3
41,2
23,5
100
TOTAL
21
26
13
60
%
35
43,3
21,7
100
Autobus
%
Bicicleta
%
Caminar
%
Coche
%
Metro
%
29

30. Estadística
Descripción de 2 variables cualitativas
Distribución conjunta
Nº de personas y % respecto de tipo de Actividad
Tabla 4
Transporte
Actividad
Estudia
Pensionado
Trabaja
TOTAL
5
7
0
12
23,8
26,9
0
20
3
3
2
8
14,3
11,5
15,4
13,3
2
5
2
9
9,5
19,2
15,4
15
5
4
5
14
23,8
15,4
38,5
23,3
6
7
4
17
28,6
26,9
30,8
28,3
TOTAL
21
26
13
60
%
100
100
100
100
Autobus
%
Bicicleta
%
Caminar
%
Coche
%
Metro
%
30

31. Estadística
MEDIDAS DE ASOCIACIÓN LINEAL
x
x1
x2

xn
- Covarianza
Datos
- Correlación
Cuantitativos
Recordemos que: Hasta ahora hemos estudiado las medidas tendencia
central (Media, Mediana, Moda) y dispersión
(Varianza y Desviación Estándar) para una
Variable Cuantitativa (x).
Covarianza: Es una medida de Variabilidad Conjunta entre dos variables (x1 , x2) o bien (x , y)
(x
(x
x
x(1)
y( 1 )
1 n
cov( x , y ) = ∑ ( xi − x )( yi − y )
n i =1
x( 2)
y( 2 )
Si Cov(x,y) es positiva: la asociación entre x e y es directamente proporcional,
es decir que cuando x aumenta y también aumenta; y viceversa.

x(n )

Si Cov(x,y) es negativa: la asociación entre x e y
es inversamente
proporcional, es decir que cuando x aumenta y disminuye; y viceversa.
y
y( n )
Si Cov(x,y) es cero: no existe asociación entre x e y.
31

32. Estadística
MEDIDAS DE ASOCIACIÓN LINEAL
- Covarianza
Datos
- Correlación
Cuantitativos
Correlación: Se refiere al grado de asociación entre dos variables (x1 , x2) o bien (x , y)
Coeficiente de Correlación de Pearson (r): Mide el grado de Asociación Lineal
entre dos variables Cuantitativas
y
x
x(1)
y( 1 )
x( 2)
y( 2 )

x(n )

y( n )
r=
cov( x , y )
sx s y
n
∑ xi yi − nx y
r = i =1
( n − 1 )s x s y
−1 ≤ r ≤ 1
Si r es positivo: la asociación entre x e y es directamente proporcional, es decir que
cuando x aumenta y también aumenta; y viceversa. Si r=1: la asociación lineal es
perfecta.
Si r es negativo: la asociación entre x e y es inversamente proporcional, es decir
que cuando x aumenta y disminuye; y viceversa. Si r=-1: la asociación lineal es
perfecta.
Si r es cero: no existe asociación entre x e y.
32

33. Estadística
EJEMPLO : Representación gráfica de las variables x e y
r=1
r=-1
33

34. Estadística
Datos Cuantitativos
REGRESION LINEAL SIMPLE
Objetivo 1
Determinar si dos variables están
asociadas y en qué sentido se da
la asociación.
Determinar si existe relación
entre las variables x e y:
Coeficiente de Correlación
y
x
x(1)
y( 1 )
x( 2)
y( 2 )

x(n )
Objetivo 2
Estudiar si los valores de una
variable pueden ser utilizados para
predecir el valor de la otra

y( n )
Estudiar la dependencia de una
variable respecto de la otra:
Modelo de Regresión
Términos
Variable Respuesta (=variable dependiente)
Variable Explicativa (=variable Independiente)
Relación Lineal (modelo lineal)
Parámetros (intercepto y pendiente)
Intercepto (respuesta media)
Pendiente (efecto de la variable explicativa sobre la respuesta)
Error (residuo)
34

35. Estadística
Datos Cuantitativos
REGRESION LINEAL SIMPLE
y
x
x(1)
y( 1 )
Notación
x( 2)
y( 2 )

x(n )

Variable Respuesta: y
Variable Explicativa: x
y( n )
Modelo de Regresión Lineal Simple: yi=α+βxi+ei
Intercepto: α
Pendiente: β
Error: e
Modelo Estimado
(recta de regresión)
Método de Estimación: Mínimos Cuadrados
a = y − bx
ˆ
y = a + bx
n
b=
n
n
Residuos o Errores
i =1
i =1
i =1
ˆ
ei = y i − y i
n∑ xy − ∑ xi ∑ y i
 n 
n ∑ x −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
n
2
2
35

36. Estadística
REGRESION LINEAL SIMPLE
MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
yi=α+βxi+ei
DATOS
MODELO ESTIMADO
ˆ
y = a + bx
y
x
x(1)
y( 1 )
x( 2)
y( 2 )

x(n )

ESTIMADORES
a = y − bx
y( n )
ERRORES
ˆ
ei = y i − y i
n
b=
n
n
i =1
i =1
i =1
n∑ xy − ∑ xi ∑ y i


n ∑ x 2 −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
n
n
2
36

37. Estadística
REGRESION LINEAL SIMPLE
EJEMPLO: Aplicación del Modelo de Regresión Lineal Simple
Problema 1: Se cuenta con las mediciones sobre la edad y la talla de 14 niños, y estamos
interesados en determinar si existe algún tipo de relación entre la talla del niño y su edad.
niño
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
edad (meses) talla (cm)
xi
yi
3
55
6
68
5
64
5
66
3
62
4
65
9
74
8
75
9
73
7
69
6
73
5
68
8
73
6
71
y=talla / x=edad / n=14
14
y i 956
∑=
i=
1
14
xi 84
∑=
i=
1
y = ,3 s y =,6
68
5
x=
6
sx =
2
cov( x, y ) =,07 rxy =,88
9
0
14
xi y
∑i
i=
1
=
5863
14
xi2 556
∑=
i=
1
37

38. Estadística
REGRESION LINEAL SIMPLE
EJEMPLO: Aplicación del Modelo de Regresión Lineal Simple
Problema 1: Se cuenta con las mediciones sobre la edad y la talla de 14 niños, y estamos
interesados en determinar si existe algún tipo de relación entre la talla del niño y su edad.
Modelo Estimado
ˆ a bx
y =+
b =44 a = ,64
2,
53
ˆ 53
y = ,64 +44 x
2,
Interpretación de los resultados
- Existe asociación o dependencia entre la Talla del niño y la edad (r=0,88); a
medida que la edad aumenta la talla aumenta.
- Desde los resultados del modelo de regresión lineal simple, se tiene que la talla
media de un niño es de 53,64 cm. Cuando la edad del niño (meses) aumenta en
una unidad la talla se incrementa en 2,44 cm.
38

39. Estadística
REGRESION LINEAL SIMPLE
EJEMPLO: Aplicación del Modelo de Regresión Lineal Simple
Problema 1: Se cuenta con las mediciones sobre la edad y la talla de 14 niños, y estamos
interesados en determinar si existe algún tipo de relación entre la talla del niño y su edad.
niño
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
edad (meses) talla (cm) Talla estimada
xi
3
6
5
5
3
4
9
8
9
7
6
5
8
6
yi
55
68
64
66
62
65
74
75
73
69
73
68
73
71
error
ˆ
yi
ei
61,0
68,3
65,8
65,8
61,0
63,4
75,6
73,2
75,6
70,7
68,3
65,8
73,2
68,3
-6,0
-0,3
-1,8
0,2
1,0
1,6
-1,6
1,8
-2,6
-1,7
4,7
2,2
-0,2
2,7
14
(y y
402
∑ i − i ) 2 = ,86
i=
1
14
14
i=
1
i=
1
(y y
∑ i −ˆ i ) 2 = ei2 = ,7
∑ 92
Bondad de Ajuste del Modelo
R2 = 0,77
De acuerdo al coeficiente de
determinación, el modelo ajustado
a los datos es adecuado (R2
cercano a 1)
39