Este documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: 1) El método de eliminación de Gauss, que reduce el sistema a una forma escalonada. 2) El método de Newton-Raphson, cuya fórmula característica encuentra raíces iterativamente aproximando la tangente. 3) El método de la bisectriz, que encuentra raíces iterando entre los puntos donde la función cambia de signo.

1. METODOS DIRECTOS PARA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Métodos de solución convencionales:
Eliminación de Gauss simple:
Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus
soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada
ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la
matriz resultante se conoce como: "forma escalonada".
Ejemplo:
2������ − 5������ + 9������ = 7
−4������ + 3������ = 6
−7������ − 12������ = 1
2 −5 9 7
−4 3 0 6
0 −7 −12 1
Desarrollo:
2 −5 9 7
0 −7 18 20
0 −7 −12 1
2 0 −27/7 −51/7
0 −7 18 20
0 0 30 19
2 0 0 −5
0 −7 0 −43/5
0 0 30 19
1 0 0 −5/2
0 1 0 43/35
0 0 1 19/30

2. Uso de la serie de Taylor para aproximar una función que tiene un número infinitos de derivadas,
úsese los términos de la serie de Taylor con n=0 hasta 6 para aproximar F(x)=cos(x) en x=π/3 en
base al valor de F(x) y de sus derivadas alrededor del punto x=π/4
h=π/3−π/4=π/12
n=0 n=4
F(x)=cos(x) F´´´´(x)=cosx
n=1 n=5
F´(x)=−senx ������ ������ (x)=−senx
n=2 n=6
F´´(x)=−cos x ������ ������������ (x)=−cosx
n=3
F´´´(x)=senx
−������������������ ������ ������ ������������������ ������ ������
F(������������+1 )=cos������������ +(−������������������ ������������ )(������������+1 − ������������ )+( )(������������+1 − ������������ )2 +( )(������������+1 −
2! 3!
������������)3+( ������������������������������4!)( ������������+1−������������)4
������������������������ ������ ������������������������ ������
+(− )( ������������+1 − ������������ )5 +(− )( ������������+1 − ������������ )6
5! 6!
cos ������/4 sin ������/4 cos ������/4
F(π/3)=cos ������/4 − sin ������/4(π/12)− (������/12)2 + (������/12)3 + (������/12)4 −
2! 3! 4!
sin ������/4
(������/12)5
5!
cos ������/4
− (������/12)6
6!
F(������/3)=1/2

3. 2.Apartir de la serie de Taylor
Hallar la formula característica del método de Newton
������¨(������������ )
������(������������+1 ) = ������(������������ ) + ������´(������������ )(������������+1 − ������������ ) + (������������+1 − ������������ )2
2!
������(������������ ) = 0
0=������(������������ ) + ������´(������������ )(������������+1 − ������������ )
������(������������ )
− + ������������ = ������������+1
������´(������������ )
������(������������ )
������������ − = ������������+1
������(������������ )
Biseccion:
������������ + ������������
������������ , ������������ , ������������ =
2
F(������������ ) × ������(������������ ) > 0 ������������ = ������������
F(������������ ) × ������(������������ ) < 0 ������������ = ������������
Ejemplo:
F(x)=������ −������ − ������
I ������������ ������������ ������������ ������(������������ ) ������(������������ ) ������(������������ )������(������������ )
1 0 1 0.5 1 0.10653 0.10653
2 0.5 1 0.75 0.10653 −0.2776 −0.02957
3 0.5 0.75 o.625 0.10653 −0.08973 −0.00955
4 0.5 0.625 0.56 0.10653 0.0072828 7.7583
5 0.5625 0.625 0.59
Valor real X=0.5671432904

4. Newton Raphson
Ejemplo;
Error verdadero=
������������������������������ ������������������������������������������������������ −������������������������������ ������������������������������ ������(������ )
Ev= ������������+1 = ������������ − ������´(������������ )
������������������������������ ������������������������������������������������������ ������
������(������������ ) = ������ −������ − ������
������´(������������ ) = −������ −������ − 1
Iteraciones ������������ ������������ %
0 0 100
1 ½ 11.87
2 0.56629 0.15
3 0.56714 0.000022
4 0.567141866 0.00022
2.
Ecs=
−0.6766 × 10−8 ������ 4 − 0.26689 × 10−5 ������ 3 + 0.12748 × 10−3 ������ 2 − 0.018507 = 0
F¨(x)=
−2.7064 × 10−8 ������ 3 − 8.0067 × 10−6 ������ 2 + 2.5496 × 10−4 = 0
I ������������ ������(������������ ) ������´(������������ ) ������������+1
0 14.85 0.00053614 1.925863× 10−3 14.5734
1 14.5734 −4.713 × 10−6 1.93135× 10−3 14.5724
2 14.572 −8.51 × 10−7 1.9314 × 10−3 14.5724

5. Metodo de la secante:
Ejemplo:
������(������������ ) = ������ −������ − ������
������(������������ )(������������+1 − ������������ )
������������+1 = ������������ −
������(������������+1 ) − ������(������������ )
������������+1 = ������������
������������ = ������������−1
I ������������ ������������−1 ������(������������ ) ������(������������−1 ) ������������+1
0 1 0 −0.632 1 0.61274
1 0.1274 1 −0.07087 −0.632 0.563829
2 0.563829 0.61274 0.00519708 −0.0708 0.56717
3
4