EJERCICIOS

EJERCICIOI
• Solución• Solución
Caso 1:
 POR DATO
𝑥, 𝑦 > 0 y 𝑥 > 𝑦
X = 2
1
𝑥
<
1
𝑦
=>
1
2
<
1
1
= 0.5 < 1 VERDADERO
Y = 1
a)
𝑥
3
+
𝑥−5
7
+
8𝑥
21
≤ 1
Mcm: 21
7x + 3(x - 5) + 8x  1(21)
7x + 3x - 15 + 8x  21
18 x  36
X  36/18
X  2
CS: ] − ∞ ; 2 ]

• Solución • Solución
Caso 2:
Si
𝑥
6
≤
3
𝑥
+
1
2
, entonces, el conjunto solución es ] − ∞; −3] 𝑈[6; +∞[
MCM:6X
𝑥2
≤ 18 + 3𝑥
𝑥2
− 3x − 18 ≤ 0
(x - 6)(x + 3)
X = 6
X = - 3
CS: [ - 3 ; 6 ]
EJERCICIOI
C)
3(2𝑥−2)
2
>
6𝑥−3
5
+
𝑥
10
Mcm: 10
5 (6x - 6) > 2 (6x - 3) + x
30x - 30 > 12x - 6 + x
30x - 13x > 24
X >
24
17
X > 1.41

• Solución
EJERCICIOI
D) Si −5 < 2𝑥 − 3 < 5, determine el intervalo a que pertenece 3 − 4𝑥
-5 < 2X - 3 < 5 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 − 2
10 > - 4X + 6 > -10 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 3
7 > 3 - 4x > - 13
CS: ] - 13 ; 7 [

• Solución a
• 𝑎) 𝑥2 + 𝑎 − 𝑏 𝑥 − 𝑎𝑏 < 0, 𝑠𝑖 𝑏 < −𝑎
• 𝑥2
+ 𝑎 − 𝑏 𝑥 − 𝑎𝑏 < 0
• 𝑥 −−−−− − + 𝑎 ….. ax
• 𝑥 −−−−− − − 𝑏 ….. -bx
• 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥
• 𝑥 (𝑎 − 𝑏)
• 𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑏 = 0
• 𝑥 + 𝑎 = 0
• 𝑥 = −𝑎
• 𝑥 − 𝑏 = 0
• 𝑥 = 𝑏
• Solución b
• (2x +1) (x-3) < 9 + (x + 1) (x - 4)
• 2 𝑥2 − 5𝑥 − 3 < 9 𝑥2 − 3𝑥 − 4
• 𝑥2
− 2𝑥 − 8 < 0
• Comprobando:
• X --------- 4 = -4
• X -------- -2 = +2
• (x-4) (x+2)
• x-4 = 0 x+2 =0
• x= 4 x= -2
•
• 𝑐. 𝑠 = ] − 00; −4] 𝑢 [ 4; 00 + [
EJERCICIOII

• Solución c • Solución d
EJERCICIOII
( x − 2 )( 𝑥 − 5) < 0
( 2𝑥 − 5)( 𝑥 + 3) ≥ 0
( x − 2 )( 𝑥 − 5) < 0
𝑥2
− 5 𝑥 − 2 𝑥 + 10 < 0
𝑥2
− 7 𝑥 + 10 = 0
X1 = 5
X2 = 2
( 2𝑥 − 5)( 𝑥 + 3) ≥ 0
2𝑥2
+ 6 𝑥 − 5 𝑥 − 15 ≥ 0
2𝑥2
+ 1 𝑥 − 15 ≥ 0
X1 = 2.5
X2 = -3
12
𝑥 − 1
> 2 ( 𝑥 + 6)
𝑥2
− 5𝑥 − 3 < 9 𝑥2
− 3𝑥 − 4

• Solución a
EJERCICIOIII
X= cantidad de armarios
Pago total = $ 1000
Precio por unidad = 1000/x
Precio de venta :
Pv = Pc + ganancia Pv = Pc - perdida
60 ≤
1000
𝑥
+ 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 58 ≥
1000
𝑥
− 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
𝑥 ≥
1000
60−𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑥 ≤
1000
58+𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
Utilidad = Pv-Pc
200 ≤
1000
𝑥
+ 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 − 60

• Solución b
EJERCICIOIII
Plaza La cachina = PC
Plaza Boulevard = PB
Plaza Visa = PV
 Linea Azul ( PC unido con PB)
Pendiente : 𝑚 =
𝑥−𝑥1
𝑦−𝑦1
=
30−20
70−80
= −1
Ecuación:
𝑌 − 𝑦1 = 𝑚 ( 𝑋 − 𝑥1)
𝑌 − 80 = (−1)( 𝑋 − 20)
𝑌 = 100 − 𝑋
 Linea roja ( Pv unido con Pb)
𝑚 =
70 − 40
30 − 25
= 6
𝑦 − 40 = (6)( 𝑥 − 25)
𝑦 = 6𝑥 − 110
 Linea Verde ( Pc unido con Pv)
𝑚 =
25 − 20
40 − 80
= −
1
8
𝑦 − 80 = (
−1
8
)(𝑥 − 20)
𝑦 = 82.5 − 0.125𝑥

• Solución a
EJERCICIOIV
 Multiplicamos por -1 a la segunda ecuacion
( 𝑥 − 3𝑦)(−1) ≤ 2(−1)
3𝑦 − 𝑥 ≤ −2
 Sistema de ecuaciones
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 45
(3𝑦 − 𝑥 ≤ −2 ) ……………….x2
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 45
6𝑦 − 2𝑥 ≤ −4
9𝑦 ≤ 41
𝑦 ≤
41
9
𝑥 ≤
94
3
Maximizando la funcion
𝑧 ≤ 5 ×
94
3
+ 7 ×
41
9
𝑧 ≤ 188.56
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 188

• Solución b
EJERCICIOIV
Indicando los vértices.

• Solución a
EJERCICIOV
Desarrollo:
X Y 3𝑥 + 𝑦 ≤ 18
0 18 Y = 18
6 0 X = 6
X Y 𝑥 + 𝑦 ≤ 12
0 12 Y = 12
12 0 X = 12
Expresion maxima
𝒁 = 𝟑𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝒚
a = (2, 5) = 30(2) + 20(5) = 160
b = (7, 5) = 30(7) + 20(5) = 210
c = (12, 0) = 30(12) + 20(0) =360
d = (2, 0) = 30(2) + 20(0)=60
La maxima expresion de 30x + 20y =360

Solución
EJERCICIOVI
Área del triángulo EBA =
EB x EA
2
= 22000 𝑘𝑚2
.
EB =2 x
𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎
𝑬𝑨
EB = 2 x
22000
222.4
≈ 200
EB ≈ 200 km
Como EB ≈ 200 km ≈ 110 milas
Además:
El área del triángulo ECA =
𝐸𝐶 𝑥 𝐸𝐷
2
= 40000 km2
EC = 2 𝑥
40000
𝐸𝐷
EC = 2 x
40000
370.4
EC ≈ 216 km
Como EC ≈ 216 𝑘𝑚 ≈ 120 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
Como BC = EC – EB = 120 millas – 110 millas = 10 millas
Por lo tanto BC mide 10 millas.
a) El punto A y B tiene como coordenadas (120;120) , (0;10) respectivamente.
Entonces la pendiente de la recta que une los puntos A y B es:
𝑚 𝐿1 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
120−10
120
=
110
120
=
11
12
Y la ecuación de la recta resultaría:
𝐿1: (𝑦 − 10) =
11
12
(𝑥 − 0)
𝐿1: 12𝑦 − 120 = 11𝑥
𝐿1: 11𝑥 − 12𝑦 + 120 = 0

EJERCICIOVI
a) La recta que pasa por los puntos C y D cuyas respectivas coordenadas son
(0;0),(200;120):
𝑚 𝐿2 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 𝐿2=
120
200
=
3
5
Cuya ecuación es:
𝐿2: (𝑦 − 120) =
3
5
(𝑥 − 200)
𝐿2: 5𝑦 − 600 = 3𝑥 − 600
𝐿2: 3𝑥 − 5𝑦 = 0
Donde las restricciones serian:
𝑥 ≥ 0,
𝑥 ≤ 200 ,
11𝑥 − 12𝑦 ≥ −120,
3𝑥 − 5𝑦 ≤ 0,
𝑦 ≥ 0,
𝑦 ≤ 120

EJERCICIOVIISolución:
a) Sea la función 𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 25 − 𝑥2 hallaremos el dominio de f(x):
Como la función es una suma de raíces cuadradas cuyos dominos son los valores de x donde el
argumento es mayor o igual que cero.
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 25 − 𝑥2
Entonces se debe cumplir: 𝑥 ≥ 0 ∧ 25 − 𝑥2
≥ 0
𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥2
− 25 ≤ 0
𝑥 ≥ 0 ∧ (𝑥 + 5)(𝑥 − 5) ≤ 0
C.S. [𝟎; +∞[ ∧ C.S. [– 𝟓; 𝟓]
Entonces el Dom (f)= [𝟎; 𝟓]
Lo que fácilmente se observa en la grafica de la función f(x):
-5 5

EJERCICIOVII
Por lo tanto el enunciado (a) es falso.
a) La función 𝑓( 𝑥) = −4𝑥2
+ 6, la función es decreciente en 𝑥 ∈] − ∞;0[
Veamos la grafica de f(x):
f(x)=-4x^2+6
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
En la gráfica se puede observar que es creciente en el intervalo donde 𝑥 ∈] − ∞; 0[.
Por lo tanto el enunciado (b) es falso
a) Dada la función 𝑓( 𝑥) = −4𝑥2
+ 6, luego el rango de la función 𝑦 ∈ [6; −∞[
El rango de una función son los posibles valores que puede tomar y = f(x).
Como f(x) es una función polinomial su dominio es todos los números reales R.
Además: 𝑥2 ≥ 0 ; para cualquier valor de 𝑥 ∈ 𝑅
−𝟒𝒙 𝟐 ≤ 𝟎 … multiplicando la desigualdad por un numero negativo.
−𝟒𝒙 𝟐 + 𝟔 ≤ 𝟔 … sumando 6 a la desigualdad
𝑓(𝑥) ≤ 6
Por lo tanto: Ran (f)=]−∞; 𝟔]
Lo que fácilmente se observa en la grafica de la función f(x):

EJERCICIOVII a) La función 𝑓( 𝑥) = 3𝑥2
− 𝑥 + 5 siempre es positiva.
Análogamente al problema anterior:
𝑥2
≥ 0 … se cumple para todo número real. (es decir todo número
elevado al cuadrado es positivo)
3𝑥2
− 𝑥 + 5 = 3 𝑥2
−
1
3
𝑥 + 5
= 3 (𝑥 −
1
6
)2
−
1
36
+ 5
= 𝟑 (𝒙 −
𝟏
𝟔
) 𝟐
+
𝟏𝟕𝟗
𝟑𝟔
𝒙 −
𝟏
𝟔
𝟐
≥ 𝟎 … se verifica ya que (𝑥 −
1
6
) ∈ 𝑅
(𝒙 −
𝟏
𝟔
) 𝟐
+
𝟏𝟕𝟗
𝟑𝟔
≥
𝟏𝟕𝟗
𝟑𝟔
… sumando
179
36
a la desigualdad
3 𝒙 −
𝟏
𝟔
𝟐
+
𝟏𝟕𝟗
𝟑𝟔
≥ 𝟑.
𝟏𝟕𝟔
𝟑𝟔
… multiplicando por (3) a la desigualdad.
3 𝒙 −
𝟏
𝟔
𝟐
+
𝟏𝟕𝟗
𝟑𝟔
≥
𝟏𝟕𝟔
𝟏𝟐
≥ 𝟎 …. Ya que
176
12
es positivo.
3 𝒙 −
𝟏
𝟔
𝟐
+
𝟏𝟕𝟗
𝟑𝟔
≥ 𝟎
𝟑𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟓 ≥ 𝟎
𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 … para todo valor de x ∈ R
Lo que fácilmente se observa en la grafica de la función f(x):
Por lo tanto f(x) es positivo para cualquier valor de “x”.

EJERCICIOVII

EJERCICIOVIII
SOLUCION:
1. f(x) =
𝑥
𝑥2−81
El dominio de la función f(x) son todos los valores de x donde f(x) exista.
Como f(x) es una división de dos funciones polinomiales y como sabemos que las funciones
polinomiales tienen como dominio a todos los reales (R).
Solo bastara restringir los valores para los cuales el denominador se hace cero. Ya que si no lo
hacemos quedara una indeterminación.
𝑥2
− 81 ≠ 0
(𝑥 + 9)(𝑥 − 9) ≠ 0
𝑥 ≠ −9 ∧ 𝑥 ≠ 9
Entonces el dominio de f(x) es : Dom (f) = R – −9,9
Lo que fácilmente se observa en la grafica de la función f(x):
f(x)=x/(x^2-81)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2. f(x)=
𝑥
(𝑥−2) 𝑥−1
Veamos que valores de x hacen que el denominador sea cero:
( 𝑥 − 2) ≠ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≠ 0
𝑥 ≠ 2 ∧ 𝑥 ≠ 1
Ahora veamos para que valores de x el denominador 𝑥 − 1 existe:
Como para que una raiz cuadrada exista el argumento debe ser mayor o igual que cero:
𝑥 − 1 ≥ 0
𝑥 ≥ 1

EJERCICIOVIIIDom(f)= [1;+∞[ − 1;2 = ]1;2[ ∪ ]2;+∞[
Lo que se ve claramente en la grafica: f(x)=x/((x-2)(x-1)^0.5)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
3. f(x) =
𝑥+1
𝑥2−3𝑥+2
Análogamente al ejercicio 1 tanto el numerador como el denominador son polinomios.
Entonces analizamos los puntos donde el denominador es cero :
𝑥2
− 3𝑥 + 2 ≠ 0
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) ≠ 0
𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ 2
Por lo tanto el Dom(f) = R – 1; 2
Lo que fácilmente en la grafica se puede observar:

EJERCICIOVIII
f(x)=(x+1)/(x^2-3x+2)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
+ +-
4. f(x) = 𝑥2 + 𝑥 − 12
El dominio de la función raíz cuadrada son los valores donde el argumento es mayor o igual
que cero.
Entonces: 𝑥2 + 𝑥 − 12 ≥ 0
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) ≥ 0
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠: 𝑥 = 4 ∧ 𝑥 = 3
-∞ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
+∞

EJERCICIOVIII
Lo que fácilmente en la grafica se puede observar:
f(x)=(x^2+x-12)^0.5
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y

EJERCICIOIX
Ejercicio 9.
En la figura se muestra la
gráfica de una función
polinómica f
a) Modelar los
intervalos donde la
función es positiva
b) Modelar los
intervalos donde la
función es negativa
Solución:
a) ]-00 ; 3 [ ; ]1 ; 1[;]3 ; +00[
b) ] 3 ; -1 [ ; ] 1 ; 3 [

EJERCICIOX
Ejercicio 10.
Para la gráfica
de la función f(x)
mostrada
a) Determina el
dominio y
rango de la
función
b) Determine los
intervalos de
crecimiento y
decrecimient
o.
c) Grafique la
función
g(x)=f(x+1)-3
SOLUCION:
a) Dominio 𝑓(𝑥): [0 ; 6]
Rango 𝑓(𝑥): [ 0 ; 4]
b) Intervalo de crecimiento: ]0 ; 2[ ]3 ; 5[
Intervalo de decrecimiento: ]5 ; 6[

EJERCICIOXI
Ejercicio 11.
FH SAC presenta costos fijos de $1200 y costos variables de $20 por unidad. El
Gerente reporta que la ecuación de demanda para su producto es
q
qp
24000
01,040 
a) Modelar la función de costo total en función de la cantidad de artículos producidos.
b) Modelar la función ingreso y utilidad.
Solución:
a) C: 120 + 20q
P: 40 – 0,01q +
24000
𝑞
a) I = P x Q
I = (40 – 0,001q +
24000
𝑞
) q
I(q) = 40q – 0,01𝑞2 + 24000
I(q) = – 0,01𝑞2 + 40q + 24000
𝑈( 𝑞) = 𝐼( 𝑞) − 𝐶(𝑞)
𝑈( 𝑞) = – 0,01𝑞2 + 40q + 24000 - (1200 + 20q)
𝑈( 𝑞) = – 0,01𝑞2 + 40q + 24000 - 1200 - 20q
𝑈( 𝑞) = – 0,01𝑞2
+ 20q + 22800

EJERCICIOXII
Ejercicio 12.
El gerente de NOVA TEC PERU SAC define los costos mediante
2
02,03300)( qqqC  . Si la empresavendetodo lo queproduce a $8:
a) Cuántas unidades debe producir y vender a fin de tener alguna utilidad.
b) Cuántas unidades debe producir y vender a fin de tener al menos $1500 de
utilidad.
Solución:
2
02,03300)( qqqC 
P =8
I = P x Q
I = 8q
U = I – C
U = 8q – (300 + 3q – 0,02𝑞2
)
U = 8q - 300 - 3q + 0,02𝑞2
U = 0,02𝑞2
+ 5q – 300
a) U > 0
0,02𝑞2
+ 5q – 300 > 0
𝑞1 = 50
𝑞2 = −300
*Se deberían producir y vender mas de 50 unidades para obtener utilidades.
b) 0,02𝑞2
+ 5q – 300 ≥ 1500
0,02𝑞2
+ 5q – 300 - 1500 ≥ 0
0,02𝑞2
+ 5q – 1800 ≥ 0
𝑞1 = 200
𝑞2 = −450
*Se deberán vender de 200 a mas unidades para que la utilidad sea ≥ 1500

EJERCICIOXIII
Ejercicio 13.
En una tienda de regalos el supervisor ha observado que cuando el precio de un
producto es de $20, los clientes compran 200 productos, pero cuando el precio se
duplica compran sólo 120 productos.
a) Modelar la ecuación de demanda para este producto.
b) Modelar la función de ingreso.
c) Sabiendo que su costo total está definido por 100010)(  xxC , Determine el
punto de equilibrio.
d) Determine la función de utilidad de esta tienda.
Solución:
PRECIO PRODUCTOS
20 200
40 120
m=
20−40
200−120
=
−20
80
=
−1
4
Y-𝑌1 =
−1
4
(X - 𝑋1)
Y- 40 =
−1
4
(X - 120)
Y – 40 =
−1
4
X + 30
Y =
−1
4
x +70
P = Y =
−1
4
x +70
a) 𝑃(𝑞)= −
1
4
𝑥+70
b) I = P x Q
I = (
−1
4
q +70)q
I =
−1
4
𝑞2
+70q
c) 𝐶𝑥=10𝑥+1000
I = C
−1
4
𝑞2
+70q = 10𝑥 + 1000
−1
4
𝑞2
+60q – 1000 = 0
Multiplicamos (-4)
𝑞2
- 240q + 4000
q =18
q = 222
Punto de equilibrio cuando se venden 18 productos
d) U = I – C
U =
−1
4
𝑞2
+70q – ( 10𝑞 + 1000)
U =
−1
4
𝑞2
+60q – 1000

EJERCICIOXIV
La gerencia de Acrosonic SAC planea comercializar el ElectroStar, un sistema
electrostático de altavoces. El departamento de publicidad ha determinado que la
demanda de estos altavoces es
P= -0,04x+800 (0 ≤ x ≤20000) donde p denota el precio unitario de los altavoces (en
dólares) y x denota la cantidad demandada.
Por otro lado el departamento de producción de Acrosonic SAC estimó que el costo
total en (dólares) en que incurre en la fabricación de x sistemas de altavoces.
ElectroStar en el primer año de producción será de: C(x)=200x+300000
a) Determine la función de ingresos R
b) Determine la función de utilidad P
c) Graficar en un mismo sistema de coordenadas la función de ingreso R y costo
C.
Solucion:
Ec demanda = P= -0,04x+800 (0 ≤ x ≤20000)
C(x)=200x+300000
a) I=PxQ X= cantidad de altavoces
I = (-0,04x + 800) x
I = -0,04𝑥2
+ 800x
a) U = -0,04𝑥2
+ 800 – (200x+300000)
U = -0,04𝑥2
+ 800 – 200x – 300000
b) P= -0,04x+800
a = -0,04 b = 800 c = 0
-
−𝑏
2𝑎
=
−800
2(−0,04)
=
−800
−0.08
=10000
𝐼(1000)= −0,04(1000)2
+ 800 (1000)
I = 4000000 + 8000000
I =12000000
Vértice (10000 ; 12000000)
Hallar la raíz
-0,04𝑥2
+ 800x = 0
𝑥1= 20000
𝑥2= 0
𝐶(𝑥)=200(𝑥)+ 300000
0 = 200x + 300000
-300000 = 200x
X = -1500
X Y
0 300000
-150 0

EJERCICIOXV
Un fabricante ha vendido 100 aparatos de televisión por semana a $450 cada uno.
Una investigación de mercado indica que por cada $10 de descuento que ofrezca, el
número de aparatos vendidos se incrementará en 100 por semana.
a) Encuentre la función de demanda.
b) ¿Cuán grande debe ser el descuento que ofrezca la compañía para maximizar su
ingreso?
c) Si la función de costo semanal es xxC 15068000)(  , ¿cuál tiene que ser la
magnitud del descuento para maximizar la utilidad?
SOLUCION:
a)
cantidad Precio
100 450
100 + 100 = 200 450 – 10 =440
(100;450) (200;440)
𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2
m =
440−450
200−100
= −
10
100
= −
1
10
Y-𝑌1 =
−1
10
(X - 𝑋1)
Y- 450 =
−1
10
(X -100)
Y =
−1
10
x + 460
P = =
−1
10
x + 460  demanda
a) b) I=PxQ
b)
I = (
−1
10
q + 460)q
I =
−1
10
𝑥2
+ 460q
El máximo se halla en el vértice
V=
−𝑏
2𝑎
= −
460
2(−
1
10
)
=
460
0,2
= 2300
= −
1
10
(2300)2
+ 460 (2300)
= - 529000 + 105800
= 529000
Vértice ( 2300, 529000)
P =
−1
10
q + 460
P = −
1
10
(2300) + 460
P = 230 +460
P = 230
Precio original – precio para maximizar
450 – 230 = 220
Para maximizar su ingreso el descuento debe ser S/ 220.00

Solución
1 al 15