1. ÁLGEBRA LINEAL
Transformaciones Lineales
Capítulo 4 Ing. Rodolfo Castillo Martínez 1

2. 4.1 Introducción a las
Transformaciones lineales
Las matrices se pueden usar para transformar
vectores cuando actúan como un tipo de función
de la forma w = T (v), donde la variable indepen-
diente v de la variable dependiente w son
vectores. Este es el concepto de transformación
lineal. Recuérdese f : R → R.
Considérese: 1 0 
  1
A =  2 −1  v =  
3 4   −1
 
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3. Entonces:
1 0  1
  1   
w = Av =  2 −1   =  3 
 3 4   −1  −1
   
Lo que muestra que A transforma v en w.
En forma más general:
1 0   x 
  x   
 2 −1   =  2 x − y 
 3 4   y   3x + 4 y 
   
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4. La fórmula anterior muestra la forma en que A
transforma el vector (x, y) de R2 en el vector
(x, 2x - y, 3x + 4y) de R3. Denotando esta trans-
formación como TA:
 x 
  x  x 
TA     = TA   =  2 x − y 
  y   y  3 x + 4 y 
 
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5. Terminología
Una transformación (o mapeo o función) T de Rn a
Rm es una regla que asigna a cada vector v de Rn un
vector único T(v) de Rm. El dominio de T es Rn,
mientras que el codominio o contradominio de T es
Rm. Se denota por T : Rn → Rm. Para un vector v del
dominio de T, el vector T(v) del codominio se
denomina la imagen de v bajo T. El conjunto de
todas las posibles imágenes T(v) se conoce como
recorrido o imagen de T.
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6. 4.2 Transformaciones lineales
Definición:
Una transformación T : Rn → Rm se denomina trans-
formación lineal si:
1. T(u + v) = T(u) + T(v) ∀ u, v ∈Rn
2. T(αu) = αT(u)
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7. Ejemplo:
Considerando la transformación T : Rn→Rm
definida por  x 
x
T   =  2x − y 
 
 y 
3 x + 4 y 

Se demuestran las dos condiciones:
 x1   x1   x2    x1    x1 
T   = T   + T   y T  α    = αT  
 y1   y1   y2    y1    y1 
Y la transformación es lineal.
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8. Ejemplos:
1. Sea F : R2 →R2 la trans-
formación que manda a
cada punto hacia su punto
de reflexión sobre el eje x.
2. Sea R : R2 →R2 la trans-
formación que gira cada
punto a 90º en el sentido
contrario a las manecillas
del reloj con respecto al
origen.
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9. 4.3 Transformaciones matriciales
Multiplicando una matriz por vectores de la base
estándar:
a d a a d d 
 1    0  
b e   = b  y  b e   =  e 
c f0  c   c f1  f 
     
Esta observación permite demostrar que toda
transformación lineal de Rn a Rm es una trans-
formación matricial.
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10. Transformación matricial
Definición:
Una transformación matricial T se expresa
mediante T : Rn → Rm y a ésta le corresponde
una matriz A de m × n tal que
T(x) = A(x)
para todo x ∈ Rn. A se llama matriz estándar de T
A=[T(e1) T(e2) ... T(en)]
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11. Ejemplo
Determinar la matriz estándar de
  x   2 x + y 
T   = 
 y   3y  
 1    2   0   1
T   =  , T   =  
 0   0    1    3
 2 1  x  2 1  x
A= ⇒T   =  
 0 3  y  0 3  y
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