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- 1. N´ucleo e Imagen de una Transformaci´on Lineal Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM 28 de junio de 2011 ´Indice 17.1. N´ucleo de una transformaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 17.2. El n´ucleo de una matriz y la tecnolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 17.3. Inyectividad de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 17.4. El Rango de una transformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 17.5. Suprayectividad de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 17.6. N´ucleo e Imagen son subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 17.7. Nulidad y Rango de una Transformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 17.8. SEL a trav´es del kernel y el rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 17.9. Ejemplo clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 17.1. N´ucleo de una transformaci´on lineal Definici´on 17.1 Sea T : V → W una transformaci´on lineal. El n´ucleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W. Ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0 ∈ W} Ejemplo 17.1 Indique cu´ales opciones contienen un vector en el n´ucleo de la transformaci´on de R3 en R3 definida como T x y z = −2 x + 3 z −23 x − 15 y − 18 z −5 x − 3 y − 3 z dentro de las opciones: 1. v1 = (0, 0, 0) 2. v2 = (12, −28, 8) 3. v3 = (1, −2, 1) 4. v4 = (3, −7, 2) 5. v5 = (2, −4, −4) 6. v6 = (9, −18, −15) Soluci´on Antes de pasar a la verificaci´on, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal que T(x) = A·x. Es decir, aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector x.
- 2. Empecemos con la dimensi´on de A: como A se multiplica por la izquierda de x y x ∈ R3 entonces el n´umero de columnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A · x es un vector de R3, entonces el n´umero de renglones de A es 3. Si requerimos que −2 x + 3 z −23 x − 15 y − 18 z −5 x − 3 y − 3 z = x y z No es dif´ıcil ver −2 x + 3 z −23 x − 15 y − 18 z −5 x − 3 y − 3 z = −2 0 3 −23 −15 −18 −5 −3 −3 x y z es decir que A = −2 0 3 −23 −15 −18 −5 −3 −3 El vector v1 est´a en el n´ucleo de T debido a que T(v1) = Av1 = −2 0 3 −23 −15 −18 −5 −3 −3 · 0 0 0 = 0 0 0 = 0 El vector v2 est´a en el n´ucleo de T debido a que T(v2) = Av2 = −2 0 3 −23 −15 −18 −5 −3 −3 · 12 −28 8 = 0 0 0 = 0 El vector v3 no est´a en el n´ucleo de T debido a que T(v3) = Av3 = −2 0 3 −23 −15 −18 −5 −3 −3 · 1 −2 1 = 1 −11 −2 = 0 El vector v4 est´a en el n´ucleo de T debido a que T(v4) = Av4 = −2 0 3 −23 −15 −18 −5 −3 −3 · 3 −7 2 = 0 0 0 = 0 El vector v5 no est´a en el n´ucleo de T debido a que T(v5) = Av5 = −2 0 3 −23 −15 −18 −5 −3 −3 · 2 −4 −4 = −16 86 14 = 0 El vector v6 no est´a en el n´ucleo de T debido a que T(v6) = Av6 = −2 0 3 −23 −15 −18 −5 −3 −3 · 9 −18 −15 = −63 −333 −54 = 0 2
- 3. Ejemplo 17.2 Determine el n´ucleo de la transformaci´on de R3 en R3 definida como T x y z = −2 x + 3 z −23 x − 15 y − 18 z −5 x − 3 y − 3 z Soluci´on Un vector v = (a, b, c) pertenece al n´ucleo de T si T(v) = 0, es decir si: T((a, b, c) ) = −2 a + 3 c −23 a − 15 b − 18 c −5 a − 3 b − 3 c = 0( en R3 ) Por lo tanto, para pertenecer al n´ucleo debe cumplirse −2 a + 3 c = 0 −23 a − 15 b − 18 c = 0 −5 a − 3 b − 3 c = 0 Reduciendo tenemos: a − 3/2 c = 0 b + 7/2 c = 0 Es decir a b c = 3/2 c −7/2 c c = c 3/2 −7/2 1 Observe que el n´ucleo de T en este caso es un espacio generado: Ker(T) = Gen 3/2 −7/2 1 Adem´as, la dimensi´on de Ker(T) es 1, lo cual coincide con el n´umero de columnas sin pivote en la reducida de A (La matriz que define a la transformaci´on T). Geom´etricamente en R3 este generado corresponde a la l´ınea que pasa por el origen y con vector de direcci´on (3/2, −7/2, 1) que es: x 3/2 = y −7/2 = z 1 Ejemplo 17.3 Determine el n´ucleo de la transformaci´on de R3 en R2 definida como T x y z = x + y + z 2 x + 2 y + 2 z Soluci´on Un vector v = (a, b, c) pertenece al n´ucleo de T si T(v) = 0, es decir si: T(v) = a + b + c 2 a + 2 b + 2 c = 1 1 1 2 2 2 · a b c = 0 ( en R2 ) 3
- 4. Por lo tanto, para pertenecer al n´ucleo debe cumplirse a + b + c = 0 2 a + 2 b + 2 c = 0 Reduciendo tenemos: a + b + c = 0 Es decir a b c = −b − c b c = b −1 1 0 + c −1 0 1 Es decir, que el n´ucleo de T en este caso es un espacio generado: Ker(T) = Gen −1 1 0 , −1 0 1 Adem´as, la dimensi´on de Ker(T) es 2, lo cual corresponde al n´umero de columnas sin pivote de la reducida de la matriz que define a T. Geom´etricamente, en R3 este generado corresponde a un plano que pasa por el origen y con vector normal n = u1 × u2 = (1, 1, 1) que es: 1 x + 1 y + 1 z = x + y + z = 0 Ejemplo 17.4 Determine el n´ucleo de T : R3→R2. T = x y z = x − z y + z Soluci´on Sabemos que Ker(T) es el conjunto de todos los vectores v =< x, y, z > de R3 tal que T(v) = 0 (en R2): T(v) = x − z y + z = 1 0 −1 0 1 1 · x y z = 0 0 Para resolver el sistema 1 0 −1 0 0 1 1 0 → 1 0 −1 0 0 1 1 0 Cuya soluci´on general es x y z = z 1 −1 1 De ah´ı que, Ker(T) = z −z z , z ∈ R = Gen 1 −1 1 Vemos que la dimensi´on de Ker(T) es 1, lo cual corresponde al n´umero de columnas sin pivote en la matriz que define a T. Geom´etricamente, en R3 esto corresonde a la recta x 1 = y −1 = z 1 4
- 5. Ejemplo 17.5 Determine el n´ucleo de T : R3→R3. T = x y z = x − z y + z x − y Soluci´on Sabemos que Ker(T) es el conjunto de todos los vectores v =< x, y, z > de R3 tal que T(v) = 0 (en R3): T(v) = x − z y + z x − y = 1 0 −1 0 1 1 1 −1 0 · x y z = 0 0 0 Para resolver el sistema 1 0 −1 0 0 1 1 0 1 −1 0 0 → 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 El sistema tiene soluci´on ´unica y es 0. Por tanto, Ker(T) = {0} Ejemplo 17.6 Indique la opci´on que describe adecuadamente al conjunto B = < 0, 0, 3, 2 > , < 0, 1, 0, 0 > respecto al n´ucleo de la transformaci´on de R4 en R4 definida como T x y z w = 3 w − 2 z 3 w − 2 z 12 w − 8 z 15 w − 10 z = 0 0 −2 3 0 0 −2 3 0 0 −8 12 0 0 −10 15 x y z w A Es base para el n´ucleo. B Est´a en el n´ucleo; pero no es LI ni no lo genera. C Genera al n´ucleo pero no es LI. D Est´a en el n´ucleo; es LI pero no lo genera. E No es comparable con el n´ucleo. Soluci´on Determinemos el n´ucleo de T: 0 0 −2 3 0 0 0 −2 3 0 0 0 −8 12 0 0 0 −10 15 0 rref −−−→ 0 0 1 −3/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
- 6. Por lo tanto, los vectores del n´ucleo tienen la forma x y z w = x 1 0 0 0 + y 0 1 0 0 + w 0 0 3/2 1 Es decir, Ker(T) = Gen 1 0 0 0 , 0 1 0 0 0 0 3/2 1 Comparemos ahora Gen{B} con Ker(T): a) ¿Gen{B} ⊆ Ker(T)? 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 3/2 3 0 0 0 1 2 0 rref −−−→ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 Concluimos que s´ı:Gen{B} ⊆ Ker(T). b)¿Ker(T) ⊆ Gen{B}? 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 3 0 0 0 3/2 2 0 0 0 1 rref −−−→ 1 0 0 0 1/2 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Concluimos que no:Ker(T) ⊆ Gen{B}. De estos c´alculos (los que llevan B primero) tambi´en se deduce que: c) B es linealmente independiente. Por lo tanto, la opci´on correcta es D: est´a contenido en el n´ucleo (a) no genera al n´ucleo (b); y B es li (c) 17.2. El n´ucleo de una matriz y la tecnolog´ıa Pr´acticamente la totalidad de los sistemas computacionales que manejan matrices vienen acompa˜nados de funciones para manejar el kernel de una matriz. En el caso de Maple la instrucci´on nullspace(A) entrega una base para el n´ucleo de la transformaci´on lineal T(X) = A X. Desafortunadamente, para la TI Voyage 200 no aparece un comando similar. 17.3. Inyectividad de transformaciones lineales Una pregunta importante sobre funciones es si una funci´on dada es inyectiva, o tambi´en dicho 1 a 1. Recuerde que una funci´on es inyectiva si no hay dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma evaluaci´on. Es decir, es f es inyectiva si y s´olo si f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2. Este concepto en las funciones lineales en espacios vectoriales tiene un comportamiento simple: f(x1 −x2) = 0 implica x1 −x2 = 0. Es decir: Teorema 6
- 7. Sea T : V → W una transformaci´on lineal. T es inyectiva si y s´olo si Ker(T) = {0}. Note que en los ejemplos anteriores, s´olo la ´ultima funci´on fue inyectiva. Notas En resumen: Para ver si un vector est´a en el n´ucleo de una transformaci´on lineal se debe aplicar la transformaci´on. El vector x est´a en el n´ucleo de T si y s´olo si T(x) = 0. Determinar el n´ucleo de una transformaci´on lineal equivale a encontrar la soluci´on general de un SEL homog´eneo. Para determinar el n´ucleo de una transformaci´on, debe encontrar la matriz que define a la transformaci´on lineal y resolver [A|0]. Hay dos alternativas: el sistema tiene s´oluci´on ´unica o el sistema tienen infinitas soluciones. En el caso de infinitas soluciones, la f´ormula general muestra al n´ucleo como un espacio generado donde el n´umero columnas sin pivote es la dimensi´on del n´ucleo como subespacio. En caso de tener soluci´on ´unica, el n´ucleo de T es el conjunto formado por el vector cero. Para determinar si una transformaci´on lineal es inyectiva, todas las columnas de la reducida de la matriz que define a la transformaci´on lineal deben de tener pivote. 17.4. El Rango de una transformaci´on Definici´on 17.2 Sea T : V → W una transformaci´on lineal. El rango o imagen de T es el conjunto de todas las im´agenes de T en W. R(T) = {w ∈ W|w = T(v) para alg´un v ∈ V } Es decir, el rango es el subconjunto de W formado por aquellos vectores que provienen de alg´un vector de V . Ejemplo 17.7 Indique cu´ales opciones contienen un vector en la imagen de la transformaci´on de R3 en R3 definida como T x y z = 2 x + 5 y + z 8 x + 12 y + 6 z −4 x − 2 y − 4 z dentro de las opciones: 1. v1 = (0, 0, 0) 2. v2 = (2, 8, −4) 3. v3 = (−23, −52, 6) 4. v4 = (5, 12, −2) 5. v5 = (−3, 1, −1) Soluci´on El vector v1 = (0, 0, 0) de R3 est´a en la imagen de T si existe un vector (a, b, c) en R3 tal que T((a, b, c) ) = v1. Es decir, si es consistente el sistema 2 a + 5 b + c = 0 8 a + 12 b + 6 c = 0 −4 a − 2 b − 4 c = 0 Pero este sistema por ser homog´eno es consistente. Por tanto el vector v1 s´ı est´a en la imagen de T. El vector v2 = (2, 8, −4) de R3 est´a en la imagen de T si existe un vector (a, b, c) en R3 tal que T((a, b, c) ) = 7
- 8. v2. Es decir, si es consistente el sistema: 2 a + 5 b + c = 2 8 a + 12 b + 6 c = 8 −4 a − 2 b − 4 c = −4 Al reducir la matriz aumentada se obtiene: 1 0 9/8 1 0 1 −1/4 0 0 0 0 0 por ser consistente el sistema, el vector v2 s´ı est´a en la imagen de T. El vector v3 = (−23, −52, 6) de R3 est´a en la imagen de T si existe un vector (a, b, c) en R3 tal que T((a, b, c) ) = v3. Es decir, si es consistente el sistema: 2 a + 5 b + c = −23 8 a + 12 b + 6 c = −52 −4 a − 2 b − 4 c = 6 Al reducir la matriz aumentada se obtiene: 1 0 9/8 1 0 1 −1/4 −5 0 0 0 0 por ser consistente el sistema, el vector v3 s´ı est´a en la imagen de T. El vector v4 = (5, 12, −2) de R3 est´a en la imagen de T si existe un vector (a, b, c) en R3 tal que T((a, b, c) ) = v4 es decir si es consistente el sistema: 2 a + 5 b + c = 5 8 a + 12 b + 6 c = 12 −4 a − 2 b − 4 c = −2 Al reducir la matriz aumentada se obtiene: 1 0 9/8 0 0 1 −1/4 1 0 0 0 0 por ser consistente el sistema, el vector v4 s´ı est´a en la imagen de T. El vector v5 = (−3, 1, −1) de R3 de est´a en la imagen de T si existe un vector (a, b, c) en R3 tal que T((a, b, c) ) = v5 es decir si es consistente el sistema: 2 a + 5 b + c = −3 8 a + 12 b + 6 c = 1 −4 a − 2 b − 4 c = −1 Al reducir la matriz aumentada se obtiene: 1 0 9/8 0 0 1 −1/4 0 0 0 0 1 por ser inconsistente el sistema, el vector v5 no est´a en la imagen de T 8
- 9. Ejemplo 17.8 Determine la imagen de la transformaci´on lineal de R3 en R3 definida como T x y z = 2 x + 5 y + z 8 x + 12 y + 6 z −4 x − 2 y − 4 z Soluci´on El vector v1 = (a, b, c) de R3 de est´a en la imagen de T si existe un vector (x, y, z) en R3 tal que T((x, y, z) ) = v1 es decir si es consistente el sistema 2 x + 5 y + z = a 8 x + 12 y + 6 z = b −4 x − 2 y − 4 z = c Al formar la matriz aumentada y escalonar se obtiene: 2 5 1 a 0 −8 2 −4 a + b 0 0 0 −2 a + b + c Por tanto, (a, b, c) est´a en la imagen de T ssi el sistema anterior es consistente ssi −2 a + b + c = 0. Esto ocurrir´a si y s´olo si a = 1/2 b + 1/2 c. Es decir, (a, b, c) est´a en la imagen de T si y s´olo si a b c = 1/2 b + 1/2 c b c = b 1/2 1 0 + c 1/2 0 1 Por tanto, R(T) = Gen 1/2 1 0 , 1/2 0 1 Geom´etricamente, R(T) es el plano 2 a − b − c = 0 (o 2 x − y − z = 0) en R3 Ejemplo 17.9 Determine la imagen de la transformaci´on lineal de R3 en R4 definida como T x y z = x + y + 2 z x − y −2 x + y − z x − y Soluci´on El vector v = (a, b, c, d) de R4 est´a en la imagen de T si existe un vector (x, y, z) en R3 tal que T((x, y, z) ) = v . Es decir, si es consistente el sistema x + y + 2 z = a x − y = b −2 x + y − z = c x − y = c ´o 1 1 2 a 1 −1 0 b −2 1 −1 c 1 −1 0 d 9
- 10. En este ejemplo ilustraremos el uso de una t´ecnica m´as eficiente que la usada en el problema anterior. La idea es que manejaremos s´olo los coeficientes de a, b, c y d. De esta manera una expresi´on en estas variables la podemos representar por medio de un vector rengl´on con cuatro componentes. As´ı 2 a + 3 b − c + 8 d se representa por (2, 3, −1, 8) a se representa por (1, 0, 0, 0) 3 a − 3 b − 3 d se representa por (3, −3, 0, −3) c se representa por (0, 0, 1, 0) Con esta idea, el sistema cuya matriz nos interesa revisar nos queda: 1 1 2 1 0 0 0 1 −1 0 0 1 0 0 −2 1 −1 0 0 1 0 1 −1 0 0 0 0 1 → 1 0 1 0 0 −1 −1 0 1 1 0 0 −1 −2 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 −1 Por tanto, la matriz aumentada representa un sistema consistente si y s´olo si a = −2 c − 3 d b = d Resumiendo, (a, b, c, d) est´a en la imagen de T si y s´olo si a b c d = c −2 0 1 0 + d −3 1 0 1 para c y d escalares. Por tanto R(T) = Gen −2 0 1 0 , −3 1 0 1 Nota Observe que tanto Ker(T) como R(T) de una transformaci´on lineal T son conjuntos no vac´ıos T(0V ) = 0W implica que 0V ∈ Ker(T) y 0W ∈ R(T). 17.5. Suprayectividad de transformaciones lineales Una pregunta importante sobre funciones es si una funci´on dada es suprayectiva, o tambi´en dicho sobre. Recuerde que una funci´on es suprayectiva si para todo elemento en el codominio hay un elemento en el dominio que bajo la funci´on se transforma en ´el. Es decir, es f es suprayectiva si y s´olo si f(x) = a es consistente para todo a en el codominio de f. en espacios vectoriales tiene un comportamiento simple: Teorema 10
- 11. Sea T : V → W una transformaci´on lineal y B = {v1, v2, . . . , vm} un conjunto generador para V . T es suprayectiva si y s´olo si Gen(T(v1), T(v2), . . . , T(vm)) = W. No que lo anterior implica que: Si T es suprayectiva, entonces dim(V ) ≥ dim(W). En particular, si por ejemplo T : R3 → R4 es lineal, entonces T no puede ser sobre! Notas En resumen: Para ver si un vector est´a en la imagen de una transformaci´on lineal se debe ver si un sistema es consistente. Para determinar el rango de una transformaci´on, debe encontrar la matriz que define a la transformaci´on lineal y reducir [A|I]. Si todo rengl´on tiene pivote la funci´on es suprayectiva. Es decir, todo vector del codominio es imagen de un vector en el dominio. Si hay renglones sin pivote en la parte izquierda se debe forzar la consistencia igualando a cero los elementos en la parte derecha de la reducida. El rango entonces queda como un espacio generado, el cual es precisamente el espacio generado por las columnas. Su dimensi´on ser´a el n´umero de pivotes en la reducida de la matriz A. Para determinar si una transformaci´on lineal es suprayectiva, todos los renglones en la reducida de A deben de tener pivotes. 17.6. N´ucleo e Imagen son subespacios La propiedad fundamental del n´ucleo y del contradominio es que ambos son espacios vectoriales: Teorema Sea T : V → W una transformaci´on lineal. Entonces Ker(T) es un subespacio de V . R(T) es un subespacio de W. Demostraci´on El n´ucleo de T es subespacio Sean v1 y v2 elementos del n´ucleo de T y c un escalar cualquiera. As´ı T(v1) = 0 = T(v2), y por tanto: T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 0 + c2 0 = 0 probando que c1 v1 + c2 v2 est´a tambi´en en el n´ucleo de T. Lo cual a su vez prueba que el n´ucleo de T es un subespacio de V . La imagen de T es subespacio Sean w1 y w2 elementos de la imagen de T y c un escalar cualquiera. As´ı T(v1) = w1 y T(v2) = w2 para algunos v1 y v2 en V , y por tanto: T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 w1 + c2 w2 probando que c1 w1 + c2 w2 es imagen de c1 v1 + c2 v2 y por consiguiente c1 w1 + c2 w2 est´a tambi´en en la imagen de T. Lo cual a su vez prueba que la imagen de T es un subespacio de W 11
- 12. 17.7. Nulidad y Rango de una Transformaci´on Debido al resultado anterior el n´ucleo y la imagen de una transformaci´on lineal son espacios vectoriales. Como espacios vectoriales, ellos tienen una dimensi´on asociada. Estas dimensiones tienen nombre espec´ıficos: Definici´on 17.3 Sea T : V → W una transformaci´on lineal. La nulidad de T es la dimensi´on de Ker(T). El rango de T es la dimensi´on de R(T). El siguiente resultado permite calcular f´acilmente la nulidad y el rango de una transformaci´on matricial. Teorema Sea T : V → W una transformaci´on lineal. Suponga que T corresponde a la transformaci´on matricial asociada a A. Entonces: Ker(T) = V(A) = Espacio nulo de A R(T) = C(A) = Espacio generado por las columnas de A Nulidad(T) = Nulidad(A) = N´umero de columnas sin pivote en A reducida. Rango(T) = Rango(A) = N´umero de columnas con pivote en A reducida. Note que el resultado anterior indica que para cualquier transformaci´on lineal T : V → W, dim(V ) = dim(Ker(T)) + dim(R(T)) dim(R(T)) ≤ dim(W) (1) As´ı por ejemplo: T : R4 → R3 lineal no puede ser inyectiva pues 4 = dim(Ker(T)) + dim(R(T)) ≤ dim(Ker(T)) + 3 por tanto, dim(Ker(T)) ≥ 1 probando que Ker(T)) = {0}. T : R4 → R8 lineal no puede ser sobre pues 4 = dim(Ker(T)) + dim(R(T)) por tanto, dim(R(T)) ≤ 4 probando que R(T) = R8 Ejemplo 17.10 Calcule las bases para el n´ucleo y la imagen y determine la nulidad y el rango de T : R4 → R3 , T((x, y, z, w) ) = (x + 3z, y − 2z, w) Soluci´on De acuerdo con el teorema previo, basta expresar a T como transformaci´on matricial y obtener las bases para las columnas y el espacio nulo de su matriz est´andar A. A se expresa con A = 1 0 3 0 0 1 −2 0 0 0 0 1 12
- 13. Como ya est´a en forma escalonada reducida por operaciones de rengl´on, los vectores {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) } forman una base para Col(A) = R(T) = R3. Por otra parte, {(−3, 2, 1, 0) } es una base para V (A) = Ker(T). De modo que el rango de T es 3 y la nulidad es 1. Ker(T) = {0} ⇔ Ax = 0 s´olo tiene la soluci´on trivial y R(T) = Rm ⇔ las columnas de A generan a Rm Ejemplo 17.11 Resuelva la siguiente ecuaci´on diferencial: (−2 x − 1) y (x) + 2 y(x) = 4 x2 + 4 x pensando el lado izquierdo de la ecuaci´on como una transformaci´on lineal de P2 en P3. Soluci´on Definamos T de P2 en P3 por T(p(x) = a x2 + b x + c) = (−2 x − 1)p (x) + 2 p(x) = −2 a x2 − 2 a x − b + 2 c Viendo los polinomios como vectores tenemos tenemos que la transformaci´on anterior queda: T c b a = −b + 2 c −2 a −2 a 0 = 2 −1 0 0 0 −2 0 0 −2 0 0 0 · c b a El problema de resolver la ED se transforma encontrar un p(x) que cumpla: T(p(x)) = 4 x2 + 4 x. Es decir, en encontrar (c, b, a) tal que 2 −1 0 0 0 −2 0 0 −2 0 0 0 · c b a = 0 4 4 0 Formando la aumentada y reduciendo tenemos: 2 −1 0 0 0 0 −2 4 0 0 −2 4 0 0 0 0 → 1 −1/2 0 0 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 Como el sistema es consistente, la primera conclusi´on es que s´ı existe soluci´on en P2. Tambi´en vemos que hay infinitas soluciones las cuales podemos calcular: c − 1/2b = 0 a = −2 → c = 1/2b b = b a = −2 → c b a = 1/2b b −2 Y separando vectores c b a = 0 0 −2 + b 1/2 1 0 La soluci´on general de la ED en P2 queda: y(x) = −2 x2 + b (1/2 + x), b escalar libre 13
- 14. 17.8. SEL a trav´es del kernel y el rango Veamos ahora el an´alisis de un SEL a la luz de los conceptos de n´ucleo e imagen de una transformaci´on lineal. Supongamos que estamos resolviendo el SEL A x = b. Si definimos la transformaci´on lineal TA(x) = A x, entonces El sistema ser´a consistente si y s´olo si el vector b pertenece a la imagen de T. Si el SEL es consistente, entonces: el sistema tendr´a soluci´on ´unica si y s´olo si el n´ucleo de T se reduce al vector cero. Si x1 y x2 son dos soluciones, entonces x1 − x2 pertenece al n´ucleo de T. Por tanto: Si el sistema tiene soluciones infinitas, entonces la soluci´on general tiene la forma x = xp + c1 z1 + · · · + ck zk donde xp es una soluci´on particular y z1, . . . ,zk consituyen un conjunto generador para el n´ucleo. 17.9. Ejemplo clave Ejemplo 17.12 Suponga que usted es maestro de ´algebra lineal y le ha pedido a sus alumnos que resuelvan el SEL: 1 2 1 1 1 1 −2 −4 2 10 1 −1 3 6 −3 −15 1 −1 −1 −2 1 5 0 0 1 2 1 1 −1 3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 = 3 −7 13 −4 1 Analice las siguientes soluciones dadas por sus alumnos: Jos´e dice que la soluci´on general es: x = 3 −1 1 0 0 0 + c1 · 2 1 −6 2 0 0 + c2 · −5 1 2 −1 1 1 + c3 · 3 −1 −4 1 1 1 La soluci´on particular de Jos´e es jp =< 3, −1, 1, 0, 0, 0 > y el generador de las soluciones al sistema homog´eneo es: jh = 2 1 −6 2 0 0 , −5 1 2 −1 1 1 , 3 −1 −4 1 1 1 Revisemos sus respuestas: 14
- 15. ¿Es jp soluci´on al sistema original? Por conveniencia hacemos: A · jp − b: A · jp − b = 2 0 0 0 2 − 3 −7 13 −4 1 = −1 7 −13 4 1 como no da el vector cero, concluimos que la soluci´on particular dada por Jos´e no lo es. ¿La f´ormula para el sistema homog´eneo genera todas las soluciones al sistema homog´eneo asociado? Por conveniencia, con los vectores en jh formamos una matriz que representamos tambi´en por jh y realizamos el producto A · jh; como obtenemos una matriz de ceros, concluimos que en la soluci´on de Jos´e la f´ormula efectivamente da soluciones al sistema homog´eneo. La pregunta que cabe ahora es si acaso las da todas. Cuando aplicamos rref a A vemos que tiene 3 columnas sin pivote, por tanto, la dimensi´on del espacio nulo de A es 3. Como al aplicar rref a la matriz jh tiene tres pivotes, concluimos que el conjunto jh es linealmente independiente, est´a dentro del n´ucleo y tiene tres elementos; por tanto, debe ser base para el n´ucleo. Por tanto, en la f´ormula de Jos´e la parte asociada a la soluci´on a la homog´enea es adecuada. Mar´ıa dice que la soluci´on general es: x = 7 0 −7 2 1 0 + c1 · 2 1 −6 2 0 0 + c2 · −5 1 2 −1 1 1 + c3 · 12 −1 −10 4 −2 −2 La soluci´on particular de Mar´ıa es mp =< 7, 0, −7, 2, 1, 0 > y el generador de las soluciones al sistema homog´eneo es: mh = 2 1 −6 2 0 0 , −5 1 2 −1 1 1 , 12 −1 −10 4 −2 −2 Revisemos sus respuestas: ¿Es mp soluci´on al sistema original? Por conveniencia hacemos: A · mp − b: como s´ı da el vector cero, concluimos que la soluci´on particular dada por Mar´ıa s´ı lo es. ¿La f´ormula para el sistema homog´eneo genera todas las soluciones al sistema homog´eneo asociado? Por conveniencia, con los vectores en mh formamos una matriz que representamos tambi´en por mh y realizamos el producto A · mh; como obtenemos una matriz de ceros, concluimos que en la soluci´on de Mar´ıa la f´ormula efectivamente da soluciones al sistema homog´eneo. La pregunta que cabe ahora es si acaso las da todas. Cuando aplicamos rref a A vemos que tiene 3 columnas sin pivote, por tanto, la dimensi´on del espacio nulo de A es 3. Como al aplicar rref a la matriz mh tiene dos pivotes, concluimos que el conjunto mh es linealmente dependiente y est´a dentro del n´ucleo; por tanto, no puede ser base para el n´ucleo. Por tanto, en la f´ormula de Mar´ıa la parte asociada a la soluci´on a la homog´enea es incompleta. 15
- 16. Resumiendo; la f´ormula de Mar´ıa no genera todas las soluciones al sistema. Luis dice que la soluci´on general es: x = −3 0 8 −3 1 0 + c1 · 2 1 −6 2 0 0 + c2 · −5 1 2 −1 1 1 + c3 · 1 1 1 1 1 1 La soluci´on particular de Luis es lp =< −3, 0, 8, −3, 1, 0 > y el generador de las soluciones al sistema homog´eneo es: lh = 2 1 −6 2 0 0 , −5 1 2 −1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 Revisemos sus respuestas: ¿Es lp soluci´on al sistema original? Por conveniencia hacemos: A · lp − b: como s´ı da el vector cero, concluimos que la soluci´on particular dada por Luis s´ı lo es. ¿La f´ormula para el sistema homog´eneo genera todas las soluciones al sistema homog´eneo asociado? Por conveniencia, con los vectores en lh formamos una matriz que representamos tambi´en por lh y realizamos el producto A · lh; A · lh = 0 0 7 0 0 6 0 0 −9 0 0 3 0 0 7 como obtenemos una matriz con dos primeras columnas de ceros y una tercera que no es de ceros, concluimos que en la soluci´on de Luis la f´ormula da algunas soluciones al sistema homog´eneo (las que tienen c3 = 0) pero tambi´en da otros vectores que no son soluci´on (los que tienen c3 = 0). Por tanto, la soluci´on de Luis es parcialmente correcta y parcialmente incorrecta. Carolina dice que la soluci´on general es: x = −3 0 −1 0 1 0 + c1 · 2 1 −6 2 0 0 + c2 · −5 1 2 −1 1 1 + c3 · 3 −1 −4 1 1 1 + c4 · 4 1 −4 2 −2 −2 16
- 17. La soluci´on particular de Carolina es cp =< 3, 0, −1, 0, 1, 0 > y el generador de las soluciones al sistema homog´eneo es: ch = 2 1 −6 2 0 0 , −5 1 2 −1 1 1 , 3 −1 4 1 1 1 , 4 1 −4 2 −2 −2 Revisemos sus respuestas: ¿Es cp soluci´on al sistema original? Por conveniencia hacemos: A · cp − b: como s´ı da el vector cero, concluimos que la soluci´on particular dada por Carolina s´ı lo es. ¿La f´ormula para el sistema homog´eneo genera todas las soluciones al sistema homog´eneo asociado? Por conveniencia, con los vectores en ch formamos una matriz que representamos tambi´en por ch y realizamos el producto A · ch; obtenemos una matriz con cuatro columnas de ceros. Esto nos indica que la f´ormula correspondiente a sistema homog´eneo entrega soluciones al sistema homog´eneo. Por otro lado, al aplicar rref a ch obtenemos tres pivotes y una columna sin pivote. As´ı el espacio generado en la f´ormula de Carolina correspondiente a las soluciones a la homog´enea tiene dimensi´on 3, lo que iguala la dimensi´on 3 previamente calculada. Esto nos lleva a concluir que se generan todas las soluciones a la homog´enea. Que se tenga una columna sin pivote indica que el vector que entr´o en tal columna es redundante en la soluci´on dada por Carolina. Resumiendo; la f´ormula de Carolina es correcta al generar todas las soluciones al sistema de ecuaciones, aunque el ´ultimo vector puede omitirse sin p´erdida. 17