ALGEBRA LINEAL

1. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
Álgebra Lineal – Parte 2
26 de julio de 2014
Conocemos transformaciones lineales del tipo 𝑇: ℝ 𝑛
→ ℝ 𝑚
tal que 𝑇(𝑋) = 𝐴𝑋; 𝐴 ∈ 𝑀 𝑚𝑥𝑛.
Nótese que es bastante sencillo determinar el núcleo y el recorrido de estas transformaciones, pues
tenemos:
𝑁𝑢(𝑇) = {𝑋 ∈ ℝ 𝑛
| 𝐴𝑋 = 0ℝ 𝑚} = 𝑁𝑢(𝐴)
𝑅𝑒(𝑇) = {𝑌 ∈ ℝ 𝑚
| 𝐴𝑋 = 𝑌 ; 𝑋 ∈ ℝ 𝑛} = 𝑅𝑒(𝐴) = 𝐶𝐴
Básicamente, esta transformación lineal se puede definir en términos de una regla de
correspondencia, o en términos de la matriz 𝐴. Veamos un ejemplo:
Sea 𝑇: ℝ3
→ ℝ3
tal que 𝑇(𝑋) = 𝐴𝑋; 𝐴 = (
2 1 −1
3 −1 −2
1 2 3
).
Sea 𝑋 = (
𝑥
𝑦
𝑧
) ∈ ℝ3
entonces 𝑇(𝑋) = 𝑇 (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
2 1 −1
3 −1 −2
1 2 3
) (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧
)
Tenemos entonces que la transformación lineal pudo haberse definido originalmente como
𝑇 (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧
) pero se la puede representar por medio de la matriz (
2 1 −1
3 −1 −2
1 2 3
).
Esto aparentemente sólo ocurriría con transformaciones 𝑇: ℝ 𝑛
→ ℝ 𝑚
, sin embargo cuando las
transformaciones son 𝑇: 𝑉 → 𝑊 con espacios vectoriales cualesquiera 𝑉, 𝑊, se puede utilizar
coordenadas respecto a bases específicas de estos espacios, pues los vectores de coordenadas son
elementos de ℝ 𝑛
donde 𝑛 es la dimensión del espacio en cuestión. Bajo este punto de vista, si
tenemos bases definidas de espacios vectoriales 𝑉, 𝑊 podemos definir una transformación lineal
en términos de una matriz, como si fuese una transformación entre ℝ 𝑛
, ℝ 𝑚
.
Representación Matricial de una Transformación Lineal
Sean 𝐵1 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} y 𝐵2 = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤 𝑚} bases de los espacios vectoriales de
dimensión finita 𝑉 y 𝑊 respectivamente. Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Se dice que la
representación matricial o matriz asociada a 𝑇, denotada 𝐴 𝑇, tiene por columnas a las
coordenadas de las transformadas de los vectores de la base 𝐵1, respecto de la base 𝐵2.
𝐴 𝑇 = ([𝑇(𝑣1)] 𝐵2
[𝑇(𝑣2)] 𝐵2 … [𝑇(𝑣 𝑛)] 𝐵2
)
∀𝑣 ∈ 𝑉 [𝑇(𝑣)] 𝐵2
= 𝐴 𝑇[𝑣] 𝐵1

2. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
Ojo: La matriz asociada a una transformación lineal podría no ser cuadrada, su número de filas es
igual a la dimensión del espacio de llegada, y su número de columnas es la dimensión del espacio
de salida. Además, si la matriz es cuadrada, podría ser que su inversa no exista.
La notación utilizada para la representación matricial de 𝑇 o matriz asociada a 𝑇 es el nombre de
la matriz y como subíndice el nombre de la transformación 𝐴 𝑇 o el nombre de la transformación
entre corchetes y como subíndice las bases de partida y llegada [𝑇] 𝐵1 𝐵2
Transformación Lineal Inyectiva, Sobreyectiva e Isomorfismo
Definición: Transformación Lineal Inyectiva: Se dice que la transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es
inyectiva, si ocurre que:
∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 [𝑇(𝑣1) = 𝑇(𝑣2) ⇔ 𝑣1 = 𝑣2]
Teorema: Una transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es inyectiva, si y sólo si, el único vector que se
encuentra en el núcleo de 𝑇 es el 0 𝑉:
𝑁𝑢(𝑇) = {0 𝑉}
Definición: Transformación Lineal Sobreyectiva: La transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es llamada
sobreyectiva si para todo vector 𝑤 ∈ 𝑊 existe al menos un vector 𝑣 ∈ 𝑉, tal que 𝑇(𝑣) = 𝑤.
∀𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑤 = 𝑇(𝑣)
En otras palabras, 𝑇 es sobreyectiva si 𝑅𝑒(𝑇) = 𝑊.
Ojo: Notar que 𝑇 es inyectiva si y sólo si 𝜈(𝑇) = 0 y sobreyectiva si y sólo si 𝜌(𝑇) = dim 𝑊
Definición: Isomorfismo: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Se dice que 𝑇 es un
isomorfismo si 𝑇 es inyectiva y 𝑇 es sobreyectiva. Es decir, 𝑇 es llamada un isomorfismo si 𝑇 es
biyectiva.
Definición: Espacios Vectoriales Isomorfos: Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales de dimensión
finita. Se dice que 𝑉 y 𝑊 son espacios isomorfos, lo cual denotaremos 𝑉 ≅ 𝑊, si existe una
transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 que es un isomorfismo.
Teorema: Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales de dimensión finita, y 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación
lineal. Entonces:
i. Si dim 𝑉 > dim 𝑊, 𝑇 no es inyectiva.
ii. Si dim 𝑉 < dim 𝑊, 𝑇 no es sobreyectiva.
iii. Si dim 𝑉 = dim 𝑊, 𝑇 es inyectiva si y sólo si 𝑇 es sobreyectiva.

3. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
Teorema: Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales de dimensión finita. Los espacios 𝑉 y 𝑊 son isomorfos
(𝑉 ≅ 𝑊) si y sólo si tienen la misma dimensión (dim 𝑉 = dim 𝑊).
Operaciones con Transformaciones Lineales
Las transformaciones lineales a la larga son funciones, y así como podemos realizar operaciones
con funciones, también podemos hacerlo con las transformaciones lineales. Normalmente,
nosotros definimos la suma, resta, multiplicación y división entre funciones, el producto por
constantes y la composición de funciones. Para efectos de álgebra lineal utilizaremos la suma entre
transformaciones lineales y el producto por escalares (obviamente, esto incluirá la resta). Entonces,
tal como lo haríamos con funciones, tenemos la siguiente definición:
Definición: Transformaciones Suma y Multiplicación por Escalar: Sean 𝑉, 𝑊 dos 𝐾-espacios
vectoriales, sean 𝑇1: 𝑉 → 𝑊 y 𝑇2: 𝑉 → 𝑊 dos transformaciones lineales, y sea 𝑘 ∈ 𝐾. Se definen
la suma y la multiplicación por escalar de la siguiente manera:
Transformación Suma: 𝑇1 + 𝑇2: 𝑉 → 𝑊 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣) = 𝑇1(𝑣) + 𝑇2(𝑣)
Transformación Multiplicación por Escalar: 𝑘𝑇1: 𝑉 → 𝑊 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑘𝑇1)(𝑣) = 𝑘𝑇1(𝑣)
Es decir, la transformación suma, que toma un vector 𝑣 ∈ 𝑉 y devuelve un vector 𝑤 ∈ 𝑊, se define
de tal manera que la transformada de 𝑣 es la suma de 𝑇1(𝑣) y 𝑇2(𝑣). Asimismo la transformación
multiplicación por escalar, que toma un vector 𝑣 ∈ 𝑉 y devuelve un vector 𝑤 ∈ 𝑊, se define de
tal manera que la transformada de 𝑣 es el producto del escalar 𝑘 por 𝑇1(𝑣). Notamos que son
transformaciones puesto que toman vectores del espacio 𝑉 y devuelven vectores del espacio 𝑊,
pero ¿son transformaciones lineales? Verifiquemos que cumplan los criterios de linealidad:
¿∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1) + (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣2)?
(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑇1(𝑣1 + 𝑣2) + 𝑇2(𝑣1 + 𝑣2) Definición de 𝑇1 + 𝑇2
(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑇1(𝑣1) + 𝑇1(𝑣2) + 𝑇2(𝑣1) + 𝑇2(𝑣2) Linealidad de 𝑇1 y 𝑇2
(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑇1(𝑣1) + 𝑇2(𝑣1)) + (𝑇1(𝑣2) + 𝑇2(𝑣2)) Asociatividad de la suma
(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1) + (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣2) Definición de 𝑇1 + 𝑇2
¡Se cumple!
¿∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑇1 + 𝑇2)(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣)?
(𝑇1 + 𝑇2)(𝛼𝑣) = 𝑇1(𝛼𝑣) + 𝑇2(𝛼𝑣) Definición de 𝑇1 + 𝑇2
(𝑇1 + 𝑇2)(𝛼𝑣) = 𝛼𝑇1(𝑣) + 𝛼𝑇2(𝑣) Linealidad de 𝑇1 y 𝑇2
(𝑇1 + 𝑇2)(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑇1(𝑣) + 𝑇2(𝑣)) Distribución de multiplicación por escalar respecto a suma

4. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
(𝑇1 + 𝑇2)(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣) Definición de 𝑇1 + 𝑇2
¡Se cumple!
∴ 𝑇1 + 𝑇2 es una transformación lineal ∎
Hagamos la verificación para la transformación multiplicación por escalar:
¿∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 (𝑘𝑇1)(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑘𝑇1)(𝑣1) + (𝑘𝑇1)(𝑣2)?
(𝑘𝑇1)(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑘𝑇1(𝑣1 + 𝑣2) Definición de 𝑘𝑇1
(𝑘𝑇1)(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑘(𝑇1(𝑣1) + 𝑇1(𝑣2)) Linealidad de 𝑇1
(𝑘𝑇1)(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑘𝑇1(𝑣1) + 𝑘𝑇1(𝑣2) Distribución de la multiplicación respecto a suma
(𝑘𝑇1)(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑘𝑇1)(𝑣1) + (𝑘𝑇1)(𝑣2) Definición de 𝑘𝑇1
¡Se cumple!
¿∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑘𝑇1)(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑘𝑇1)(𝑣)?
(𝑘𝑇1)(𝛼𝑣) = 𝑘𝑇1(𝛼𝑣) Definición de 𝑘𝑇1
(𝑘𝑇1)(𝛼𝑣) = 𝑘𝛼𝑇1(𝑣) Linealidad de 𝑇1
(𝑘𝑇1)(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑘𝑇1(𝑣)) Asociatividad de multiplicación por escalar
(𝑘𝑇1)(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑘𝑇1)(𝑣) Definición de 𝑘𝑇1
¡Se cumple!
∴ 𝑘𝑇1 es una transformación lineal ∎
Con esto podemos notar que, dadas dos transformaciones lineales de un espacio vectorial 𝑉 a un
espacio vectorial 𝑊, la suma entre ellas también es una transformación lineal de 𝑉 a 𝑊, es decir,
la suma es “cerrada” entre transformaciones lineales de 𝑉 a 𝑊. Asimismo, la multiplicación entre
una transformación lineal de 𝑉 a 𝑊 y un escalar cualquiera de un campo 𝐾, da como resultado una
transformación lineal de 𝑉 a 𝑊, de forma que la multiplicación por escalar también es “cerrada”
en transformaciones lineales de 𝑉 a 𝑊.
Consideremos todas las transformaciones lineales que van de 𝑉 a 𝑊 como parte del conjunto
𝐿(𝑉, 𝑊). Sabemos que la suma y la multiplicación por escalar son cerradas en este conjunto.
Realizaremos un análisis para demostrar que en este conjunto se cumplen las 8 propiedades que
definen a los espacios vectoriales:
1. ¿∀𝑇1, 𝑇2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) 𝑇1 + 𝑇2 = 𝑇2 + 𝑇1?

5. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣) = 𝑇1(𝑣) + 𝑇2(𝑣) = 𝑇2(𝑣) + 𝑇1(𝑣) = (𝑇2 + 𝑇1)(𝑣)
2. ¿∀𝑇1, 𝑇2, 𝑇3 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) (𝑇1 + 𝑇2) + 𝑇3 = 𝑇1 + (𝑇2 + 𝑇3)?
∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑇1 + 𝑇2) + 𝑇3)(𝑣) = (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣) + 𝑇3(𝑣) = 𝑇1(𝑣) + 𝑇2(𝑣) + 𝑇3(𝑣)
= 𝑇1(𝑣) + (𝑇2 + 𝑇3)(𝑣) = (𝑇1 + (𝑇2 + 𝑇3))(𝑣)
3. ¿∃0 𝐿(𝑉,𝑊) ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) ∀𝑇 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) 𝑇 + 0 𝐿(𝑉,𝑊) = 𝑇?
Se encuentra la regla de correspondencia de 0 𝐿(𝑉,𝑊) (demostrando así su existencia)
∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑇 + 0 𝐿(𝑉,𝑊))(𝑣) = 𝑇(𝑣)
𝑇(𝑣) + 0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣) = 𝑇(𝑣)
0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣) = 0 𝑊 ; ∀𝑣 ∈ 𝑉
Se verifica que 0 𝐿(𝑉,𝑊) ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊), es decir, se verifica si es una transformación lineal
¿∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣1 + 𝑣2) = 0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣1) + 0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣2)?
0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣1 + 𝑣2) = 0 𝑊
0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣1 + 𝑣2) = 0 𝑊 + 0 𝑊
0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣1 + 𝑣2) = 0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣1) + 0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣2)
¡Se cumple!
¿∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑉 0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝛼𝑣) = 𝛼0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣)?
0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝛼𝑣) = 0 𝑊
0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝛼𝑣) = 𝛼0 𝑊
0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝛼𝑣) = 𝛼0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣)
¡Se cumple!
∴ 0 𝐿(𝑉,𝑊) es una transformación lineal ∎
Se verifica que se cumple la condición
¿∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇 + 0 𝐿(𝑉,𝑊) = 𝑇?
(𝑇 + 0 𝐿(𝑉,𝑊))(𝑣) = 𝑇(𝑣) + 0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣)
(𝑇 + 0 𝐿(𝑉,𝑊))(𝑣) = 𝑇(𝑣) + 0 𝑊
(𝑇 + 0 𝐿(𝑉,𝑊))(𝑣) = 𝑇(𝑣)
¡Se cumple!
4. ¿∀𝑇 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) ∃𝑇̃ ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) 𝑇 + 𝑇̃ = 0 𝐿(𝑉,𝑊)?
Se encuentra la regla de correspondencia de 𝑇̃ (demostrando así su existencia)
∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑇 + 𝑇̃)(𝑣) = 0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣)
𝑇(𝑣) + 𝑇̃(𝑣) = 0 𝑊

6. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
𝑇̃(𝑣) = 𝑇(𝑣)̃
𝑇̃(𝑣) = (𝑛∙)+
′
𝑇(𝑣) ; ∀𝑣 ∈ 𝑉
Se verifica que 𝑇̃ ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊), es decir, se verifica si es una transformación lineal
¿∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 𝑇̃(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑇̃(𝑣1) + 𝑇̃(𝑣2)?
𝑇̃(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑛∙)+
′
(𝑇(𝑣1 + 𝑣2))
𝑇̃(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑛∙)+
′
(𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2))
𝑇̃(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑛∙)+
′
𝑇(𝑣1) + (𝑛∙)+
′
𝑇(𝑣2)
𝑇̃(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑇̃(𝑣1) + 𝑇̃(𝑣2)
¡Se cumple!
¿∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇̃(𝛼𝑣) = 𝛼𝑇̃(𝑣)?
𝑇̃(𝛼𝑣) = (𝑛∙)+
′
𝑇(𝛼𝑣)
𝑇̃(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑛∙)+
′
𝑇(𝑣)
𝑇̃(𝛼𝑣) = 𝛼𝑇̃(𝑣)
¡Se cumple!
∴ 𝑇̃ es una transformación lineal ∎
5. ¿∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾 ∀𝑇 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) 𝛼(𝛽𝑇) = (𝛼𝛽)𝑇?
∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝛼(𝛽𝑇))(𝑣) = 𝛼((𝛽𝑇)(𝑣)) = 𝛼 (𝛽(𝑇(𝑣))) = (𝛼𝛽)(𝑇(𝑣)) = ((𝛼𝛽)𝑇)(𝑣)
6. ¿ ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾 ∀𝑇 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) (𝛼 + 𝛽)𝑇 = (𝛼𝑇) + (𝛽𝑇)?
∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝛼 + 𝛽)𝑇)(𝑣) = (𝛼 + 𝛽)𝑇(𝑣) = 𝛼𝑇(𝑣) + 𝛽𝑇(𝑣) = (𝛼𝑇)(𝑣) + (𝛽𝑇)(𝑣)
7. ¿ ∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑇1, 𝑇2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) 𝛼(𝑇1 + 𝑇2) = (𝛼𝑇1) + (𝛼𝑇2)?
∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝛼(𝑇1 + 𝑇2))(𝑣) = 𝛼(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣) = 𝛼(𝑇1(𝑣) + 𝑇2(𝑣)) = 𝛼𝑇1(𝑣) + 𝛼𝑇2(𝑣)
= (𝛼𝑇1)(𝑣) + (𝛼𝑇2)(𝑣)
8. ¿∀𝑇 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) (𝑛∙)𝑇 = 𝑇?
∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑛∙)𝑇)(𝑣) = (𝑛∙)𝑇(𝑣) = 𝑇(𝑣)
∴ 𝐿(𝑉, 𝑊) es un 𝐾-espacio vectorial ∎
Definición: Espacio de Transformaciones Lineales: Sean 𝑉 y 𝑊 dos espacios vectoriales, se dice
que 𝐿(𝑉, 𝑊) es el espacio vectorial de las transformaciones lineales que van de 𝑉 a 𝑊.
Teorema: Sean𝑉 y 𝑊 dos espacios vectoriales de dimensión finita. El espacio vectorial 𝐿(𝑉, 𝑊)
es entonces de dimensión finita, tal que:
dim 𝐿(𝑉, 𝑊) = (dim 𝑉)(dim 𝑊)

7. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
Observación: Sean 𝑉 y 𝑊 dos espacios vectoriales de dimensión finita. Sean 𝐵 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛}
y 𝐵 𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤 𝑚} bases de 𝑉 y 𝑊 respectivamente. Diremos que la base canónica del
espacio 𝐿(𝑉, 𝑊) es la siguiente:
𝐵 = {𝑇11, 𝑇12, … , 𝑇1𝑛, 𝑇21, 𝑇22, … , 𝑇2𝑛, … , 𝑇 𝑚1, 𝑇 𝑚2, … , 𝑇 𝑚𝑛}
Donde, para cualquier vector 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉:
𝑇11(𝑣) = 𝛼1 𝑤1 , 𝑇12(𝑣) = 𝛼2 𝑤1, … , 𝑇1𝑛 = (𝑣) = 𝛼 𝑛 𝑤1
𝑇21(𝑣) = 𝛼1 𝑤2 , 𝑇22(𝑣) = 𝛼2 𝑤2, … , 𝑇2𝑛 = (𝑣) = 𝛼 𝑛 𝑤2
⋮
𝑇 𝑚1(𝑣) = 𝛼1 𝑤 𝑚 , 𝑇 𝑚2(𝑣) = 𝛼2 𝑤 𝑚, … , 𝑇 𝑚𝑛 = (𝑣) = 𝛼 𝑛 𝑤 𝑚
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Demostraciones.
A continuación demostraré algunos de los teoremas de la sección teórica de este documento como
refuerzo para entenderlos mejor.
Teorema: Una transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es inyectiva, si y sólo si, el único vector que se
encuentra en el núcleo de 𝑇 es el 0 𝑉:
𝑁𝑢(𝑇) = {0 𝑉}
El teorema nos indica una forma mucho más fácil de determinar si una transformación lineal es
una función inyectiva (es decir, es uno a uno).
Demostración:
Primero demostraré la proposición en el orden 𝑝 → 𝑞, es decir:
Si 𝑇 es inyectiva, entonces 𝑁𝑢(𝑇) = {0 𝑉}
Sea 𝑣 ∈ 𝑁𝑢(𝑇) un elemento cualquiera del núcleo de la transformación, se demostrará que ese
elemento debe obligatoriamente ser cero.
𝑇(𝑣) = 0 𝑊
Pero conocemos que 𝑇(0 𝑉) = 0 𝑊. Por hipótesis, 𝑇 es inyectiva, por lo que tenemos que:
0 𝑊 = 0 𝑊
𝑇(𝑣) = 𝑇(0 𝑉)
𝑣 = 0 𝑉

8. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
∴ 𝑁𝑢(𝑇) = {0 𝑉} ∎
Ahora demostraré la proposición en el orden 𝑞 → 𝑝, es decir:
Si 𝑁𝑢(𝑇) = {0 𝑉}, entonces 𝑇 es inyectiva.
Sean 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 tales que 𝑇(𝑣1) = 𝑇(𝑣2), demostraremos que esto implica que los vectores 𝑣1 y
𝑣2 son iguales:
𝑇(𝑣1) = 𝑇(𝑣2)
𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2)̃ = 𝑇(𝑣2) + 𝑇(𝑣2)̃
𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2̃) = 0 𝑊
𝑇(𝑣1 + 𝑣2̃) = 0 𝑊
𝑣1 + 𝑣2̃ ∈ 𝑁𝑢(𝑇)
Por hipótesis, 𝑁𝑢(𝑇) = {0 𝑉} es decir, en el núcleo sólo hay un elemento que es el vector cero, por
lo que si 𝑣1 + 𝑣2̃ está en el núcleo, entonces obligatoriamente sólo podrá ser cero:
𝑣1 + 𝑣2̃ = 0 𝑉
𝑣1 + 𝑣2̃ + 𝑣2 = 0 𝑉 + 𝑣2
𝑣1 = 𝑣2
∴ 𝑇 es inyectiva ∎
Teorema: Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales de dimensión finita, y 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación
lineal. Entonces:
i. Si dim 𝑉 > dim 𝑊, 𝑇 no es inyectiva.
ii. Si dim 𝑉 < dim 𝑊, 𝑇 no es sobreyectiva.
iii. Si dim 𝑉 = dim 𝑊, 𝑇 es inyectiva si y sólo si 𝑇 es sobreyectiva.
Este teorema es de gran ayuda, así podemos con sólo observar la dimensión de los espacios
vectoriales de partida y llegada, saber si la transformación tiene opción de ser inyectiva,
sobreyectiva o un isomorfismo.
Demostración:
Para facilitar la escritura de esta demostración, se dirá que dim 𝑉 = 𝑛 y que dim 𝑊 = 𝑚

9. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
i. Si dim 𝑉 > dim 𝑊, 𝑇 no es inyectiva.
Se conoce que 𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = 𝑛. Como 𝑅𝑒(𝑇) ⊆ 𝑊 entonces sabemos que 𝜌(𝑇) ≤ 𝑚
𝜌(𝑇) ≤ 𝑚
𝑛 − 𝜈(𝑇) ≤ 𝑚
−𝜈(𝑇) ≤ 𝑚 − 𝑛
𝑛 − 𝑚 ≤ 𝜈(𝑇)
Por hipótesis 𝑛 > 𝑚 por lo tanto 𝑛 − 𝑚 > 0
𝜈(𝑇) > 0
𝑁𝑢(𝑇) ≠ {0 𝑉}
∴ 𝑇 no es inyectiva ∎
ii. Si dim 𝑉 < dim 𝑊, 𝑇 no es sobreyectiva.
Se conoce que 𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = 𝑛. Como 𝑁𝑢(𝑇) ⊆ 𝑉 entonces sabemos que 0 ≤ 𝜈(𝑇) ≤ 𝑛
0 ≤ 𝜈(𝑇) ≤ 𝑛
0 ≤ 𝑛 − 𝜌(𝑇) ≤ 𝑛
−𝑛 ≤ −𝜌(𝑇) ≤ 0
𝜌(𝑇) ≤ 𝑛
Por hipótesis 𝑛 < 𝑚 por lo que:
𝜌(𝑇) < 𝑚
𝜌(𝑇) < dim 𝑊
𝑅𝑒(𝑇) ≠ 𝑊
∴ 𝑇 no es sobreyectiva ∎
iii. Si dim 𝑉 = dim 𝑊, 𝑇 es inyectiva si y sólo si 𝑇 es sobreyectiva.
Se conoce que 𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = 𝑛. Veamos el orden 𝑝 → 𝑞:
Si 𝑇 es inyectiva, entonces 𝜈(𝑇) = 0 y por lo tanto 𝜌(𝑇) = 𝑛. Pero por hipótesis 𝑛 = 𝑚, por lo
tanto 𝜌(𝑇) = 𝑚 = dim 𝑊. Finalmente concluimos que 𝑅𝑒(𝑇) = 𝑊

10. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
∴ 𝑇 es sobreyectiva ∎
Veamos ahora el orden 𝑞 → 𝑝:
Si 𝑇 es sobreyectiva, entonces 𝜌(𝑇) = dim 𝑊 = 𝑚 y por lo tanto 𝜈(𝑇) + 𝑚 = 𝑛. Pero por
hipótesis 𝑛 = 𝑚, por lo tanto 𝜈(𝑇) = 𝑛 − 𝑛 = 0. Finalmente concluimos que 𝑁𝑢(𝑇) = {0 𝑉}
∴ 𝑇 es inyectiva ∎
Teorema: Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales de dimensión finita. Los espacios 𝑉 y 𝑊 son isomorfos
(𝑉 ≅ 𝑊) si y sólo si tienen la misma dimensión (dim 𝑉 = dim 𝑊).
El teorema se puede inferir del anterior. Dice que sólo es posible definir un isomorfismo entre dos
espacios vectoriales (es decir, estos son isomorfos) si la dimensión de dichos espacios es igual.
Demostración:
Veamos la forma 𝑝 → 𝑞, es decir, Si 𝑉 ≅ 𝑊 entonces dim 𝑉 = dim 𝑊.
Ya que 𝑉 ≅ 𝑊 entonces existe una transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 tal que 𝑇 es un isomorfismo.
Siendo así, 𝑇 es inyectiva por lo que 𝜈(𝑇) = 0 y 𝑇 es sobreyectiva por lo que 𝜌(𝑇) = dim 𝑊. Con
esto, el teorema de la dimensión dice que:
𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = dim 𝑉
∴ dim 𝑊 = dim 𝑉 ∎
Veamos la forma 𝑞 → 𝑝, es decir, Si dim 𝑉 = dim 𝑊 entonces 𝑉 ≅ 𝑊.
Sea 𝐵 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} una base de 𝑉 y sea 𝐵 𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤 𝑛} una base de 𝑊, se puede
construir una transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 tal que 𝑇(𝑣𝑖) = 𝑤𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Ahora bien,
veamos si 𝑇 es un isomorfismo. Para esto veamos si 𝑇 es inyectiva:
𝑁𝑢(𝑇) = {𝑣 ∈ 𝑉 | 𝑇(𝑣) = 0 𝑊}
Sea 𝑣 ∈ 𝑁𝑢( 𝑇) entonces 𝑇( 𝑣) = 0 𝑊
𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) = 0 𝑊
𝛼1 𝑤1 + 𝛼2 𝑤2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑤 𝑛 = 0 𝑊
Ya que los vectores 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤 𝑛 constituyen una base de 𝑊, son linealmente independientes, y
esto implica que:
𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼 𝑛 = 0

11. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
𝑣 = 0 𝑉
𝑁𝑢(𝑇) = {0 𝑉}
𝑇 es inyectiva
Veamos ahora si 𝑇 es sobreyectiva:
𝑅𝑒(𝑇) = {𝑤 ∈ 𝑊 | 𝑤 = 𝑇(𝑣); 𝑣 ∈ 𝑉}
Sea 𝑤 ∈ 𝑅𝑒(𝑇) entonces 𝑤 = 𝑇(𝑣) para 𝑣 ∈ 𝑉
𝑤 = 𝑇(𝑣)
𝑤 = 𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛)
𝑤 = 𝛼1 𝑤1 + 𝛼2 𝑤2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑤 𝑛
𝑤 ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝐵 𝑊)
𝑅𝑒(𝑇) = 𝑊
𝑇 es sobreyectiva
∴ 𝑇 es un isomorfismo ∎
Teorema: Sean𝑉 y 𝑊 dos espacios vectoriales de dimensión finita. El espacio vectorial 𝐿(𝑉, 𝑊)
es entonces de dimensión finita, tal que:
dim 𝐿(𝑉, 𝑊) = (dim 𝑉)(dim 𝑊)
El teorema nos indica cómo determinar la cantidad de elementos en una base cualquiera del espacio
vectorial de transformaciones lineales. Usaremos esta demostración para obtener cualquier base
de este espacio.
Demostración:
Siendo 𝑉, 𝑊 dos espacios vectoriales de dimensión finita, podemos decir que dim 𝑉 = 𝑛 y que
dim 𝑊 = 𝑚 para evitar nomenclatura complicada. Podemos entonces saber que existen bases para
cada uno de estos espacios, que respectivamente serían:
𝐵 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} y 𝐵 𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤 𝑚}
Sea 𝑣 ∈ 𝑉 un elemento cualquiera de 𝑉 que se puede escribir como combinación lineal de la base
𝐵 𝑉 como:

12. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛
Se definen las siguientes transformaciones de 𝑉 a 𝑊:
𝑇11(𝑣) = 𝛼1 𝑤1 , 𝑇12(𝑣) = 𝛼2 𝑤1, … , 𝑇1𝑛(𝑣) = 𝛼 𝑛 𝑤1
𝑇21(𝑣) = 𝛼1 𝑤2 , 𝑇22(𝑣) = 𝛼2 𝑤2, … , 𝑇2𝑛(𝑣) = 𝛼 𝑛 𝑤2
⋮
𝑇 𝑚1(𝑣) = 𝛼1 𝑤 𝑚 , 𝑇 𝑚2(𝑣) = 𝛼2 𝑤 𝑚, … , 𝑇 𝑚𝑛(𝑣) = 𝛼 𝑛 𝑤 𝑚
Es notorio que cada una de ellas son transformaciones lineales. Sea:
𝑇𝑖𝑗(𝑣) = 𝛼𝑗 𝑤𝑖 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
¿∀𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝑉 𝑇𝑖𝑗(𝑎1 + 𝑎2) = 𝑇𝑖𝑗(𝑎1) + 𝑇𝑖𝑗(𝑎2)?
Sean 𝑎1 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 y 𝑎2 = 𝛽1 𝑣1 + 𝛽2 𝑣2 + ⋯ + 𝛽 𝑛 𝑣 𝑛. Tenemos que:
𝑇𝑖𝑗(𝑎1 + 𝑎2) = 𝑇𝑖𝑗((𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) + (𝛽1 𝑣1 + 𝛽2 𝑣2 + ⋯ + 𝛽 𝑛 𝑣 𝑛))
= 𝑇𝑖𝑗((𝛼1 + 𝛽1)𝑣1 + (𝛼2 + 𝛽2)𝑣2 + ⋯ + (𝛼 𝑛 + 𝛽 𝑛)𝑣 𝑛) = (𝛼𝑗 + 𝛽𝑗)𝑤𝑖
= 𝛼𝑗 𝑤𝑖 + 𝛽𝑗 𝑤𝑖 = 𝑇𝑖𝑗(𝑎1) + 𝑇𝑖𝑗(𝑎2)
¿ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑎1 ∈ 𝑉 𝑇𝑖𝑗(𝑘𝑎1) = 𝑘𝑇𝑖𝑗(𝑎1)?
𝑇𝑖𝑗(𝑘𝑎1) = 𝑇𝑖𝑗(𝑘(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛)) = 𝑇𝑖𝑗((𝑘𝛼1)𝑣1 + (𝑘𝛼2)𝑣2 + ⋯ + (𝑘𝛼 𝑛)𝑣 𝑛)
= (𝑘𝛼𝑗)𝑤𝑖 = 𝑘𝛼𝑗 𝑤𝑖 = 𝑘𝑇𝑖𝑗(𝑎1)
Las transformaciones propuestas constituyen una base para el espacio vectorial 𝐿(𝑉, 𝑊), la cual
denominaremos la base canónica de este espacio. Demostremos entonces que el conjunto 𝐵 =
{𝑇11, 𝑇12, … , 𝑇1𝑛, 𝑇21, 𝑇22, … , 𝑇2𝑛, … , 𝑇 𝑚1, 𝑇 𝑚2, … , 𝑇 𝑚𝑛} es una base de 𝐿(𝑉, 𝑊) y, dado que
𝑁(𝐵) = 𝑚𝑛, esto demostraría que dim 𝐿(𝑉, 𝑊) = (dim 𝑉)(dim 𝑊)
Demostremos entonces que 𝐿(𝑉, 𝑊) = 𝑔𝑒𝑛(𝐵):
Sea 𝑇 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊), sin importar su regla de correspondencia, al transformar cualquier vector de 𝑉
obtenemos un vector de 𝑊, y dicho resultado se puede entonces expresar como combinación lineal
de los elementos de la base 𝐵 𝑊. Entonces, una regla de correspondencia general sería:
Sea 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛
𝑇(𝑣) = 𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) = 𝛼1 𝑇(𝑣1) + 𝛼2 𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑇(𝑣 𝑛)
Por lo explicado anteriormente, el resultado para 𝑇(𝑣𝑗) ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 será combinación lineal de
los elementos de 𝐵 𝑊:

13. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
𝑇(𝑣) = 𝛼1(𝑐11 𝑤1 + 𝑐21 𝑤2 + ⋯ + 𝑐 𝑚1 𝑤 𝑚) + 𝛼2(𝑐12 𝑤1 + 𝑐22 𝑤2 + ⋯ + 𝑐 𝑚2 𝑤 𝑚) + ⋯
+ 𝛼 𝑛(𝑐1𝑛 𝑤1 + 𝑐2𝑛 𝑤2 + ⋯ + 𝑐 𝑚𝑛 𝑤 𝑚)
𝑇(𝑣) = 𝛼1 𝑐11 𝑤1 + 𝛼1 𝑐21 𝑤2 + ⋯ + 𝛼1 𝑐 𝑚1 𝑤 𝑚 + 𝛼2 𝑐12 𝑤1 + 𝛼2 𝑐22 𝑤2 + ⋯ + 𝛼2 𝑐 𝑚2 𝑤 𝑚
+ ⋯ 𝛼 𝑛 𝑐1𝑛 𝑤1 + 𝛼 𝑛 𝑐2𝑛 𝑤2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑐 𝑚𝑛 𝑤 𝑚
𝑇(𝑣) = 𝑐11 𝛼1 𝑤1 + 𝑐12 𝛼2 𝑤1 + ⋯ + 𝑐1𝑛 𝛼 𝑛 𝑤1 + 𝑐21 𝛼1 𝑤2 + 𝑐22 𝛼2 𝑤2 + ⋯ + 𝑐2𝑛 𝛼2 𝑤2 + ⋯
+ 𝑐 𝑚1 𝛼1 𝑤 𝑚 + 𝑐 𝑚2 𝛼2 𝑤 𝑚 + ⋯ + 𝑐 𝑚𝑛 𝛼 𝑛 𝑤 𝑚
𝑇(𝑣) = 𝑐11 𝑇11(𝑣) + 𝑐12 𝑇12(𝑣) + ⋯ + 𝑐1𝑛 𝑇1𝑛(𝑣) + 𝑐21 𝑇21(𝑣) + 𝑐22 𝑇22(𝑣) + ⋯ + 𝑐2𝑛 𝑇2𝑛(𝑣)
+ ⋯ + 𝑐 𝑚1 𝑇 𝑚1(𝑣) + 𝑐 𝑚2 𝑇 𝑚2(𝑣) + ⋯ + 𝑐 𝑚𝑛 𝑇 𝑚𝑛(𝑣)
𝑇(𝑣) = (𝑐11 𝑇11 + 𝑐12 𝑇12 + ⋯ + 𝑐1𝑛 𝑇1𝑛 + 𝑐21 𝑇21 + 𝑐22 𝑇22 + ⋯ + 𝑐2𝑛 𝑇2𝑛 + ⋯ + 𝑐 𝑚1 𝑇 𝑚1
+ 𝑐 𝑚2 𝑇 𝑚2 + ⋯ + 𝑐 𝑚𝑛 𝑇 𝑚𝑛)(𝑣)
𝑇 = 𝑐11 𝑇11 + 𝑐12 𝑇12 + ⋯ + 𝑐1𝑛 𝑇1𝑛 + 𝑐21 𝑇21 + 𝑐22 𝑇22 + ⋯ + 𝑐2𝑛 𝑇2𝑛 + ⋯ + 𝑐 𝑚1 𝑇 𝑚1 + 𝑐 𝑚2 𝑇 𝑚2
+ ⋯ + 𝑐 𝑚𝑛 𝑇 𝑚𝑛
𝐿(𝑉, 𝑊) = 𝑔𝑒𝑛(𝐵)
Ahora verifiquemos que 𝐵 es linealmente independiente en 𝐿(𝑉, 𝑊):
𝑐11 𝑇11 + 𝑐12 𝑇12 + ⋯ + 𝑐1𝑛 𝑇1𝑛 + 𝑐21 𝑇21 + 𝑐22 𝑇22 + ⋯ + 𝑐2𝑛 𝑇2𝑛 + ⋯ + 𝑐 𝑚1 𝑇 𝑚1 + 𝑐 𝑚2 𝑇 𝑚2 + ⋯
+ 𝑐 𝑚𝑛 𝑇 𝑚𝑛 = 0 𝐿(𝑉,𝑊)
(𝑐11 𝑇11 + 𝑐12 𝑇12 + ⋯ + 𝑐1𝑛 𝑇1𝑛 + 𝑐21 𝑇21 + 𝑐22 𝑇22 + ⋯ + 𝑐2𝑛 𝑇2𝑛 + ⋯ + 𝑐 𝑚1 𝑇 𝑚1 + 𝑐 𝑚2 𝑇 𝑚2
+ ⋯ + 𝑐 𝑚𝑛 𝑇 𝑚𝑛)(𝑣) = 0 𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣)
𝑐11 𝑇11(𝑣) + 𝑐12 𝑇12(𝑣) + ⋯ + 𝑐1𝑛 𝑇1𝑛(𝑣) + 𝑐21 𝑇21(𝑣) + 𝑐22 𝑇22(𝑣) + ⋯ + 𝑐2𝑛 𝑇2𝑛(𝑣) + ⋯
+ 𝑐 𝑚1 𝑇 𝑚1(𝑣) + 𝑐 𝑚2 𝑇 𝑚2(𝑣) + ⋯ + 𝑐 𝑚𝑛 𝑇 𝑚𝑛(𝑣) = 0 𝑊
Así, para 𝑣 = 𝑣1:
𝑐11 𝑇11(𝑣1) + 𝑐12 𝑇12(𝑣1) + ⋯ + 𝑐1𝑛 𝑇1𝑛(𝑣1) + 𝑐21 𝑇21(𝑣1) + 𝑐22 𝑇22(𝑣1) + ⋯ + 𝑐2𝑛 𝑇2𝑛(𝑣1) + ⋯
+ 𝑐 𝑚1 𝑇 𝑚1(𝑣1) + 𝑐 𝑚2 𝑇 𝑚2(𝑣1) + ⋯ + 𝑐 𝑚𝑛 𝑇 𝑚𝑛(𝑣1) = 0 𝑊
𝑐11 𝑤1 + 𝑐21 𝑤2 + ⋯ + 𝑐 𝑚1 𝑤 𝑚 = 0 𝑊
{
𝑐11 = 0
𝑐21 = 0
⋮
𝑐 𝑚1 = 0
Así, para 𝑣 = 𝑣2:

14. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
𝑐11 𝑇11(𝑣2) + 𝑐12 𝑇12(𝑣2) + ⋯ + 𝑐1𝑛 𝑇1𝑛(𝑣2) + 𝑐21 𝑇21(𝑣2) + 𝑐22 𝑇22(𝑣2) + ⋯ + 𝑐2𝑛 𝑇2𝑛(𝑣2) + ⋯
+ 𝑐 𝑚1 𝑇 𝑚1(𝑣2) + 𝑐 𝑚2 𝑇 𝑚2(𝑣2) + ⋯ + 𝑐 𝑚𝑛 𝑇 𝑚𝑛(𝑣2) = 0 𝑊
𝑐12 𝑤1 + 𝑐22 𝑤2 + ⋯ + 𝑐 𝑚2 𝑤 𝑚 = 0 𝑊
{
𝑐12 = 0
𝑐22 = 0
⋮
𝑐 𝑚2 = 0
⋮
Así, para 𝑣 = 𝑣 𝑛:
𝑐11 𝑇11(𝑣 𝑛) + 𝑐12 𝑇12(𝑣 𝑛) + ⋯ + 𝑐1𝑛 𝑇1𝑛(𝑣 𝑛) + 𝑐21 𝑇21(𝑣 𝑛) + 𝑐22 𝑇22(𝑣 𝑛) + ⋯ + 𝑐2𝑛 𝑇2𝑛(𝑣 𝑛) + ⋯
+ 𝑐 𝑚1 𝑇 𝑚1(𝑣 𝑛) + 𝑐 𝑚2 𝑇 𝑚2(𝑣 𝑛) + ⋯ + 𝑐 𝑚𝑛 𝑇 𝑚𝑛(𝑣 𝑛) = 0 𝑊
𝑐1𝑛 𝑤1 + 𝑐2𝑛 𝑤2 + ⋯ + 𝑐 𝑚𝑛 𝑤 𝑚 = 0 𝑊
{
𝑐1𝑛 = 0
𝑐2𝑛 = 0
⋮
𝑐 𝑚𝑛 = 0
Con lo que observamos que 𝐵 es linealmente independiente en 𝐿(𝑉, 𝑊).
𝐵 es una base del espacio vectorial 𝐿(𝑉, 𝑊)
∴ dim 𝐿(𝑉, 𝑊) = 𝑁(𝐵) = 𝑚𝑛 = (dim 𝑉)(dim 𝑊) ∎
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problemas.
Encuentre la matriz asociada a las siguientes transformaciones lineales respecto a las bases
canónicas de los espacios vectoriales correspondientes:
a) 𝑇: ℝ2
→ ℝ2
𝑇 (
𝑥
𝑦) = (
3𝑥 − 2𝑦
5𝑥 + 𝑦
)
b) 𝑇: ℝ3
→ ℝ2
𝑇 (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
5𝑥 + 2𝑦 − 𝑧
3𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧
)
c) 𝑇: ℝ2
→ ℝ4
𝑇 (
𝑥
𝑦) = (2𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 3𝑦 , 𝑥 , 𝑦)
d) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑝) = 𝑥𝑝

15. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
e) 𝑇: 𝑀2𝑥2 → 𝑀3𝑥2 𝑇 (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
𝑎 + 𝑏 𝑐
𝑑 𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑐 𝑏 + 𝑑
)
Sea 𝑉 un subespacio del espacio vectorial 𝐶(ℝ). Considere la transformación lineal 𝐷: 𝑉 → 𝑉 tal
que 𝐷(𝑓) = 𝑓′
. Obtenga la matriz de 𝐷 respecto al conjunto generador que se propone para 𝑉 en
cada caso:
a) 𝑉 = 𝑔𝑒𝑛{𝑒 𝑥
, 𝑒−𝑥}
b) 𝑉 = 𝑔𝑒𝑛{𝑒 𝑥
, 𝑥𝑒 𝑥
, 𝑥2
𝑒 𝑥
, 𝑥3
𝑒 𝑥}
c) 𝑉 = 𝑔𝑒𝑛{sin 𝑥 , cos 𝑥}
d) 𝑉 = 𝑔𝑒𝑛{𝑒 𝑥
sin 𝑥 , 𝑒 𝑥
cos 𝑥}
Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión 3 y 𝑊 un espacio vectorial de dimensión 4. Sean 𝐵 𝑉 =
{𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} y 𝐵 𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, 𝑤4} bases de 𝑉 y 𝑊 respectivamente. Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una
transformación lineal tal que:
 𝑇(𝑣1) = 2𝑤1 − 3𝑤2 + 𝑤3 − 𝑤4
 𝑇(𝑣2) = 𝑤1 + 𝑤2 + 𝑤3 + 𝑤4
 𝑇(𝑣3) = 𝑤1 − 2𝑤3
a) Obtenga la matriz de 𝑇 respecto a las bases 𝐵 𝑉 y 𝐵 𝑊
b) Obtenga la matriz de 𝑇 respecto a las bases 𝐵 𝑉
′
= {𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3, 3𝑣1 − 2𝑣2 + 2𝑣3, 𝑣3} de
𝑉 y 𝐵 𝑊
′
= {𝑤1 − 𝑤2, 𝑤1 + 2𝑤2 + 3𝑤4, 𝑤3 − 2𝑤4, 𝑤2 + 𝑤3 + 𝑤4} de 𝑊.
c) Obtenga la regla de correspondencia de 𝑇.
Verdadero o Falso:
Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal, sean 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉 tales que
𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2), … , 𝑇(𝑣 𝑛) ∈ 𝑊 son linealmente independientes. Entonces 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 son
linealmente independientes. ¿Cuándo es la recíproca verdadera?
Para las siguientes transformaciones lineales, obtener núcleo, recorrido, y verificar que se cumple
el teorema de la dimensión:
a) 𝑇: ℝ2
→ ℝ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦
b) 𝑇: ℝ2
→ ℝ2
𝑇 (
𝑥
𝑦) = (
2𝑥 − 𝑦
3𝑥 + 4𝑦
)
c) 𝑇: ℝ3
→ ℝ3
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 , 3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 , 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧)

16. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
d) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2) = (𝑎0 − 𝑎1)(1 + 𝑥2) + (𝑎0 − 𝑎2)(𝑥 + 𝑥3)
e) 𝑇: ℝ2
→ ℝ4
𝑇(𝑋) = 𝐴𝑋; 𝐴 = (
1
3
2
4
5 6
7 8
)
f) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑝) = 𝑥2
𝑝′
Indique, justificando su respuesta, si el espacio fila de una matriz es isomorfo al espacio columna
de dicha matriz. De serlo, construya un isomorfismo entre ellos.
Dadas las siguientes transformaciones lineales de ℝ3
a ℝ3
:
𝑇1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧
𝑥 − 𝑦 + 𝑧
3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧
) 𝑇2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (
5𝑥 + 𝑧
2𝑦 + 3𝑧
𝑥 − 𝑦 − 𝑧
)
a) Obtenga (𝑇1 + 𝑇2)(2,1,3), (3𝑇1)(1,1,1), (−2𝑇2)(2,4,0)
b) Encuentre la regla de correspondencia de 𝑇1 + 𝑇2, 3𝑇1, −2𝑇2
Encuentre bases para los siguientes espacios vectoriales:
a) 𝑉 = 𝐿(ℝ2
, ℝ3)
b) 𝑉 = 𝐿(𝑃2, ℝ3)
c) 𝑉 = 𝐿(𝑃2, 𝑀2𝑥2)
d) 𝑉 = 𝐿(𝑀1𝑥2, 𝑀2𝑥1)
TAREA.
Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Si dim 𝑉 = 3 y dim 𝑊 = 𝑛, demuestre que:
1. Si 𝑛 = 3, 𝑇 es inyectiva si y solo si es sobreyectiva.
2. Si 𝑛 > 3, 𝑇 no es sobreyectiva.
3. Si 𝑇 es inyectiva, entonces 𝑛 ≥ 3

17. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
Sea 𝑇 la transformación de ℝ3
en ℝ3
definida por:
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑧, 𝑦 + 𝑧)
Determine la representación matricial de 𝑇 con respecto a la base canónica de ℝ3
.
Sea 𝑇: ℝ3
→ ℝ3
la transformación lineal definida por:
𝑇 (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧
𝑦 + 𝑧
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧
)
Determine si 𝑇 es un isomorfismo.
Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión 𝑛 y {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} una base de 𝑉. Se define la
transformación 𝑇 de ℝ 𝑛
en 𝑉 como sigue: si 𝑢 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛) ∈ ℝ 𝑛
entonces 𝑇(𝑢) = 𝑥1 𝑣1 +
𝑥2 𝑣2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑣 𝑛. Demuestre que:
a) 𝑇 es uno a uno (inyectiva)
b) 𝑇 es sobreyectiva
En el espacio vectorial 𝑀3𝑥3 de las matrices cuadradas de orden 3, se definen las matrices 𝐼 y 𝑀
como sigue:
𝑀 = (
3 2 0
2 3 0
0 0 3
) y 𝐼 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
a) Determine el valor de 𝛼 para que la matriz (
13 12 0
12 13 0
0 0 𝛼
) pertenezca al subespacio
vectorial de 𝑀3𝑥3 generado por 𝐼 y 𝑀.
b) Se define el subconjunto 𝐸 de 𝑀3𝑥3 como 𝐸 = {𝑎𝐼 + 𝑏𝑀 + 𝑐𝑀2
, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ}. Demuestre
que 𝐸 es un subespacio vectorial.
c) Determine la dimensión de 𝐸.
d) Sea 𝑇 la transformación de 𝑃2 en 𝐸 definida por: para todo 𝑝(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2
de 𝑃2,
𝑇(𝑝) = 𝑝(𝑀) = 𝑎𝐼 + 𝑏𝑀 + 𝑐𝑀2
. Demuestre que 𝑇 es una transformación lineal y que es
biyectiva.

18. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
Sea 𝑇: ℝ3
→ ℝ una transformación lineal definida por
𝑇 (
𝑥
𝑦
𝑧
) = 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧
Encontrar [𝑇] 𝐵→𝐵′, donde 𝐵 = {(
1
0
0
) , (
1
1
0
) , (
1
1
1
)} y 𝐵′
= {2}
Verdadero o Falso: Sea 𝑇: 𝑃2 → 𝑃1, entonces dim 𝑁𝑢(𝑇) > 0
Sea 𝑇 una función de 𝑃2 en 𝑃2 definida por:
𝑇(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) = 𝑐 + (𝑐 − 𝑏)𝑥 + (𝑐 − 𝑏 − 𝑎)𝑥2
Determine si dicha transformación es un isomorfismo, y encuentre su matriz asociada respecto a
la base {−1 , 𝑥 + 1 , 𝑥2}
Sea el espacio vectorial 𝑉 = 𝐿(ℝ2
, ℝ2) y sean las transformaciones lineales:
𝑇1 (
𝑥
𝑦) = (
𝑥
0
) , 𝑇2 (
𝑥
𝑦) = (
𝑦
0
) , 𝑇3 (
𝑥
𝑦) = (
0
𝑥
) , 𝑇4 (
𝑥
𝑦) = (
0
𝑦
)
Demuestre que {𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, 𝑇4} es una base de 𝑉