ALGEBRA LINEAL

1. ALGEBRA LINEAL
DEBER #6
TRANSFORMACIONES LINEALES
1. De las funciones WV:F  donde 11 12 3
21 22
/ ;ij
a a
V a W
a a
   
    
   
¿cuál no es
transformación lineal?
a)  11221221122211
2221
1211
332 aa,aa,aaa
aa
aa
F 





b)  11122211211
2221
1211
,,aaaa
aa
aa
F 





c)   0012211
2221
1211
,,aa
aa
aa
F 





d)  000
2221
1211
,,
aa
aa
F 





2. Sea P una matriz inversible, y nnnn MM:L   una función dada por   xPPxL 1
 . Pruebe que
L es una transformación lineal.
3. Califique cada una de las siguientes transformaciones como LINEALES o NO LINEALES.
a)    2121
2
1
1 yyxyy
y
y
T 





b)   2
2 xdcebxsena
dc
ba
T x














c)  

















01
0
1
2
01
2
0
1
01
2
23
aa
a
a
a
aa
a
a
a
axaxaT d)    326 12
2
31
2
2
2
34  axaxaxaxaxaT
4. Dada la siguiente función 23 PP:T  tal que:       xpxpxpT  2
a) Demostrar que T es una transformación lineal.
b) Hallar la  TKerdim .
c) Encontrar una base para TIm .
5. Sean V y W los espacios:
 
 222
132411
22
xx,,x,x,xgenW
xcos,xsen,xcos,xsengenV


y WV:T  una
transformación lineal tal que:   12 2
 xxsenxsenT   2
312 xxxcosxcosT 
  xxsenT 1   xxcosT 25
Se pide que:
a) Construya una base para V y W .
b) Encuentre la matriz asociada a T con respecto a las bases arriba determinadas.
c) Determine la dimensión del núcleo y la imagen.
d) ¿Es T un isomorfismo?
6. Sea WV:T  una función, tal que   Vx,exT x
 . Donde V  , con las operaciones
convencionales de multiplicación por escalar y suma vectorial.
 /W x x 
  con las operaciones: Suma Vy,x,xyyx: 
Multiplicación     R,Vx,xx:  
a) Probar que T es una transformación lineal.
b) Encuentre una base para el Núcleo de T .
c) ¿Representa T un isomorfismo? Justifique su respuesta.
d) ¿Pertenece 3 a recorrido de T ? Justifique su respuesta.
7. Construya 4 transformaciones lineales tales que 1T sea isomorfa; 2T inyectiva; 3T sobreyectiva; 4T
ni inyectiva ni sobreyectiva.
a) 4
1 3:T P  b) 5
2 2 2:T M   c) 3
3 2:T P d) 4 :T 

2. 8. Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa. Justifique su respuesta.
a) Si u y v son vectores paralelos en 3
y 3 3
:T  una transformación lineal, entonces
 uT es paralela a  vT .
b) Si WV:T  es una transformación lineal tal que  321 v,v,v es una base del TNu y
 4321 v,v,v,v es una base de V , entonces   4vT es una base del Recorrido T .
c) Si WV:T 1 y UW:T 2 son dos isomorfismos, entonces 21 TNuTNu 
d) Si A es la representación matricial de una transformación VV:T  con respecto a una base
ordenada en V , entonces 2
A es la representación matricial de VV:TT  con respecto a la
misma base.
e) Si 1T y 2T son dos isomorfismo de V en W, entonces  21 TT  también lo es.
f) Si T1 es un isomorfismo de V en W y T2 es un operador lineal de W en W entonces 12 TT  es
sobreyectiva.
9. Sea 32 PP:T  tal que       xpxxpT 3 . Sean  22
1 2321 xx,x,xB  una base de 2P y
 32
2 1 x,x,x,B  una base para 3P .
a) Calcule TA con respecto a las bases dadas. b) Halle  32 2
 xxT .
c) Encuentre el  TKer y el  Rec T . d) ¿Es T un isomorfismo?
10. Sea
0
, , ,
a
V a b c
b c
   
   
   
y sea 2PV:T  una función de V en 2P tal que:
     cxcbxcba
cb
a
T 322
0 2






a) Demuestre que T es una transformación lineal.
b) Encuentre una base para el  TNu .
c) ¿Es T un isomorfismo?. Justifique su respuesta.
d) Si



























10
00
01
00
00
01
1 ,,B y  12
2 ,x,xB  son bases de V y de 2P
respectivamente, entonces encuentre la matriz asociada a T con respecto a las bases 1B y 2B .
11. Sea WV:T  .Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa y
justifique su respuesta.
a) Si nu,,u,u 21 son linealmente independientes en V ,      nuT,,uT,uT 21 también lo son
en W .
b) Si nu,,u,u 21 generan V ;      nuT,,uT,uT 21 generan W .
c) Si      nuT,,uT,uT 21 generan W ; nu,,u,u 21 generan V .
d) Si nu,,u,u 21 son dependientes,      nuT,,uT,uT 21 son dependientes también.
e) Si       321 vT,vT,vT es una base de W entonces  3221 vv,vv  es un conjunto linealmente
independiente en V .
f) Si T es un isomorfismo, entonces T-1
es una transformación lineal de W en V.
g) Si       kvT,...,vT,vT 21 una base de rec(T), entonces  kv,...,v,v 21 es linealmente
independiente.
12. Respecto de la función WV:T  Tal que: 11 12
12
/
0 ij
a a
V a
a
   
   
   
,   1 2 3, , / iW a a a a  ,
 121112111211
12
1211
2
0
aa,aa,aa
a
aa
T 














a) Probar que T es una transformación lineal.
b) Determinar el núcleo o Ker de T .

3. c) Encuentre una base para la  TIm .
13. Sea 3
2:T P tal que       2
2 xcaxcbcba
c
b
a
T 










a) Encuentre Nuc(T), Im(T)
b) ¿Es T un isomrofismo? Justifique
c) En caso de ser un isomorfismo, encuentre la transformación inversa T-1
.
14. Sean T y Q dos transformaciones conmutativas:
     xTQxQT
XX:Q
XX:T



Demostrar que si   xxQ/Xx  , entonces     xTx
15. Sean 321 T,T,T tres transformaciones lineales de 2
R en 2
R , tales que:
i)     1211 ,;, genera al  1TKer
ii)   22 Imdimdim TTKer  .
iii)       301211 ,;,;, genera a 3TIm
a) Construya tres transformaciones que satisfagan las condiciones arriba mencionadas.
b) Encuentre la matriz asociada a cada transformación.
c) Dado   32  xNx/x,xU un conjunto de vectores de 2
R . Graficar los conjuntos:
  
  
  Uz/zTC
Uz/zTB
Uz/zTA



3
2
1
16. Sea WV:T  una transformación lineal de V en W , dim nV  ; dim mW  . Califique cada una
de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. En caso de ser verdadera demuéstrela y en
caso de ser falsa dé un contraejemplo:
a) 2
110
210
321











 TKerdimAT
b) 1
 Anm
c)       21212 vTvTvvVvvvTKerv 
d) TmTImdim  es uno a uno.
e) 855  nmTImdimTKerdim .
f)   mTAnmSi T  Imdim0det
17. Sean 4
V  y   jisia/MW ij   033 . Construya de ser posible:
a) WV:T 1 tal que



























 042 wzyx/
w
z
y
x
TKer
b) WV:T 2 tal que  332211332 aaa/MTIm  
c) WV:T 3 tal que 3T sea un isomorfismo.
18. Construya de ser posible una transformación lineal de P3 en P3 tal que:
a) Núcleo de       / 1 ' 1 0T p x p p  
b) Los polinomios xx 23 3
 y 14 2
x pertenecen a la Imagen de T

4. 19. Construya de ser posible una transformación Lineal 3
2 2: xT M  tal que Nuc(T)=S2x2.
20. Construya de ser posible un isomorfismo 22
RR:T  tal que mediante T, la recta xy  se convierta
en la recta xy 4 y   ),(,T 1111 
21. Construya de ser posible una transformación lineal 3 2
:T  tal que:
a) El núcleo de T sea el plano W que contiene a (1,2,3) y a (-1,1,1).
b) El recorrido de T sea la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta x.y 2503
22. Construya de ser posible una transformación lineal 3
2:T P tal que:
a)   02/,,  zyxzyxNucT
b)         01'12/Im pppxpT 
23. Construya de ser posible una transformación lineal de M3x2 en P3 tal que satisfaga las dos condiciones
siguientes:
a)  jiaMANucT ijx  ,0/23
b)  )1()0(2/)(Re 3 ppPxpcT 
24. Construya de ser posible una transformación lineal de M2x2 en P2 tal que satisfaga las dos condiciones
siguientes:
c)  jiaMANucT ijx  ,0/22
d)
4
2
0
Rec ( ) / ( ) 0T p x P p x dx
 
 
   
  

25. Construya de ser posible una transformación lineal 3
2:T P tal que:
a) T sea un isomorfismo
b)   xT 11,2,1 y    0,1,11 21

xxT
26. Construya de ser posible una transformación lineal 2
2 2: xT M tal que:
a) T sea inyectiva y 













53
21
5
23
i
i
T
b) ¿Podría construirse un isomorfismo entre estos espacios? Justifique
27. Construya de ser posible una transformación lineal 2
2 2: xT M  tal que:
c)  t
AAANucT  /
d) 




 








11
10
1
21
i
i
T
28. Sean 3
1 2:T P tal que         2
1 2,, xcbxcbcbacbaT  y
2222 : xMPT  tal que   








acca
baba
cxbxaT
2
22
2
a) Encuentre  12 TT 
b) Encuentre  12 TTNuc  ;  12Im TT 
c) Es  12 TT  un isomorfismo
d) Encuentre de ser posible   1
12

TT 
29. Sean T1, T2, T3, transformaciones lineales de R3
en R3
dadas por:
   zyx,z,yxz,y,xT 2221     zx,x,yxz,y,xT 2 123 TTT 
a) Encuentre la representación matricial de estas transformaciones con respecto a la base
      110011001 ,,,,,,,,
b) Determine el núcleo, nulidad y el recorrido de 3T .

5. 30. Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.
a. Sea :T V W una transformación lineal, Sea S un subespacio vectorial de V, entonces
 ( ) ( ),T S w W w T v v S    es subespacio de W
b. Existe un espacio vectorial V y existe un operador lineal :L V V tal que
Nu( ) Im( )L L
c. Sean V y W dos espacios vectoriales, :L V W una transformación lineal. Si
   Nu 0VL  , entonces    Im 0WL 
d. Sea L un operador lineal sobre un espacio finito dimensional V. Sea LA la representación
matricial de L respecto a una base B de V. Si L L
tA A , entonces L es un isomorfismo.
e.
31. Sean T1, T2, T3, transformaciones lineales de R2
en R2
, tales que T1 es una rotación positiva de
4
 ,
T2 es una expansión a lo largo del eje Y por un factor de 3, y T3 es una reflexión con respecto al eje
X. Sea 1234 TTTT  . Determine:
a) La representación Matricial de T4 con respecto a la base canónica y con respecto a {(1,1), (-1,1)}
b) Cuales de las cuatro transformaciones son isomorfismo.
32. Considere el espacio vectorial ( , , )V  donde
2
0
x
V y
y
  
    
  
1 2
1 2
1 2
1 2
3
2
x x
x x
y y
y y
  
               
 
y
3 3
2
2
x
x
yy
 

  
  
    
    
  
,  
Y sea el espacio vectorial
2
con las operaciones usuales.
a. Sea
2
:L V  tal que
5
3
1
x yx
L xy y
   
       
, ¿Es L una transformación lineal?
b. Construya, de ser posible, un operador lineal
2
:T V  tal que:
1 0 0 1
,
1 1 1 1
T T
       
        
       
33. Sea
3
2:T P  tal que  
( 1)
( ) (0)
(1)
p
T p x p
p
 
   
 
 
.
a. Determine el núcleo e imagen de T y sus respectivas bases.
b. Si T es invertible, calcule
1
T 
34. Sea L una transformación lineal de 2P en 2 2S  tal que:
     2 2
1 0 0 0 1 0
1 , 1 , 1
0 1 0 1 0 2
L x L x L x
     
          
     
a. Determine la regla de correspondencia de L.
b. Encuentre la matriz asociada a L en las bases:
 2 2
1 1, 1, 1B x x x    , 2
1 0 1 0 0 1
, ,
0 1 0 1 1 0
B
      
             