Fractura

1. Mec´anica Avanzada de Materiales:
Ejercicios Mec´anica de Fractura
Fractura, Griffith y NLFM
Soria Castro, Luis.
9 de octubre de 2012
1. Ejercicio Cartel
Un cartel de la carretera de 1 m de ancho y 0,8 m de alto est´a sostenido por un solo poste met´alico de
3,5 m de altura que est´a empotrado en la base. La secci´on del poste es un tubo circular, de di´ametro 0,1
m y espesor de 4 mm. El poste tiene una fisura horizontal a 0,5 m del piso que pasa a trav´es del espesor y
tiene un a longitud de 20 mm. El material tiene E = 70 GPa, ν = 0, 3, tensi´on de fluencia σy = 300 MPa. La
presi´on sobre el cartel se puede estimar en funci´on de la velocidad del viento como p = 0, 613v2
[Pa], con v
[m/s]. Se pide eval´ue para qu´e valor de presi´on de viento se propagar´a la fisura, considerando fractura fr´agil
Resoluci´on
Para que la fisura se propague, KI = KIC por lo cual necesitamos determinar la tensi´on actuante sobre
la localizaci´on de la fisura.
La presi´on que el viento (p) ejerce sobre el cartel se transforma en una fuerza (F), que se traduce en un
momento flector (M), que inducir´a una tensi´on (σf ) en el lugar donde se encuentra la fisura.
F = A ∗ p = 0, 8 · 0, 613 v2
[N]
F = 0, 4904 v2
[N]
La distancia de aplicaci´on de la fuerza F a la fisura es l = 3, 4 [m].
Proponiendo que el material del poste es aluminio 6061-T651 el mismo tiene un KIC = 29 [MPa
√
m].
Es posible despejar el valor m´ınimo de tensi´on para el cual se propaga la grieta.
KIC
√
πa
= σf =
29
0, 177245
= 163, 615 [MPa]
Entonces, de esto simplemente despejamos la velocidad del viento:
v =
σπD2
4 · 3, 4 · 0, 4904
= 3082, 8
m
s
2
= 52, 22 [
m
s
]
2. Ejercicio 3 de Griffith
Para la estructura bajo carga distribuida de la figura con fisura en el extremo (a) Encuentre el largo de
fisura en equilibrio (b) Determine la estabilidad.
1

2. 3 EJERCICIO 6 DE GRIFFITH 2
Resoluci´on
Analizando el problema y considerando que b << c, se puede hacer la analog´ıa con una viga en voladizo
(empotrada-libre) de longitud c, sometida a una carga distribuida de magnitud q.
Para la energ´ıa, tenemos;
Uviga =
1
2
ˆ
M χ dx (2.1)
considerando
χ =
M
EI
Luego de las tablas de vigas, obtenemos la expresi´on del momento flector (Mf (x) = qx2
2 ) y reemplazamos
en 2.1:
Uviga =
1
2
ˆ
M2
EI
dx =
1
2
q2
EI
ˆ c
0
x4
4
dx =
c5
40
q2
EI
Teniendo en cuenta que son dos labios de la fisura y adem´as debemos contar la energ´ıa de dos vigas:
UT OT = −2 · Uviga + US = −
c5
20
q2
EI
+ 2cγ (2.2)
Para encontrar el largo de fisura de equilibrio, derivamos una vez respecto de c, igualamos a cero y
despejamos la longitud:
∂UT OT
∂c
= 0 = −
c4
4
q2
EI
+ 2γ
c =
8EIγ
q2
1
4
con: I =
hb3
12
c =
3
4
Eb3
hγ
q2
1
4
Finalmente para evaluar la estabilidad realizamos la derivada segunda de 2.2
∂2
UT OT
∂c2
= −
c3
q2
EI
Que al ser negativa determina que la fisura es inestable.
3. Ejercicio 6 de Griffith
La estructura de la figura es un estado plano de deformaciones. Obtenga (a) Largo de la fisura en equilibrio
con las cargas aplicadas, (b) La estabilidad de la fisura. Considere que c >> b, de manera que la teor´ıa de
flexi´on de vigas es aplicable para computar las energ´ıas de la estructura.
Resoluci´on
Analizando el problema y considerando que b << c, se puede hacer la analog´ıa con una viga en voladizo
(empotrada-libre) de longitud c, sometida a una carga concentrada de magnitud P, ubicada en c
2 .
Luis Soria Castro

3. 4 EJERCICIO 15 3
Para la energ´ıa, tenemos la ec. 2.1. De las tablas de vigas, obtenemos la expresi´on del momento flector
(Mf (x) = P x − c
2 ), reemplazamos:
Uviga =
1
2
ˆ
M2
EI
dx =
1
2
P2
EI
ˆ c
0
x −
c
2
2
dx =
5
24
P2
c3
EI
Teniendo en cuenta que son dos labios de la fisura y adem´as debemos contar la energ´ıa de dos vigas:
UT OT = −2 · Uviga + US = −
5
24
P2
c3
EI
+ 2cγ (3.1)
Para encontrar el largo de fisura de equilibrio, derivamos una vez respecto de c, igualamos a cero y
despejamos la longitud:
∂UT OT
∂c
= −
5
4
P2
c2
EI
+ 2γ
c =
8
5
EIγ
P2
=
3
15
Ehb3γ
P2
Finalmente para evaluar la estabilidad realizamos la derivada segunda;
∂2
UT OT
∂c2
= −
5
2
P2
c
EI
La fisura es inestable.
4. Ejercicio 15
Un dep´osito de forma cil´ıdrica est´a sometido a una presi´on p = 19 [MPa]. La altura L del dep´osito es
de 6, 5 [m], el di´ametro es de 1, 6 [m], el espesor de la pared es h = 50 [mm]. Se ha descubierto una fisura
en sentido del meridiano (vertical) que atraviesa la pared del tanque, cuya longitud es 2c = 50 [mm]. Las
propiedades del material son E = 187 [GPa], poisson 0, 3, KIC = 90 [MPa
√
m].
(a) Use el factor de intensidad de tensiones para calcular la presi´on p requerida para producir fractura.
(b) Identifique la zona que ya alcanz´o plasticidad para la carga original de 19 MPa. Eval´ue r para la
direcci´on de la fisura y para un ´angulo a 90° de la direcci´on de la fisura.
(c) ¿Cu´anto vale la fuerza de extensi´on de la fisura, G?
Resoluci´on
(a) Considerando la tensi´on circunferencial, σθ = p·r
2h , y la definici´on del factor de intensidad de tensiones:
KIC = σ
√
πc =
p · r
h
√
πc ∴ p =
hKIC
r
√
πc
(4.1)
Resulta p = 20 [MPa].
(b) Zona plastificada
σp =
pr
h
=
19 · 0, 8
0, 05
= 304 [MPa]
→ KI = σp
√
πc = 85, 196 [MPa
√
m]
ry =
1
2π
KI
σy
= 0, 019651 [m]
A ser la grieta pasante, proponemos tensi´on plana;
r (θ) =
ry
2
1 +
3
2
sin2
θ + cos θ
determinando la zona plastificada, fig. 4.1.
(c) La fuerza de extensi´on de fisura;
G =
K2
I
E
= 43, 315 [kPa · m]
Luis Soria Castro

4. 5 EJERCICIO 16 4
Figura 4.1: Zona plastificada
5. Ejercicio 16
Un tanque de acero inoxidable AISI 403 tiene 4 m de di´ametro, espesor de la pared de 10 mm y est´a
sometido a presi´on interna. En una inspecci´on se ha encontrado una fisura en la cara externa del tanque que
penetra hasta 5 mm. Calcule cu´anto valen las presiones de falla de la fisura
(a) Considerando fractura fr´agil
(b) Considerando fractura d´uctil
Resoluci´on
(a) Considerando fractura fr´agil, empleamos el factor de intensidad de tensiones. Al ser una fisura no
pasante debemos tener en cuenta el factor λ, y suponer un estado plano de deformaciones.
Proponemos que la tensi´on que afecta a la fisura es la circunferencial, resulta en una ecuaci´on similar a
4.1.
KIC =
pr
h
√
πcf (λ) = 2, 83
pr
h
√
πc
El KIC = 77 [MPa
√
m], despejando p;
p =
hKIC
2, 83r
√
πc
= 1, 0854 [MPa]
σf =
pr
h
= 217, 08 [MPa]
(b) Considerando fractura d´uctil,
η = 1 +
1
2
σf
σy
2
= 1, 024
La presi´on considerando d´uctil es casi similar a la anterior, el problema ocurre como fractura fr´agil.
Luis Soria Castro