Este documento define el supremo y el ínfimo de un conjunto y estudia sus propiedades básicas. Explica que el supremo de un conjunto es el menor de los mayores elementos del conjunto, y que siempre existe el supremo de cualquier subconjunto acotado de los reales. También define el ínfimo como el mayor de los menores elementos, y estudia propiedades como la monotonicidad del supremo y el ínfimo y sus relaciones con operaciones aritméticas.

1. Supremo e n

2. mo de un conjunto
Objetivos. De

3. nir las nociones del supremo y del n

4. mo de un conjunto y estudiar sus
propiedades basicas.
Requisitos. Eje real extendido, cotas superiores e inferiores.
Supremo de un conjunto
1. De

5. nicion (supremo de un conjunto). Sea A R. Un elemento b 2 R se llama
supremo de A o cota superior exacta de A si b es la cota superior mnima de A, es decir,
el elemento mnimo del conjunto de todas las cotas superiores de A.
2. Unicidad del supremo. De la de

6. nicion esta claro que si existe un supremo de A,
entonces es unico.
3. Supremo del conjunto vaco. Encuentre el supremo del conjunto vaco.
4. Conjuntos no acotados superiormente. Un conjunto A R se llama no acotado
superiormente si su unica cota superior es +1. Cual es el supremo de un conjunto no
acotado superiormente?.
5. Existencia del supremo de cualquier subconjunto de R no vaco acotado
superiormente (sin demostracion). Cualquier conjunto A R no vaco y acotado
superiormente posee un unico supremo.
6. Corolario: existencia del supremo de cualquier subconjunto del eje real
extendido. Cualquier subconjunto A de R tiene un unico supremo.
Demostracion. Considerar varios casos:
1. +1 2 A.
2. A [1;+1), pero A no es acotado superiormente.
3. A = ?.
4. A = f1g.
5. A R, A6= ?, A es acotado superiormente.
6. A = f1g [ B, donde B R, B6= ?, B es acotado superiormente.
7. Descripcion del supremo mediante un sistema de dos condiciones. Un ele-
mento b 2 R es el supremo de un conjunto A R si y solo si se cumplen dos condiciones:
1. 8a 2 A a b.
2. 8c b 9a 2 A a c.
Supremo e n

7. mo de un conjunto, pagina 1 de 3

8. In

9. mo de un conjunto
8. Escriba la de

10. nicion del n

11. mo (notacion: inf) y los enunciados correspondientes.
9. Describa el n

12. mo de un conjunto mediante un sistema de dos condiciones.
Pasar al sup o al inf en desigualdades
10. Proposicion. Sean A R, b 2 R tales que
8a 2 A a b:
Entonces sup(A) b.
Demostracion. La hipotesis signi

13. ca que b es una cota superior de A. Pero sup(A) es la
menor de las cotas superiores de A.
11. Tambien es valida la proposicion recproca: si sup(A) b, entonces para cualquier
a 2 A se cumple la desigualdad a b.
12. Pasar al sup en desigualdades estrictas. Sean A R y b 2 R tales que
8a 2 A a b:
Que conclusion podemos hacer acerca de sup(A) y b?. Justi

14. que bien la respuesta.
13. Enuncie y demuestre proposiciones analogas para inf.
Condiciones sup(A) b, inf(A) b
14. Sean A R y b 2 R. Demuestre que
sup(A) b () 9a 2 A a b:
15. Sean A R y b 2 R. Determine si las siguientes dos condiciones son equivalentes o
no. Justi

15. que bien la respuesta.
(a) sup(A) b.
(b) 9a 2 A a b.
16. Enuncie y demuestre proposiciones analogas para inf.
Supremo e n

16. mo de un conjunto, pagina 2 de 3

17. Supremo e n

18. mo de la union de dos conjuntos
17. Sean A;B R. Entonces
sup(A [ B) = max
sup(A); sup(B)
; inf(A [ B) = min
inf(A); inf(B)
:
Monotonicidad del supremo y del n

19. mo
18. Sean A;B 2 R tales que A B. Entonces supA supB.
19. Sean A;B 2 R tales que A B. Entonces inf A inf B.
Supremo, n

20. mo y operaciones aritmeticas
20. De

21. nicion (operaciones aritmeticas con conjuntas). Sean A;B R. Entonces:
A + B := fc 2 R: 9a 2 A; 9b 2 B tales que c = a + bg;
AB := fc 2 R: 9a 2 A; 9b 2 B tales que c = abg:
Sean A R, b 2 R. Entonces:
A + b = b + A := A + fbg = fc 2 R: 9a 2 A tal que c = a + bg;
Ab = bA := Afbg = fc 2 R: 9a 2 A tal que c = abg;
A := (1) A = fc 2 R: 9a 2 A tal que c = ag:
21. Propiedades aritmeticas.
1. Si A R y b 2 R, entonces sup(b + A) = b + sup(A).
2. Si A;B R, A6= ?, B6= ?, entonces sup(A + B) = sup(A) + sup(B).
3. Si A R y b 0, entonces sup(bA) = b sup(A).
4. Si A R, entonces sup(A) = inf(A).
5. Si A R y b 0, entonces sup(bA) = b inf(A).
22. Ejercicio. Enuncie y demuestre propiedades similares del n

22. mo.
Supremo e n

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