Funciones hiperbólas, parabólas, elipces y circunferencia, características, gráficas forma de calcular

1. Bachiller:
Bustamante G. Jesús M
ITS Sistema SAIA
Barcelona, 2.014

2. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Son funciones cuyas definiciones
se basan en la función
exponencial, conectando
mediante operaciones
racionales y son análogas a
las funciones trigonométricas.
CARACTERISTICAS
En las ecuaciones hiperbólicas,
se acostumbra escribir el
modelo matemático que le
corresponde utilizando las
funciones hiperbólicas
DEFINIDAS
 L a función f: [R![R, definida por:
 f(x) = senh x = , x " R, se denomina
función seno hiperbólico.
 f(x) = cosh x = , x " R, se denomina
función coseno hiperbólico.
 f(x) = tgh x = , x " R, se llama
función tangente hiperbólico.
 f(x) = cotgh x = , x " 0, se llama
función cotangente hiperbólico.
 f(x) = sech x = , x " R, se llama
función secante hiperbólico.
 f(x) = cosch x = , x " 0, se llama
función cosecante hiperbólico

3. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
SENO HIPERBÓLICO:
El seno hiperbólico de un
número real x, que se
designa con sinh(x)
está definido mediante
la siguiente ecuación:
Donde ex es la función
exponencial.
Esta función, junto con el
coseno hiperbólico y la
tangente hiperbólica,
conforman unas reglas como
las trigonométricas
tradicionales, pero con
algunas excepciones. Entre
ellas:
 cosh2x−sinh2x=1
 tanh(x)=sinh(x)cosh(x)
 La función sinh(x) es una
función impar, ya que para
todo valor de x, se cumple
que sinh(−x)=−sinh(x)

4. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
 Dominio (−∞,+∞) Codominio (−∞,+∞)
 Imagen (−∞,+∞) Propiedades: Biyectiva,
Impar, Trascendente y Estrictamente creciente
 Límites
limx→−∞sinhx=−∞
limx→+∞sinhx=+∞
FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA

5. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
COSENO HIPERBÓLICO
El coseno hiperbólico de
un número real x, que se
designa mediante
cosh(x) está definido
mediante la fórmula:
Donde ex = exp(x) ,
siendo exp(x) la función
exponencial, es decir, la
potencia de base
irracional e y exponente
x.
Su inversa es el
Argumento Coseno
Hiperbólico de x, esto se
denota por cosh−1(x) o
bien argcosh(x)

6. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
 Dominio (−∞,+∞) Codominio [1,+∞)
 Imagen [1,+∞) Propiedades: Biyectiva
en el codominio, Par, Convexa, Trascendente
 Límites
limx→−∞coshx=+∞
limx→+∞coshx=+∞
FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA

7. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
COSENO HIPERBÓLICO
El coseno hiperbólico de
un número real x, que
se designa mediante
cosh(x) está definido
mediante la fórmula:
 Donde ex = exp(x) ,
siendo exp(x) la
función exponencial,
es decir, la potencia de
base irracional e y
exponente x .
 Su inversa es el
Argumento Coseno
Hiperbólico de x, esto
se denota por
cosh−1(x) o bien
argcosh(x)

8. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Dominio (−∞,+∞) Codominio [1,+∞)
Imagen [1,+∞) Propiedades: Biyectiva en el codominio,
Par, Convexa y Trascendente
Límites
limx→−∞coshx=+∞
limx→+∞coshx=+∞
FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA

9. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Si se sustituye de acuerdo
con las definiciones de
seno hiperbólico y
coseno hiperbólico, se
obtiene una fórmula
más directa para la
tangente hiperbólica, a
saber:
tanhx= ex−e−x
ex+e−x
TANGENTE HIPERBÓLICA
de un número real x se
designa mediante tanhx y
se define como el cociente
entre el seno hiperbólico y
el coseno hiperbólico del
número real x. La fórmula
es entonces:

10. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
 Dominio (−∞,+∞) Codominio (−1,1)
 Imagen (−1,1) Propiedades: Biyectiva en el
codominio, Impar, Estrictamente creciente y Trascendente
 Límites
limx→−∞tanhx=−1
limx→+∞ tanhx=1
FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA

11. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
OTRAS LÍNEAS:
 Cotangente hiperbólica
 Secante hiperbólica
 Cosecante hiperbólica

12. FUNCIONES PARABOLAS
También llamadas funciones
CUADRATICAS. Son
funciones polinómicas es
de segundo grado, siendo
su gráfica una parábola.
CARACTERISTICAS
 Las funciones cuya
ecuación es y = ax2 + bx +
c con a,b y c números y a
distinto de 0 (el valor de b y
c si puede ser 0) se llaman
cuadráticas y se
representan mediante
parábolas con su eje
paralelo al eje Y.
 Estas parábolas son más
o menos abiertas y con
las ramas hacia arriba o
hacia abajo, según cual
sea el valor de a:· Si a >
0, las ramas van hacia
arriba.· Si a < 0, las
ramas van hacia abajo.
 Además cuanto mayor
sea |a|, menos abierta es
la parábola.

13. FUNCIONES PARABOLAS
FORMA DE CALCULARLA
Se representar la función
cuadrática de ecuación y =
2x2 - 4x + 5
1º Calculamos las coordenadas
del vértice. Como a = 2, b =
- 4, c = 5, la abscisa del
vértice será -(-4/2 · 2)=1, la
ordenada del vértice se
obtendrá sustituyendo la
abscisa en la x de la
función: 2·12– 4 · 1 + 5 = 3.
Con lo cual el vértice tendrá
de coordenadas (1, 3) .
2º Determinamos puntos de
la parábola a izquierda y
derecha del vértice,
dando valores a x y
obteniendo los
correspondientes valores
de y, al sustituir la x en la
función por esos valores.
x -1 0 2 3
y 11 5 5 11

14. FUNCIONES PARABOLAS
3º Representamos
gráficamente esos puntos
obtenidos en el plano y
los unimos.
 El eje de simetría de la
parábola tiene por
ecuación x = 1. El punto
de intersección con el
eje de ordenadas es el
(0,5). No se corta con el
eje de abscisas porque
la ecuación 2x2 - 4x + 5
= 0
no tiene solución.

15. FUNCIONES ELIPSES
La elipse es el lugar
geométrico de todos los
puntos de un plano, tales
que la suma de las
distancias a otros dos
puntos fijos llamados
focos es constante.
CARACTERÍSTICAS
 La línea que une los dos
focos se llama eje
principal de la elipse A A' y
la mediatriz de los mismos
eje secundario P P'.
 Se llaman vértices de la
elipse a los puntos donde
ésta corta a sus ejes A
,A',B,B'
 El punto medio de los dos
focos se llama centro de
la elipse y la distancia
entre ellos se llama
distancia focal.
 Generalmente el eje
principal se representa
por 2a y la distancia focal
por 2c. Los valores a y c
se llaman semieje
principal y semidistancia
focal, respectivamente.

16. FUNCIONES ELIPSES
FORMA DE CALCULARLA
Por el teorema de Pitágoras:
Por definición de elipse:

17. FUNCIONES CIRCUNFERENCIA
Es una curva plana y
cerrada donde todos sus
puntos están a igual
distancia del centro y
coplanario llamado centro
en una cantidad
constante (radio).
CARECTERÍSTICAS
 Sólo posee longitud.
 La circunferencia de
centro en el origen de
coordenadas y radio se
denomina circunferencia
unidad o circunferencia
goniométrica.
 Se distingue del círculo
en que éste es el lugar
geométrico de los puntos
.
 La circunferencia es el
perímetro del círculo cuya
superficie contiene,
 La intersección de un
plano con una superficie
esférica puede ser: el
conjunto vacío (plano
exterior); o un solo punto
(plano tangente); o bien
una circunferencia, si el
plano secante pasa por el
centro, se llama ecuador

18. FUNCIONES CIRCUNFERENCIA
 La longitud de una
circunferencia es:
donde es la longitud del radio.
 (número pi), por definición,
es el cociente entre la
longitud de la circunferencia
y el diámetro:
 El área del círculo
delimitado por la
circunferencia es:
FORMA DE CALCULAR
 Ecuación en coordenadas
cartesianas: En un sistema
de coordenadas cartesianas
x-y, la circunferencia con
centro en el punto (a, b) y
radio r consta de todos los
puntos (x, y) que satisfacen
la ecuación
 Cuando el centro está en el
origen (0, 0), la ecuación
anterior se simplifica al

19. FUNCIONES CIRCUNFERENCIA
Ecuación de una circunferencia
se deduce:
resultando:
Si conocemos los puntos
extremos de un diámetro:
la ecuación de la
circunferencia es:
GRAFICA