Teoría de Conjuntos

2.  Un conjunto es una colección de elementos
bien determinada.
◦ colección :sinónimo de familia, clase, etc.
◦ elemento: Sinónimo de objeto, miembro, etc.
◦ bien determinada: significa que siempre es posible
determinar si un elemento pertenece o no al
conjunto

3.  Los conjuntos se representan usualmente
con letras mayúsculas: A,B,C,D,....
 A los elementos que forman parte del
conjunto se les denota con letras
minúsculas a,b,c,m,s,.....

4.  La relación entre conjunto y elemento es
la de pertenencia
 Escribimos y decimos: a A (el
elemento a pertenece al conjunto A)
 ……y en caso de que no pertenezca
escribimos: a  A ( a no pertenece a A)

5. b
a
B
A

6. Ventanal en el comedor del Gonville and Caius College, Cambridge,
conmemorando la estancia de Venn y su principal descubrimiento

7.  Los mejores cantantes del mundo
 Los hombres altos
 Los hombres
 Las chicas simpáticas
 Los perros dálmatas
 Los ganadores del premio Oscar

8.  Por descripción verbal
 Por extensión o listado
◦ Cuando se listan o especifican sus elementos
 Por comprensión
◦ Cuando se da la propiedad que verifican sus
elementos.  Predicados

9.  Descripción verbal:
◦ El conjunto de los 5 primeros ganadores de la
rifa de Fe y Alegría
 Extensión o Listado:
◦ A ={Luis, María, Pedro, Iván, José}
 Comprensión:
◦ A ={x / x es uno de los 5 primeros ganadores de
la rifa de Fe y Alegría}
◦ A ={x / P(x)}

10.  Dados los siguientes conjuntos:
◦ A ={1,2,3,4,5,6,7,8}
◦ B = {Luisa, Ana, Pedro}
 Diremos :
◦ 2  A
◦ Luisa  B
◦ 10  A
◦ Pedro  A

11. Luis
Ana
Pedro
1 2 3
4
5 6 7 8
B
A
1 2 3
4
5 6 7 8

12.  Decimos que A es subconjunto de B si dado
cualquier elemento del conjunto A, entonces
éste está en B.
 Esto lo escribimos como:
A  B  x : x  A  x  B
A
B

13.  Dados los siguientes conjuntos:
◦ A ={1,2,3,4,5,6,7,8}
◦ B = {2,4,6,8}
◦ C = {1,3,5,7}
 Diremos :
◦ B  A ( B subconjunto de A)
◦ C  A ( C subconjunto de A)
◦ C  B ( C no es subconjunto de B)

14.  Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo
si:
A  B y B  A
Es decir :
 A = B   x : (x  A  x  B y
x  B  x  A)

15.  Sean: A= {a,b } ; B= {a,b,c,d,e} ;
C = { {a,b },{c} }.
Diga si las siguientes aseveraciones son
Verdaderas o Falsas.
 { c}  B o { c}  A
 { c}  B y { c}  A
 c  A
 { c, d, a }  B
 { c}  C
 {a,b,c}  B
 {{a,b }}  C

16.  Dado un conjunto A, llamamos
complemento de A al conjunto formado
por todos los elementos que no
pertenecen a A
 A‘ = { x / x  A }

17.  Naturales :
N = {1, 2, 3, 4, 5, …………………..}
 Enteros:
Z = {……., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, ……}
 Racionales:
Q = { p/q , p y q enteros y q  0}
 Irracionales:
I = Q ’

18. Q
Z
N
I
Reales

19.  Definimos la unión de dos conjuntos A y B
a otro conjunto formado por los elementos
que pertenecen a cualquiera de los dos
conjuntos.
 A  B = { x / x  A  x  B }

20.  A = { a,b,c }
 B = { d, e }
 A  B = { a,b,c,d,e }
A B
A  B

21.  Definimos la intersección de dos
conjuntos A y B a otro conjunto formado
por los elementos que pertenecen a ambos
conjuntos.
 A  B = { x / x  A  x  B }

22.  A = { a,b,c, d, e }
 B = { d, e , f }
 A  B = {d, e }
A
B
A  B

23.  Definimos la diferencia de dos conjuntos
A y B a otro conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A y no
pertenecen a B
 A -B = { x / x  A  x  B }

24.  A = { a, b, c, d, e }
 B = { d, e , f }
 A - B = {a, b, c }
A
B
A
B
A - B

25.  A  A
(basta probar que x : x  A  x  A )
¿Cuándo es este condicional verdadero?
   A
(basta probar que x : x   x  A )
¿Cuándo es este condicional verdadero?
¿Cómo es el antecedente?
 (A ’) ’ = A
(Ver que esto es equivalente a probar ~ ~ P(x)  P(x) , siendo
P(x) : x  A

26.  Conmutativa :
◦ A  B = B  A y A  B = B  A
 Asociativa:
◦ A  (B  C) = (A  B)  C
◦ A  (B  C) = (A  B)  C
 Neutro para la Unión:
◦ A   = A

27.  Neutro para la intersección
◦ A  U = A
 Distributiva
◦ A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
◦ A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
 De Morgan
◦ (A  B) ’ = A ’ B ’
◦ (A  B) ’ = A ’ B ’

28. U
A
B
C
ABC

29. U
A
B
C
A- B

30. U
A
B
AB - AB

31. U
A
B
C C - AB

32. U
A
C
U - AC

33.  A continuación se dan una serie de
conjuntos definidos por comprensión.
Se pide definirlos por extensión .(Z es
el conjunto de números enteros)
◦ A = { x  Z / 3 < x  10}
◦ B = { x  Z / x  1  x  5 }
◦ C= { x  Z / x < 12  x  8 }
 Utilizando los conjuntos definidos en el
ejercicio anterior Encuentre:
a. A  C b. A  C c. B  C d. A  B

34. ¿Verdadero o falso? ….Justificar la respuesta
 { -2,0,2 } { -2,-1,1,2 }
 {2,5 }  { 0,1,2,3,4,5}
 Para cualquier conjunto A se verifica:
A  A
   
 { -7,4,9 }  { x / x es un número impar}