Teoría de grupos, álgebra abstracta, estructuras alfebráicas.

1. Apuntes sobre Subgrupos y el Teorema de
Lagrange
J. Armando Velazco
24 de junio de 2012

2. Captulo 1
Subgrupos
1.1. Subgrupos
De

3. nicion Sea (G; ) un grupo. Sea ;6= H G. Se dice que H es un subgrupo
si H es un grupo con respecto a la operacion en G. Se denotara por H G si
H es subgrupo de G. Ademas, si H G se dira entonces que H es un subgrupo
propio de G y se denotara por H G
Observacion Todo grupo G posee dos grupos llamados triviales feg y desde
luego, G mismo. En algunos textos son llamados tambien grupos impropios de
G.
De

4. nicion Un subgrupo H6= feg es un subgrupo minimal de G si no existe
un subgrupo no trivial J contenido en H. Un subgrupo H6= G es un subgrupo
maximal si H no esta contenido en otro subgrupo propio K de G.
Para ver si un conjunto H G es un subgrupo tenemos a nuestra disposicion
el siguiente
Teorema 1.1.1 Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si y
solo si:
i) H es cerrado bajo la operacion binaria en G.
ii) El elemento identidad e 2 G pertenece tambien a H.
iii) Para todo x 2 H se tiene que x1 2 H
Demostracion )) Es inmediato de la de

5. nicion de subgrupo.
() Como H debe ser un grupo en si mismo, vemos que al cumplirse las
condiciones i), ii) y iii) nos resta solo probar la asociatividad de la operacion:
como H G en particular se tiene que para todo x; y; z 2 H se cumple que
x (y z) = x (y z)
1

6. A menudo, podemos probar que un determinado conjunto H G es un
subgrupo mediante el siguiente
Teorema 1.1.2 Un subconjunto H es un subgrupo de un grupo G si H6= ; y
para todos x; y 2 H se tiene que x y1 2 H.
Demostracion Sea x 2 H, tal elemento existe pues H6= ; por hipotesis,
ademas, tenemos entonces que e = x x1 2 H. As, para todo y 2 H tenemos
que y = e y lo que implica que y1 2 H Por ultimo, resta probar la cerradura
de la operacion : Para ello considere que y = (y1)1 y por lo tanto para
x; y1 2 H tenemos que x (y1)1 = x y 2 H.
Corolario 1.1.3 Sea H6= ; un subconjunto de un grupo G

7. nito, entonces
H G si para todo x; y 2 H se tiene que x y 2 H.
Demostracion Por hipotesis H6= ; y H es cerrado bajo la operacion , enton-
ces tenemos que para algun x 2 H se cumple e = xk 2 H para algun k 2 N, pues
el grupo G es

8. nito. Mas aun, por la

9. nitud de G se tiene esto para cualquier
x 2 H. As, sin perdida de generalidad, tomando un x 2 H arbitrario tenemos
que xk1 = x1 2 H. Por lo tanto H es un subgrupo.
Como formar un subgrupo a partir de 2 subgrupos dados? de manera
natural se tiene el siguiente
Lema 1.1.4 Sean H G y K G entonces (H K) G.
Demostracion Por hipotesis H K6= ;, de la de

10. nicion de interseccion de
conjuntos es claro que 8x; y 2 H K se tiene que xy 2 H K y x1 2 H K.
A partir del lema anterior podemos a

11. rmar entonces que
Teorema 1.1.5 Sea Hi; i 2 N una familia de subgrupos de un grupo G. En-
tonces i2NHi es tambien un subgrupo. Mas aun esto es valido para cualquier
conjunto de ndices I.
Demostracion Inmediato, solo hay que veri

12. car las propiedades de un sub-
grupo.
2

13. Ejemplo El 4-grupo de Klein, usualmente denotado por V debido a su nombre
en aleman vierergrouppe es el siguiente:
V = fe; a; b; cg
Este grupo posee 3 subgrupos propios no triviales, desde luego, e denota al
elemento identidad:
fe; ag; fe; bg; fe; cg
A continuacion se muestra la tabla de grupo
e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Observe que en este grupo cada elemento es su propio inverso. Ademas, cada
subgrupo consta de solo 2 elementos: porque, por ejemplo, el conjunto fe; a; bg
no puede ser subgrupo? no puede ser subgrupo debido a que tal subconjunto
no es cerrado bajo la operacion de

14. nida en V . Como nota curiosa, podemos
decir que si en esta estructura de subgrupos se de

15. niera un orden mediante
la inclusion de conjuntos, vemos que tenemos una estructura

16. nita que posee
elementos no comparables entre si.
Probar que V mismo es un grupo es una tarea un tanto laboriosa: Probar la
asociatividad de la operacion involucra veri

17. car alrededor de 64 ecuaciones del
tipo x(yz) = (xy)z donde x; y; z 2 V . Sin embargo, hay una alternativa: probar
que V es un subgrupo del grupo de permutaciones S4.
1.2. Subgrupos Cclicos
De

18. nicion Sea G un grupo y y a 2 G. Se de

19. ne el orden de G, denotado por
jGj o por ord(G) como la cardinalidad del conjunto G. Se de

20. ne tambien el
orden de a, denotado por ord(a) como el menor n tal que
an = e
donde e es la identidad en G. Si tal n no existe, entonces se dice que ord(a) =
1
Si G es un grupo cualquiera, y a 2 G podemos obtener un subgrupo a partir de
a.
Teorema 1.2.1 El conjunto H = fan : n 2 Zg es un subgrupo de G.
Demostracion Sea m; n 2 Z entonces aman = am+n 2 H por lo que la opera-
cion esta bien de

21. nida. Es claro que a0 = e 2 H para toda a 2 H y por ultimo,
si an 2 H entonces an 2 H, por lo tanto H G.
3

22. De

23. nicion Si G es un grupo y a 2 G escribimos
hai = fan : n 2 Zg
Para denotar al subgrupo cclico de G generado por a. Un grupo G es llamado
cclico si existe a 2 G de tal modo que G = hai, caso en el cual a recibe el nombre
de generador de G.
Una pregunta interesante, al respecto, es cuantos elementos tiene el subgru-
po hai? Cuando el conjunto hai es

24. nito la respuesta es relativamente sencilla,
sin embargo, cuando el conjunto se torna in

25. nito se requiere un poco mas de
argumentos para dar la respuesta correcta.
Lema 1.2.2 Sea G un grupo, a 2 G. Si am = e entonces ord(a) j m.
Demostracion Sea m 2 N tal que am = e y ord(a) = n m. Entonces existen
q; r 2 N tales que
m = nq + r; q 1; 0 r n
As e = am = anq+r = (an)qar = ar
como r n y n := minfn 2 N : an = eg entonces r = 0 lo que implica que
n j m.
Teorema 1.2.3 Si H = hai entonces jHj = ord(a).
Demostracion Debemos considerar dos casos, para llevar a cabo la demostra-
cion:
caso I ord(a) = 1) Considere la siguiente funcion
' : Z ! G
i7! ai
As de

26. nida ' es una funcion inyectiva de Z en G. Sean i; j 2 Z sin perdida
de generalidad es posible suponer i j y tales que ai = aj entonces
aij = e , i j = 0
lo que es una contradiccion pues por hipotesis ord(a) = 1. Por lo tanto
jHj = 1.
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27. caso II ord(a) = n) Sean i; j 2 f0; 1; : : : ; n 1g tales que ai = aj . Sin perdida de generalidad
es posible suponer que i j. As, tenemos que
aij = e ) n j (i j)
Lo que unicamente ocurre si i = j Por lo tanto jHj = n
Ahora que conocemos los grupos cclicos, podemos decir algunas cosas acerca
de ellos, como por ejemplo
Teorema 1.2.4 Todo Grupo cclico es abeliano.
Demostracion Sea G un grupo cclico y sea a el generador, esto es
G = hai = fanjn 2 Zg
Entonces, si g1; g2 son dos elementos en G tenemos que g1 = ar; g2 = as para
algunos r; s 2 Z As tenemos entonces que:
g1g2 = aras = ar+s = as+r = asar = g2g1
Como g1; g2 son arbitrarios se tiene entonces que G es abeliano.
De manera natural se espera tambien que
Teorema 1.2.5 Si G es un grupo cclico y H G entonces H es cclico.
Demostracion Sin perdida de generalidad suponga que H6= feg, pues resul-
tara trivialmente cclico. Como H G entonces ak 2 H para algun k 2 Z+.
Sea m 2 Z+ el mnimo entero para el que se cumple que am 2 H y sea c = am.
Para cualquier b 2 H G tenemos que b = an para algun n. Ahora, por el
algoritmo de la division tenemos entonces que existen q; r 2 Z tales que
n = mq + r; 0 r m
entonces
an = amq+r = (am)qar
Por ser H G se tiene que
ar = (am)qan
lo que implica que ar 2 H, como 0 r m ) r = 0 ) n = mq es decir
b = (am)q = cq
Es decir, H es un grupo cclico en s.
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28. Como ultima parte de esta seccion se enuncia un teorema que describe la
estructura de los subgrupos de un grupo cclico

29. nito.
Teorema 1.2.6 Sea G un grupo cclico con n elementos y generado por a. Sea
b = as 2 G. Entonces, b genera un subgrupo cclico H de orden n=d donde
d = mcd(n; s) (maximo comun divisor de n y s). Ademas
hasi = hati , mcd(s; n) = mcd(t; n)
.
Corolario 1.2.7 Si a es un generador de un grupo G

30. nito, con jGj = n,
entonces los otros generadores de G tienen la forma ar donde mcd(r; n) = 1, es
decir n y r son primos relativos.
Ejemplo Pruebe que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces
HK = fhk j h 2 H; k 2 Kg en un subgrupo de G.
H y K son no vacos, por ser subgrupos, por lo tanto HK6= ; pues al menos
el elemento identidad se halla en HK. Ahora bien, sean h1k1; h2k2 2 HK; por
estar h2k2 2 G entonces (h2k2)1 = k1
2 h1
2 y ademas, por ser G abeliano
tenemos que
k1
2 h1
2 = h1
2 k1
2
Entonces, por la conmutatividad de la operacion en G:
(h1k1)(h2k2)1 = (h1k1)(k1
2 h1
2 ) = (h1h1
2 )(k1k1
2 ) 2 HK
Y as, HK es un subgrupo de G.
Ejemplo Pruebe que un grupo cclico con unicamente un generador puede tener
a lo mas dos elementos.
Suponga que G es generado por un elemento a6= e, donde e es la identidad.
G es

31. nito, pues, en el conjunto
a = fe; a; a2; : : : ; ak1g
Existe a1 = ak1 para algun k 2 N. Por de

32. nicion se tiene que
ak = ak1a = e
Y por lo tanto ord(G) = k 1. Por otro lado, se tiene tambien que
(a1)k1 = (ak1)1 = a
Como por hipotesis el generador en G es unico, se tiene entonces que
(a1)k1 = a ) k 1 = 1 , k = 2
Lo que implica que el ord(G) = 2, por supuesto, tomando en cuenta que a6= e.
En el caso en que a = e entonces ord(G) = 1.
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33. Ejemplo Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos
los elementos x 2 G tales que x2 = e forman un subgrupo de G. Generalice el
caso donde n 1 es un entero

34. jo y H = fx 2 G j xn = eg.
Se hara la demostracion cuando n 1 quedando el caso n = 2 como un
caso particular: H6= ; Pues al menos x = e 2 H. Por otro lado, sean x; y 2 H
entonces xn = e y yn = e. Es claro que, en particular, si y 2 H entonces y1 2 H
pues
(yn)1 = (y1)n = e
As, dado x; y 2 H se tiene que, por la conmutatividad de la operacion en G,
(xy1)n = xn(y1)n = (e)(e) = e
es decir, xy1 2 H.
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35. Captulo 2
El Teorema de Lagrange
2.1. Clases Laterales
Sea H un subgrupo de G, donde G puede ser de orden

36. nito o in

37. nito. Es
posible presentar una particion de G mediante H y la de

38. nicion de una relacion
de equivalencia, de la siguiente manera:
De

39. nicion Sea H G. Se de

40. ne la relacion siguiente L por
a L b , a1b 2 H
Analogamente, tenemos la de

41. nicion correspondiente para R dada por
a R b , ab1 2 H
Lema 2.1.1 L y R son, ambas, relaciones de equivalencia en G.
Demostracion Basta con ver que se cumple las propiedades de toda relacion
de equivalencia, por lo que solo se probara el caso de L pues el caso R es
completamente analogo, as, nuestra relacion debe ser:
i)Re
exiva: Sea a 2 G entonces a1a = e 2 H ) a L a
ii)Simetrica: Sea a L b entonces, por de

42. nicion a1b 2 H, dado que H G tenemos
que (a1b)1 2 H lo que implica entonces que b1a 2 H , b L a.
iii) Transitiva: Dado que H G tenemos entonces que si a1b 2 H y b1c 2 H entonces
(a1b)(b1c) 2 H , a L b; b L c ) a L c.
Sin perdida de generalidad se hablara de la relacion L haciendo notar que
todo lo que se diga al respecto sera valido tambien para la relacion R.
Como se mencionaba, la relacion L induce una particion de G: suponga
a 2 G entonces la celda que contiene a a consta de todos los x 2 G tales que
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43. a L x es decir, tales que a1x 2 H lo que implica x = ah para algun h 2 H,
en otras palabras, la celda de la que hablamos, puede ser representada por
fah j h 2 Hg
Lo que da lugar a la siguiente
De

44. nicion Sea H G, el subconjunto aH = fah j h 2 Hg de G es llamado
Clase lateral izquierda de H que contiene a a. Se de

45. ne de manera similar el
subconjunto Ha = fha j h 2 Hg de G como Clase lateral derecha de H que
contiene a a.
Dado que las clases laterales inducen una particion tenemos entonces que
Lema 2.1.2 Sean aH y bH dos clases laterales izquierdas, entonces, si aH
bH6= ; entonces aH = bH
Demostracion Claramente, si ah1 = bh2 ) a 2 bH y de igual manera se
tendra que b 2 aH por lo tanto aH = bH.
Teorema 2.1.3 Hay una correspondencia biyectiva entre dos clases laterales
izquierdas cualesquiera de H en G.
Demostracion Sea
' : aH ! bH
ah7! bh
Note que la cardinalidad de aH, denotada como jaHj, se mantiene constante
para cada a 2 G por lo que la aplicacion es claramente sobreyectiva La inyecti-
vidad de ' viene de que si bh1 = bh2 entonces, por la ley de cancelacion valida
en cualquier grupo, en particular en H se tiene que h1 = h2.
De

46. nicion El numero de clases laterales izquierdas se conoce como el ndice
de H en G y se denota por [G : H]
De lo anterior podemos inferir que si H G entonces
G =
[
a2G
aH
Cuando G 1, es decir, el orden es

47. nito, se tiene el interesante resultado
conocido como el teorema de Lagrange.
Teorema 2.1.4 (Teorema de Lagrange) Sea H G, con jGj 1 entonces
ord(G) = [G : H]ord(H)
es decir, ord(H) j ord(G).
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48. Demostracion Como ord(G) = n para algun n 2 N tenemos, en particular,
que
G =
[
a2G
aH ) jGj = j
[
a2G
aHj
Si ord(H) = m entonces tenemos que
ord(G) = n = rm = [G : H]ord(H)
Como una aplicacion inmediata del teorema de Lagrange tenemos los si-
guientes
Corolario 2.1.5 Todo grupo de orden primo es cclico.
Corolario 2.1.6 Sea G un grupo

49. nito y a 2 G entonces ord(a) j G.
Demostracion Considere el siguiente subgrupo H = fan j n 2 Zg, y aplicando
ahora el teorema de Lagrange tenemos el resultado.
Corolario 2.1.7 Si G es un grupo

50. nito y a 2 G entonces aord(G) = e.
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