Este documento describe la formulación variacional y de Galerkin de la ecuación de Poisson bidimensional. Primero introduce la motivación del trabajo, los espacios de Sobolev, el teorema de la traza y las fórmulas de Green. Luego presenta la formulación variacional de la ecuación de Poisson, definida como hallar la función que satisface una igualdad integral para cualquier función de prueba. Finalmente, define el espacio de Sobolev H1(Ω) y su norma asociada.

1. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
´ ´
FORMULACION DEBIL Y DE GALERKIN DE LA
´
ECUACION DE POISSON BIDIMENSIONAL.
EIDER YESID PERDOMO
UNIVERSIDAD DEL CAUCA
´
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y DE LA EDUCACION
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

2. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Formulaci´n variacional y de Galerkin de la ecuaci´n
o o
bidimensional de Poisson
1 Motivaci´n del trabajo.
o
2 Espacios de Sobolev.
3 Teorema de la traza y f´rmulas de Green.
o
4 Formulaci´n variacional y de Galerkin de la ecuaci´n de
o o
Poisson.

3. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Consideremos la ecuaci´n homog´nea de Poisson
o e
−∆w = f en Ω,
(EP)
w = 0 en ∂Ω,
¯
donde Ω es un dominio acotado en R2 y w : Ω → R es de clase
¯
C 2 (Ω).

4. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Consideremos la ecuaci´n homog´nea de Poisson
o e
−∆w = f en Ω,
(EP)
w = 0 en ∂Ω,
¯
donde Ω es un dominio acotado en R2 y w : Ω → R es de clase
¯
C 2 (Ω). Haciendo uso de la primera identidad de Green para
funciones suaves:
¯ ¯
Si v ∈ C 1 (Ω) y w ∈ C 2 (Ω), entonces
∂w
(IG ) v ∆w dxdy = − w· v dxdy + v ds.
Ω Ω ∂Ω ∂ν
se obtiene la forma integral de (EP).

5. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Consideremos la ecuaci´n homog´nea de Poisson
o e
−∆w = f en Ω,
(EP)
w = 0 en ∂Ω,
¯
donde Ω es un dominio acotado en R2 y w : Ω → R es de clase
¯
C 2 (Ω). Haciendo uso de la primera identidad de Green para
funciones suaves:
¯ ¯
Si v ∈ C 1 (Ω) y w ∈ C 2 (Ω), entonces
∂w
(IG ) v ∆w dxdy = − w· v dxdy + v ds.
Ω Ω ∂Ω ∂ν
se obtiene la forma integral de (EP).
¯
Se mulpilica por v ∈ C 1 (Ω) que satisface v = 0 en ∂Ω en la
primera ecuaci´n de (EP)
o
−(∆w )v = fv en Ω.

6. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Consideremos la ecuaci´n homog´nea de Poisson
o e
−∆w = f en Ω,
(EP)
w = 0 en ∂Ω,
¯
donde Ω es un dominio acotado en R2 y w : Ω → R es de clase
¯
C 2 (Ω). Haciendo uso de la primera identidad de Green para
funciones suaves:
¯ ¯
Si v ∈ C 1 (Ω) y w ∈ C 2 (Ω), entonces
∂w
(IG ) v ∆w dxdy = − w· v dxdy + v ds.
Ω Ω ∂Ω ∂ν
se obtiene la forma integral de (EP).
¯
Se mulpilica por v ∈ C 1 (Ω) que satisface v = 0 en ∂Ω en la
primera ecuaci´n de (EP)
o
−(∆w )v = fv en Ω.
Integrando sobre Ω en ambos lados de la igualdad anterior se
tiene
− (∆w )v = fv .
Ω Ω

7. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Aplicando (IG) en la igualdad anterior obtiene
∂w
w· v− v = fv .
Ω ∂Ω ∂ν Ω

8. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Aplicando (IG) en la igualdad anterior obtiene
∂w
w· v− v = fv .
Ω ∂Ω ∂ν Ω
¯
Como v ∈ C 1 (Ω) y v = 0 en ∂Ω se deduce
w· v= fv .
Ω Ω

9. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Aplicando (IG) en la igualdad anterior obtiene
∂w
w· v− v = fv .
Ω ∂Ω ∂ν Ω
¯
Como v ∈ C 1 (Ω) y v = 0 en ∂Ω se deduce
w· v= fv .
Ω Ω
o a ¯
De lo anterior, la soluci´n cl´sica w ∈ C 2 (Ω) de (EP) es
soluci´n del problema:
o
Hallar w ∈ X tal que:
w· v dxdy = fv dxdy ∀v ∈ X ,
Ω Ω
donde
¯
X := v ∈ C 1 (Ω) : v = 0 en ∂Ω

10. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Motivaci´n para la definici´n de derivada d´bil. Supongamos
o o e
∞
que v ∈ C 1 (Ω) y sea φ ∈ C0 (Ω). Haciendo uso de la integraci´n
o
por partes

11. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Motivaci´n para la definici´n de derivada d´bil. Supongamos
o o e
∞
que v ∈ C 1 (Ω) y sea φ ∈ C0 (Ω). Haciendo uso de la integraci´n
o
por partes
Teorema (Integraci´n por partes)
o
¯
Sea u, v ∈ C 1 (Ω). Entonces
∂v ∂u
u dxdy = − v dxdy + uv ν1 ds
Ω ∂x Ω ∂x ∂Ω
y
∂v ∂u
u dxdy = − v dxdy + uv ν2 ds
Ω ∂y Ω ∂y ∂Ω

12. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Motivaci´n para la definici´n de derivada d´bil. Supongamos
o o e
∞
que v ∈ C 1 (Ω) y sea φ ∈ C0 (Ω). Haciendo uso de la integraci´n
o
por partes
Teorema (Integraci´n por partes)
o
¯
Sea u, v ∈ C 1 (Ω). Entonces
∂v ∂u
u dxdy = − v dxdy + uv ν1 ds
Ω ∂x Ω ∂x ∂Ω
y
∂v ∂u
u dxdy = − v dxdy + uv ν2 ds
Ω ∂y Ω ∂y ∂Ω
se puede observar que
∂φ ∂v
v dxdy = − φdxdy
Ω ∂x Ω ∂x
y
∂φ ∂v
v dxdy = − φdxdy .
Ω ∂y Ω ∂y

13. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n
o
Sea v ∈ L2 (Ω). Decimos que v es diferenciable en el sentido d´bil,
e
si existen funciones w1 , w2 ∈ L2 (Ω) tales que
∂φ ∞
v dxdy = − w1 φdxdy ∀φ ∈ C0 (Ω) (1)
Ω ∂x Ω
y
∂φ ∞
v dxdy = − w2 φdxdy ∀φ ∈ C0 (Ω). (2)
Ω ∂y Ω

14. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n
o
Sea v ∈ L2 (Ω). Decimos que v es diferenciable en el sentido d´bil,
e
si existen funciones w1 , w2 ∈ L2 (Ω) tales que
∂φ ∞
v dxdy = − w1 φdxdy ∀φ ∈ C0 (Ω) (1)
Ω ∂x Ω
y
∂φ ∞
v dxdy = − w2 φdxdy ∀φ ∈ C0 (Ω). (2)
Ω ∂y Ω
Lema
Dada una funci´n v ∈ L2 (Ω), existe a lo m´s una funci´n
o a o
w1 ∈ L2 (Ω) y una funci´n w2 ∈ L2 (Ω) que verifican (1) y (2).
o

15. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n
o
Sea Ω un conjunto abierto y acotado de R2 . El espacio de Sobolev
H 1 (Ω) est´ definido por
a
∂v ∂v
H 1 (Ω) = v ∈ L2 (Ω) : , ∈ L2 (Ω) .
∂x ∂y

16. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n
o
Sea Ω un conjunto abierto y acotado de R2 . El espacio de Sobolev
H 1 (Ω) est´ definido por
a
∂v ∂v
H 1 (Ω) = v ∈ L2 (Ω) : , ∈ L2 (Ω) .
∂x ∂y
Definici´n
o
El espacio H 1 (Ω) est´ dotado del producto interior
a
u, v H 1 (Ω) = (uv + u· v ) dxdy
Ω
el cual induce la norma
2 2 2 2
u H 1 (Ω) = u L2 (Ω) + D1 u L2 (Ω) + D2 u L2 (Ω) .

17. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n
o
Sea Ω un conjunto abierto y acotado de R2 . El espacio de Sobolev
H 1 (Ω) est´ definido por
a
∂v ∂v
H 1 (Ω) = v ∈ L2 (Ω) : , ∈ L2 (Ω) .
∂x ∂y
Definici´n
o
El espacio H 1 (Ω) est´ dotado del producto interior
a
u, v H 1 (Ω) = (uv + u· v ) dxdy
Ω
el cual induce la norma
2 2 2 2
u H 1 (Ω) = u L2 (Ω) + D1 u L2 (Ω) + D2 u L2 (Ω) .
Proposici´n
o
El espacio H 1 (Ω) es un espacio de Hilbert con respecto a la norma
anterior.

18. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n (molificadores)
o
1 La funci´n η ∈ C ∞ (R2 ) est´ definida por
o a
1
Cexp
, si|w| < 1
|w|2 −1
η(w) :=
0, si|w| ≥ 1,
donde la constante C se selecciona de tal manera que
ηdxdy = 1.
R2

19. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n (molificadores)
o
1 La funci´n η ∈ C ∞ (R2 ) est´ definida por
o a
1
Cexp
, si|w| < 1
|w|2 −1
η(w) :=
0, si|w| ≥ 1,
donde la constante C se selecciona de tal manera que
ηdxdy = 1.
R2
2 Para cada ε > 0, se define la funci´n ηε ∈ C ∞ (R2 ) como
o
1 w
ηε (w) := 2 η ,
ε ε
donde su integral sobre R2 es igual a 1. Adem´s se puede demostrar
a
que
supp ηε ⊂ (B(0, 0), ε).

20. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o

21. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o

22. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n (Convoluci´n)
o o
Sean f ∈ L1 (R2 ) y g ∈ L1 (R2 ) con 1 ≤ p ≤ ∞. La funci´n
loc o
1 (R2 ), definida para casi todo x ∈ R2 como
h ∈ Lloc
h(x) = f (x − y )g (y )dy ,
R2
se denomina la convoluci´n de f y g y se denota por h = f ∗ g .
o
Proposici´n (2)
o
Sean f ∈ C0 (R2 ) y g ∈ L1 (R2 ) (k natural). Entonces
k
loc
f ∗ g ∈ C k (R2 ).
∞
En particular, si f ∈ C0 (R2 ) y g ∈ L1 (R2 ), entonces
loc
f ∗ g ∈ C ∞ (R2 )

23. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n
o
Si Ω ⊆ R2 es un conjunto abierto y ε > 0, se define el conjunto Ωε como
Ωε := {w = (x, y ) ∈ Ω : dist(w, ∂Ω) > ε} .

24. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n
o
Si Ω ⊆ R2 es un conjunto abierto y ε > 0, se define el conjunto Ωε como
Ωε := {w = (x, y ) ∈ Ω : dist(w, ∂Ω) > ε} .
Definici´n
o
Si f : Ω → R es localmente integrable, se define su molificaci´n
o
como
f ε := ηε ∗ f en Ωε ,
es decir
f ε (w1 ) := ηε (w1 − w2 )f (w2 ) dw2 ∀w1 ∈ Ωε
Ω
= ηε (w2 )f (w1 − w2 ) dw2 ∀w1 ∈ Ωε .
B((0,0),ε)

25. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Teorema
(Propiedades de los molificadores)
1 f ε ∈ C ∞ (Ωε ).
2 f ε → f c.t.p cuando ε → 0.
3 Si f ∈ L2 (Ω) entonces f ε → f en L2 (Ω).
Loc Loc
Teorema (2.3)
Supongamos que u ∈ H 1 (Ω) y sea u ε = ηε ∗ u en Ωε . Entonces
1 D1 u ε = ηε ∗ D1 u, D2 u ε = ηε ∗ D2 u en Ωε .
2
uε → u en 1
Hloc (Ω), cuando ε → 0.

26. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n (conjunto de clase C 1 )
o
Decimos que ∂Ω es de clase C 1 , si para todo z0 = (x0 , y0 ) ∈ ∂Ω,
existe r > 0 y una funci´n γ : R → R de clase C 1 tal que
o
V := Ω ∩ B(z0 , r ) = {z = (x, y ) ∈ B(z0 , r ) : y > γ(x)} .
y
V := ∂Ω ∩ B(z0 , r ) = {z = (x, y ) ∈ B(z0 , r ) : y = γ(x)} .

27. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Observaci´n (Aplanar la frontera)
o
Sean ∂Ω de clase C 1 , z0 = (x0 , y0 ) ∈ ∂Ω y V como en la
definici´n anterior. Definamos la funci´n Φ : R2 → R2 por
o o
Φ(z) = (x, y − γ(x)) ∀z = (x, y ) ∈ R2 .
Luego, para z = (x, γ(x)) ∈ ∂Ω ∩ B(z0 , r ) se tiene que
Φ(z) = Φ(x, γ(x)) = (x, 0).
Es decir,
Φ(∂Ω ∩ B(z0 , r )) = {(x, 0) : (x, γ(x)) ∈ B(z0 , r )} .
Por lo anterior se dice que Φ “aplana”la frontera ∂Ω cerca de z0 .

28. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Observaci´n (Aplanar la frontera)
o
Sean ∂Ω de clase C 1 , z0 = (x0 , y0 ) ∈ ∂Ω y V como en la
definici´n anterior. Definamos la funci´n Φ : R2 → R2 por
o o
Φ(z) = (x, y − γ(x)) ∀z = (x, y ) ∈ R2 .
Luego, para z = (x, γ(x)) ∈ ∂Ω ∩ B(z0 , r ) se tiene que
Φ(z) = Φ(x, γ(x)) = (x, 0).
Es decir,
Φ(∂Ω ∩ B(z0 , r )) = {(x, 0) : (x, γ(x)) ∈ B(z0 , r )} .
Por lo anterior se dice que Φ “aplana”la frontera ∂Ω cerca de z0 .

29. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Lema (2)
r
Sea Ω ⊆ R2 acotado de clase C 1 y V = Ω ∩ B(z, 2 ) . Sean
u∈H 1 (Ω), δ > 0. Para cada z = (x , y ) ∈ ∂Ω, existen r > 0,
0 0
v ε ∈ C ∞ (V ) tales que
vε − u H 1 (V ) ≤ δ.

30. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Lema (2)
r
Sea Ω ⊆ R2 acotado de clase C 1 y V = Ω ∩ B(z, 2 ) . Sean
u∈H 1 (Ω), δ > 0. Para cada z = (x , y ) ∈ ∂Ω, existen r > 0,
0 0
v ε ∈ C ∞ (V ) tales que
vε − u H 1 (V ) ≤ δ.
Definici´n (Partici´n de la Unidad)
o o
Sean V0 , V1 , V2 , ..., VN ⊆ R2 conjuntos abiertos y acotados. Una
partici´n de la unidad asociada a {Vi }N es un conjunto {ζi }N
o i=0 i=0
de funciones
N
ζi : V := Vi → R tales que
i=0
∞
1 ζi ∈ C0 (Vi ) para i = 1, ..., N.
N
2 ζi (x) = 1 ∀x ∈ V .
i=0

31. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Teorema (Densidad)
Sea Ω ⊆ R2 un conjunto acotado de clase C 1 . Supongamos que
u ∈ H 1 (Ω). Entonces existe um ∈ C ∞ (Ω) tal que
um → u en H 1 (Ω).

32. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Demostraci´n (esquema)
o
Sea δ > 0. Como primera medida buscamos v ∈ C ∞ (Ω) tal
que
u − v H 1 (Ω) < K δ.

33. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Demostraci´n (esquema)
o
Sea δ > 0. Como primera medida buscamos v ∈ C ∞ (Ω) tal
que
u − v H 1 (Ω) < K δ.
Se deduce que
N
ri
∂Ω ⊆ B zi , donde z1 , z2 , .., zN ∈ ∂Ω.
2
i=1

34. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Demostraci´n (esquema)
o
Sea δ > 0. Como primera medida buscamos v ∈ C ∞ (Ω) tal
que
u − v H 1 (Ω) < K δ.
Se deduce que
N
ri
∂Ω ⊆ B zi , donde z1 , z2 , .., zN ∈ ∂Ω.
2
i=1
Sea δ > 0. Por Lema 2, para cada zi ∈ ∂Ω existen ri > 0,
vi ∈ C ∞ (Vi ) tales que
vi − u H 1 (Vi ) ≤ δ,
donde
ri
Vi := Ω ∩ B zi ,
2

35. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
Dado V0 ⊂⊂ Ω tal que Ω ⊂ N Vi y por Teorema 2.3,
i=0
existe una funci´n v0 ∈ C ∞ (V0 ) tal que
o
v0 − u H 1 (V0 ) ≤ δ.

36. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
Dado V0 ⊂⊂ Ω tal que Ω ⊂ N Vi y por Teorema 2.3,
i=0
existe una funci´n v0 ∈ C ∞ (V0 ) tal que
o
v0 − u H 1 (V0 ) ≤ δ.
Se toma una partici´n de la unidad {ζi }N asociada a la
o i=0
familia de conjuntos abiertos {Vi }N y se deduce que
i=0
ζi vi ∈ C ∞ (R2 ).
As´
ı,
N
v := ζi vi ∈ C ∞ (R2 ).
i=0

37. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
Dado V0 ⊂⊂ Ω tal que Ω ⊂ N Vi y por Teorema 2.3,
i=0
existe una funci´n v0 ∈ C ∞ (V0 ) tal que
o
v0 − u H 1 (V0 ) ≤ δ.
Se toma una partici´n de la unidad {ζi }N asociada a la
o i=0
familia de conjuntos abiertos {Vi }N y se deduce que
i=0
ζi vi ∈ C ∞ (R2 ).
As´
ı,
N
v := ζi vi ∈ C ∞ (R2 ).
i=0
Sea v := v , as´ v ∈ C ∞ (Ω).
ı
Ω

38. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
N
Tomando u = ζi u, se tiene:
i=0
N N
v −u L2 (Ω) = ζi vi − ζi u
i=0 i=0 L2 (Ω)
N
≤ ζi vi − ζi u
L2 (Ω)
i=0
N
= ζi vi − ζi u L2 (Vi )
i=0
N
= ζi L2 (Vi ) vi − u L2 (Vi )
i=0
≤ K1 (N + 1)δ, K1 > 0.

39. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
a. Procediendo como antes deducimos que
∂v ∂u ∂
− = (v − u)
∂x ∂x L2 (Ω) ∂x L2 (Ω)
N N
∂
= ζi vi − ζi u
∂x
i=0 i=0 L2 (Ω)
N
∂
≤ ζi vi − ζi u
∂x L2 (Ω)
i=0
N
∂
= (ζi vi − ζi u)
∂x L2 (Vi )
i=0
N
∂
= [ζi (vi − u)] .
∂x L2 (Vi )
i=0

40. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
b.
N
∂v ∂u ∂ ∂ζi
− ≤ ζi (vi − u) + (vi − u)
∂x ∂x L2 (Ω) ∂x ∂x L2 (Vi )
i=0
N
≤ 2C vi − u H 1 (Vi )
i=0
N
≤ 2C δ
i=0
= K2 (N + 1)δ.

41. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
b.
N
∂v ∂u ∂ ∂ζi
− ≤ ζi (vi − u) + (vi − u)
∂x ∂x L2 (Ω) ∂x ∂x L2 (Vi )
i=0
N
≤ 2C vi − u H 1 (Vi )
i=0
N
≤ 2C δ
i=0
= K2 (N + 1)δ.
Razonando igual que en la anterior deducci´n se obtiene
o
∂v ∂u
− ≤ K3 (N + 1)δ.
∂y ∂y L2 (Ω)

42. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
Se deduce que para todo δ > 0 existe v ∈ C ∞ (Ω) tal que
u−v H 1 (Ω) ≤ K δ,
donde
K = m´x {K1 (N + 1), K2 (N + 1), K3 (N + 1)} .
a

43. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
Se deduce que para todo δ > 0 existe v ∈ C ∞ (Ω) tal que
u−v H 1 (Ω) ≤ K δ,
donde
K = m´x {K1 (N + 1), K2 (N + 1), K3 (N + 1)} .
a
1
Se toma en particular m ∈ Z+ cualquiera y se hace δ = m.
Luego, existe vm ∈ C ∞ (Ω) tal que
K
vm − u H 1 (Ω) ≤ .
m
Por lo tanto,
ım vm − u
l´ H 1 (Ω) = 0.
m→∞

44. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n
o
Sea Ω un conjunto abierto y acotado de R2 . El espacio de Sobolev
H 2 (Ω) esta definido por
∂v ∂v
H 2 (Ω) = v ∈ H 1 (Ω) : , ∈ H 1 (Ω) .
∂x ∂y

45. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n
o
Sea Ω un conjunto abierto y acotado de R2 . El espacio de Sobolev
H 2 (Ω) esta definido por
∂v ∂v
H 2 (Ω) = v ∈ H 1 (Ω) : , ∈ H 1 (Ω) .
∂x ∂y
Observaci´n
o
El espacio H 2 (Ω) es un espacio de Hilbert con la norma
2 2 2
v −u H 2 (V ) = v −u L2 (V ) + D1 v − D1 u L2 (V )
2 2
+ D2 v − D2 u L2 (V ) + D11 v − D11 u L2 (V )
+ D12 v − D12 u 2 2 (V ) + D21 v − D21 u 2 2 (V )
L L
2
+ D22 v − D22 u L2 (V ) .

46. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Teorema (Densidad en H 2 )
Sea Ω ⊆ R2 un conjunto abierto acotado de clase C 1 . Supongamos
que u ∈ H 2 (Ω). Entonces, existe um ∈ C ∞ (Ω) tal que
um → u en H 2 (Ω), cuando m → ∞.

47. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Teorema (Densidad en H 2 )
Sea Ω ⊆ R2 un conjunto abierto acotado de clase C 1 . Supongamos
que u ∈ H 2 (Ω). Entonces, existe um ∈ C ∞ (Ω) tal que
um → u en H 2 (Ω), cuando m → ∞.
Definici´n
o
El conjunto R2 esta definido por
+
R2 := (x, y ) ∈ R2 : y > 0
+

48. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Teorema (Densidad en H 2 )
Sea Ω ⊆ R2 un conjunto abierto acotado de clase C 1 . Supongamos
que u ∈ H 2 (Ω). Entonces, existe um ∈ C ∞ (Ω) tal que
um → u en H 2 (Ω), cuando m → ∞.
Definici´n
o
El conjunto R2 esta definido por
+
R2 := (x, y ) ∈ R2 : y > 0
+

49. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Proposici´n (pc)
o
Sea ∂Ω de clase C 1 . Entonces existe un n´mero finito de conjuntos
u
abiertos (χi )N de R2 tal que
i=0
N
χ0 ⊆ Ω, Ω⊆ χi .
i=0

50. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Proposici´n (pc)
o
Sea ∂Ω de clase C 1 . Entonces existe un n´mero finito de conjuntos
u
abiertos (χi )N de R2 tal que
i=0
N
χ0 ⊆ Ω, Ω⊆ χi .
i=0
Adem´s, si B es la bola unitaria, es decir:
a
B := (x, y ) ∈ R2 : (x, y ) < 1 ,
para todo i ∈ {1, .., N}, existe una funci´n biyectiva ψi tal que ψi ,
o
ψi−1 son de clase C 1 y
ψi (χi ∩ Ω) ⊆ B ∩ R2 = (x, y ) ∈ R2 : |x| < 1, y > 0 = B +
+
y
ψi (χi ∩ ∂Ω) ⊆ (x, y ) ∈ R2 : |x| < 1, y = 0 .

51. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n
o
Sea Ω un abierto de clase C 1 en R2 . Se define
L2 (∂Ω) := v : ∂Ω → R, |v |2 ds < +∞
∂Ω

52. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n
o
Sea Ω un abierto de clase C 1 en R2 . Se define
L2 (∂Ω) := v : ∂Ω → R, |v |2 ds < +∞
∂Ω
Nota (Equivalencia de normas)
L2 (∂Ω) es un espacio de Hilbert con la norma
1
2
2
v L2 (∂Ω) := |v | dx .
∂Ω

53. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Definici´n
o
Sea Ω un abierto de clase C 1 en R2 . Se define
L2 (∂Ω) := v : ∂Ω → R, |v |2 ds < +∞
∂Ω
Nota (Equivalencia de normas)
L2 (∂Ω) es un espacio de Hilbert con la norma
1
2
2
v L2 (∂Ω) := |v | dx .
∂Ω
Adem´s, si {χi }N es el cubrimiento garantizado por la proposici´n
a i=0 o
N
(pc) y {φi }i=0 es una partici´n de la unidad subordinada al
o
cubrimiento {χi }N , entonces la norma anterior es equivalente con
i=0
1
N 2
v ∗ := (φi v ◦ ψ −1 )(x, 0) 2
L2 (R) .
i=0

54. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Teorema (Desigualdad de trazas)
Sea Ω un abierto acotado de R2 con frontera ∂Ω de clase C 1 y sea
γ0 : C ∞ (Ω) −→ L2 (∂Ω)
tal que
γ0 (v ) := v .
∂Ω
Entonces, existe C > 0 tal que
γ0 (v ) L2 (∂Ω) ≤C v H 1 (Ω) ∀v ∈ C ∞ (Ω).

55. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Teorema (De la traza)
Sea Ω un conjunto abierto, acotado y tal que ∂Ω es de clase C 1 .
Entonces, existe un operador lineal acotado
γ0 : H 1 (Ω) → L2 (∂Ω)
tal que
γ0 (v ) = v ∀v ∈ C ∞ (Ω).
∂Ω
En particular, existe una constante C > 0 tal que
γ0 (v ) L2 (∂Ω) ≤C v H 1 (Ω) . ∀v ∈ H 1 (Ω).

56. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Teorema (De la traza)
Sea Ω un conjunto abierto, acotado y tal que ∂Ω es de clase C 1 .
Entonces, existe un operador lineal acotado
γ0 : H 1 (Ω) → L2 (∂Ω)
tal que
γ0 (v ) = v ∀v ∈ C ∞ (Ω).
∂Ω
En particular, existe una constante C > 0 tal que
γ0 (v ) L2 (∂Ω) ≤C v H 1 (Ω) . ∀v ∈ H 1 (Ω).
Observaci´n
o
El rango de la funci´n traza es denso en L2 (∂Ω), es decir, el
o
espacio
1
H 2 (∂Ω) := γ0 (u) = u : u ∈ H 1 (Ω)
∂Ω
es denso en L2 (∂Ω).

57. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Teorema (De la traza en H 2 (Ω))
Sea Ω un conjunto abierto, acotado y tal que ∂Ω es de clase C 1 .
Existe un operador lineal acotado
γ1 : H 2 (Ω) → L2 (∂Ω)
tal que
∂u ¯
γ1 (u) = si u ∈ H 2 (Ω) ∩ C (Ω),
∂ν ∂Ω
∂u
donde ∂ν = u · ν. En particular, existe una constante C > 0 tal
que
γ1 (u) L2 (∂Ω) ≤C u H 2 (Ω) ∀u ∈ H 2 (Ω).

58. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Teorema (De la traza en H 2 (Ω))
Sea Ω un conjunto abierto, acotado y tal que ∂Ω es de clase C 1 .
Existe un operador lineal acotado
γ1 : H 2 (Ω) → L2 (∂Ω)
tal que
∂u ¯
γ1 (u) = si u ∈ H 2 (Ω) ∩ C (Ω),
∂ν ∂Ω
∂u
donde ∂ν = u · ν. En particular, existe una constante C > 0 tal
que
γ1 (u) L2 (∂Ω) ≤C u H 2 (Ω) ∀u ∈ H 2 (Ω).
Definici´n
o
1
El espacio de Sobolev H0 (Ω) est´ definido como la clausura de
a
C0∞ (Ω) en H 1 (Ω).

59. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Observaci´n
o
Se puede demostrar que
1
γ0 (u) = 0 ∀u ∈ H0 (Ω).

60. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Observaci´n
o
Se puede demostrar que
1
γ0 (u) = 0 ∀u ∈ H0 (Ω).
Teorema (Integraci´n por partes)
o
Sea Ω un conjunto abierto, acotado, de clase C 1 . Si u, v son
funciones de H 1 (Ω), ellas satisfacen
∂v ∂u
u dxdy = − v dxdy + uv ν1 ds
Ω ∂x Ω ∂x ∂Ω
y
∂v ∂u
u dxdy = − v dxdy + uv ν2 ds,
Ω ∂y Ω ∂y ∂Ω
donde ν = (ν1 , ν2 ) es el vector normal unitario exterior a ∂Ω.

61. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Teorema
Sea Ω un conjunto abierto acotado de clase C 1 . Si u ∈ H 2 (Ω) y
v ∈ H 1 (Ω) entonces
1 (Primera identidad de Green)
∂u
v ∆udxdy = − ( u· v )dxdy + v ds.
Ω Ω ∂Ω ∂ν

62. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Teorema
Sea Ω un conjunto abierto acotado de clase C 1 . Si u ∈ H 2 (Ω) y
v ∈ H 1 (Ω) entonces
1 (Primera identidad de Green)
∂u
v ∆udxdy = − ( u· v )dxdy + v ds.
Ω Ω ∂Ω ∂ν
2 (Segunda identidad de Green)
∂u ∂v
(v ∆u − u∆v )dxdy = v −u ds.
Ω ∂Ω ∂ν ∂ν

63. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Condiciones de frontera Dirichlet
Inicialmente consideremos el siguiente problema con valor en la
frontera (pvf):
−∆u = f en Ω,
u = 0 en ∂Ω,
donde Ω es un conjunto abierto acotado de clase C 1 del espacio
R2 y la funci´n f ∈ L2 (Ω).
o

64. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Paso 1. Obtenci´n de la formulaci´n variacional. De forma
o o
similar a la que se hizo para (EP), deducimos la forma variacional
de (pvf) la cual queda determinada de la siguiente forma:
1
Encontrar u ∈ H0 (Ω) tal que
1
(fvd) ( u· v ) dxdy = fv dxdy ∀v ∈ H0 (Ω).
Ω Ω
B(u,v ) L(v )

65. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Paso 1. Obtenci´n de la formulaci´n variacional. De forma
o o
similar a la que se hizo para (EP), deducimos la forma variacional
de (pvf) la cual queda determinada de la siguiente forma:
1
Encontrar u ∈ H0 (Ω) tal que
1
(fvd) ( u· v ) dxdy = fv dxdy ∀v ∈ H0 (Ω).
Ω Ω
B(u,v ) L(v )

66. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Paso 2. Existencia y unicidad de la formulaci´n variacional.
o
Haciendo uso del teorema de Lax-Milgram:
Sea B : H × H → R una forma bilineal acotada y el´
ıptica.
Para todo f ∈ H , existe un unico u ∈ H tal que
´
B(u, v ) = f (v ) ∀v ∈ H.
Adem´s,
a
1
f H u ≤
α
donde α > 0 es la constante de elipticidad de B.

67. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Para probar la elipticidad de B es necesario el uso de la
1
desigualdad de poincar´ para funciones de H0 (Ω).
e

68. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Para probar la elipticidad de B es necesario el uso de la
1
desigualdad de poincar´ para funciones de H0 (Ω).
e
Proposici´n (Desigualdad de Poincar´)
o e
Sea Ω un conjunto abierto de R2 acotado. Entonces, existe una
1
constante C > 0 tal que para toda funci´n v ∈ H0 (Ω)
o
2 2
∂v ∂v
|v |2 dxdy ≤ C + dxdy .
Ω Ω ∂x ∂y

69. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Para probar la elipticidad de B es necesario el uso de la
1
desigualdad de poincar´ para funciones de H0 (Ω).
e
Proposici´n (Desigualdad de Poincar´)
o e
Sea Ω un conjunto abierto de R2 acotado. Entonces, existe una
1
constante C > 0 tal que para toda funci´n v ∈ H0 (Ω)
o
2 2
∂v ∂v
|v |2 dxdy ≤ C + dxdy .
Ω Ω ∂x ∂y
Observaci´n o
A partir de la desigualdad de Poincar´ se deduce que la norma
e
1
· H 1 (Ω) y la seminorma · L2 (Ω)2 son equivalentes en H0 (Ω). Es
decir √
u L2 (Ω)2 ≤ u H 1 (Ω) ≤ C + 1 u L2 (Ω)2 ,

70. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Paso 3. Equivalencia de ecuaciones. Supongamos que la
soluci´n del problema variacional (fvd) u ∈ H 2 (Ω) y Ω es de clase
o
C 1.
1
Para todo v ∈ H0 (Ω) de
∂u
( u· v )dxdy = − v ∆udxdy + v ds.
Ω Ω ∂Ω ∂ν

71. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Paso 3. Equivalencia de ecuaciones. Supongamos que la
soluci´n del problema variacional (fvd) u ∈ H 2 (Ω) y Ω es de clase
o
C 1.
1
Para todo v ∈ H0 (Ω) de
∂u
( u· v )dxdy = − v ∆udxdy + v ds.
Ω Ω ∂Ω ∂ν
Sustituyendo la anterior igualdad en (fvd) se deduce
1
− v ∆udxdy = fvdxdy ∀v ∈ H0 (Ω).
Ω Ω

72. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Paso 3. Equivalencia de ecuaciones. Supongamos que la
soluci´n del problema variacional (fvd) u ∈ H 2 (Ω) y Ω es de clase
o
C 1.
1
Para todo v ∈ H0 (Ω) de
∂u
( u· v )dxdy = − v ∆udxdy + v ds.
Ω Ω ∂Ω ∂ν
Sustituyendo la anterior igualdad en (fvd) se deduce
1
− v ∆udxdy = fvdxdy ∀v ∈ H0 (Ω).
Ω Ω
De lo anterior se obtiene
∞
(f + ∆u)vdxdy = 0 ∀v ∈ C0 (Ω),
Ω
lo cual implica
−∆u = f c.t.p en Ω.
1
Adem´s, puesto que u ∈ H0 (Ω) se tiene que u = 0 en ∂Ω.
a

73. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Se presenta a continuaci´n el Teorema cuya demostraci´n se
o o
obtiene teniendo en cuenta los tres pasos anteriores.
Teorema
Sean Ω un conjunto abierto acotado de R2 de clase C 1 y
f ∈ L2 (Ω). Existe una unica soluci´n u ∈ H0 (Ω) que satisface la
´ o 1
formulaci´n variacional
o
1
( u· v )dxdy = fvdxdy ∀v ∈ H0 (Ω).
Ω Ω
Adem´s, si asumimos que u ∈ H 2 (Ω), entonces u es soluci´n del
a o
problema de valor en la frontera
−∆u = f en Ω,
u = 0 en ∂Ω.

74. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Formulaci´n de Galerkin
o
Sea Hm ⊆ H un subespacio de dimensi´n finita m.
o
Consideramos el problema variacional de encontrar u ∈ H tal
que
B(u, v ) = L(v ) ∀v ∈ H (fvh)

75. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Formulaci´n de Galerkin
o
Sea Hm ⊆ H un subespacio de dimensi´n finita m.
o
Consideramos el problema variacional de encontrar u ∈ H tal
que
B(u, v ) = L(v ) ∀v ∈ H (fvh)
El esquema de Galerkin de la formulaci´n variacional anterior
o
queda determinado como: Encontrar um ∈ Hm tal que
B(um , vm ) = L(vm ) ∀vm ∈ Hm (fvg )

76. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Formulaci´n de Galerkin
o
Sea Hm ⊆ H un subespacio de dimensi´n finita m.
o
Consideramos el problema variacional de encontrar u ∈ H tal
que
B(u, v ) = L(v ) ∀v ∈ H (fvh)
El esquema de Galerkin de la formulaci´n variacional anterior
o
queda determinado como: Encontrar um ∈ Hm tal que
B(um , vm ) = L(vm ) ∀vm ∈ Hm (fvg )
La soluci´n de (fvg) se calcula resolviendo un sistema
o
matricial como se observa en el siguiente lema.

77. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Lema
Resolver el esquema de Galerkin es equivalente a resolver el
sistema:
Hallar α ∈ Rm tal que
Aα = L,
donde
A = (aij )m×m , α = (αj )m×1 , L = (li )m×1
y
m
um = αj ej .
j=1

78. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
Lema (Lema de C´a)
e
La soluci´n u de la formulaci´n variacional y la soluci´n um del
o o o
esquema de Galerkin satisfacen
M
u − um ≤ inf u − vm
ν vm ∈Hm

79. Motivaci´n del trabajo
o Espacios de Sobolev Teorema de la traza y f´rmulas de green
o formulaci´n variacional y de Galerkin
o
BIBLIOGRAF´
IA
Apostol, Tom. An´lisis Matem´tico. Editorial Revert´. Barcelona.1988.
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Gatica, N. Gabriel Algunos Aspectos B´sicos del M´todo de Elementos Finitos. Articulo Divulgativo.
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Gregoire, Allaire Numerical Analysis and Optimization. Oxford University Press Inc. New York. 2007.
Kolmogorov, A.N. Fomin, SV. Elementos de la Teor´ de Funciones y del An´lisis Funcional. Editorial
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Munkres, R. James. Analisys and Manifoilds. Addison Wesley. Redwood city. 1995.
Steinbach, Olaf. Numerical Approximation Methods for Elliptic Boundary Value Problems. Springer. New