Adaptación de los métodos de cálculo utilizados con maderas coníferas, al cálculo de columnas armadas de maderas latifoliadas.

1. Ing. Pilar Ibáñez
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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL VALLE
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL – Cochabamba 2003
ESTRUCTURAS DE MADERA
Otras formas de secciones transversales en columnas:
COLUMNAS ARMADAS
El diseño de piezas de sección transversal compuesta se encuentra extensamente
analizado en la norma alemana DIN 1052, que es uno de los trabajos más serios y mejor
documentados al respecto.
La norma chilena de cálculo de estructuras de madera se basa, en lo que a este tema
se refiere, en la norma alemana DIN 1052.
En este apunte adaptaremos los contenidos de estas dos normas, anteriormente
citadas, al cálculo con maderas latifoliadas de los grupos estructurales: A, B y C,
encontrando una manera de calcular estas estructuras que sea aplicable a la práctica en
nuestro medio.
a) CONCEPTOS PREVIOS
Coeficiente de pandeo: “” (omega)
Las normas alemana y chilena simplifican el procedimiento de dimensionamiento de
piezas a compresión, prescindiendo a la hora de los cálculos, de la clasificación de
columnas en cortas, intermedias y largas, de la siguiente manera:
Definen el coeficiente  como:
admisible
cII
N
fA
 (1)
O sea, como la carga (en Kg) admisible de la pieza al aplastamiento (como si fuera
una columna corta), dividida la carga admisible de la pieza considerada en cada caso como
columna corta, intermedia o larga según corresponda.
Teniendo en cuenta las fórmulas del texto base (Manual de diseño para maderas del
grupo andino), resulta entonces:
 En columnas cortas:
cIIadmisible fAN 

2. Ing. Pilar Ibáñez
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1


admisible
cII
N
fA

1 (2)
 En columnas intermedias:















4
3
1
1
ck
fAN cIIadmisible


















4
3
1
1
ck
fA
fA
cII
cII


















4
3
1
1
1
ck

 (3)
 En columnas largas:
2
329.0

AE
Nadmisible


2
329.0


AE
fA cII



E
fcII
329.0
2



 (4)
Las fórmulas anteriores de Nadm son dadas en el manual(*) para: secciones
rectangulares y para  = lef / b. Donde b es la dimensión de la sección que condiciona el
pandeo. Tabulando  = f (), podemos realizar el cálculo de Nadm para los 3 casos de la
siguiente manera:
 = lef / b  de tabla obtenemos   Nadm = fcII x A / 
(*) Manual de diseño para maderas del grupo andino.

3. Ing. Pilar Ibáñez
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Otra medida de la esbeltez.
Otra medida de la esbeltez está dada por la expresión:
i
lef
*
 (5)
Donde i es el radio de giro que condiciona el pandeo de la sección transversal:
A
I
i  (6)
I es el momento de inercia de la sección con respecto al eje que condiciona el pandeo y A
su área.
Si comparamos  con *, en una sección rectangular simple:
b
lef
i
lef


*
(Lef: longitud efectiva de pandeo, b:lado menor de una sección rectangular).
12
1212
23
*

b
b
bd
db
b
A
I
b
i
b


12
*



  12*
(7)
Se pueden traducir los límites de los tipos de columnas, dados por el Manual de diseño de
maderas para el grupo andino (para secciones rectangulares), a valores de *:

4. Ing. Pilar Ibáñez
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Tipo de
columna
Límite de
Esbeltez 
Grupo de
madera
Límites de esbeltez *
Cortas 10 A,B,C 1210*

64.34*

Intermedias ck 10 A 1298.1764.34 *
 
28.6264.34 *
 
B 1234.1864.34 *
 
53.6364.34 *
 
C 1242.1864.34 *
 
81.6364.34 *
 
Largas 50 ck A 125028.62 *
 
20.17328.62 *
 
B 125053.63 *
 
20.17353.63 *
 
C 125081.63 *
 
20.17381.63 *
 
Tabla Nº1: Valores límites de * para columnas cortas, intermedias y largas.
Gráficas de  = f ( * ).
Despejando de la expresión (7) el valor de  :
12
*

  (8)
Reemplazando (8) en las expresiones (3) y (4), tenemos:
 Para columnas intermedias:
















4
12
*
3
1
1
1
ck

 (9)

5. Ing. Pilar Ibáñez
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 Para columnas largas:
E
f
E
f cIIcII






95.3
*
12329.0
* 22

 (10)
Con las expresiones (2), (9) y (10) y los límites de la tabla (1) podemos graficar una curva
 = f ( * ) para cada grupo de madera:
w = f (lambda*)
0
2
4
6
8
10
12
14
0 50 100 150 200
Lambda
w
Grupo A
Grupo B
Grupo C
Gráfico Nº 1:  = f ( * ) para cada grupo de madera, calculadas según fórmulas del
Manual de diseño para maderas del grupo andino.
Comparación de los resultados anteriores con las normas chilenas y alemanas
La norma chilena posee una expresión para el cálculo de  función de *, y del tipo
de madera.
La norma alemana (1969) posee tabulado el valor de  en función de *, e
independiente del tipo de madera.
Con el Manual del grupo andino hemos deducido tres expresiones (col. cortas,
intermedias y largas) funciones de *, y el tipo de madera.
Comparando las 3 distintas curvas:

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0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 50 100 150 200 250
DIN
C
Chile C
Gráfico Nº 2 comparación de las curvas  = f ( * ), para maderas del grupo C
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 50 100 150 200 250
DIN
B
Chile B
Gráfico Nº 3 comparación de las curvas  = f ( * ), para maderas del grupo B

7. Ing. Pilar Ibáñez
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2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 50 100 150 200 250
A
DIN
Chile A
Gráfico Nº 4 comparación de las curvas  = f ( * ), para maderas del grupo A
Sacamos las siguientes conclusiones:
1. La norma DIN (1969), presenta valores de seguridad mayores que los
valores del Manual del grupo andino para la zona de columnas cortas e
intermedias (hasta un *=75) y valores de seguridad menores que los del
manual para la zona de columnas largas (*>75).
2. La norma chilena presenta valores de seguridad siempre mayores que los del
Manual, y con diferencias pequeñas entre ambas curvas.
Debido a las anteriores conclusiones, a que el manual de diseño presenta los valores de 
válidos solo para secciones rectangulares, y a que la norma chilena considera los valores de
 válidos también en el caso de columnas de secciones armadas, adoptaremos los valores
de  calculados con la fórmula de la norma chilena, y con las propiedades mecánicas de las
maderas del grupo andino.
De esta manera se queda del lado de la seguridad, y se calcula con una seguridad al pandeo
que es coherente con el procedimiento que se utilizará.

8. Ing. Pilar Ibáñez
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TABLAS DE COEFICIENTES  (calculados según la norma chilena con las
propiedades mecánicas de las maderas del grupo andino)
GRUPO
A
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,03 1,04 1,05 1,05
10 1,06 1,07 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14
20 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,21 1,22 1,23 1,25 1,26
30 1,28 1,30 1,31 1,33 1,35 1,37 1,39 1,41 1,43 1,46
40 1,48 1,51 1,53 1,56 1,59 1,61 1,64 1,68 1,71 1,74
50 1,77 1,81 1,84 1,88 1,92 1,96 2,00 2,04 2,08 2,12
60 2,17 2,21 2,26 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50 2,55 2,60
70 2,66 2,71 2,77 2,82 2,88 2,94 3,00 3,05 3,12 3,18
80 3,24 3,30 3,37 3,43 3,50 3,56 3,63 3,70 3,77 3,84
90 3,91 3,98 4,05 4,13 4,20 4,27 4,35 4,43 4,50 4,58
100 4,66 4,74 4,82 4,90 4,98 5,07 5,15 5,24 5,32 5,41
110 5,49 5,58 5,67 5,76 5,85 5,94 6,03 6,13 6,22 6,31
120 6,41 6,50 6,60 6,70 6,80 6,90 7,00 7,10 7,20 7,30
130 7,40 7,51 7,61 7,71 7,82 7,93 8,03 8,14 8,25 8,36
140 8,47 8,58 8,70 8,81 8,92 9,04 9,15 9,27 9,39 9,50
150 9,62 9,74 9,86 9,98 10,10 10,23 10,35 10,47 10,60 10,72
160 10,85 10,97 11,10 11,23 11,36 11,49 11,62 11,75 11,88 12,02
170 12,15 12,29 12,42 12,56 12,69 12,83
Tabla Nº1: coeficientes  para maderas del grupo A.
GRUPO
B
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,03 1,04 1,05 1,05
10 1,06 1,07 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,11 1,12 1,13
20 1,14 1,15 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,23 1,24 1,26
30 1,27 1,29 1,31 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44
40 1,47 1,49 1,52 1,54 1,57 1,60 1,62 1,65 1,68 1,71
50 1,75 1,78 1,81 1,85 1,89 1,92 1,96 2,00 2,04 2,08
60 2,12 2,17 2,21 2,25 2,30 2,35 2,39 2,44 2,49 2,54
70 2,59 2,64 2,70 2,75 2,81 2,86 2,92 2,97 3,03 3,09
80 3,15 3,21 3,27 3,34 3,40 3,46 3,53 3,59 3,66 3,73
90 3,79 3,86 3,93 4,00 4,07 4,15 4,22 4,29 4,37 4,44
100 4,52 4,59 4,67 4,75 4,83 4,91 4,99 5,07 5,15 5,24
110 5,32 5,40 5,49 5,58 5,66 5,75 5,84 5,93 6,02 6,11
120 6,20 6,29 6,38 6,48 6,57 6,67 6,76 6,86 6,96 7,05
130 7,15 7,25 7,35 7,45 7,56 7,66 7,76 7,87 7,97 8,08
140 8,18 8,29 8,40 8,51 8,62 8,73 8,84 8,95 9,06 9,18
150 9,29 9,40 9,52 9,64 9,75 9,87 9,99 10,11 10,23 10,35
160 10,47 10,59 10,71 10,84 10,96 11,09 11,21 11,34 11,47 11,59
170 11,72 11,85 11,98 12,11 12,25 12,38
Tabla Nº2: coeficientes  para maderas del grupo B.

9. Ing. Pilar Ibáñez
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GRUPO
C
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,03 1,04 1,05 1,05
10 1,06 1,07 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,11 1,12 1,13
20 1,14 1,15 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,23 1,24 1,26
30 1,27 1,29 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44
40 1,46 1,49 1,51 1,54 1,56 1,59 1,62 1,65 1,68 1,71
50 1,74 1,77 1,81 1,84 1,88 1,92 1,95 1,99 2,03 2,07
60 2,11 2,16 2,20 2,24 2,29 2,33 2,38 2,43 2,48 2,53
70 2,58 2,63 2,68 2,74 2,79 2,85 2,90 2,96 3,02 3,07
80 3,13 3,19 3,25 3,32 3,38 3,44 3,51 3,57 3,64 3,70
90 3,77 3,84 3,91 3,98 4,05 4,12 4,19 4,26 4,34 4,41
100 4,49 4,56 4,64 4,72 4,80 4,88 4,96 5,04 5,12 5,20
110 5,28 5,37 5,45 5,54 5,62 5,71 5,80 5,89 5,98 6,07
120 6,16 6,25 6,34 6,43 6,53 6,62 6,72 6,81 6,91 7,01
130 7,10 7,20 7,30 7,40 7,50 7,61 7,71 7,81 7,92 8,02
140 8,13 8,23 8,34 8,45 8,56 8,66 8,77 8,89 9,00 9,11
150 9,22 9,34 9,45 9,57 9,68 9,80 9,92 10,03 10,15 10,27
160 10,39 10,51 10,64 10,76 10,88 11,01 11,13 11,26 11,38 11,51
170 11,64 11,77 11,89 12,02 12,15 12,29
Tabla Nº3: coeficientes  para maderas del grupo C.
Aquí termina el punto a) de conceptos previos. Ahora se desarrollará el tema de columnas
armadas.
b) COLUMNAS ARMADAS
Al igual que en vigas, con el fin de economizar material o para usar escuadrías
pequeñas (más fáciles de encontrar en el comercio) se usan columnas armadas.
Las columnas armadas pueden ser divididas en dos grupos:
 Barras de secciones sin espaciamiento:
Figura 1: Secciones transversales sin espaciamiento.

10. Ing. Pilar Ibáñez
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Las columnas del primer tipo (barras sin espaciamiento) se caracterizan porque los dos ejes
principales de inercia cortan, a lo largo de su línea, material de la sección transversal de la
pieza.
 Barras con espaciamiento:
Figura 2: Secciones transversales con espaciamiento.

11. Ing. Pilar Ibáñez
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Las columnas del segundo tipo (barras con espaciamiento) se caracterizan porque
solo uno de los dos ejes principales de inercia corta a lo largo de su línea material de la
sección transversal de la pieza, a este eje se lo llama eje material (eje y-y en la figura 2). El
otro eje de inercia no corta el área de la sección transversal y se denomina eje inmaterial.
(eje x-x en la figura 2).
b.1) CÀLCULO DE LAS SECCIONES SIN ESPACIAMIENTO
b.1.1) Solicitadas a compresión simple
Para piezas unidas flexiblemente:
 En piezas no espaciadas con secciones transversales según figura 1, la
verificación del pandeo con respecto al eje x-x se debe realizar considerando
el momento de inercia eficaz (calculado en forma análoga a lo establecido
en vigas armadas):
   2
_ ixiixefxx aAII  (11)
 En piezas no espaciadas con secciones transversales según tipos 1 y 4, la
verificación del pandeo según el eje y-y, se debe realizar considerando un
momento de inercia de sección homogénea (Ief=Irigido):
 iyyy II (12)
 Para los tipos de sección transversal 2 y 3, la verificación del pandeo según
el eje y-y, se debe realizar considerando el momento de inercia eficaz
(calculado en forma análoga a lo establecido en vigas armadas):
   2
_ iyiiyefyy aAII  (13)
Para piezas unidas rígidamente (encoladas), el momento de inercia se considera, como el de
una sección homogénea con respecto a ambos ejes (Ief=Irigido):
   2
ixiixxx aAII (14)
   2
iyiiyyy aAII (12)
En las expresiones establecidas para k, en lugar de la luz (l), se debe incorporar la longitud
de pandeo (lef) correspondiente. Los valores del módulo de corrimiento (c) de los
elementos de unión, con la tabla Nº41.

12. Ing. Pilar Ibáñez
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k

1
1
 (15)
para secciones del tipo 1,2 y 3
Cl
sAE
k
ef 

 2
1
2
´
(16)
para secciones del tipo 4
)(
´
21
2
21
2
AACl
sAAE
k
ef 



(17)
Las expresiones (11) a (17) son en todo análogas a las estudiadas para vigas armadas
unidas rígida y flexiblemente.
Con el valor del momento de inercia I, que corresponda en cada caso, se encuentra el valor
de λ*ef con la expresión:
A
I
l
ef
ef
ef * (18)
Con el valor de λ*ef se extrae de las tablas 1,2 o 3 el valor del coeficiente , al que
llamaremos ef.
Se calcula el valor de Nadm, despejando de la (1):
admisible
cII
ef
N
fA
 (1)
ef
cII
adm
Af
N


 (19)
Por último para piezas unidas flexiblemente deben diseñarse los elementos de unión. Estos
elementos de unión se diseñan suponiendo un esfuerzo de corte Qi dado por norma:
60
N
Q
ef
i



(20)
Donde N: es la mayor fuerza de compresión actuante sobre la barra.
Si λ*ef < 60, se puede reducir el valor de Qi, multiplicándolo por el factor λ*ef / 60. La
reducción máxima será sin embargo de 0,5.

13. Ing. Pilar Ibáñez
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El cálculo del flujo de cizalle máximo y del espaciamiento requerido entre los elementos de
unión se realiza de acuerdo con la expresión utilizada en el capítulo de vigas armadas.
b.1.2) Solicitadas a compresión excéntrica
Las barras, cuya fuerza de compresión actúa excéntricamente con brazo conocido y
en un plano determinado, o bien, cuyos ejes en estado no solicitado presentan una curvatura
de plano y magnitud conocidos, o las barras que aparte de una fuerza de compresión quedan
solicitadas además en forma transversal al eje, equivalen a barras comprimidas
excéntricamente en un plano.
Para barras de este tipo, según la norma Din 1052, se hacen las verificaciones
siguientes:
tIIc
m
tIIc
nn
f
f
f
Z
M
A
N
,
,
 (21) (sin tener en cuenta el pandeo)
El subíndice n se refiere a la sección no debiltada.
cII
m
cIIef
f
f
f
Z
M
A
N


(22) (teniendo en cuenta el pandeo)
Habrá que poner siempre el valor máximo de  sin tener en cuenta la dirección de la flecha.
En barras unidas flexiblemente la magnitud de la tensión de flexión se calculará según lo
estudiado en el tema de vigas armadas flexiblemente (ff1 y ff2), bajo la consideración del
momento de inercia eficaz.
b.2) SECCIONES CON ESPACIAMIENTO
Este tipo de columnas se utilizan poco en nuestro medio. Por otro lado normativamente no
se admite que estén sometidas a flexión, siempre deben quedar sometidas a compresión
simple, lo que restringe su uso. No se desarrollará su cálculo en este apunte, quedando
como bibliografía de referencia para este tema la norma DIN 1052.