Racionales

FraccionesFracciones
10/12/17
2
IndexIndex
1. Términos de un fracción
2. Equivalencia de fracciones
3. Ampliación y simplificación de fracciones
4. Fracciones con el numerador mayor que el denominador
5. Reducción de fracciones a común denominador
6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador
7. Comparación de fracciones
8. Suma y resta de fracciones
9. Multiplicación de fracciones
10. Fracciones inversas y opuestas
11. División de fracciones
12. Resolución de problemas

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3
Las fracciones representan partes de una unidad.
Constan de dos términos:
 El numerador, que indica las partes iguales que
se toman de la unidad.
El denominador, que indica las partes iguales en
que se divide la unidad.
1. Términos de una fracción1. Términos de una fracción

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4
En las figuras:
La parte coloreada de azul es la misma, luego
15
6
5
2
=
15
6
5
2
1 2 3 4 5 3 6 9 1215
Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo.
4,0
5
2
=
4,0
15
6
=
Dos fracciones son equivalentes si los
productos del numerador de cada una de ellas
por el denominador de la otra son iguales.
También podemos observar que:
2 · 15 = 5 · 6
15
6
5
2
=
Los productos cruzados son iguales
cbda
d
c
b
a
·· =⇔=
2. Fracciones equivalentes (I)2. Fracciones equivalentes (I)

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5
Observa las partes coloreadas de naranja que se representan:
8
6
y
4
3
indican lo mismo.
4
3
8
6
8
6
y
4
3
están en el mismo punto de la recta numérica.
0 1
3 : 4 = 0,75
6 : 8 = 0,75 8
6
y
4
3
dan el mismo cociente.
4
3
de 16 = 12
8
6
de 16 = 12
8
6
y
4
3
actúan sobre un número de la misma manera.
Cuando dos fracciones son equivalentes:
Indican lo mismo. Se representan en el mismo punto de la recta numérica.
Dan el mismo cociente. Actúan de la misma forma sobre un número.
2. Fracciones equivalentes (II)2. Fracciones equivalentes (II)

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6
Fíjate en las 64 casillas del tablero de ajedrez.
Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada una
de ellas por el denominador de la otra son iguales.
Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada una
de ellas por el denominador de la otra son iguales.
8
2
16
4
=
¿Qué parte del tablero ocupan las 16 figuras
blancas?
Puedes decirlo de muchas maneras:
64
16
32
8
16
4
8
2
4
1
Observa:
32
8
64
16
= 5128643216 =×=×
16
4
32
8
= 128432168 =×=×
Vamos a comprobar que estas fracciones son equivalentes mediante la
regla de los productos cruzados.
4 × 8 = 16 × 2
2. Cómo comprobar si dos fracciones son equivalentes2. Cómo comprobar si dos fracciones son equivalentes

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7
Observa las fracciones:
16
12
32
24
...
4
3
4:16
4:12
8
6
2:16
2:12
16
12
====
Multiplicando sus términos por un mismo número.
...
48
36
316
312
32
24
216
212
16
12
=
×
×
==
×
×
=
48
36
Las fracciones ...,
48
36
,
32
24
son fracciones ampliadas de
16
12
equivalentes a
16
12
Observa estas otras fracciones:
Las fracciones ...,
4
3
,
8
6
son fracciones reducidas de
16
12
equivalentes a
16
12
Podemos obtener fracciones equivalentes a una fracción:
Dividiendo sus términos por un mismo número.
(Este número debe ser distinto de cero.)
3. Ampliación y simplificación de fracciones (I)3. Ampliación y simplificación de fracciones (I)

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8
Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que se representan:
2
1
6
3
4
2
Las fracciones
6
3
y
4
2
son fracciones ampliadas de
2
1
y equivalentes a ella.
Observa:
16
12
8
6
4
3
Las fracciones
4
3
y
8
6
son fracciones reducidas de
16
12
y equivalentes a ella
Es evidente que:
4
3
4:16
4:12
8
6
2:16
2:12
16
12
==== Fracción irreducible:
no se puede reducir más.
Si multiplicamos o dividimos los términos de una fracción por
un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la dada.
Son equivalentes:
3
1
6:18
6:6
54
18
36
12
18
6
====
irreducible
3. Ampliación y simplificación de fracciones (II)3. Ampliación y simplificación de fracciones (II)

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9
En la figuras siguientes, las partes coloreadas de azul son iguales.
Las fracciones que representan son equivalentes.
16
12
8
6
Este proceso se denomina simplificación de fracciones.
Observa que:
16
12
Ejemplo:
5
3
40
24
400
240
==
8
6
2:16
2:12
==
4
3
4:16
4:12
==
4
3
16
12
Hemos transformado la fracción en ,
4
3
que es equivalente a ella e irreducible.
Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente e irreducible. Para ello
se dividen los dos términos de la fracción por todos los divisores comunes de ambos.
Dividiendo por 8
Dividiendo por 10
3 y 5 son primos entre sí.
3. Simplificación de fracciones3. Simplificación de fracciones

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10
Las 22 fotos de igual tamaño ocupan mas de 2 hojas del álbum.
Otro ejemplo:
9
4
En concreto, 2 hojas completas y de otra.
9
4
2Esto se puede escribir así:
Si observamos que cada foto ocupa un noveno de hoja, una hoja completa
será
9
9
Por tanto:
9
9
9
9
9
4
+ + =
9
22
=
9
4
2
Para convertir una fracción en un número entero y otra fracción hay que dividir el
numerador entre el denominador.
En el caso de
9
22
22 : 9 = 2, resto 4.
9
4
2
La fracción ,
12
5
4
12
53
= pues 53 : 12 = 4, resto 5.
A estas fracciones
también se les llama
números mixtos
4. Fracciones con numerador mayor que el denominador4. Fracciones con numerador mayor que el denominador

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11
4
1
4
4
4
4
4
9
++=
Los números fraccionarios escritos de esta forma se llaman números mixtos.
Ejercicio resuelto:
Hay fracciones que representan un número entero de unidades más una parte
fraccionaria. Son fracciones mayores que 1. La parte coloreada de la figura es:
4
1
2 +=
Si divides: 9 : 4 = 2, resto 1
4
1
2
4
9
+=
Podemos escribir una fracción mayor que 1, como suma de la parte entera y
de una fracción menor que 1:
4
1
2
4
9
+= El número
4
1
2 +
4
1
2se escribe así:
Escribe como número mixto y como fracción.
3
1
7
3
41
Dividiendo : 41 : 3 = 13 y resto 2
3
2
13
3
2
13
3
41
=+=
3
1
7
3
22
3
1
3
21
3
1
7 =+=+=
4. Números mixtos4. Números mixtos

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12
Tenemos las fracciones:
3
2
y queremos encontrar tres fracciones equivalente a cada una de ellas que tengan el
mismo denominador.
Escribimos fracciones equivalentes:
Por tanto, el denominador común tiene que ser múltiplo de 3, 4 y 6 a la
vez. Por ejemplo, 24.
4
1
6
5
...
30
20
24
16
18
12
9
6
3
2
=====
...
36
9
28
7
24
6
16
4
4
1
=====
...
48
40
36
30
24
20
18
15
6
5
=====
Sus denominadores son múltiplos de 3.
3
2
24
16
=
4
1
24
6
=
6
5
24
20
=
5. Reducción de fracciones a común denominador (I)5. Reducción de fracciones a común denominador (I)

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13
Para reducir fracciones a común denominador
72
48
)64(3
)64(2
3
2
=
××
××
=
Hay una forma directa de conseguir fracciones con común denominador.
Lo aplicamos a las fracciones:
Como 3 x 4 x 6 es múltiplos de 3, 4 y 6, se tendrá:.
3
2
4
1
6
5
Halla un múltiplo común a los denominadores.
Escribe las fracciones equivalentes con ese denominador.
72
18
)63(4
)63(1
4
1
=
××
××
=
72
60
)43(6
)43(5
6
5
=
××
××
=
Otro ejemplo:
5
2
y
4
3
Las fracciones:
20
15
54
53
4
3
=
×
×
=
20
8
45
42
5
2
=
×
×
=
5.5. Reducción de fracciones a común denominador (II)Reducción de fracciones a común denominador (II)

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14
Puedes calcular el m.c.m. de varios números así:
Vamos a ver otra forma de reducir fracciones con común denominador.
6
1
y
4
3
Descompones los números en factores primos.
El m.c.m. es igual al producto de los factores primos comunes
y no comunes, elevados al mayor exponente.
El denominador común tiene que ser múltiplo de 4 y de 6.
Múltiplos de 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 ...
Múltiplos de 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 ...
Múltiplos comunes: 12 24 36 ...
El menor es 12. Se llama mínimo común múltiplo de 4 y 6.
Escribimos:
m.c.m. (4, 6) = 12
Observa:
4 = 22
6 = 2 × 3
El m.c.m. debe tener: el 22
por ser múltiplo de 4;
el 2 y el 3 por ser múltiplo de 6. El 2 ya está en
22
.Luego, m.cm. (4, 6) = 22
× 3 = 12
12
2
y
12
9
6. Mínimo común denominador6. Mínimo común denominador

10/12/17
15
El mínimo común denominador será 120.
Para reducir fracciones a mínimo común denominador se elige
como denominador común el m.c.m. de los denominadores.
8
3
y
12
5
,
10
7
Descomponemos los denominadores en factores primos:
Luego:
10 = 2 × 5 12 = 22
× 3
m.cm. (10, 12, 8) = 23
× 3 × 5 = 120
8 = 23
120
?
10
7
=
120
?
12
5
=
120
?
8
3
=
×12 ×10 ×15
120
?
10
7
=
120
?
12
5
=
120
?
8
3
=
120
84
120
50
120
45
6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador (I)6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador (I)

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16
Las fracciones
4
3
y
6
5
,
3
1
son equivalentes a:
72
54
y
72
60
,
72
24
12
9
y
12
10
,
12
4
reduciendo
El denominador 12 es el menor de los denominadores comunes, y coincide con el
mínimo común múltiplo de 3, 6 y 4.
Para calcular el mínimo común denominador de varias fracciones se procede como
sigue: 1º. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º. Los numeradores de cada fracción se multiplicarán por el cociente
entre ese m.c.m. y los denominadores respectivos.
Veamos otro ejemplo:
3
2
y
12
5
,
8
7
Reducir a mínimo común denominador
1º Como 8 = 23
, 12 = 3 · 22
y 3 = 3, el m.c.m. (8, 12, 3) = 23
· 3 = 24
2º. Dividimos 24 entre 8, 12 y 3:
24 : 8 = 3
24 : 12 = 2
24 : 3 = 8
24
21
24
3·7
8
7
==
3
24
10
24
2·5
12
5
==
2
24
16
24
8·2
3
2
==
8
6.6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador (II)Reducción de fracciones a mínimo común denominador (II)

10/12/17
17
Con el mismo denominador:
8
3 Si dos fracciones tienen el
mismo denominador, es mayor
la que tiene mayor numerador
8
5 8
3
8
5
>
5
4 Si dos fracciones tienen el
mismo numerador, es mayor
la que tiene menor denominador
7
4 7
4
5
4
>
Con el mismo numerador:
Con numeradores y denominadores distintos:
Comparamos:
5
4
y
6
5
Reducimos a común denominador:
30
25
6
5
=
30
24
5
4
=
Como
30
24
30
25
>
5
4
6
5
>
Para comparar dos
fracciones cualquiera
se reducen a común
denominador.
Será mayor la que tenga
nuevo mayor numerador.
7. Comparación de fracciones7. Comparación de fracciones

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18
Con el mismo denominador:
+
5
3
5
12
5
1
5
2
=
+
=+
Se suman los
numeradoresSuma
7
3
7
25
7
2
7
5
=
−
=−
Se restan los
numeradoresResta
Con distinto denominador:
Se reducen antes a común denominador:
4
1
6
5
+Suma
12
13
12
3
12
10
=+=
4
1
6
5
−Resta
m.c.m (6, 4) = 12
12
7
12
3
12
10
=−=
Para sumar o restar fracciones con
distinto denominador:
· Se reducen a común denominador.
· Se suman o restan las fracciones
obtenidas con el mismo denominador.
En ambos casos se deja el mismo denominador.
8. Suma y resta de fracciones8. Suma y resta de fracciones

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19
Ejercicio 1
11
6
11
8
11
7
−+
Para sumarlas hay que reducirlas a común denominador:
Calcula:
10
7
5
4
9
2
−+
Como tienen el mismo denominador, para operar se suman o restan los numeradores.
11
9
11
687
11
6
11
8
11
7
=
−+
=−+
Ejercicio 2 Calcula:
Como 9 = 32
, 5 = 5 y 10 = 2 · 5, el m.c.m (9, 5, 10) = 32
· 2 · 5 = 90.
Luego:
90
9·7
90
18·4
90
10·2
10
7
5
4
9
2
−+=−+
90
29
90
637220
90
63
90
72
90
20
=
−+
=−+=
90 : 9 = 10
90 : 5 = 18
90 : 10 = 9
El numerador será el mismo.
Luego:
Observa que cada numerador se
multiplica por el cociente entre el m.c.m
(90) y los denominadores respectivos
8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (I)8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (I)

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20
Ejercicio 3
Por tanto:
13860 : 11 = 1260
Escritos en factores: 11 = 11, 20 = 22
· 5, 9 = 32
y 35 = 5 · 7
13860
·17
13860
·5
13860
·11
13860
·13
35
17
9
5
20
11
11
13
−+−=−+−
13860
9725
13860
67327700762316380
=
−+−
=
35
17
9
5
20
11
11
13
−+−Calcula:
Calculamos el m.c.m de los denominadores:
Luego, m.c.m (11, 20, 9, 35) = 11· 22
· 5 · 32
· 7 = 13860
Observa:
13860 : 20 = 693
13860 : 9 = 1540
13860 : 35 = 396
1260 693 3961540
Sumando o restando los numeradores, queda:
8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (II)8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (II)

10/12/17
21
4
1
2 +
Para sumar un número entero y una fracción:
1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo por
el denominador de la fracción.
2º. Se suman como dos fracciones de igual denominador.
Tenemos dos cuadrados completos y un cuarto de otro:
2
+
4
1
+
4
1
+4
8
+
4
9
=
Observa que:
4
8
4
4·2
2 ==
Otro ejemplo
8
1
25 +−Calcula: 8
1
3
8
1
25 +=+−
8
25
8
1
8
24
8
1
8
8·3
=+=+=
8. Suma de un número entero y una fracción8. Suma de un número entero y una fracción

10/12/17
22
7
5
1−
Tenemos un rectángulo completo y deseamos
quitarle cinco séptimos del mismo:
7
5
−
1
7
7
7
5
−
7
2
7
2
7
5
7
7
7
5
1 =−=−Luego:
Para restar un número entero y una fracción:
1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo por
el denominador de la fracción.
2º. Se restan como dos fracciones de igual denominador.
Otro ejemplo 3
2
9
−Calcula:
2
2·3
2
9
3
2
9
−=−
2
3
2
6
2
9
=−=
8. Resta de un número entero y una fracción8. Resta de un número entero y una fracción

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23
Un número natural por una fracción
3
2
5×
3
2
+ =+=
Calculemos 5 veces 2 tercios:
3
2
3
2
3
2
3
2
+ +
3
10
3
25
3
22222
=
×
=
++++
Para multiplicar un número natural por una fracción se multiplica
el número por el numerador; se deja el mismo denominador.
Producto de dos fracciones
4
3
20
6
5
2 =
×
×
=×
54
23
5
2
4
3
El producto de dos fracciones es una fracción con:
El numerador igual al producto de los numeradores.
El denominador igual al producto de los denominadores
Calculemos los 2 quintos de 3 cuartos:
9. Multiplicación de fracciones9. Multiplicación de fracciones

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24
Dada la fracción , ¿qué fracción sumada con ella da 0?
7
4
Si se elige , la suma es:
7
4
−
0
7
0
7
)4(4
7
4
7
4
==
−+
=
−
+
Las fracciones y se dice que son fracciones opuestas.
7
4
7
4
−
Dada la fracción , ¿qué fracción multiplicada por ella da 1?
7
4
Si se elige , el producto es:
4
7
Las fracciones y se dice que son fracciones inversas.
7
4
4
7
1
28
28
47
74
4
7
7
4
==
×
×
=×
La fracción opuesta se obtiene cambiando de signo la fracción dada.
Dos fracciones
son opuestas cuando
su suma es 0.
La fracción inversa se obtiene intercambiando los términos de la fracción
dada.
Dos fracciones
son inversas cuando
su producto es 1.
10. Fracciones opuestas e inversas10. Fracciones opuestas e inversas

10/12/17
25
Para dividir fracciones es de gran utilidad que las fracciones tengan el
mismo denominador.
¿Cuántos pinchos de de tortilla hay en de tortilla?
8
1
2
1
: = ==
8
1
:
8
4
8
1
:
2
1
4 pinchos
¿Cuántos vasos de refresco de de litro pueden llenarse con una botella de
de litro? 8
1
2
5
==
6
1
:
6
15
6
1
:
2
5
15 vasos
¿Cuántos vasos de leche de de litro pueden llenarse con una botella de de
litro? 4
1
8
9
2
9
8
2
:
8
9
4
1
:
8
9
==
Hemos reducido a
común denominador para dividir
más cómodamente.
Observa que
2
1
4
2
9
+=
Pueden llenarse cuatro vasos y medio.
2
1
8
1
11. División de fracciones (I)11. División de fracciones (I)

10/12/17
26
Contesta:
Por lo mismo:
¿Qué número multiplicado por 8 da 24? ? · 8 = 24 ? = 3
Observa que: ? · 8 = 24 ? = 24 : 8
Está multiplicando Pasa dividiendo
? = 3
11
3
5
2
·
?
?
=
?
?
es equivalente a
5
2
:
11
3
?
?
=
?
?
Luego, multiplicar por una fracción equivale a dividir por su inversa.
Y viceversa: dividir por una fracción equivale a multiplicar por su
inversa.
Por tanto:
5
2
:
11
3
?
?
=
?
? 11
3
5
2
·
?
?
=
?
? 11
3
5
2
·
?
?
=
?
? 2
5
·
2
5
·
22
15
1·
?
?
=
?
?
En definitiva:
22
15
?
?
=
?
?
11. División de fracciones (II)11. División de fracciones (II)

10/12/17
27
Para hallar el cociente de dos fracciones se multiplica la primera por la
fracción inversa de la segunda.
Hemos visto que:
5
2
:
11
3
?
?
=
?
?
Luego:
22
15
2
5
·
11
3
?
?
==
?
?
Por tanto:
22
15
2·11
5·3
2
5
·
11
3
5
2
:
11
3
===
O bien:
5
2
:
11
3
22
15
2·11
5·3
==
Ejemplo:
7
6
:
5
3
30
21
6
7
·
5
3
==
El producto cruzado
es más rápido
7
6
:
5
3
30
21
6·5
7·3
==Utilizando el producto cruzado:
inversas
inversas
11. División de fracciones (III)11. División de fracciones (III)

10/12/17
28
Hacer un dibujoPrimero:
Problema: Un club de fútbol tiene dividida su temporada en cuatro partes. En la primera
juega la mitad del total de los partidos; en la segunda, la cuarta parte, y en la tercera, un octavo.
Para terminar la temporada le faltan todavía 6 partidos por jugar. ¿De cuántos partidos consta
la temporada de este club? ¿Cuántos partidos juega en cada parte de la temporada?
Utilizar fraccionesSegundo:
La fracción de partidos jugados es la suma
Podemos representar la temporada mediante una línea dividida en cuatro partes:
2
1
4
1
8
1
Faltan 6 partidos
8
1
4
1
2
1
++ Pero todavía “no sabemos”
sumar fracciones.
Habrá que buscar otra alternativa. Por ejemplo, podemos
observar que el número de partidos debe ser múltiplo de 8.
Si se sabe sumar fracciones
puede seguirse esa idea
12. Resolución de problemas (I) (1ª parte)12. Resolución de problemas (I) (1ª parte)

10/12/17
29
Volver al dibujoTercero:
Volver a las fraccionesCuarto:
Queda la mitad
Queda la cuarta parte
Después de jugar la mitad más la
cuarta parte, queda otra cuarta parte
Y la octava parte es la mitad de la cuarta parte.
Luego, 6 es la mitad de la cuarta parte; esto es, la octava parte: ? : 8 = 6
El número buscado es 48. Esos son los partidos que juega el equipo
Comprueba que el resultado es correcto.
Problema: Un club de fútbol tiene dividida su temporada en cuatro partes. En la primera
juega la mitad del total de los partidos; en la segunda, la cuarta parte, y en la tercera, un octavo.
Para terminar la temporada le faltan todavía 6 partidos por jugar. ¿De cuántos partidos consta
la temporada de este club? ¿Cuántos partidos juega en cada parte de la temporada?
2
1
4
1
8
1
Faltan 6 partidos
La cuarta parte es la mitad de la mitad.
12. Resolución de problemas (I) (2ª parte)12. Resolución de problemas (I) (2ª parte)

10/12/17
30
TantearPrimero:
Problema: A los ganadores de una competición se les premia regalándoles discos:
Al primero le regalan la mitad de los discos. Al segundo, la mitad que al primero.
Al tercero, la mitad que al segundo. Al cuarto, los 12 discos que quedan.
¿Cuántos discos se han regalado?
Utilizar fraccionesSegundo:
El segundo la mitad de la mitad, que es la cuarta parte:
Supongamos que se regalan 36 discos en total.
Así:
Entre los tres han recibido:
Al primero le tocarían 18; al segundo, 9; al tercero, la mitad de nueve.
No puede ser (habría que romper un disco).
Indiquemos con el total de discos:?
2
?
El primero recibe la mitad:
?
4 ?
8
El tercero recibe la mitad que el segundo:
2
1
de
?
4
2
? ?
4
+ +
?
8
?
8
7
8
·2·4
=
++
=
? ?
?
Al cuarto le quedará lo que falta: ?
8
1
12. Resolución de problemas (II) (1ª parte)12. Resolución de problemas (II) (1ª parte)

10/12/17
31
Hacer cálculosTercero:
Comprobar el resultadoCuarto:
Como el cuarto recibe 12 discos, se tiene que:
8
1
? = 12 ?
8
1
= 12 : = 96
El número de discos regalados es 96.
El primero recibe la mitad: 48
2
96
=
El segundo recibe la mitad que el primero: 24
El tercero, la mitad que el segundo: 12
En total: 48 + 24 + 12 + 12 = 96
El cuarto recibe 12 (96 : 8 = 12)
Problema: A los ganadores de una competición se les premia regalándoles discos:
Al primero le regalan la mitad de los discos. Al segundo, la mitad que al primero.
Al tercero, la mitad que al segundo. Al cuarto, los 12 discos que quedan.
¿Cuántos discos se han regalado?
Teníamos que al cuarto le
quedaba:
?
8
1
12. Resolución de problemas (II) (2ª parte)12. Resolución de problemas (II) (2ª parte)

10/12/17
32
PROBLEMA
En la biblioteca hay un estante con libros de aventuras. El jueves se prestaron 16
libros. El viernes se prestaron la mitad de los que quedaban. Después de este préstamo
quedaron 24 libros. ¿Cuántos libros de aventuras había en la biblioteca?
ELABORA UN DIAGRAMA
EMPIEZA POR EL FINAL
Se indica por N el número de libros que había antes de realizar ningún préstamo.
Como la mitad de M son 24, se tiene:
COMPRUEBA EL RESULTADO
Había 64.
N
1616
N – 16 = MN – 16 = M
2
M
2
M
= 2424
Jueves Viernes
2
M
24 = M = 48
El jueves quedaron en la biblioteca 48 libros de aventuras.
N – 16 = 48 N = 64
Después del jueves: 64 – 16 = 48 La mitad es: 48 : 2 = 24
Prestan
Prestan
Quedan
Quedan
12. Técnicas y estrategias12. Técnicas y estrategias

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