Mat5al23

SOLUCIONES MATEMÁTICAS PÁG. 5, FICHA 2
1)
● y 3 x 10 = 30, 5 x 6 = 30  SÍ son equivalentes, =
● y 21 x 4 = 84, 8 x 7 = 56  NO son equivalentes,
● y 4 x 18 = 72, 9 x 2 = 18  NO son equivalentes,
2)
● = 4 x 6 = 24, 24 : 3 = 8  =
● = 7 x 10 = 70, 70 : 5 = 14  =
● = 1 x 36 = 36, 36 : 6 = 6  =
● = 4 x 45 = 180, 180 : 9 = 20  =
● = 33 x 2 = 66, 66 : 11 = 6  =
● = 54 x 10 = 540, 540 : 9 = 60  =
● = 4 x 12 = 48, 48 : 8 = 6  =
● = 8 x 15 = 120, 120 : 24 = 5  =
3)

● Por amplificación: por ejemplo,
= = = = = =
Como ya sabes, se pueden obtener infinitas fracciones equivalentes a una cualquiera
por amplificación utilizando un sencillo procedimiento: multiplicar tanto el numerador como
el denominador de la fracción que te han dado por el número que tú quieras, el mismo en los
dos casos. Puedes comprobar que en la primera fracción, , hemos multiplicado tanto el
numerador (3) como el denominador (7) por los números que hemos querido: primero por 2,
luego por 4 y después por 5. En la segunda fracción, , también hemos multiplicado tanto el
numerador (2) como el denominador (9) por los números que hemos querido: primero por 3,
luego por 5 y después por 10. ¿Coincide alguna de ellas con las que has calculado tú?
● Por simplificación: por ejemplo,
= = = = = =
Este caso es diferente al de amplificación: por simplificación no puedes obtener
infinitas fracciones sino sólo unas cuantas, muchas o pocas, pero una cantidad determinada.
Incluso a veces no puedes obtener ninguna, si la fracción que te han dado es irreducible. Se
trata de que encuentres un número por el puedas dividir tanto el numerador como el
denominador de la fracción que te han dado y que en lo dos casos las divisiones sean exactas.
Te aconsejamos que pruebes los números primos (2, 3, 5, 7, 11…) y que apliques los criterios
de divisibilidad que conoces. Observa que en la primera fracción, , hemos dividido tanto el
numerador (36) como el denominador (24) primero por 2, luego otra vez por 2 y finalmente
por 3. La fracción que obtenemos es irreducible (no se puede seguir dividiendo, no se puede
simplificar más). En la segunda fracción, , hemos dividido tanto el numerador (16) como el
denominador (56) por 2 tres veces seguidas. La fracción que obtenemos también resulta ser
irreducible. ¿Lo tienes bien?

4)
¿Cuánta pizza compró Rubén? Podemos convertir el número mixto 1 en fracción de
dos maneras diferentes:
- Haciendo la suma: 1 = 1 + = = = simplificando el resultado.
- También podemos mantener el denominador (4) y calcular el numerador así:
1 x 4 + 2 = 4 + 2 = 6  1 = =
Está claro que no compraron los dos la misma cantidad, pues Amelia compró mucha
menos pizza ( ) que Rubén ( ), tan claro que en esta ocasión no hace falta reducir las dos
fracciones a común denominador y comparar los numeradores, como se suele hacer siempre
en estos casos. Basta con darse cuenta de que la fracción es menor que la unidad, y que la
fracción es mayor que la unidad (concretamente es una unidad y media, 1’5 unidades). Es
decir:
< 1, > 1  <

1) Descompondremos los denominadores de las fracciones que nos dan en factores primos para
calcular su mínimo común múltiplo (m. c. m.), lo compararemos con los números 6, 30 y 32 y
uniremos con flechas:
●
2
3
y
4
6
3 = 3, 6 = 2 x 3  m. c. m. (3, 6) = 2 x 3 = 6
●
3
5
,
4
10
y
5
15
5 = 5, 10 = 2 x 5, 15 = 3 x 5  m. c. m. (5, 10, 15) = 2 x 3 x 5 = 30
●
9
32
y
5
16
32 = 25
, 16 = 24
 m. c. m. (32, 16) = 25
= 32
●
5
6
y
7
2
6 = 2 x 3, 2 = 2  m. c. m. (6, 2) = 2 x 3 = 6
●
5
8
,
7
4
y
5
32
8 = 23
, 4 = 22
, 32 = 25
 m. c. m. (8, 4, 32) = 25
= 32
2) Primero descompondremos los denominadores de las fracciones que nos dan en factores
primos para calcular su mínimo común múltiplo (m. c. m.), que será el denominador de las
nuevas fracciones. Luego calcularemos el numerador de las nuevas fracciones (ya sabéis,
dividimos el nuevo denominador por el antiguo y multiplicamos este resultado por el antiguo
numerador).
●
3
12
y
5
9
12 = 22
x 3, 9 = 32
 m. c. m. (12, 9) = 22
x 32
= 4 x 9 = 36
36 : 12 = 3, 3 x 3 = 9; 36 : 9 = 4, 4 x 5 = 20 
3
12
=
9
36
,
5
9
=
20
36
●
4
15
y
6
10
15 = 3 x 5, 10 = 2 x 5  m. c. m. (15, 10) = 2 x 3 x 5 = 30
30 : 15 = 2, 2 x 4 = 8; 30 : 10 = 3, 3 x 6 = 18 
4
15
=
8
30
,
6
10
=
18
30
●
5
20
y
3
18
20 = 22
x 5, 18 = 2 x 32
 m. c. m. (20, 18) = 22
x 32
x 5 = 4 x 9 x 5 = 180
180 : 20 = 9, 9 x 5 = 45; 180 : 18 = 10, 10 x 3 = 30 
5
20
=
45
180
,
3
18
=
30
180

3) En primer lugar, reduciremos cada pareja de fracciones a común denominador como en el
ejercicio anterior. Después para encontrar una fracción que esté entre las dos dadas bastará con
elegir alguna que tenga el mismo denominador y cuyo numerador esté entre los numeradores
de las dos dadas:
●
1
5
y
1
2
5 = 5, 2 = 2  m. c. m. (5, 2) = 2 x 5 = 10
10 : 5 = 2, 2 x 1 = 2; 10 : 2 = 5, 5 x 1 = 5 
1
5
=
2
10
,
1
2
=
5
10
- Posibles soluciones: entre
2
10
y
5
10
se encuentran las fracciones
3
10
y
4
10
●
1
3
y
1
12
3 = 3, 12 = 22
x 3  m. c. m. (3, 12) = 22
x 3 = 12
12 : 3 = 4, 4 x 1 = 4 
1
3
=
4
12
,
1
12
=
1
12
1
12
y
4
12
se encuentran las fracciones
2
12
y
3
12
●
2
5
y
2
6
5 = 5, 6 = 2 x 3  m. c. m. (5, 6) = 2 x 3 x 5 = 30
30 : 5 = 6, 6 x 2 = 12; 30 : 6 = 5, 5 x 2 = 10 
2
5
=
12
30
,
2
6
=
10
30
10
30
y
12
30
se encuentra la fracción
11
30

1) Como ya sabes, para comparar o para ordenar fracciones hay que fijarse en si coinciden o no
todos sus numeradores o todos sus denominadores. Un primer caso sería que todas las fracciones
tuvieran el mismo denominador; entonces es mayor la fracción que tiene mayor numerador. En
un segundo caso, si todas las fracciones tuvieran el mismo numerador, ocurre lo contrario: es
mayor la fracción que tiene menor denominador. Y en el tercer caso, que es el general, cuando
no coinciden ni los numeradores ni los denominadores, primero hay que reducirlas a común
denominador por el método del mínimo común múltiplo, y después aplicar lo que hemos visto
para el primer caso. Vamos a practicar con este ejercicio:
●
3
7
y
11
7
Las dos fracciones tienen el mismo denominador, 7. Por tanto, estamos en el
primer caso y será mayor la fracción que tenga mayor numerador:
3
7
<
11
7
●
9
5
y
12
15
Como las fracciones no tienen ni el mismo numerador ni el mismo denominador,
estamos ante el tercer caso o caso general. Empezaremos por reducirlas a común denominador
por el método del mínimo común múltiplo:
5 = 5, 15 = 3 x 5  m. c. m. (5, 15) = 3 x 5 = 15
15 : 5 = 3, 3 x 9 = 27 
9
5
=
27
15
,
12
15
=
12
15
Como las dos nuevas fracciones equivalentes
que hemos obtenido tienen el mismo denominador, 15, podemos aplicar lo que hemos visto para
el primer caso y entonces:
27
15
>
12
15
Y ya sólo nos queda “deshacer el cambio” y volver a
escribir las fracciones originales:
9
5
>
12
15
●
1
5
,
2
10
y
3
15
Estamos de nuevo ante el tercer caso, así que reduciremos las fracciones a
común denominador: 5 = 5, 10 = 2 x 5, 15 = 3 x 5  m. c. m. (5, 10, 15) = 2 x 3 x 5 = 30
30 : 5 = 6, 6 x 1 = 6; 30 : 10 = 3, 3 x 2 = 6; 30 : 15 = 2, 2 x 3 = 6 
1
5
=
6
30
,
2
10
=
6
30
,
3
15
=
6
30
Al reducirlas a común denominador vemos que las tres fracciones
son iguales (equivalentes). Por tanto:
1
5
=
2
10
=
3
15

●
14
13
y
14
16
Las dos fracciones tienen el mismo numerador, 14. Por tanto, estamos en el
segundo caso y será mayor la fracción que tenga menor denominador:
14
13
>
14
16
●
6
49
y
3
7
Volvemos a estar ante el tercer caso o caso general, así que reduciremos las
fracciones a común denominador: 49 = 72
, 7 = 7  m. c. m. (49, 7) = 72
= 49
49 : 7 = 7, 7 x 3 = 21 
6
49
=
6
49
,
3
7
=
21
49
Como las dos nuevas fracciones equivalentes que
hemos obtenido tienen el mismo denominador, 49, podemos aplicar lo que hemos visto para el
primer caso y entonces:
6
49
<
21
49
Y ya sólo nos queda “deshacer el cambio” y volver a escribir
las fracciones originales:
6
49
<
3
7
●
2
4
,
4
7
y
16
56
Estamos otra vez ante el tercer caso, así que reduciremos las fracciones a común
denominador: 4 = 22
, 7 = 7, 56 = 23
x 7  m. c. m. (4, 7, 56) = 23
x 7 = 56
56 : 4 = 14, 14 x 2 = 28; 56 : 7 = 8, 8 x 4 = 32 
2
4
=
28
56
,
4
7
=
32
56
,
16
56
=
16
56
Por tanto:
32
56
>
28
56
>
16
56
Y ya sólo nos queda “deshacer el cambio” y volver a escribir las
fracciones originales:
4
7
>
2
4
>
16
56
2) Aplicando lo que hemos recordado en el ejercicio anterior, para escribir fracciones mayores
que una dada lo más fácil es mantener el mismo denominador y escribir numeradores mayores
que el de la fracción que nos han dado, es decir:
●
2
9
Será mayor que la fracción dada cualquiera que tenga denominador 9 y numerador mayor
que 2, como, por ejemplo:
3
9
,
5
9
,
8
9
y
13
9
●
7
12
Será mayor que la fracción dada cualquiera que tenga denominador 12 y numerador
mayor que 7, como, por ejemplo:
8
12
,
11
12
,
17
12
y
23
12

● Serán mayores que
10
24
y menores que
16
24
las fracciones que tengan denominador 24 y
numerador mayor que 10 pero menor que 16, como, por ejemplo:
11
16
,
13
16
,
14
16
y
15
16
3) Empezaremos por convertir los números mixtos en fracciones. Para ello podemos sumar el
número entero con la fracción, o también mantener el denominador y calcular el nuevo
numerador por el método que ya conoces (multiplicar el número entero por el denominador y
sumar el numerador). Entonces:
2
3
8
=
2 x 8 + 3
8
=
19
8
1
3
4
=
1 x 4 + 3
4
=
7
4
Ahora hay que comparar las dos fracciones obtenidas. Para eso las reduciremos a común
denominador: 8 = 23
, 4 = 22
 m. c. m. (8, 4) = 23
= 8
8 : 4 = 2, 2 x 7 = 14 
19
8
=
19
8
,
7
4
=
14
8
Por tanto:
19
8
>
14
8
Y ya sólo nos queda “deshacer
el cambio” y volver a escribir los números mixtos originales: 2
3
8
> 1
3
4
● Solución: comió más pizza el grupo de la pizza de carne.
Para saber cuánta gente hubo en la fiesta primero hemos de saber cuánta pizza comieron
en total. Para ello sumaremos la cantidad de pizza de carne y la cantidad de pizza vegetal.
Aprovechando que ya tenemos estas cantidades expresadas con igual denominador:
19
8
+
14
8
=
33
8
es la cantidad total de pizza que comieron entre todos. Es fácil ver que
si cada persona comió
1
8
de pizza y en total se han comido
33
8
de pizza, entonces tiene que haber
33 personas. Pero si no lo ves tan claro bastará con dividir la cantidad total de pizza consumida
por la cantidad que comió cada uno:
33
8
:
1
8
=
33 x 8
8 x 1
=
33 x 8
8 x 1
=
284
8
= 33
● Solución: en la fiesta hubo 33 personas.

1) Recuerda que para sumar (o restar) fracciones de igual denominador basta con mantener el
mismo denominador y sumar (o restar) los numeradores. Si las fracciones tienen diferente
denominador, primero hay que reducirlas a común denominador por el método del mínimo
común múltiplo. Si en la suma (o resta) hay algún número entero lo convertiremos en fracción
simplemente poniéndole 1 como denominador. No olvides que, como norma general y aunque
no te lo pidan, en una operación con fracciones hay que simplificar el resultado siempre que se
pueda hasta obtener la fracción irreducible.
●
5
12
+
11
12
=
16
12
=
8
6
=
4
3
●
8
9
+
14
9
=
22
9
●
3
8
+
5
12
=
9
24
+
10
24
=
19
24
8 = 23
, 12 = 22
x 3  m. c. m. (8, 12) = 23
x 3 = 8 x 3 = 24
24 : 8 = 3, 3 x 3 = 9; 24 : 12 = 2, 2 x 5 = 10
●
8
9
+
7
6
=
16
18
+
21
18
=
37
18
9 = 32
, 6 = 2 x 3  m. c. m. (9, 6) = 2 x 32
= 2 x 9 = 18
24 : 8 = 3, 3 x 3 = 9; 24 : 12 = 2, 2 x 5 = 10
●
3
10
+
9
4
+
2
5
=
6
20
+
45
20
+
8
20
=
59
20
10 = 2 x 5, 4 = 22
, 5 = 5  m. c. m. (10, 4, 5) = 22
x 5 = 4 x 5 = 20
20 : 10 = 2, 2 x 3 = 6; 20 : 4 = 5, 5 x 9 = 45; 20 : 5 = 4, 4 x 2 = 8
●
7
12
+
3
6
+
4
15
=
35
60
+
30
60
+
16
60
=
81
60
=
27
20
12 = 22
x 3, 6 = 2 x 3, 15 = 3 x 5  m. c. m. (12, 6, 15) = 22
x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60
60 : 12 = 5, 5 x 7 = 35; 60 : 6 = 10, 10 x 3 = 30; 60 : 15 = 4, 4 x 4 = 16
● 2 +
5
8
=
2
1
+
5
8
=
16
8
+
5
8
=
21
8
No hace falta en este caso calcular el mínimo común
múltiplo ya que el único denominador distinto de 1 es 8. 8 : 1 = 8, 8 x 2 = 16

●
3
5
+ 9 =
3
5
+
9
1
=
3
5
+
45
5
=
48
5
Como en el caso anterior, no calculamos el mínimo
común múltiplo porque el único denominador distinto de 1 es 5. 5 : 1 = 5, 5 x 9 = 45
2) En cada apartado de este ejercicio mantendremos el mismo denominador, y sumaremos y
restaremos para hallar el número desconocido.
●
7
16
+
5
16
=
12
16
12 – 7 = 5
●
11
20
+
7
20
=
18
20
18 – 7 = 11
●
9
35
+
6
35
+
10
35
=
25
35
9 + 10 = 19; 25 – 19 = 6
3)
●
7
15
-
4
15
=
3
15
=
1
5
●
14
9
-
8
9
=
6
9
=
2
3
●
7
3
-
5
6
=
14
6
-
5
6
=
9
6
=
3
2
3 = 3, 6 = 2 x 3  m. c. m. (3, 6) = 2 x 3 = 6
6 : 3 = 2, 2 x 7 = 14
●
9
10
-
11
15
=
27
30
-
22
30
=
5
30
=
1
6
10 = 2 x 5, 15 = 3 x 5  m. c. m. (10, 15) = 2 x 3 x 5 = 30
30 : 10 = 3, 3 x 9 = 27; 30 : 15 = 2, 2 x 11 = 22
●
4
9
-
1
6
=
8
18
-
3
18
=
5
18
9 = 32
, 6 = 2 x 3  m. c. m. (9, 6) = 2 x 32
= 2 x 9 = 18
18 : 9 = 2, 2 x 4 = 8; 18 : 6 = 3, 3 x 1 = 3
●
4
15
-
2
9
=
12
45
-
10
45
=
2
45
15 = 3 x 5, 9 = 32
 m. c. m. (15, 9) = 32
x 5 = 9 x 5 = 45
45 : 15 = 3, 3 x 4 = 12; 45 : 9 = 5, 5 x 2 = 10

● 2 -
1
4
=
2
1
-
1
4
=
8
4
-
1
4
=
7
4
Aquí tampoco hace falta calcular el mínimo común múltiplo
ya que el único denominador distinto de 1 es 4. 4 : 1 = 4, 4 x 2 = 8
● 5 -
3
4
=
5
1
-
3
4
=
20
4
-
3
4
=
17
4
Como en el caso anterior, no calculamos el mínimo común
múltiplo porque el único denominador distinto de 1 es 4. 4 : 1 = 4, 4 x 5 = 20
4)
●
15
8
-
6
8
=
9
8
15 – 9 = 6
●
27
12
-
17
12
=
10
12
27 – 10 = 17
●
20
16
-
13
16
=
7
16
7 + 13 = 20
5)
●
1
4
+
3
5
-
2
3
-
1
6
=
15
60
+
36
60
-
40
60
-
10
60
=
1
60
4 = 22
, 5 = 5, 3 = 3, 6 = 2 x 3  m. c. m. (4, 5, 3, 6) = 22
x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60
60 : 4 = 15, 15 x 1 = 15; 60 : 5 = 12, 12 x 3 = 36; 60 : 3 = 20, 20 x 2 = 40; 60 : 6 = 10, 10 x 1 = 10
●
14
5
- 2 +
3
10
-
1
2
=
14
5
-
2
1
+
3
10
-
1
2
=
28
10
-
20
10
+
3
10
-
5
10
=
6
10
=
3
5
5 = 5, 10 = 2 x 5, 2 = 2  m. c. m. (5, 10, 2) = 2 x 5 = 10
10 : 5 = 2, 2 x 14 = 28; 10 : 1 = 10, 10 x 2 = 20; 10 : 2 = 5, 5 x 1 = 5

6)
●
1
4
+
1
2
=
1
4
+
2
4
=
3
4
4 = 22
, 2 = 2  m. c. m. (4, 2) = 22
= 4
4 : 2 = 2, 2 x 1 = 2
Ha comprado
3
4
kg de queso.
● En primer lugar, pasaremos los números mixtos a fracción:
Tres metros y medio = 3
1
2
=
3 x 2+1
2
=
7
2
Un metro y cuarto = 1
1
4
=
1 x 4+1
4
=
5
4
7
2
+
5
4
=
14
4
+
5
4
=
19
4
2 = 2, 4 = 22
 m. c. m. (2, 4) = 22
= 4
4 : 2 = 2, 2 x 7 = 14
Ha comprado
19
4
m de tela.
●
3
4
-
2
3
=
9
12
-
8
12
=
1
12
4 = 22
, 3 = 3  m. c. m. (4, 3) = 22
x 3 = 4 x 3 = 12
12 : 4 = 3, 3 x 3 = 9; 12 : 3 = 4, 4 x 2 = 8
Hemos utilizado
1
12
kg de naranjas de la primera bolsa más que de la segunda bolsa.
● 10 –
1
4
=
10
1
–
1
4
=
40
4
–
1
4
=
39
4
No hace falta en este caso calcular el mínimo común múltiplo ya que el único
denominador distinto de 1 es 4. 4 : 1 = 4, 4 x 10 = 40
Tras el paso del primer concursante quedarán en el barril
39
4
litros de agua.

2 x
1
4
=
2
1
x
1
4
=
2 x 1
1 x 4
=
2
4
 10 –
2
4
=
10
1
–
2
4
=
40
4
–
2
4
=
38
4
=
19
2
Tras el paso del segundo concursante quedarán en el barril
19
2
litro de agua.
5 x
1
4
=
5
1
x
1
4
=
5 x 1
1 x 4
=
5
4
 10 –
5
4
=
10
1
–
5
4
=
40
4
–
5
4
=
35
4
Tras el paso del quinto concursante quedarán en el barril
35
4
litro de agua.

1) Recuerda que para multiplicar fracciones no hay que tener en cuenta si sus denominadores
son iguales o diferentes (cosa que sí hacíamos para sumar o restar fracciones), pues basta con
multiplicar todos los numeradores (el resultado será el numerador de la fracción que buscamos)
y después multiplicar todos los denominadores (el resultado será el denominador de la fracción
que buscamos). Y, para terminar, no olvides que, como norma general y aunque no te lo pidan,
en una operación con fracciones hay que simplificar el resultado siempre que se pueda hasta
obtener la fracción irreducible.
●
7
3
x
4
9
=
7 x 4
3 x 9
=
28
27
●
5
2
x
1
8
=
5 x 1
2 x 8
=
5
16
●
3
4
x
5
8
=
3 x 5
4 x 8
=
15
32
●
12
15
x
5
4
=
12 x 5
15 x 4
=
60
60
= 1
●
2
5
x
2
3
x
9
10
=
2 x 2 x 9
5 x 3 x 10
=
36
150
=
18
75
=
6
25
●
6
5
x
5
7
x
3
4
=
6 x 5 x 3
5 x 7 x 4
=
90
140
=
45
70
=
9
14
2)
●
4
5
x
2
3
=
8
15
8 : 4 = 2, 15 : 5 = 3
●
7
5
x
7
6
=
49
30
49 : 7 = 7, 30 : 6 = 5
●
6
9
x
2
6
=
12
54
12 : 2 = 6, 54 : 9 = 6
●
9
5
x
4
10
=
36
50
36 : 9 = 4, 50 : 10 = 5
●
5
7
x
9
6
=
45
42
45 : 5 = 9, 7 x 6 = 42
●
3
2
x
8
20
=
24
40
3 x 8 = 24, 40 : 20 = 2

3) Recuerda que para dividir fracciones no hay que tener en cuenta si sus denominadores son
iguales o diferentes (al igual que para multiplicar fracciones y a diferencia de lo que hacíamos
para sumar o restar fracciones), pues basta con multiplicar el numerador de la primera fracción
por el denominador de la segunda (el resultado será el numerador de la fracción que buscamos)
y después multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda (el
resultado será el denominador de la fracción que buscamos). Y, para terminar, simplifica el
resultado siempre que puedas hasta obtener la fracción irreducible.
●
7
3
:
4
9
=
7 x 9
3 x 4
=
63
12
=
21
4
●
7
8
:
6
7
=
7 x 7
8 x 6
=
49
48
●
6
11
:
9
10
=
6 x 10
11 x 9
=
60
99
=
20
33
●
3
5
x
5
8
=
3 x 8
5 x 5
=
24
25
●
9
20
:
7
30
=
9 x 30
20 x 7
=
270
140
=
135
70
=
27
14
●
8
15
:
10
13
=
8 x 13
15 x 10
=
104
150
=
52
75
4) No olvides que debes tener en cuenta la prioridad de las operaciones: primero los paréntesis;
después las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen; para terminar, las sumas
y las restas en el orden en que aparecen.
●
8
3
-
7
5
x
5
4
=
8
3
-
7
4
=
32
12
-
21
12
=
11
12
Las operaciones aparecen a continuación.
7
5
x
5
4
=
7 x 5
5 x 4
=
35
20
=
7
4
3 = 3, 4 = 22
 m. c. m. (3, 4) = 22
x 3 = 4 x 3 = 12
12 : 3 = 4, 4 x 8 = 32; 12 : 4 = 3, 3 x 7 = 21

●
2
3
+
7
5
x
1
2
=
31
15
x
1
2
=
31 x 1
15 x 2
=
31
30
2
3
+
7
5
=
10
15
+
21
15
=
31
15
3 = 3, 5 = 5  m. c. m. (3, 5) = 3 x 5 = 15
15 : 3 = 5, 5 x 2 = 10; 15 : 5 = 3, 3 x 7 = 21
●
4
5
+
5
2
x
7
6
−
9
8
=
33
10
x
1
24
=
33 x 1
10 x 24
=
33
240
=
11
80
4
5
+
5
2
=
8
10
+
25
10
=
33
10
5 = 5, 2 = 2  m. c. m. (5, 2) = 5 x 2 = 10
10 : 5 = 2, 2 x 4 = 8; 10 : 2 = 5, 5 x 5 = 25
7
6
-
9
8
=
28
24
-
27
24
=
1
24
6 = 2 x 3, 8 = 23
 m. c. m. (6, 8) = 23
x 3 = 8 x 3 = 24
24 : 6 = 4, 4 x 7 = 28; 24 : 8 = 3, 3 x 9 = 27
●
1
2
+
1
5
:
2
7
=
7
10
:
2
7
=
7 x 7
10 x 2
=
49
20
1
2
+
1
5
=
5
10
+
2
10
=
7
10
2 = 2, 5 = 5  m. c. m. (2, 5) = 2 x 5 = 10
10 : 2 = 5, 5 x 1 = 5; 10 : 5 = 2, 2 x 1 = 2
●
3
4
-
1
5
:
2
3
=
3
4
-
1 x 3
5 x 2
=
3
4
-
3
10
=
15
20
-
6
20
=
9
20
4 = 22
, 10 = 2 x 5  m. c. m. (4, 10) = 22
x 5 = 4 x 5 = 20
20 : 4 = 5, 5 x 3 = 15; 20 : 10 = 2, 2 x 3 = 6
●
2
5
−
1
4
:
4
9
=
3
20
:
4
9
=
3 x 9
20 x 4
=
27
80
2
5
−
1
4
=
8
20
−
5
20
=
3
20
5 = 5, 4 = 22
 m. c. m. (5, 4) = 22
x 5 = 4 x 5 = 20
20 : 5 = 4, 4 x 2 = 8; 20 : 4 = 5, 5 x 1 = 5

5)
● 15 :
3
4
=
15
1
:
3
4
=
15 x 4
3 x 1
=
60
3
= 20
En el grupo de Rodrigo había 20 personas.
● Serán novelas escritas en español los
3
5
de los
5
9
de los libros de la librería de Cándida.
Recuerda que para calcular la fracción de una fracción se multiplican ambas fracciones, es decir:
3
5
de
5
9
=
3
5
x
5
9
=
3 x 5
5 x 9
=
15
45
=
5
15
=
1
3
En la librería de Cándida
1
3
de los libros son novelas escritas en español.
● Primero pasaremos el número mixto a fracción:
3
3
4
=
3 x 4 + 3
4
=
12+3
4
=
15
4
Entonces:
15
4
: 2 =
15
4
:
2
1
=
15 x 1
4 x 2
=
15
8
Juanjo compró
15
8
kg de queso.
● Serán fotografías en blanco y negro los
3
4
de los
5
9
de las obras de la exposición. Entonces:
3
4
de
5
9
=
3
4
x
5
9
=
3 x 5
4 x 9
=
15
36
Serán fotografías en blanco y negro los
15
36
de las obras de la exposición.
15
36
de 180 =
15
36
x
180
1
=
15 x 180
36 x 1
=
2700
36
=
1350
18
=
675
9
=
225
3
=
75
1
= 75
En vez de simplificar, también podríamos haber dividido directamente el numerador por el
denominador de la fracción obtenida:
2700 : 36 = 75
De las 180 obras de la exposición son fotografías en blanco y negro 75.

SOLUCIONES MATEMÁTICAS PÁG. 12, SABER HACER
1) Antes de empezar a resolver los distintos apartados pasaremos a fracción cada número mixto:
3
1
2
=
3 x 2 + 1
2
=
6 + 1
2
=
7
2
2
1
2
=
2 x 2 + 1
2
=
4 + 1
2
=
5
2
5
1
4
=
5 x 4 + 1
4
=
20 + 1
4
=
21
4
● ¿Cuánto pesan las fresas y las uvas?
3
4
+
1
2
=
3
4
+
2
4
=
5
4
4 = 22
, 2 = 2  m. c. m. (4, 2) = 22
= 4
4 : 2 = 2, 2 x 1 = 2
Las fresas y las uvas pesan
5
4
kg.
● ¿Cuánto pesan las fresas más que las uvas?
3
4
-
1
2
=
3
4
-
2
4
=
1
4
4 = 22
, 2 = 2  m. c. m. (4, 2) = 22
= 4
4 : 2 = 2, 2 x 1 = 2
Las fresas pesan
1
4
kg más que las uvas.
● ¿Cuánto pesan las naranjas más que las patatas?
5
1
4
- 3
1
2
=
21
4
-
7
2
=
21
4
-
14
4
=
7
4
4 = 22
, 2 = 2  m. c. m. (4, 2) = 22
= 4
4 : 2 = 2, 2 x 7 = 14
Las naranjas pesan
7
4
kg más que las patatas.

● ¿Cuánto pesa todo el pedido que ha preparado Marta?
3
4
+ 3
1
2
+ 2
1
2
+
1
2
+ 5
1
4
=
3
4
+
7
2
+
5
2
+
1
2
+
21
4
=
3
4
+
14
4
+
10
4
+
2
4
+
21
4
=
50
4
=
25
2
4 = 22
, 2 = 2  m. c. m. (4, 2) = 22
= 4
4 : 2 = 2, 2 x 7 = 14, 2 x 5 = 10, 2 x 1 = 2
Todo el pedido que ha preparado Marta pesa
25
2
kg, es decir, 25 : 2 = 12’5 kg.
● Marta tenía en su puesto 42 kg de naranjas. ¿Cuántas bolsas tenía?
42 : 5
1
4
=
42
1
:
21
4
=
42 x 4
21 x 1
=
168
21
=
56
7
=
8
1
= 8
En vez de simplificar, también podríamos haber dividido directamente el numerador por el
denominador de la fracción obtenida: 168 : 21 = 8
Marta tenía en su puesto 8 bolsas de naranjas.
● De los 42 kg de naranjas dos tercios son de origen español y de ellos tres cuartos vienen de
Valencia. ¿Cuántos kilos de naranjas vienen de Valencia?
3
4
de
2
3
=
3
4
x
2
3
=
3 x 2
4 x 3
=
6
12
=
3
6
=
1
2
Es decir,
1
2
de los 42 kg de naranjas son de origen español y vienen de Valencia, luego:
42 x
1
2
=
42
1
x
1
2
=
42 x 1
1 x 2
=
42
2
= 21
O, más sencillamente: 42 : 2 = 21
Entonces 21 de los 42 kg de naranjas vienen de Valencia.

SOLUCIONES MATEMÁTICAS PÁG. 13, REPASO 5
1) Recuerda que debes tener en cuenta la prioridad de las operaciones: calcula primero los
paréntesis; después las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen; por último,
las sumas y las restas en el orden en que aparecen.
● 7 – 2 + 3 = 5 + 3 = 8
● 9 x 6 + 4 x 2 = 54 + 8 = 62
● 25 : (7 – 2) = 25 : 5 = 5
● 24 : 3 – 63 : 9 = 8 – 7 = 1
● 6 x 3 – 4 = 18 – 4 = 14
● 7 + 122 – 56 : 7 = 7 + 122 – 8 = 129 – 8 = 121
2) Recuerda los criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5.
● Divisible por 2  64 ● Divisible por 3  243 ● Divisible por 5  3.125
● Divisible por 7  343 ● Divisible por 11  121 ● Divisible por 13  169
3)
● – 9 < – 4 < – 3 < – 1 < + 3 < + 11
● – 8 < – 6 < – 5 < + 4 < + 5 < + 10
4)
● En el primer caso vemos que los dos ángulos, el rojo y el azul, suman un ángulo llano, es
decir, de 180º. Entonces el ángulo azul A medirá:
A = 180º – 104º = 76º
● En el segundo caso vemos que los dos ángulos, el rojo y el azul, suman un ángulo recto, es
decir, de 90º. Entonces el ángulo azul A medirá:
A = 90º – 15º = 75º
● En el tercer caso vemos que los ángulos rojo y violeta son opuestos por el vértice y, por tanto,
iguales entre sí. Lo mismo ocurre con la otra pareja de ángulos, el azul y el verde. Así pues, el
ángulo violeta mide lo mismo que el rojo, 47º. Y vemos que el ángulo violeta y el azul (o el
verde, recuerda que son iguales) suman un ángulo llano, es decir, de 180º. Entonces el ángulo
azul y el verde miden ambos: 180º – 47º = 133º.

1) 17’54 > 17’49 > 17’43
2) Observa que, aunque te pueda sorprender, hay muchísimos números que cumplen cada una
de las condiciones que te piden (infinitos, de hecho). Te ofrecemos en cada caso una solución
y algunos ejemplos más:
● Es mayor que 9 y menor que 10: 9’3. También: 9’001, 9’09, 9’7, 9’85, 9’999…
● Es mayor que 9’4 y menor que 9’6: 9’5. También: 9’41, 9’45, 9’496, 9’58, 9’593…
● Es mayor que 9’5 y menor que 9’6: 9’55. También: 9’51, 9’58, 9’597, 9’5438…
● Es mayor que 9’56 y menor que 9’57: 9’565. También: 9’561, 9’568, 9’5693, 9’56038…
Ahora ordenaremos las soluciones de menor a mayor: 9’3 < 9’5 < 9’55 < 9’565
3)
● 1’44 < 1’49 < 1’5 < 1’52 < 1’63 < 1’65
● El día que Rebeca recorrió más kilómetros fue el viernes, 6’42 km. El día que Rebeca
recorrió menos kilómetros fue el lunes, 5’5 km.

1)
A las unidades A las décimas A las centésimas
7’245 7 7’2 7’25
18’412 18 18’4 18’41
63’823 64 63’8 63’82
19’455 19 19’5 19’46
23’999 24 24’0 = 24 24’00 = 24
2) Como sabes, hay infinitos números que cumplen cada una de las condiciones que te piden.
Te ofrecemos en cada caso algunas soluciones, pero asegúrate de que las tuyas están bien.
● Su aproximación a las décimas es 7’1: 7’08 – 7’12 – 7’142 – 7’075 – 7’1306
● Su aproximación a las centésimas es 8’43: 8’434 – 8’426 – 8’4328 – 8’42501
● Su aproximación a las unidades es 5: 4’6 – 4’73 – 5’2 – 5’44 – 4’9999
● Un número mayor y otro menor que 5’7 y que su aproximación a las décimas sea 5’7:
Mayor que 5’7: 5’72 – 5’709 – 5’74 Menor que 5’7: 5’68 – 5’656 – 5’67021
● Su aproximación a las décimas es 6’4 y a las centésimas es 6’42: 6’424 – 6’419 – 6’4207
● Su aproximación a las unidades es 6 y a las décimas es 5’9: 5’93 – 5’9408 – 5’87 –
5’85601
3)
● La maleta roja pesa 21’58 kg y su aproximación a las unidades es 22 kg.
● La maleta amarilla pesa 8’35 kg y su aproximación a las décimas es 8’4 kg.
● La maleta amarilla pesa 4’317 kg y su aproximación a las centésimas es 4’32 kg.
Existen otros pesos posibles que pueden ser la solución en el tercer caso:
4’315 – 4’316 – 4’318 – 4’319

1)
● 16’89 + 34’7 = 51’59 ● 52’9 + 9’87 = 62’77
● 823’6 + 76’38 = 899’98 ● 52’9 + 762 = 814’9
2)
● 46’89 – 34’7 = 12’19 ● 52’9 – 9’87 = 43’03 ● 72’9 – 25’983 = 46’917
● 69’5 – 3’81 = 65’69 ● 321’9 – 75’58 = 246’32 ● 502 – 83’632 = 418’368
3)
● 5’67 + 2’6 – 3’18 = 8’27 – 3’18 = 5’09
● 45’8 – (4’87 + 2’6) = 45’8 – 7’47 = 38’33
● 9’54 – 2’8 + 12’76 = 6’74 + 12’76 = 19’5
● 89’6 – (34’6 – 8’25) = 89’6 – 26’35 = 63’25

SOLUCIONES MATEMÁTICAS PÁG. 17
4)
● 3’67 +
3
10
= 3’67 + 0’3 = 3’97 ● 27’5 +
6
100
= 27’5 + 0’06 = 27’56
● 82’6 +
7
1000
= 82’6 + 0’007 = 82’607 ● 56’439 +
8
10
= 56’439 + 0’8 = 57’239
● 1’765 +
23
100
= 1’765 + 0’23 = 1’995 ● 9’47 +
14
1000
= 9’47 + 0’014 = 9’484
5)
● 490 – (345’90 + 95’50) = 490 – 441’40 = 48’60 € le sobraron.
● 980 – (75’50 + 120’75) = 980 – 196’25 = 783’75 kg más se pueden cargar.
● 2 x 1’25 + 2 x 0’75 = 2’50 + 1’50 = 4 m de listón ha utilizado.
También: 2 x (1’25 + 0’75) = 2 x 2 = 4 m de listón ha utilizado.

1)
4’7 8 2 4 5’6 3 7’6 3 2
x 4’6 x 9’2 x 0’2 7
2 8 6 9 2 9 1 2 6 5 3 4 2 4
1 9 1 2 8 4 1 0 6 7 . 1 5 2 6 4 .
2 1’9 9 7 2 4 1 9’7 9 6 2’0 6 0 6 4
5’4 3 2 9 5’4 3 0’9 8 7
x 7’9 x 4 2 x 0’7 4
4 8 8 8 8 1 9 0 8 6 3 9 4 8
3 8 0 2 4 3 8 1 7 2 . 6 9 0 9 .
4 2’9 1 2 8 4 0 0 8’0 6 0’7 3 0 3 8
2)
2
x 0′2
0’4
x 0′2
0’08
x 0′2
0’016
x 0′2
0’0032
10
x 0′5
5
x 0′5
2’5
x 0′5
1’25
x 0′5
0’625
3)
● En total han gastado 420 € en la promoción.
0’3 5
x 1 2 0 0
7 0
3 5 .
4 2 0’0 0
● Marina ha gastado en total 8 x 2’15 + 9 x 1’25 = 17’20 + 11’25 = 28’45 €.
2’1 5 1’2 5 1 7’2 0
x 8 x 9 + 1 1’2 5
1 7’2 0 1 1’2 5 2 8’4 5

1) Recuerda que para estimar primero hay que aproximar (al orden que se indica o al que te
parezca más conveniente) y después calcular, nunca al revés.
● 124’83 + 98’27
Aproximando a las unidades
125 + 98 = 223
● 64’7 + 92’43
65 + 92 = 157
● 245’9 – 76’378
246 – 76 = 170
● 87’761 + 8’63
Aproximando a las décimas
87’8 + 8’6 = 96’4
● 63’62 – 9’81
63’6 – 9’8 = 53’8
● 234’76 – 68’62
234’8 – 68’6 = 166’2
● 9’564 + 18’562
Aproximando a las centésimas
9’56 + 18’56 = 28’12
● 34’219 + 6’624
34’22 + 6’62 = 40’84
● 90’282 – 8’739
90’28 – 8’74 = 81’54
2) ¿Cuál es el orden más adecuado para aproximar? Los precios del problema llegan hasta las
centésimas (lógico, ya que la moneda de menor valor de nuestro sistema monetario es el
céntimo), luego sólo podríamos aproximar a las décimas, a las unidades o a las decenas. En
este caso concreto, parece más lógico aproximar a las unidades. Si lo hiciéramos a las
décimas, prácticamente no habría diferencia con los datos reales del problema. En cambio, si
lo hiciéramos a las decenas la diferencia podría ser demasiada. Por tanto:
● 15’85
16
● 8’90
9
● 39’90
40
■ 5 x 16 = 80 € recaudó Marta aproximadamente por los pantalones.
■ 7 x 9 = 63 € recaudó Marta aproximadamente por las camisetas.
■ 4 x 40 = 160 € recaudó Marta aproximadamente por las deportivas.

SOLUCIONES MATEMÁTICAS PÁG. 20, SABER HACER
1) Lee y resuelve.
● ¿Cuántos metros en total miden las dos secuoyas de menor altura?
Son la General Sherman y la Lost Monarch. Por tanto:
84’3 + 98 = 182’3 m miden en total las dos secuoyas de menor altura.
● ¿Cuántos metros en total miden las dos secuoyas de mayor altura?
Son la Howland Hill Giant y la Fusion Grant. Por tanto:
100’6 + 106’3 = 206’9 m miden en total las dos secuoyas de mayor altura.
● ¿Cuántos metros mide la secuoya de mayor altura más que la de menor altura?
Son la Fusion Grant y la General Sherman. Por tanto:
106’3 – 84’3 = 22 m mide la secuoya de mayor altura más que la de menor altura.
● ¿Cuántos metros aproximadamente miden las tres secuoyas de mayor altura?
Son la Lost Monarch, la Howland Hill Giant y la Fusion Grant. Por tanto:
- Lost Monarch: 98 m
98 m
- Howland Hill Giant: 100’6 m
101 m
- Fusion Grant: 106’3 m
106 m
● ¿Cuántos metros le faltan al diámetro de cada ejemplar para medir 1’5 dam?
1’5 dam x 10 = 15 m. Por tanto:
- General Sherman: 15 – 11 = 4 m le faltan al diámetro para medir 1’5 dam.
- Lost Monarch: 15 – 7’9 = 7’1 m le faltan al diámetro para medir 1’5 dam.
- Howland Hill Giant: 15 – 5’85 = 9’15 m le faltan al diámetro para medir 1’5 dam.
- Fusion Grant: 15 – 6’8 = 8’2 m le faltan al diámetro para medir 1’5 dam.

● ¿Cuántos metros aproximadamente mide el diámetro de cada ejemplar?
- General Sherman: 11 m
11 m
- Lost Monarch: 7’9 m
8 m
- Howland Hill Giant: 5’85 m
6 m
- Fusion Grant: 6’8 m
7 m

SOLUCIONES MATEMÁTICAS PÁG. 21, REPASO
1)
Potencia Base Exponente Lectura Producto Valor
22
2 2 dos elevado al cuadrado 2 x 2 4
23
2 3 dos elevado al cubo 2 x 2 x 2 8
63
6 3 seis elevado al cubo 6 x 6 x 6 216
104
10 4 diez elevado a la cuarta 10 x 10 x 10 x 10 10.000
113
11 3 once elevado al cubo 11 x 11 x 11 1.331
124
12 4 doce elevado a la cuarta 12 x 12 x 12 x 12 20.736
2)
● 36 = 6 porque 62
= 36 ● 49 = 7 porque 72
= 49
● 64 = 8 porque 82
= 64 ● 81 = 9 porque 92
= 81
● 100 = 10 porque 102
= 100 ● 400 = 20 porque 202
= 400
3)
● Cuatro números mayores que - 7: es mayor que - 7 cualquier número que esté a su
derecha. Por ejemplo: - 3, - 1, 0 y +5.
● Cuatro números menores que + 1: es menor que + 1 cualquier número que esté a
su izquierda. Por ejemplo: 0, - 2, - 8 y - 9.
● Cuatro números mayores que - 10 y menores que 0: cumple la condición cualquier
número que esté a la derecha de - 10 y a la izquierda de 0, es decir, entre - 10 y 0. Por
ejemplo: - 7, - 5, - 4 y - 1.

4)
● Los múltiplos de 2: rodearás en verde 20, 30, 32, 50 y 72.
● Los múltiplos de 3: rodearás en rojo 15, 27, 30, 45, 72 y 81.
● Los múltiplos de 5: rodearás en azul 15, 20, 30, 45 y 50.
● Son múltiplos de 2 y de 3: 30 y 72.
● Son múltiplos de 3 y de 5: 15, 30 y 45.
● Son múltiplos de 2, de 3 y de 5: 30.

1) Recuerda que para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros (10, 100,
1.000, 10.000, etc.) se mueve la coma decimal hacia la izquierda tantos lugares como ceros
acompañen a la unidad (se mueve un lugar si divides por 10, dos lugares si divides por 100,
tres si divides por 1.000, etc.).
● 1.267’9
dividido por 10
126’79
dividido por 10
12’679
dividido por 10
1’2679
● 5.273’5
dividido por 100
52’735
dividido por 100
0’52735
dividido por 100
0’0052735
● 9.146’2
dividido por 1000
9’1462
dividido por 1000
0’0091462
dividido por 1000
0’0000091462
2)
1 2’5 6 5 | 5 1 3 4’4 | 7 . 9 6 9’3 | 9 .
2 5 2’5 1 3 6 4 1 9’2 0 6 9 1 0 7’7
0 6 1 4 6 3
1 5 0 0
0
3 5’4 8 4 | 1 2 2 3 0’7 5 | 2 5 . 7 2’8 6 4 | 3 2 .
1 1 4 2’9 5 7 5 7 9’2 3 8 8 2’2 7 7
6 8 7 5 2 4 6
8 4 0 2 2 4
0 0
3) Para encontrar el factor que falta bastará con dividir el resultado de la multiplicación
(producto) por el factor que conocemos:
● 3 x 9’71 = 29’13 ● 15 x 6’3 = 94’5 ● 26 x 5’7 = 148’2 ● 42 x 3’2 = 134’4
2 9’1 3 | 3 9 4’5 | 1 5 . 1 4 8’2 | 2 6 .
2 1 9’7 1 4 5 6’3 1 8 2 5’7
0 3 0 0
0
1 3 4’4 | 4 2
0 8 4 3’2
0

1) Como sabes, para poder empezar a dividir números decimales nos tenemos que asegurar de
que el divisor no tenga “coma decimal”, es decir, que sea un número entero. ¿Qué hacemos
cuando el divisor es decimal? Transformamos la división en otra equivalente, es decir, otra
división en la que obtengamos el mismo cociente pero que no tenga coma en el divisor. Para
conseguirlo bastará con multiplicar el divisor y el dividendo por la unidad seguida de tantos
ceros (10, 100, 1.000, 10.000, etc.) como cifras decimales tenga el divisor. Vamos a practicar:
● 435 : 1’5
multiplicamos por 10 dividendo y divisor
4.350 : 15 es la división equivalente obtenida.
● 688 : 3’2
● 936 : 0’45
● 5.876 : 2’6
● 5.166 : 0’75
● 51 : 0’024
multiplicamos por 1.000 dividendo y divisor
4 3 5 0 | 1 5 6 8 8 0 | 3 2 . 9 3 6 0 0 | 4 5 .
1 3 5 2 9 0 4 8 2 1 5 3 6 0 2 0 8 0
0 0 0 1 6 0 0 0 0
0 0
5 8 7 6 0 | 2 6 5 1 6 6 0 0 | 7 5 . 5 1 0 0 0 | 2 4 .
6 7 2 2 6 0 6 6 6 6 8 8 8 3 0 2 1 2 5
1 5 6 6 6 0 6 0
0 0 0 6 0 0 1 2 0
0 0

2)
● 190 : 0’95
1 9 0 0 0 | 9 5 La caja tiene 200 peines..
0 0 0 2 0 0
● 36 : 2’25
3 6 0 0 | 2 2 5 En la caja hay 16 botes de champú..
1 3 5 0 1 6
0
● 12 : 0’75
1 2 0 0 | 7 5 Puede comprar 16 esponjas con 12 €..
4 5 0 1 6
0
● 12 : 1’50
120 : 15 es la división equivalente obtenida.
1 2 0 | 1 5 Puede comprar 8 botes de gel con 12 €..
0 8

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