Destrezas%20 básicas%20de%20matemáticas[1] (1) (1)

Destrezas Básicas De
Matemáticas
Destrezas Básicas De Matemáticas
Alfredo Rivera Mejías
Operaciones con Conjuntos Razón, Proporción y Por Ciento
Fracciones Comunes Operaciones con Enteros
Fracciones Equivalentes Expresiones Algebraicas
Fracciones Mixtas e Impropias Ecuaciones con una Variable
Multiplicación y División de Fracciones Inecuaciones Lineales
Suma y Resta de Fracciones Los Reales
Operaciones con Decimales Factorización de Polinomios















Operaciones Con
Conjuntos
Matemáticas

Unión de dos o más conjuntos: es un nuevo conjunto
formado por los miembros de esos conjuntos dados.
El símbolo “U” significa unión.
Ejemplo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 5, 7}.
Halla:
• A U B =
• A U C =
• B U C =
• A U B U C =
{ }= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
{ } = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
{ }= {1, 2, 3, 5, 7, 9}
{2, 4, 6, 1, 3, 5, 7, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9
,
2, 4, 6 2 3, 5, 7
,
1, 3, 5, 7, 9 3, 5, 72
,
2, 3, 5,, 7
A U B

Intersección de dos o más conjuntos: es un nuevo
conjunto formado por los miembros que tienen en
común los conjuntos dados. El símbolo “” significa
intersección. Si los conjuntos no contienen miembros
en común, la intersección es el conjunto vacío { }.
Ejemplo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 5, 7}.
Halla:
• A  B =
• A  C =
• B  C =
• (A U B)  C =
• (A  C) U (B  C) =
{ } ó 
{ }
{ }
{2, 4, 6, 1, 3, 5, 7, 9}  {2, 3, 5, 7}
= { }
U = {2, 3, 5, 7}
22 3, 3,5, 5,7 7
2, 2,3, 3,5, 5,7 7
A U B
{2 }
{3, 5, 7 }

Fracciones Comunes
Matemáticas

Utilizamos fracciones para representar cantidades
que no son enteras. ¿Qué fracción de toda la figura
representa la parte pintada de amarillo?
½ 5
2
8
3
¿Puedes ver que 2/5 y 3/8 representan menos de
la mitad de sus respectivas figuras? Quiere decir
que 2/5 < 1/2 y 3/8 < 1/2. No es tan fácil
comparar 2/5 y 3/8 visualmente.
rdenominado
numerador
enteroaldividesqueenpartesdetotal
sseleccionaqueenterodelpartes
fraccion



5
2
8
3
Para comparar el tamaño de dos fracciones dadas,
multiplica cruzado de la siguiente forma:
el numerador de la primera por el denominador
de la segunda fracción
el denominador de la primera por el numerador
de la segunda fracción
comparamos ambos resultados. Si el primero es
mayor, la primera fracción es la mayor.
8
3
5
2
2(8) = 16
3(5) = 15 Como el primer resultado 2(8)
es mayor que el segundo 5(3),
entonces 2/5 > 3/8.

Ejemplo: Compara las siguientes fracciones.
7
6
6
5
1)
5(7) = 35
6(6) = 36
7
6
6
5

14
3
9
2
2)
2(14) = 28
9(3) = 27
14
3
9
2

12
8
9
6
3)
6(12) = 72
9(8) = 72
12
8
9
6

Cuando dos o más fracciones son iguales se dice
que son equivalentes. Las fracciones equivalentes
6/9 y 8/12 representan la misma parte de un
entero, aunque sus respectivos numeradores y
denominadores no son iguales.

Fracciones equivalentes
La siguiente región pintada de amarillo es la mitad
de toda la figura, o sea, representa a la fracción ½.
½
La próxima figura es idéntica a ésta,
pero dividida en 4 partes iguales.
¿Como comparan sus dos regiones
amarillas con la de la primera figura?
Vea que 1/2 = 2/4.
Podemos
comprobarlo de la
siguiente manera:
¼ ¼
4
2
2(2)
1(2)
2
2
.
2
1

Hallas fracciones equivalentes al multiplicar el
numerador y el denominador por el mismo número.

10
3
2)
7
4
1)
dada.laaesequivalent
seanquefraccionestresHalla:Ejemplo
14
8
2
2
.
7
4

21
12
3
3
.
7
4

28
16
4
4
.
7
4

28
16
21
12
14
8
7
4

20
6
2
2
.
10
3

50
15
5
5
.
10
3

100
30
10
10
.
10
3

100
30
50
15
20
6
10
3


La siguiente región, pintada de amarillo,
representa la fracción 6/15.
La siguiente figura es idéntica
a ésta, pero dividida en 5
partes iguales, en lugar de 15.
¿Cómo comparan las 6
regiones amarillas del primer
círculo con las 2 del segundo?
Vea que 6/15 = 2/5. Podemos
comprobarlo de la siguiente
manera:
5
2
3
3
15
6

Hallas fracciones equivalentes al dividir el
numerador y el denominador por el mismo número.

24
18
2)
10
8
1)
.fraccionessiguienteslasSimplifica:Ejemplo
Si puedes conseguir un número que divida al
numerador y el denominador de una fracción dada,
obtienes una fracción más simple y equivalente a
la original. Para hallar ese número, buscas todos
los factores del numerador y del denominador. La
fracción más simple la obtienes al dividir entre el
mayor factor común.
5
4
2
2
10
8

4
3
6
6
24
18

Factores de 18: 2, 9, 3, 6, 18
Factores de 24: 2, 12, 3, 8, 4, 6, 24
Factores de 8: 2, 4, 8
Factores de 10: 2, 5, 10

Como las fracciones representan cantidades que
no son enteras, entonces ocupan posiciones entre
los números enteros en la recta numérica.
ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı
0 1 2 3 4
Cada entero está dividido
en 6 partes iguales. Por
lo tanto, las fracciones
correspondientes son
sextos.
6
11
6
5
1  6
19
6
1
3 
mixta impropia
Podemos cambiar fracciones mixtas a impropias y
viceversa.

ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı
0 1 2 3 4
6
11
6
5
1  6
19
6
1
3 
Cambiar fracciones mixtas a impropias y viceversa
Mixtas a impropias:
Impropias a mixtas:
rdenominado
numeradoro)or).(enter(denominad
denomidor
numerador
Entero

 mixta
impropia
rdenominado
residuo
cociente
rdenominado
numerador
residuo
cociente
numeradorrdenominado
rdenominado
numerador


6
11
6
56(1)
6
5
1
:Ejemplo

 
1
18-
3
3
196
6
19
6
1

x
+

Ejemplo: Completa la siguiente tabla.
mixta impropia
4
3
5 4
23
4
34(5)
4
3
5  
7
30
2
28-
4
4
307 7
2


Multiplicación y División de Fracciones

Multiplicación de fracciones
Al multiplicar dos o más fracciones se obtiene
una nueva fracción, cuyo numerador es el
producto de los numeradores de las fracciones
dadas; el denominador lo obtienes multiplicando
los denominadores originales.
Si algún factor es una fracción mixta, lo cambias
a impropia antes de multiplicar. Los factores
enteros los podemos escribir con denominador 1.
2.42)
2
1
.
4
3
.
7
5
1)
producto.elHalla:Ejemplo
3
2


7(4)(2)
5(3)(1)
56
15

1
2
3
14
 3
1
9
3
28
 1
27
9
283

División de fracciones
Sugerimos los siguientes pasos:
Si hay alguna fracción mixta o entero, los
cambiamos a impropia.
Luego cambiamos la división a multiplicación.
Invertimos el numerador y el denominador de la
segunda fracción. (escribir el recíproco)
Has convertido una división en una
multiplicación de fracciones. Por lo tanto aplicas
la manera como las multiplicas.
242)
4
3
7
5
1)
resultado.elHalla:Ejemplo
3
2

 
3
4
7
5
21
20

1
2
3
14

2
1
3
14
6
14 2
 2 3
7

1
6
2
73
3
1
2

Ejemplo: Halla el resultado en la forma más simple.
213)
9
5
6
5
2)
6
5
.
7
2
1)
5
2
3
1



1
2
5
7
3
1

7(6)
2(5)

5
9
.
6
5

42
5
2
1
7
5
3
1

42
10  2
 2 21
5

30
45  15
 15 2
3

1
2
1
32
2
1
1

Suma de fracciones
15
4
+ 15
7
= 15
11
Podemos sumar (o restar) las fracciones si sus
denominadores son iguales.

9
4
-
9
5
2)
11
5
11
3
1)
resultado.elHalla:Ejemplo
11
8
9
1
Las fracciones que tienen los denominadores iguales son
homogéneas.

¡Quiere decir que no podemos sumar los denominadores!
2
1
+
4
1
4
3
=
.
6
2
4
1
2
1
deresultadoelqueObserva 
Las fracciones con denominadores diferentes son
heterogéneas.

Para sumar fracciones heterogéneas hay que
cambiarlas a fracciones equivalentes que sean
homogéneas.
El denominador que tendrán las fracciones homogéneas
es el múltiplo común más pequeño de los denominadores
de las fracciones heterogéneas originales. Ese múltiplo
común lo consigues en la tabla de multiplicación de cada
denominador.
Ejemplo: ½ + ¼ = ___
Múltiplos del 2: 2, 4, 6, 8, 10, …
Múltiplos del 4: 4, 8, 12, 16, …
El mínimo denominador
común es el 4.
4
1
2
1

Hay que cambiarlas a
fracciones equivalentes
que tengan el mismo
denominador (el 4).
2
2

1
1

4
2

4
1

4
3

Ejemplo: 1/6 + 3/8 = ___
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 32, 48, …
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 48, …
El mínimo común
denominador es 24.
8
3
6
1

que tengan el mismo
denominador (el 24).
4
4

3
3

24
4

24
9

24
13

2
Otra forma de conseguir el mínimo común denominador
es mediante el método de factorizar completamente
a los denominadores de las fracciones dadas.
Ejemplo: 1/6 + 3/8 = ___
Factorice completamente
cada denominador.
6 = 2(3)
8 = 4(2) = 2(2)(2) =
Seleccione todos los factores
de ambos denominadores. Si
alguno se repite, escoja el que
tiene el mayor exponente.
MCD =
Ejemplo: Halla el MCD para 11/30 – 7/36
30 = 6(5) = 2(3)(5)
36 = 4(9) = 2(2)(3)(3) =
MCD = = 180
Múltiplos del 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, …
Múltiplos del 36: 36, 72, 108, 144, 180, …
2³
2(3)
= 24
22
(3)2
2
2
(3)(5)
(3)² ²
³

Como el mínimo común denominador para 30 y 36
es 180, podemos cambiar 11/30 y 7/36 a
fracciones equivalentes con denominador 180.
Entonces podemos calcular 11/30 + 7/36.
36
7
30
11

que tengan el mismo
denominador (el 180).
6
6

5
5

180
66

180
35

180
101

Operaciones Con
Decimales
Matemáticas

fracción
decimal
parte
entera
Otra manera de expresar partes de una cantidad
entera es mediante el uso de decimales. Éstos son
números separados por un punto decimal. Los
números escritos a la izquierda de dicho punto
representan cantidades enteras; los de la derecha
son fracciones decimales.
514 . 382
punto decimal
Si aparece un número escrito sin punto, como por
ejemplo, el 17, es porque es entero. Quiere decir que lo
lleva a la derecha, o sea, 17 = 17. = 17.0 = 17.00 etc…
Cada número individual que compone a un decimal es un
dígito de ese decimal. El valor de cada dígito depende de
la posición que éste ocupa en el numeral.
numeral

3 , 3 3 3 . 3 3 3
unidades
Valor: 3
decenas
Valor: 30
centenas
Valor: 300
millar
Valor: 3,000
10
3
:Valor
décimas
100
3
:Valor
centésimas
1000
3
:Valor
milésimas
punto decimal
Vea que el dígito “3” tiene diferentes valores, de acuerdo
a la posición que ocupa en el numeral.
El nombre que damos a las posiciones decimales a la
derecha del punto nos sirve para leer los numerales.
0.15
5.024
Se lee: quince centésimas
Se lee: cinco con veinticuatro milésimas

Ejemplo: Completa la tabla.
numeral lectura Posición que ocupa
el 4 en cada numeral
23.4
0.0042
1.000401
Veintitres con 4 décimas décimas
Cuarenta y dos diez milésimas milésimas
Uno con cuatro cientos
una millonésimas
Diez milésimas
Mientras más a la derecha sea la posición que ocupa un
dígito en un numeral, menor es el valor de ese dígito.
En ocaciones, cuando un numeral contenga muchas
posiciones decimales, y no sea necesaria tanta precisión,
podemos aproximarlo con otro, que tenga menos dígitos. A
ese proceso se le conoce como redondeo.
A continuación presentamos las reglas de redondeo al
dígito deseado.

1.3845
Reglas de redondeo a un dígito en específico:
Localiza en el numeral el dígito que deseas redondear.
Observa el dígito que le sigue a la derecha:
Si es menor que 5, el dígito que deseas redondear se
queda igual.
Si es 5, 6, 7, 8 ó 9, le sumas 1 al dígito que vas a
redondear.
Eliminas todos los dígitos a la derecha de la posición que
redondeaste. (si esa posición está a la derecha del punto)
numeral Redondea a:
décima centésima milésima
1 . 3845
24.0499
1.3845
1.4
24.0499
24.0499
24.0
1.3845
1.3845
1.38
24.0499
24.0499
24.05
1.3845
1.3845
1.385
24.0499
24.0499
24.050

41.24
- 8.2534
31 781
4.3
.25
18.231
+ 9. .
.
Suma y resta de decimales
Los decimales que vas a sumar o restar, vas a
colocarlos verticalmente, de manera que sus puntos
queden alineados uno debajo del otro. (Puede
ayudar, en ocasiones, escribir ceros en algunas
posiciones que quedan sin llenar). Entonces sumas
o restas como si fueran enteros, y escribes el punto
decimal del resultado directamente debajo de los
demás puntos alineados.
Ejemplo: Halla 4.3 + .25 + 18.231 + 9 =
9 = 9.
Ejemplo: Halla 41.24 – 8.2534 =
00
32 9866.

Multiplicación de decimales
Pasos para multiplicar decimales:
Colocas los factores verticalmente y luego los multiplicas
como si fueran enteros. No es necesario colocarlos con
sus puntos alineados.
Cuentas la cantidad de lugares decimales que contienen
todos los factores a la derecha del punto decimal.
Colocas el punto en el resultado, de manera que contenga
tantos lugares decimales como los que contaste para los
factores.
Ejemplo: Halla 23.41 x 2.1 =
23.41
x 2.1
2341
4682 .
49161
Dos lugares decimales
Un lugar decimal
En total hay 3 lugares
decimales en los factores
El resultado tiene entonces
3 lugares decimales
.

4
4.413 4
7
1
.
División con decimales
cociente
dividendodivisor
Para dividir decimales es
necesario que el divisor sea un
número entero. Presentamos a
continuación varias situaciones
que pueden surgir.
Caso # 1: Cuando el divisor es entero.
divisor
entero Divides como si fueran enteros. Colocas el
punto decimal directamente arriba en el
cociente.
1
- 3
1
- 12
2
- 21
0

44.1.03
.14 70
0.
cociente
dividendodivisor
Caso # 2: Cuando el divisor es decimal.
divisor
decimal
Convierte el divisor en entero moviendo el
punto decimal los lugares que sean
necesarios. Mueve también el punto
decimal del dividendo la misma cantidad
de lugares que lo hiciste con el divisor. A
veces es necesario añadir ceros para
lograrlo.
Sube el punto directamente arriba en el
cociente, y luego divides como lo haces
con los enteros.
.

441.003
.147 000
000
cociente
dividendodivisor
Caso # 3: Cuando el dividendo es entero.
Convierte el divisor en entero moviendo el
punto decimal los lugares que sean
necesarios. Como el dividendo es entero,
le escribimos el punto decimal a la
extrema derecha. Mueve también ese
punto la misma cantidad de lugares que lo
hiciste con el divisor. A veces es necesario
añadir ceros para lograrlo.
Sube el punto directamente arriba en el
cociente, y luego divides como lo haces
con los enteros.
. . .

Escribe cada ejercicio de la manera en que colocas
los decimales para empezar a resolver, pero no
resuelvas.
1) 13.4 + 1.25 + .503 + 2 2) 21.84 – 7.1
3) 1.52 x 1.3 4) 21.63 x .008
5) 1.82  1.4 6) 9  2.25
1) 2) 3) 4)
13.4 21.84 1.52 21.63
1.25 - 7.1 . x 1.3 x .008
.503
+ 2. .
92.251.821.4
6)5)

A los siguientes ejercicios se les ha escrito el
resultado, pero les falta el punto decimal. Coloca el
punto donde corresponde.
92.256)
31
1.821.45)
35171
2.
4037167914741.503
.008x1.3x7.1-1.25
21.634)1.523)21.842)13.41)

4
.
. . .
.
0 0
.

Razón, Proporción y
Por Ciento

Razón: Es una relación o comparación entre dos
cantidades.
.
y
x
oy:x
:expresarpuedesey""ax""
derazónlaentonces,cantidadesdossony""yx""Si
Ejemplo: La razón de
niños a niñas que van
en la guagua es 4/2.
Como una razón es
una fracción, podemos
simplificarla como 2/1.
Una fracción es una razón en la cual se comparan dos
números mediante una división.

Ejemplo: Tato Ponchao ha dado 2 “hits” en 5
turnos al bate. Escribe usando una razón.
5
2

Proporción: Es una relación en la cual dos
razones son iguales.
.proporciónunaes
r
t
q
p
entonces
,r""at""delaaigualesq""ap""derazónlaSi

r
t
q
p

extremos
medios
En los problemas que puedes resolver usando
proporciones, serán dados 3 de los 4 números que la
componen. Puedes usar una variable para el número que
falta. Para conseguir su valor, debes seguir los siguientes
pasos.

Ejemplo: ¿Cuál número es a 3 como 10 es a 15?
Pasos para resolver proporciones
1) Identifica los 3 números conocidos y el que
falta. Escribe la proporción que les corresponde.
Es importante dónde colocas cada número.
2) Iguala el producto de los extremos y el
producto de los medios. Esa igualdad es una
ecuación que tiene una variable.
3) Divide ambos lados de la ecuación entre el
coeficiente de la variable. De esa manera dejas la
variable sola.
4) Simplifica. El número que obtienes es el
número que completa la proporción.
15
10
3
x

15x = 30
3015x 
x = 2
15 15

Ejemplo: Una gallina pone 3 huevos cada 4 días.
¿Cuántos pondrá en un mes?
30
x
5
3

5x = 90
905x 
x = 18 huevos en un mes
5 5

Ejemplo: Una fotografía que tiene 6 pulgadas de
ancho por 8 de largo, se va a ampliar a un ancho
de 15 pulgadas. ¿Cuál será el largo de la
ampliación?
x
15
8
6

6x = 120
1206x 
x = 20 pulgadas de largo
6 6

Por ciento: Es la relación o comparación de
una cantidad con el 100.
Ejemplo:
60% significa 60 de 100, 45% significa 45 de 100.
Relación entre fracciones, decimales y por ciento
Por ciento fracción decimal
60%
¾
0.45
100
60
20
20
 
100
60
60%
20
28-
0.75
0.75
3.004
4
3

100
75
0.75 
100
45
5
5
45%
100
45

5
3
 0.60
75%
20
9


Completa la tabla
Por ciento fracción decimal
27%
36%
13/100
5/8
0.53
0.64
Realiza los cálculos necesarios en un papel para
hacer los siguientes cambios. Luego compara
con nuestros resultados.
Cambiar por ciento a fracción: escribe el número dado con denominador 100.
Cambiar por ciento a decimal: mueve el punto decimal dos lugares a la izquierda
Cambiar fracción a decimal: divide el numerador entre el denominador.
Cambiar decimal a por ciento: mueve el punto decimal dos lugares a la derecha.
Cambiar fracción a por ciento: cambia a decimal y luego a por ciento.
27/100 0.27
36/100 = 9/25 0.36
0.1313%
0.62562.5%
53/10053%
64/100 = 16/2564%
Cambiar por ciento a fracción: escribe el número dado con denominador 100.
Cambiar por ciento a decimal: mueve el punto decimal dos lugares a la izquierda
Cambiar fracción a decimal: divide el numerador entre el denominador.
Cambiar decimal a por ciento: mueve el punto decimal dos lugares a la derecha.
Cambiar fracción a por ciento: cambia a decimal y luego a por ciento.

La mayoría de las situaciones que tienen que ver
con por cientos contienen tres cantidades
relacionadas entre sí. Por ejemplo: el 20% de 50
es 10.
Generalmente, encontramos la base acompañada de la
palabra “de” y el porcentaje al lado de la palabra “es”.
A esas tres cantidades las identificamos así:
• Base: es el “todo” de esa situación. Algo así como el
parámetro que usamos en la comparación.
• Porcentaje: es la parte de ese todo que comparamos con
la base.
• Tasa: es la razón entre el porcentaje y la base; entre la
parte y el todo. Es fácil reconocerlo porque está
acompañado del signo de %.

Ejemplo: Identifica la base, el porcentaje y el por
ciento en cada situación.
situación base porcentaje por ciento
El 40% de 60 es 24.
15 es el 60% de 25.
60 24 40%
25 15 60%
En los problemas relacionados con por ciento que
estudiaremos a continuación serán dados dos de esas tres
cantidades. La tercera la vamos a conseguir usando
proporciones.
Ejemplo: ¿Cuál es el 20% de 60?
Dado: base = 60, tasa = 20%. Piden el porcentaje, o sea,
que parte de 60 es el 20%.
60
x
100
20
 100x = 1200
x = 12 El 20% de 60 es 12.
100 100

Ejemplo: La maestra le asignó a Marita la lectura
de 20% de 160 páginas de un libro. ¿Cuántas
tiene que leer?
160 = base, 20% = tasa. Nos piden el
porcentaje, es decir, cuál número es el
20% de 160.
160
x
100
20

100x = 3200
x = 32
Marita tiene que leer 32 páginas.
En el siguiente ejemplo será dado el por ciento y el
porcentaje, para hallar la base.
100 100

Ejemplo: Si 30 es el 60% de un número, halla ese
número.
30 = porcentaje, 60% = tasa. Nos piden la base,
es decir, a cuál número le aplicamos el 60% y
obtenemos 30.
x
30
100
60

60x = 3000
300060x 
x = 50
60 60

5 lb 5 lb
Ejemplo: Tato ha levantado las pesas 8 veces, o
sea, el 40% de las veces que lo ha intentado.
¿Cuántas veces lo ha intentado?
x
8
100
40

40x = 800
80040x 
x = 20 veces lo ha intentado.
En el siguiente ejemplo será dado la base y el porcentaje,
para hallar la tasa.
40 40

Ejemplo: ¿Qué por ciento es 20 de 80?
20 = porcentaje, 80 = base. Nos piden la tasa, es
decir, el por ciento que representa 20 de 80.
100
x
80
20

80x = 2000
200080x 
x = 25%
80 80

Ejemplo: El gallo Claudio ha conquistado a 36 de
las últimas 48 gallinas de las que se ha
enamorado. ¿Cuál es su por ciento de éxito?
100
x
48
36

48x = 3600
360048x 
x = 75% de éxito.
48 48

Operaciones Con Enteros

Sabemos que los números representan cantidades. Cuando dos
cantidades sean iguales en magnitud, pero una es contraria a la
otra, decimos que una es el opuesto de la otra.
Ejemplo: Uno de los siguientes termómetros marca 20º sobre cero,
mientras que el otro marca 20º bajo cero.
0 0
Esas temperaturas están a
la misma distancia del cero,
pero en direcciones
opuestas. Para distinguirlas,
una de ellas es 20º y la otra
es –(20º). El símbolo “-”
antes de 20º se lee “negativo
20 grados”.
20º
-(20º)

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
0 1 2 3 4 5-1-2-4-3-5
La recta numérica contiene a los números positivos hacia la
derecha del cero. A cada uno de ellos le corresponde un opuesto, a
la misma distancia del cero, pero en dirección contraria. Los
números colocados a la izquierda del cero en la recta numérica son
los negativos.
1 2 3 4 5
PositivosNegativos
Si dos números están a la misma distancia del cero, entonces son
opuestos. El opuesto de un número positivo es negativo, y el
opuesto de uno negativo es positivo. El cero no tiene opuesto. Por
ejemplo, el opuesto de -4 es 4. El opuesto de 3 es -3. La expresión
-(-2) se lee: “el opuesto de -2”. Por lo tanto, -(-2) = 2.

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1
El valor absoluto de un número es su distancia hasta cero. Como
las distancias siempre son positivas, entonces el valor absoluto de
cualquier número siempre es positivo (excepto para el cero, cuyo
valor absoluto es cero). La expresión | -3 | se lee: “valor absoluto
de negativo 3”. Así que | -3 | = 3.
Completa la tabla
número opuesto valor absoluto
-5
-11
9
23
0
-(-5) = 5 |-5| = 5
-(-11) = 11 |-11| = 11
-(9) = -9 |9| = 9
-(23) = -23 |23| = 23
-(0) = 0 |0| = 0

Suma de números con signo:
Reglas de signos para la suma
( + ) + ( + ) = ( + )
( - ) + ( - ) = ( - )
( + ) + ( - ) =
( - ) + ( + ) =
Sumas para hallar el resultado.
El resultado lleva el
signo del que tenga el
mayor valor absoluto.
Restas para hallar
el resultado.
Ejemplo: Halla las siguientes sumas.
1) -3 + -4 = 4) -11 + -4 =
2) 7 + -2 = 5) 7 + 3 =
3) -8 + 6 = 6) 0 + -7 + 4 + -2 + 4 =
-7
5
-2
-15
10
-1

Resta de números con signo:
Ejemplo: Halla las siguientes diferencias.
1) (-3) – (-4) = 4) (-11) - (-4) =
2) 7 - (-2) = 5) 3 - 7 =
3) (-8) - 6 = 6) 0 - (-7) - 4 + (-2) - 4 =
(-3) + 4 =
7 + 2 =
(-8) + (-6) =
(-11) + 4 =
3 + (-7) =
0 + 7 + (-4) + (-2) + (-4) =
Reglas de signos para la resta
( + ) - ( - ) = ( + ) + ( + )
( - ) - ( + ) = ( - ) + ( - )
( + ) - ( + ) = ( + ) + ( - )
( - ) - ( - ) = ( - ) + ( + )
Cambias la resta a
suma y escribes el
opuesto del siguiente
número. Aplicas
entonces las reglas de
la suma.
1
9
-14
-7
-4
-3

Multiplicación de números con signo:
Ejemplo: Halla las siguientes productos.
1) (-3) x (-4) = 4) (-11) x (-4) =
2) 7 x (-2) = 5) 3 x 7 =
3) (-8) x 6 = 6) 0 x (-7) x 4 x (-2) x 4 =
Reglas de signos para la multiplicación
( + ) x ( - ) = ( - )
( - ) x ( + ) = ( - )
( + ) x ( + ) = ( + )
( - ) x ( - ) = ( + )
Dos números con
signos diferentes tienen
un producto negativo.
Dos números con
signos iguales dan un
producto positivo.
12
-14
-48
44
21
0

División de números con signo:
Ejemplo: Halla los siguientes cocientes.
1) (-30)  (-5) = 4) (-12)  (-4) =
2) 42  (-21) = 5) 35  7 =
3) (-8)  2 = 6) 0  (-7) =
Reglas de signos para la división
( + )  ( - ) = ( - )
( - )  ( + ) = ( - )
( + )  ( + ) = ( + )
( - )  ( - ) = ( + )
Dos números con
signos diferentes tienen
un cociente negativo.
Dos números con
signos iguales dan un
cociente positivo.
6
-2
-4
3
5
0

Variable: es un símbolo que representa a uno o a varios números.
Generalmente usamos letras como variables. En la expresión
a + 3, estamos sumando tres a una variable. Para hallar un
resultado, sustituimos un número en lugar de la variable.
Ejemplo: Si a = 5, entonces a + 3 = 5 + 3 = 8
Si a = -8, entonces a + 3 = -8 + 3 = -5
Cualquier letra puede ser una variable. Como el signo de
multiplicar “x” parece una equis, de ahora en adelante no vamos
a usar ese símbolo para la multiplicación. Cuando vamos a
expresar a un número multiplicado por una variable, por
ejemplo, 4 por n, escribimos 4n. Quiere decir que un número al
lado de una variable significa que hay que multiplicar ese
número por el valor de la variable.
Ejemplo: Si a = 5, entonces 3a = 3(5) = 15
Si a = -8, entonces 3a = 3(-8) = -24

Cuando tengamos que hacer más de una operación matemática,
hay que seguir el siguiente orden:
simplificar lo que aparezca dentro de un paréntesis.
hallar el resultado de los números elevados a un exponente.
resolver las multiplicaciones y divisiones según aparecen.
calcular las sumas y restas según aparecen.
Ejemplo: Halla el resultado de 21 – 3(2)³ + 12  (-7 + 5)²
Paso # 1: simplificar dentro del ( ) 21 – 3(2)³ + 12  (-2)²
Paso # 2: eliminar los exponentes 21 – 3(8) + 12  4
Paso # 3: multiplicar y dividir 21 – 24 + 3
Paso # 4: sumar y restar 0
21 – 3(2)³ + 12  (-7 + 5)² = 0

Completa la tabla
expresión valores de la variable “x”
x = 2 x = -3 x = 0
5 + 3x
x² - 5x + 1
= 5 + 3(2)
= 5 + 6
= 11
= 5 + 3(-3)
= 5 + (-9)
= -4
= 5 + 3(0)
= 5 + 0
= 5
= (2)² - 5(2) + 1
= 4 – 5(2) + 1
= 4 - 10 + 1
= 4 + -10 + 1
= (-3)² - 5(-3) + 1
= 9 – 5(-3) + 1
= -5
= 9 – (-15) + 1
= 9 + 15 + 1
= 25
= (0)² - 5(0) + 1
= 0 - 5(0) + 1
= 0 - 0 + 1
= 1

Expresiones Algebraicas

Definiciones básicas de introducción al Álgebra:
Definiciones Ejemplos
Constante: es un símbolo cuyo valor es
fijo. Todos los números enteros, fracciones,
decimales, etc… son constantes.
Variable: es un símbolo que puede tomar
diferentes valores. La “x” o cualquiera
otra letra puede ser una variable.
Factores: es la multiplicación de dos o más
constantes o variables.
Términos: es la suma (o resta) de dos o
más constantes, variables o factores que
contienen constantes y variables.
etc...3.08,-1.3,
,
8
1-
,
5
2
0,2,-4,
Podemos usar
cualquier letra o
símbolo.
3x -4x²y³
xy ab³c
x + 5 : dos términos
xy – 5x² + 2 : tres
términos

Definiciones básicas de introducción al Álgebra (cont):
Definiciones Ejemplos
Expresión algebraica: consiste de diversas
operaciones (+, -, , ) entre constantes y variables
formando uno o más términos.
Polinomio: son expresiones algebraicas cuyas
variables tienen números enteros no negativos en
el exponente.
Monomio: polinomio con un solo término.
Binomio: polinomio con dos términos.
Grado de un polinomio: es igual al mayor
exponente de la variable. Si el polinomio tiene más
de una variable, su grado es el del término con
mayor suma de los exponentes de sus variables.
32-
xx-3x
4-
x
2
3x


3x + 2
x³ + 5x² - 6x + 1
4x³ - 4x + ¼
3x²y³ : monomio
4x³ – 1: binomio
4x – x³: grado 3
3x²y³ : grado 5
x²y + x : grado 3

Expresión
algebraica
grado # de términos ¿es un
polinomio?
5x³ + 2x² - 4 3 3 si
3abc – 5a³bc² 6 2 si
13x-x2x 2
1
2-
 1 4 no
-½ x³yz 5 1 si

Combinación de términos semejantes: suma y resta
de expresiones algebraicas
Términos semejantes: son los que tienen las mismas variables
con los mismos exponentes.
Expresión algebraica Términos semejantes
4x² + 7x – 2x² + 3x
2a²b + 5ab² - 4a²b + ab
4x², -2x² son semejantes
7x , 3x son semejantes
2a²b , -4a²b son semejantes
Podemos simplificar expresiones algebraicas que contienen
términos semejantes. En los siguientes ejemplos puedes ver
que sumamos los factores constantes de los términos
semejantes, dejando las variables con los exponentes que
tienen.

resultado 2x
Ejemplo: Simplifica la siguiente expresión algebraica.
3x² + 7x – 5 – 2x² - 9x + 8
Para empezar, identificamos y combinamos los términos
que sean semejantes.
3x²  2x²
1x²
7x - 9x 5 + 8
+ 3
Para hallar la suma de dos o más expresiones algebraicas,
combinamos sus términos semejantes.
Ejemplo: Halla (2ab² + 3a) + (3a²b – 5b) + (ab² - 3a²b + 7b)
2ab² + 3a
3a²b – 5b
+ ab² - 3a²b + 7b
3ab² + 3a + 0a²b + 2b
3ab² + 3a + 2b resultado

Para restar dos expresiones algebraicas, cambiamos la
resta a suma y escribimos el opuesto de cada término del
polinomio que le sigue.
Ejemplo: Halla (2x³ + x² - 1) – (3x³ - 4x² + 3x)2x³ + x² - 1 
+
3x³ - 4x² + 3x
-3x³ + 4x² - 3x
= -1x³ + 5x² - 3x – 1 resultado
Ejemplo: Halla (3x – 2y) – (x + 5y) + (4x + 7y)3x – 2y – x – 5y + 4x + 7y
= 3x – x + 4x – 2y – 5y + 7y
= 6x + 0y
= 6x resultado

Multiplicación de expresiones algebraicas:
Para multiplicar expresiones algebraicas, especialmente
cuando multiplicamos sus variables, hay que aplicar la
siguiente ley de exponentes.
3² = 9base
exponente
potencia o resultado
3² = 3(3) = 9
Vea que el exponente indica las veces que multiplicamos a
la base por ella misma. El resultado que obtenemos es una
potencia de la base.
  mnmn
xxx
.originalesexponenteslosdesuma
laesexponenteSubase.mismalaconpotencia
unaobtenemosigualesbasesmosmultiplicaCuando



Ejemplo: Halla:
1) x³(x²) =
2) b³(b²)(b) =
3) a³ + a³ =
4) y³ + y² =

x 23

b 123
Al multiplicar bases iguales sumas los expo.
Al multiplicar bases iguales sumas los expo.
2a³ ¡Ojo! Estamos sumando términos semejantes
¡Ojo! Los términos no son semejantes. No podemos sumar.
Ejemplos: Multiplicar monomios por monomios:
1) (3x²)(4x³) =
2) (-2a³b²c)(5a²b) =
3) (2x²yz²)³ = ¡Ojo!   m.rn.rrmn
b.ab.aleyAplicar 
5
x
6
b
5
12x
cb10a- 35
636
zy8x

Ejemplo: Multiplicación de polinomios.
1) 3x²(-4x³ + 5x – 8) =
2) (4x – 3)(2x + 5) =
Hay que multiplicar cada término de un polinomio por
cada uno de los del otro polinomio.
= 3x²(-4x³) + 3x²(5x) + 3x²(-8)
= 4x(2x) + 4x(5) – 3(2x) – 3(5)
= 8x² + 20x – 6x - 15
= 8x² + 14x – 15
235
24x15x12x- 

División de expresiones algebraicas
Para dividir expresiones algebraicas, especialmente
monomios con bases iguales, es necesario aplicar la
siguiente ley de exponentes.
m-nmn
m
n
aaa
a
a
.originalesexponenteslos
restandoobtenemosloexponenteSubase.mismala
tieneresultadoeliguales,basesdividimosCuando



6x
18x-6x-24x
2)
3a
12a-
1)
:Ejemplo
23
5
8

4a- 58
-4a³

6x
18x
-
6x
6x
-
6x
24x 23
4x² - x - 3

multiplicar
x
1-3x3x-x12x-x 232

Deseamos eliminar x³ del dividendo
- (x³ - 2x² + x)
- x² + 2x - 1
- 1
-(-x² + 2x - 1)
0
multiplicar
Para dividir los siguientes polinomios es necesario utilizar
el algoritmo de división (división larga).
12x-x
1-3x3x-x
:resultadosiguienteelHalla
2
23


polinomio
polinomio


2-x
6-x3x-2x 23

2
23
2x
6-x3x-2x2-x 
- (2x³ - 4x²)
x² + x
+ x
-(x² - 2x)
3x  6
+ 3
-(3x – 6)
0
Ejemplo: Otra división de un polinomio entre polinomio.

Ecuaciones Lineales Con
Una Variable

Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebraicas.
Ejemplos de ecuaciones:
1) 20x + 40 = 4x + 8
2) 2(3x – 4) – (5x – 1) = 2
6
5
3x
2
x
-43) 
Ya sabemos que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir las
expresiones algebraicas. Las ecuaciones, cuya característica
principal es que tiene un signo de igualdad, hay que resolverlas.
Resolver una ecuación significa hallar el valor de la variable que
hace “cierta” la igualdad.
Es decir, la solución de la ecuación es el número que al sustituirlo
en la variable, hace que la expresión al lado derecho del signo de
igualdad tenga el mismo valor que la expresión del lado izquierdo.
Las ecuaciones mostradas arriba, y todas las que vamos a resolver
en esta presentación son lineales, ya que el mayor exponente de su
variable es 1.
20x + 40 = 4x + 8
lado izquierdo
de la ecuación
lado derecho
de la ecuación
signo de igualdad

En términos generales, seguimos el siguiente procedimiento para
resolver una ecuación:
Eliminar todos los paréntesis (aplicando la prop. distibutiva).
Transponer los términos de modo que tengamos solamente los
semejantes en cada lado de la ecuación.
Simplificar hasta que quede un solo término en cada lado de la
igualdad.
Despejar la variable (de modo que su factor numérico sea 1) y
expresar el resultado en la forma más simple.
Ejemplo: Resuelve 20x – 8 = 14x + 40.
20x – 8 = 14x + 40 Como no hay paréntesis, no necesitamos hacer el paso # 1
paso # 2: Transponer términos para que sean semejantes
20x 14x
 14x =
 8 + 40
8 + 40
¡Ojo! Vea que los términos
transpuestos cambian de signo.
paso # 3: Simplificar a cada lado de la igualdad6x = 48
paso # 4: Despejar la variable y simplificar
6
48
6
6x

x = 8 Puedes verificar en la ecuación original que 8 es solución

Transponer un término de un lado al otro del signo de igualdad
es parecido a lo que le sucede a los carritos “Hot Wheels”, que
cambian de color cuando pasan por el agua. Los términos que
son transpuestos no cambian de color, pero sí su signo.
3x = 10+ 4  4
5 = 3x 2x + 2x

Ejemplo: Resuelve 2(3x – 4) – (5x – 1) = 2.
2(3x – 4) – (5x – 1) = 2 Paso # 1: Eliminar paréntesis
Aplicar
propiedad
distributiva
Buscar el
opuesto de
5x - 1
6x – 8 – 5x + 1 = 2
paso # 2: Transponer términos para que sean semejantes6x – 5x = 2 + 8 - 1
paso # 3: Simplificar a cada lado de la igualdad1x = 9
x = 9 paso # 4: Despejar la variable y simplificar
Puedes sustituír 9 en la “x” de la ecuación original para que
verifiques que es la solución.

6.
5
3x
2
x
-4Resuelve:Ejemplo 
Cuando una ecuación contiene fracciones, aconsejamos que
empecemos eliminándolas, multiplicando cada término a ambos
lados de la igualdad por el denominador común.
10(6)
5
3x
10
2
x
10-10(4) 











Multiplicamos por 10: el denominador común
25
40 - 5x = 6x + 60
40 - 60 = 6x + 5x
-20 = 11x
11
11x
11
20-

11
9
1-
11
20-
x 

Inecuaciones Lineales
Matemáticas

Una inecuación es la comparación de dos expresiones
algebraicas mediante un signo de desigualdad (>, <, , ).
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x > 2 Se lee: x es mayor que 2. Ese
signo apunta hacia donde están
todos los números mayores que
2 en la recta numérica.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x < 2
Se lee: x es menor que 2. Ese
signo apunta hacia donde están
todos los números menores que
2 en la recta numérica.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x  2
Se lee: x es mayor o igual que 2.
En este caso, x puede ser 2 o
cualquier otro número mayor.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x  2
Se lee: x es menor o igual que 2.
En este caso, x puede ser 2 o
cualquier otro número menor.

De acuerdo a las pasadas ilustraciones, las desigualdades
x > 2, x < 2, x  2 y x  2 pudieron ser representadas por
intervalos de números en la recta numérica. Otra
manera de expresar a esos conjuntos de números es
mediante la llamada notación de intervalos.
La notación de intervalos se utiliza como otra alternativa
para nombrar o describir a conjuntos de números que se
encuentran agrupados en algún lugar de la recta
numérica. A continuación presentamos y comparamos
esta notación con la de desigualdad y las gráficas que ya
conoces.

Descripción del
intervalo
Notación de
desigualdad
Gráfica Notación de
intervalos
Todos los números
x que sean
mayores que 3
x > 3
3
No incluye
al 3 No hay fin
hacia la
derecha del
intervalo.
(3, )
Empezamos
con el extremo
izquierdo del
intervalo.
Usamos
paréntesis
cuando no
llegamos a ese
extremo.
Cuando no
hay fin hacia la
derecha del
intervalo,
escribimos el
símbolo 
seguido de un
paréntesis.

Descripción del
intervalo
Notación de
desigualdad
intervalos
Todos los números
reales x que sean
menores o iguales
que 8.
x  8
Incluye al 8
8
No hay fin
hacia la
izquierda del
intervalo.
(-, 8]
Cuando no
hay fin hacia la
izquierda del
intervalo,
escribimos el
símbolo -.
Usamos
paréntesis
porque no
llegamos allí.
Terminamos
con el extremo
derecho del
intervalo.
Usamos
corchetes
cuando el
extremo está
incluído.

Notación de
desigualdad
intervalos
5
x
-1
x < 5 (-, 5)
x  -1 [-1, )
El proceso de resolver inecuaciones lineales es similar al que
llevamos a cabo con las ecuaciones lineales. Veamos un ejemplo.

En términos generales, seguimos el siguiente procedimiento
para resolver una inecuación lineal:
Eliminar todos los paréntesis (aplicando la prop. distributiva).
Transponer los términos de modo que tengamos solamente los
semejantes en cada lado de la ecuación.
Simplificar hasta que quede un solo término en cada lado de la
desigualdad.
Despejar la variable (de modo que su factor numérico sea 1) y
expresar el resultado en la forma más simple.
Ejemplo: Resuelve 5(x + 1)  2 – (3x – 11).
5x + 5  2 – 3x + 11
5x + 3x  2 + 11 – 5
8x  8
8 8
Solución: x  1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Solución gráfica: x  1
Solución en notación de intervalo: (-, 1]

Solución gráfica: x < -3
Cuando sea necesario multiplicar o dividir por un número
negativo a ambos lados de una desigualdad, hay que
cambiar el signo de desigualdad por el signo contrario (si el
signo original es <, el signo contrario es >).
Ejemplo: Resuelve 3x – 2 > 4x + 1.
3x – 4x > 2 + 1
-1x > 3
-1x 3>
1 1
<
Solución: x < -3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Solución en notación de intervalo: (-, -3)
Cambiamos el signo > por el signo <
porque dividimos entre -1 a ambos lados.

Los Reales

0
½
9
7

4
3
5
Enteros
2
3
5
Fracciones
Decimales
Irracionales
¿Cuáles son los
números reales?
# Reales

Factor Común
ab + ac = a(b + c)
Ejemplos:
x2 - 3x = x.x - 3x = x(x – 3)
3x3 - 6x2 + 3x = 3x.x2 - 3x.2x + 3x.1 =
=3x(x2 - 2x + 1)
a a
x x
3x 3x 3x

Agrupación
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)
= (a + b)(x + y)
Ejemplo:
3x – 6 + 2xy – 4y = 3(x – 2) + 2y(x – 2)
= (x – 2)(3 + 2y)
a + b a + b
x – 2 x – 2

Diferencia de Cuadrados
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
Ejemplos:
1) x2 - 9 =
2) 4x2 - 25y2 =
3) 1 - 16x2 =
(x - 3)(x + 3)
(2x - 5y)(2x + 5y)
(1 + 4x)(1 - 4x)
  2222
bab-a 
  9x9-x 22

  2222
25y4x25y-4x 
  22
16x116x1 
 Oprimir ahí para ver otras
diferencias de cuadrados

TRINOMIOS CUADRÁTICOS SIMPLES
x2 + 7x + 12 =
Hay que escribir en esos espacios dos
factores de 12 que al sumarlos den 7.
Los factores son 4 y 3.
(x + )(x + )
x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)
4 + 3 = 7
4(3) = 12
4 3
Verificar: (x + 4)(x + 3)
x² + 3x + 4x + 12 = x² + 7x + 12

x2 + 3x - 10 = (x + )(x + )
x2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)
factores de -10 que al sumarlos den 3.
Los factores son 5 y -2.
5 + ˉ2 = 3
5(ˉ2) = ˉ10
5 -2
Verificar: (x + 5)(x – 2)
x² - 2x + 5x - 10 = x² + 3x – 10

x2 - 3x - 10 = (x + )(x + )
x2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)
factores de -10 que al sumarlos den -3.
Los factores son -5 y 2.
-5 + 2 = -3
-5(2) = ˉ10
-5 2
Verificar: (x – 5)(x + 2)
x² + 2x - 5x - 10 = x² - 3x - 10

x2 - 3x + 2 = (x + )(x + )
x2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)
factores de 2 que al sumarlos den -3.
Los factores son -2 y -1.-2 -1
Verificar: (x – 2)(x – 1)
x² - 1x - 2x + 2 = x² - 3x + 2
-2 + -1 = -3
-2(-1) = 2

En esos espacios vamos a
escribir factores de 3(4) = 12
que al sumarlos den 8.
Trinomios cuadráticos con coeficiente
3x² + 8x + 4 =
3
))(3x(3x 
Esos factores de 3(4)
= 12 que al sumarlos
dan 8 son 6 y 2.
3x² + 8x + 4 = 

3
2)6)(3x(3x



3
2)2)(3x3(x
(x + 2)(3x + 2)
8
8
3
3 4
4
6 y 2
6 2
6 2
Sacamos factor
común
Verificar: (x + 2)(3x + 2)
3x² + 2x + 6x + 4 = 3x² + 8x + 4

En esos espacios vamos a
escribir factores de 5(-2) = -10
que al sumarlos den -9
Trinomios cuadráticos con coeficiente
5x² - 9x - 2 =
5
))(5x(5x 
Esos factores de 5(-2)
= -10 que al sumarlos
dan -9 son 1 y -10.
5x² - 9x - 2 = 

5
10)-1)(5x(5x



5
2)1)5(x(5x
(5x + 1)(x - 2)
9
-9
5
5 2
-2
1 y -10
1 -10
1 -10
Sacamos factor
común
Verificar: (5x + 1)(x – 2)
5x² - 10x + x - 2 = 5x² - 9x - 2

+ 4
Factorización de Suma de Cubos
Ejemplos de sumas de cubos (cada término del binomio es un cubo exacto).
x³ + 8
8x³ + 27
64 + x³
125x³ + 1
x³ + 2³
(2x)³ + 3³
4³ + x³
(5x)³ + 1³
= ( )( )
= (2x + 3)(4x² - 6x + 9)
= (4 + x)(16 – 4x + x²)
= (5x + 1)(25x² - 5x + 1)
Verificar:
(x + 2)(x² - 2x + 4)
dos términos
aquí
tres términos
aquí
↑
Escribimos ahí la raíz cúbica
de cada término de x³ + 8
x + 2 x²
Los tres términos de ahí
los obtenemos de (x + 2)
↓
Primero al cuadradomenos primero por segundo
- 2x
Más segundo al cuadrado
x³ - 2x² + 4x
+ 2x²- 4x + 8
x³ + 8
= x³ + 8

Factorización de Diferencia de Cubos
(El proceso es similar a la factorización de suma de cubos.)
Ejemplos de restas de cubos (cada término del binomio es un cubo exacto).
x³ - 8
8x³ - 27
64 - x³
125x³ - 1
dos términos
aquí
tres términos
aquí
= ( )( )
Los tres términos de ahí
los obtenemos de (x - 2)
↓+ 2x + 4
x³ - 2³
(2x)³ - 3³
4³ - x³
(5x)³ - 1³
= (2x - 3)(4x² + 6x + 9)
= (4 - x)(16 + 4x + x²)
= (5x - 1)(25x² + 5x + 1)
Verificar:
(x - 2)(x² + 2x + 4)
↑
Escribimos ahí la raíz cúbica
de cada término de x³ - 8
x - 2 x²
Primero al cuadradomás primero por segundoMás segundo al cuadrado
x³ + 2x²+ 4x
- 2x² - 4x - 8
x³ - 8
= x³ - 8
 2233
babab)(aba
CubosdesDiferenciay
SumasdeiónFactorizacdeResumen
 

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