El documento presenta información sobre fracciones equivalentes, sumas y restas de fracciones, y operaciones como multiplicación y división. Explica que dos fracciones son equivalentes si los productos cruzados de sus numeradores y denominadores son iguales, y que para sumar o restar fracciones con distintos denominadores deben reducirse primero a un denominador común. También cubre cómo multiplicar y dividir fracciones, notando que dividir por una fracción es equivalente a multiplicar por su fracción inversa.

1. Las fracciones
1 Fracciones equivalentes
En las figuras:
1 2 3 4 5 3 6 9 1215
2
La parte coloreada de azul es la misma, luego
6
15
2 =
5
6
15
5
Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo.
0,4
2 =
5
0,4
6 =
15
También podemos observar que:
2 =
2 · 15 = 5 · 6 15
Dos fracciones son equivalentes si los
productos del numerador de cada una de ellas
por el denominador de la otra son iguales.
6
5
Los productos cruzados son iguales
a = Û · = ·
a d b c
c
d
b

2. 2 Distintos modos de escribir una fracción
Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que se representan:
1
2
3
6
2
4
y 3
2
Las fracciones 4
6
1
y equivalentes a ella.
son fracciones ampliadas de 2
Observa:
12
16
6
8
3
4
y 3
6
Las fracciones 8
4
12
son fracciones reducidas de 16
y equivalentes a ella
Es evidente que:
12 = = = = 3
Fracción irreducible:
4
12 : 4
16 : 4
6
8
12 : 2
16 : 2
16
no se puede reducir más.
Si multiplicamos o dividimos los términos de una fracción por
un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la dada.
equivalentes:
6 Son = = = = 1
irreducible
3
6 : 6
18 : 6
18
54
12
36
18

3. 3 Simplificación de fracciones
En la figuras siguientes, las partes coloreadas de azul son iguales.
Las fracciones que representan son equivalentes.
12
16
6
8
12
Observa que: 16
6
=12 : 2 =
12
3
Hemos transformado la fracción en ,
Este proceso se denomina simplificación de fracciones.
Ejemplo:
3
5
240 = 24
=
40
400
8
16 : 2
3
3
4
=12 : 4 =
16 : 4
4
16
4
que es equivalente a ella e irreducible.
Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente e irreducible. Para ello
se dividen los dos términos de la fracción por todos los divisores comunes de ambos.
Dividiendo por 10
3 y 5 son primos entre sí.
Dividiendo por 8

4. 4 Reducción de fracciones a común denominador
Reducción de dos fracciones a común denominador:
Ejemplo:
y 2
5
Las fracciones: 3
4
15
20
3 = 3·5
=
4·5
4
8
20
2 = 2·4
=
5·4
5
Hemos multiplicado los dos
términos de cada fracción por
el denominador de la otra.
20 es múltiplo de 4 y 5
Reducción de tres fracciones a común denominador:
Ejemplo:
y 3
4
, 5
3
6
1
24
72
1 = 1·(6·4)
=
3·(6·4)
3
60
72
5 = 5·(3·4)
=
6·(3·4)
6
Hemos multiplicado los dos
términos de cada fracción por
los denominadores de las otras.
72 es múltiplo de 3, 6 y 4.
54
72
3 = 3·(3·6)
=
4·(3·6)
4
En general, para reducir varias fracciones a común denominador:
se multiplican los dos términos de cada fracción por los denominadores
de las demás.

5. 5 Reducción de fracciones a mínimo común denominador
y 3
, 5
3
Las fracciones 6
4
1
son equivalentes a:
y 54
72
, 60
72
24
72
4 reduciendo
y 9
12
, 10
12
12
El denominador 12 es el menor de los denominadores comunes, y coincide con el
mínimo común múltiplo de 3, 6 y 4.
Para calcular el mínimo común denominador de varias fracciones se procede como
sigue: 1º. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º. Los numeradores de cada fracción se multiplicarán por el cociente
entre ese m.c.m. y los denominadores respectivos.
Veamos otro ejemplo:
y 2
3
, 5
8
12
7
Reducir a mínimo común denominador
1º Como 8 = 23, 12 = 3 · 22 y 3 = 3, el m.c.m. (8, 12, 3) = 23 · 3 = 24
2º. Dividimos 24 entre 8, 12 y 3:
24 : 8 = 3
24 : 12 = 2
24 : 3 = 8
21
24
7 = 7 · 3
= 24
8
10
24
5 = 5 · 2
=
24
12
16
24
2 = 2 · 8
=
24
3

6. 6 Comparación de fracciones
Con el mismo denominador:
3 Si dos fracciones tienen el
8
mismo denominador, es mayor
3
5 >
5 8
8
8 la que tiene mayor numerador
4 Si dos fracciones tienen el
5
mismo numerador, es mayor
4
4 >
4 5
7
7 la que tiene menor denominador
Con el mismo numerador:
Con numeradores y denominadores distintos:
Comparamos:
y 4
5
5
6
25
5 =
Reducimos a común denominador: 6
30
24
30
4 =
5
24
25 >
Como 30
30
4
5
5 >
6
Para comparar dos
fracciones cualquiera
se reducen a común
denominador.
Será mayor la que tenga
nuevo mayor numerador.

7. 7 Suma y resta de fracciones
Con el mismo denominador:
Suma los numeradores
4
8
3 + = 3 + 1
=
8
1
8
8
4 - = - =
1
3 +
3
4 -
Con distinto denominador:
Se reducen antes a común denominador:
4
5
5 +
6
Se han sumado
Para sumar o restar
fracciones con distinto
denominador, se reducen
a común denominador y
se suman o restan las
fracciones obtenidas.
1
5
4 3
5
3
5
5
Se han restado
Resta los numeradores
49
= 25 + 24
= 25 + 24
=
Suma 30
30
30
30
= 21 - 16
= 21-16
=
Resta 7 - 2
24
3
8
5
24
24
24
8
8
5 1/5
5

8. 8 Suma y resta de fracciones. Ejercicios 1 y 2
6
7 + 8
-
Ejercicio 1 Calcula:
11
11
11
Como tienen el mismo denominador, para operar se suman o restan los numeradores.
7 + - = 7 + 8 - 6
=
11
7
10
6
11
2 + 4
-
5
9
9
11
8
11
11
Ejercicio 2 Calcula:
Para sumarlas hay que reducirlas a común denominador:
Como 9 = 32, 5 = 5 y 10 = 2 · 5, el m.c.m (9, 5, 10) = 32 · 2 · 5 = 90.
Luego:
7 · 9
90
2 + - = + 4 · 18
-
90
2 · 10
90
7
10
4
5
9
29
90
= 20 + - = 20 + 72 - 63
=
90
63
90
72
90
90
90 : 9 = 10
90 : 5 = 18
90 : 10 = 9
El numerador será el mismo.
Luego:
Observa que cada numerador se
multiplica por el cociente entre el m.c.m
(90) y los denominadores respectivos

9. 9 Suma y resta de fracciones. Ejercicio 3
Ejercicio 3
17
13 - 11
+ 5
Calcula:
- Escritos en factores: 11 = 11, 20 = 22 · 5, 9 = 32 y 35 = 5 · 7
Por tanto:
1260 693 1540 396
13 - + 5
- 17
= 13·
- + -
13860 : 11 = 1260
17·
13860
5·
13860
11·
13860
13860
35
9
11
20
11
9725
13860
=16380 -7623+7700 -6732 =
13860
35
9
20
11
Calculamos el m.c.m de los denominadores:
Luego, m.c.m (11, 20, 9, 35) = 11· 22 · 5 · 32 · 7 = 13860
Observa:
13860 : 20 = 693
13860 : 9 = 1540
13860 : 35 = 396
Sumando o restando los numeradores, queda:

10. 10 Suma de un número entero y una fracción
2 +1
4
Tenemos dos cuadrados completos y un cuarto de otro:
2
+
1
1
8
+
+ 4
4 +
4
9 =
8
2 = 2 · 4 =
Para sumar un número entero y una fracción:
1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo por
el denominador de la fracción.
2º. Se suman como dos fracciones de igual denominador.
4
Observa que:
4
4
Otro ejemplo
5-2 +1 = +
Calcula: 5-2 +1 8
8
3 1
8
25
8
=3 · 8 + = + 1
=
8
24
8
1
8
8

11. 11 Resta de un número entero y una fracción
1-5
7
Tenemos un rectángulo completo y deseamos
quitarle cinco séptimos del mismo:
1 7
-5
7
7
-5
7
2
7
2
7
Luego: 1-5 = - 5
=
7
7
7
7
Para restar un número entero y una fracción:
1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo por
el denominador de la fracción.
2º. Se restan como dos fracciones de igual denominador.
9 - Calcula: 2
Otro ejemplo 3
2
3 · 2
9 - = -
3 9
2
2
3
2
= 9 - 6
=
2
2

12. 12 Fracción opuesta
4
Dada la fracción , ¿qué fracción sumada con ella da 0?
7
- 4
Si se elige , la suma es:
7
0
4 +- = + - = 0
=
7
4 ( 4)
7
4
7
7
4
- 4
Las fracciones y se dice que son fracciones opuestas.
7
7
Dos fracciones son opuestas cuando su suma es 0.
La fracción opuesta se obtiene cambiando de signo la fracción dada.

13. 13 Multiplicación de fracciones
Producto de una fracción por un número entero:
2
por 3
8
x 3
2
8
Producto de dos fracciones:
2
8
2
8
6
8
= + + =
· 3 2 · 3
8
= 2 · 3
Para multiplicar una fracción por un número entero se multiplica el
numerador por ese número; el denominador se deja igual
8
2 =
8
Cartulina
coloreamos
3
4
recortamos
5 6
20
2
= 3 · 2
4 · 5
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo:
Numerador es el producto de los numeradores.
Denominador es el producto de los denominadores.

14. 14 Fracciones inversas
2 3
6
El producto
· = = 3
Lo mismo pasa con los productos:
Observa: 1
6
2
· 4
4
7
7
· 5
5
1
1
1
= 7 · 4 = 28
=
28
4 · 7
1
= 1 · 5 = 5
=
5
5 · 1
Todos los pares de fracciones dadas son inversas.
Dos fracciones son inversas cuando su producto es igual a la unidad.
Habrás observado que para hallar la inversa de una fracción basta con intercambiar
sus términos (con darles la “vuelta”).
4 será 4
Así, la inversa de 9
9
? a) 6
c) 4
3
Ejercicio 14
b) 9
21
7
¿Cuál de las siguientes fracciones es inversa de 7
a) Como 7 = 42
= 1,
las dos fracciones son inversas.
42
· 6
3
14
b) 7 = 63
= 1.
Ambas fracciones son inversas.
63
· 9
3
21
Observa que las fracciones
y 3
7
, 9
21
6
14
son equivalentes
c) Como 7 = 28
¹ 1,
las fracciones no son inversas.
21
· 4
3
7

15. 15 División de fracciones (I)
Contesta:
¿Qué número multiplicado por 8 da 24? ? · 8 = 24 ? = 3
Observa que: ? · 8 = 24 ? = 24 : 8
Por lo mismo:
Está multiplicando Pasa dividiendo
? = 3
3
11
?? =
· 2
5
?
: 2
3
?? =
es equivalente a 11
5
?
Luego, multiplicar por una fracción equivale a dividir por su inversa.
Y viceversa: dividir por una fracción equivale a multiplicar por su
inversa.
: 2
3
?? =
Por tanto: 11
5
?
3
11
?? =
· 2
5
?
3
11
?? =
· 2
5
?
· 5
2
· 5
2
?? =
· 1 15
22
?
15
?? =
En definitiva: 22
?

16. 16 División de fracciones (II)
: 2
3
?? =
Hemos visto que: 11
5
?
15
?? = =
· 5
3
Para hallar el cociente de dos fracciones se multiplica la primera por la
fracción inversa de la segunda.
Luego:
22
2
11
?
Por tanto:
15
22
3 = = 3 · 5
=
11 · 2
· 5
2
3
11
: 2
5
11
O bien:
= 3 · 5 =
3 : 2
22
5
11
15
11 · 2
3
: 6
5
Ejemplo: 7
21
30
= 3 =
· 7
5
6
El producto cruzado
es más rápido
= 3 · 7 = Utilizando el producto cruzado:
3
: 6
5
7
21
30
5 · 6
inversas
inversas