Este documento proporciona información sobre fracciones, incluyendo conceptos como fracciones equivalentes, obtención de fracciones equivalentes, simplificación de fracciones, reducción a común denominador, comparación y ordenación de fracciones, sumas, restas, multiplicación y división de fracciones, y resolución de problemas con fracciones. Explica los pasos para realizar operaciones con fracciones y resuelve ejemplos numéricos paso a paso para ilustrar los conceptos.
2. ÍNDICE
Significados del concepto de fracción
Fracciones equivalentes: concepto y propiedad fundamental
Obtención de fracciones equivalentes por amplificación
Obtención de fracciones equivalentes por simplificación
Simplificar fracciones por divisiones sucesivas
Simplificar fracciones por eliminación de factores
Reducción a común denominador
Comparación y ordenación de fracciones
Suma y resta de fracciones
Cálculo rápido de la suma / resta de entero y fracción
Multiplicación de fracciones
Fracción inversa
División de fracciones
Operaciones combinadas
Problemas
3. RECUERDA …
Una fracción sirve para representar una cantidad que no está
formada por unidades completas
4
3
Una fracción es un operador que transforma los números 15
4
3.20
20de
4
3
==
Una fracción es también una forma de expresar un cociente, una división
4
3
4:3 =
4. Observa que en las fracciones equivalentes se cumple que al multiplicar los términos en
cruz se obtiene el mismo resultado 2 . 8 = 162 . 8 = 16 y 4 . 4 = 164 . 4 = 16 . Esto nos va a servir para
reconocer si dos fracciones son equivalentes y para calcular un término desconocido en
una pareja de fracciones equivalentes.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma cantidad.
4
2
8
4
Por ello escribimos:
11
4
2
8
4
=
representan la misma cantidad
y decimos que son equivalentes.
Ejemplos:
6
10
y
3
5
son equivalentes porque 5 . 6 = 30 y 3 . 10 = 30
7
6
y
4
3
no son equivalentes porque 3 . 7 = 21 y 4 . 6 = 24
3
x
6
4
= como son equivalentes el valor de x ha de ser 2 . Lo podemos obtener 2
6
4.3
x ==
5. EJEMPLOSEJEMPLOS
¿ Son equivalentes las parejas de fracciones siguientes ? :
8
6
y
4
3
Sí porque 3 . 8 = 24 y 4 . 6 = 24
7
10
y
4
5
No porque 5 . 7 = 35 y 4 . 10 = 40
¿ Cuánto vale x en cada caso ? :
6
8
3
x
= 4 , y lo podemos hallar así 4
6
8.3
x ==
x
6
6
4
= 9 , y lo calcularemos así 9
4
6.6
x ==
MEDIOS Y EXTREMOSMEDIOS Y EXTREMOS
Si las fracciones y son equivalentes, a y d reciben el nombre de extremos y b y c
el de medios. Por ello, podremos decir que en una pareja de fracciones equivalentes “el
producto de extremos es igual al producto de medios”.
b
a
d
c
6. OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTESOBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES
a) AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESa) AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Si se multiplican los dos términos de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción
equivalente.
Si en la fracción multiplicamos el 2 y el 3 por 2, por 3, por 4, etc. obtendremos fracciones
equivalentes a ella (y por ello equivalentes entre sí).
3
2
.....
12
8
9
6
6
4
3
2
====
¿ Cuantas fracciones equivalentes a una fracción podemos encontrar por amplificación ?
infinitas
(Elige cualquier par de fracciones de la serie anterior y comprueba que son equivalentes)
X 2
X 3
X 4
7. OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTESOBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES
b) SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESb) SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Si se dividen los dos términos de una fracción por el mismo número, se obtiene una fracción
equivalente.
Sea la fracción ; si dividimos numerador y denominador por 3 obtenemos la fracción y
podemos comprobar que
18
12
6
4
18
12
6
4
= porque 12 . 6 = 72 y 18 . 4 = 72
La obtención de fracciones equivalentes dividiendo numerador y denominador por el mismo
número recibe el nombre de simplificación de fracciones. La fracción que no se puede
simplificar se llama irreducible.
¿ Puedo obtener infinitas fracciones equivalentes a una fracción por simplificación ?
No, el número de fracciones es limitado y si la fracción es irreducible no puedo obtener
ninguna
9
2
,
5
7
,
4
3
son irreducibles.
8. SIMPLIFICAR FRACCIONES (1)SIMPLIFICAR FRACCIONES (1)
Simplificar una fracción es encontrar la fracción equivalente a ella que es irreducible. Hay tres
métodos:
a) Por divisiones sucesivasa) Por divisiones sucesivas : Es el más indicado para números pequeños. Consiste en ir
obteniendo fracciones equivalentes con términos más pequeños mediante divisiones sucesivas de
numerador y denominador hasta llegar a la irreducible.
3
2
9
6
18
12
==
:2
:2
:3
:3
( es irreducible )
3
2
9. SIMPLIFICAR FRACCIONES (2)SIMPLIFICAR FRACCIONES (2)
b) Por eliminación de factoresb) Por eliminación de factores : Descompondremos numerador y denominador en factores
primos y eliminaremos los factores iguales en numerador y denominador. Es el más indicado para
fracciones con términos grandes.
Ejemplo: Simplificar
600
480
b) Escribimos la fracción expresando los números descompuestos en factores y eliminamos
los factores que sean iguales en numerador y denominador.
480 2.5 600 2.5
48 2 60 2.5
24 2 6 2
12 2 3 3
6 2 1
3 3
1
a) Descomponemos en factores primos
5
4
5
2.2
5.5.3.2.2.2
5.3.2.2.2.2.2
600
480
===
10. REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADORREDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR
Reducir fracciones a común denominador es encontrar fracciones equivalentes a ellas con el
mismo denominador.
. el denominador común será el m.c.m. de 4, 3 y 2 que es 12
. el numerador de la primera fracción es 12:4 = 3 3.3 = 9
. el numerador de la segunda fracción es 12:3 = 4 4.2 = 8
. el numerador de la tercera fracción es 12:2 = 6 6.5 = 30
⇒
2
5
,
3
2
,
4
3
Ejemplo: Reducir a común denominador
2
5
3
2
4
3
,,
(Recuerda que para hallar el m.c.m. descomponemos en factores primos y cogemos los factores
comunes y los no comunes con mayor exponente. Si se trata de números pequeños, como en el
ejemplo, lo hacemos mentalmente).
12 12 12
9 8 30
, ,
11. COMPARACIÓN Y ORDENACIÓN DE FRACCIONESCOMPARACIÓN Y ORDENACIÓN DE FRACCIONES
Para comparar u ordenar fracciones de distinto denominador las reduciremos a común
denominador y a partir de ellas compararemos u ordenaremos las que nos han propuesto.
Ejemplo: Escribe < , > o = entre
6
5
,
4
3
4
3
12
10
,
12
9
6
5
,
4
3
⇒⇒ <
6
5
.el m.c.m. de 3 y 4 es 12 , por tanto:
Ejemplo: Ordena de menor a mayor
10
3
,
2
3
,
4
3
,
5
2
.el m.c.m. de 5 , 4 , 2 y 10 es 20 , por tanto:
2
3
4
3
5
2
10
3
20
6
,
20
30
,
20
15
,
20
8
10
3
,
2
3
,
4
3
,
5
2
⇒⇒ < < <
12. 22 OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA Y RESTA DE FRACCIONESSUMA Y RESTA DE FRACCIONES
4
5
4
2
4
3
=+
m.c.m. = 12
. si tienen el mismo denominador se suman (si es una suma) o se restan (si es una resta) los
numeradores y se deja el mismo denominador.
. si tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y después se suman (o se restan)
como en el punto anterior. En estas sumas es muy cómodo reducir con “una sola raya larga” (fíjate
en el ejemplo) y así el denominador sólo se pone una vez.
. para operar fracciones y números enteros, estos se escriben como fracciones con denominador 1.
=++
4
1
3
2
2
3
=
++
12
3818
12
29
13. CÁLCULO RÁPIDO DE LA SUMA / RESTA DE ENTERO Y FRACCIÓNCÁLCULO RÁPIDO DE LA SUMA / RESTA DE ENTERO Y FRACCIÓN
Si seguimos todos los pasos para sumar / restar un entero y una fracción tendremos que
hacer algo como lo siguiente:
5
13
5
310
5
3
1
2
5
3
2 =
+
=+=+
Si observas la suma que hay encima de la “raya larga” verás que:
- el primer número es 10 y que es el resultado de multiplicar el entero (2) por el denominador de
la fracción(5)
- el segundo número es 3, es decir, el numerador de la fracción
- el denominador es 5, el mismo que tenía la fracción
Por tanto, para calcular mentalmente operaciones de este tipo tendremos en cuenta que:
- un numerador es el producto del entero por el denominador de la fracción
- el otro numerador es el de la fracción
- el denominador es el de la fracción
- haremos con los numeradores la operación de la que se trate teniendo en cuenta los signos y
cómo esté planteada la operación (recuerda que la resta no es conmutativa)
=+
5
3
4
5
23 =+ 3
4
3
4
15
14. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONESMULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
FRACCIÓN DE FRACCIÓNFRACCIÓN DE FRACCIÓN
Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores.
14
60
7
4
.5.
2
3
8
15
2
3
.
4
5
35
6
7.5
3.2
7
3
.
5
2
=
−−−
=
−
==
d.b
c.a
d
c
.
b
a
=
La fracción de otra fracción equivale a la fracción producto de ambas.
Este cálculo tendremos que utilizarlo en la resolución de algunos problemas.
12
6
3.4
2.3
3
2
de
4
3
==
En el rectángulo,
pintamos de rojo
los
3
2
De esos
pintamos de
verde los
3
2
4
3
Del rectángulo inicial, la
zona que finalmente
aparece señalada
corresponde a los
12
6
15. FRACCIÓN INVERSAFRACCIÓN INVERSA
Dos fracciones son inversas cuando su producto es una fracción cuyo valor es 1.
La fracción inversa de es porque
5
3
3
5
1
15
15
3
5
.
5
3
==
¿ Qué fracción es la inversa de …?
⇒
7
5
5
7
⇒
7
1
7 ⇒3
3
1
En general, la inversa de es
b
a
a
b
16. DIVISIÓN DE FRACCIONESDIVISIÓN DE FRACCIONES
Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.
En la práctica, esto equivale a multiplicar los términos en cruz.
8
15
2
5
.
4
3
5
2
:
4
3
== según la definición
8
15
5
2
:
4
3
=: en la práctica
x
17. OPERACIONES COMBINADAS (1)OPERACIONES COMBINADAS (1)
Para resolver operaciones combinadas con fracciones hemos de proceder como siempre, es
decir, el orden será: paréntesis, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas.
Hay que tener en cuenta que siempre que nos aparezca una suma o una resta con distinto
denominador, habrá que reducir a común denominador. Cuando aparezcan sumas o restas de
entero y fracción lo más rápido es aplicar el cálculo mental (aunque si tenemos alguna dificultad,
le ponemos a los enteros denominador 1 y procedemos con el cálculo normal). En algunos casos,
puede ayudar hacer los cálculos en sentido vertical, utilizando una línea para cada paso.
Ejemplos:
=
−−
+
2
3
5
2
3
2
4
3
c) =
−
−
+
10
154
12
89
=
−
−
10
11
12
17
=
+
60
6685
60
151
=−•+
4
5
5
3
2
1
5
3
a) =−+
4
5
10
3
5
3
=
−+
20
25612
=
−
20
2518
20
7−
=−+
4
5
:
2
3
10
3
2
3
b) =−+
10
12
10
3
2
3
=
+
10
12-315
=
−
10
1218
=
10
6
5
3
18. Vamos a resolver problemas relacionados con los números fraccionarios. En algunos ejemplos
verás que se pueden resolver de dos formas: sin utilizar fracciones en los cálculos o utilizándolas.
En ambas formas nos ayudaremos de un dibujo para reflejar los datos. Sin embargo, en otros
ejemplos sólo utilizaremos fracciones y no nos ayudaremos de dibujo porque reflejar los datos en
uno puede ser muy complicado.
Ejemplo 1: Dada la cantidad total hallar la cantidad que corresponde a una fracción de
ella
A Pedro le dan de paga semanalmente 24 € y se gasta los . ¿ Cuánto se gasta ?
4
3
24 €
x 24 : 4 = 6
6 . 3 = 18
Solución:
Gasta 18 €
24 €
x
18
4
3.24
24de
4
3
==
Solución:
Gasta 18 €
33 PROBLEMAS
19. PROBLEMAS (2)PROBLEMAS (2)
Ejemplo 2: Dada la cantidad que corresponde a una fracción, hallar el total.
Pedro se gastado los de su dinero en un regalo para su hermana. Si el regalo le ha costado
90 € , ¿cuánto dinero llevaba?
5
3
90 € x
90 : 3 = 30
30 . 5 = 150
Solución:
Llevaba 150 €
90 € x
150
3
5.90
x
90xde
5
3
==
=
Solución:
Llevaba 150 €
20. PROBLEMAS (3)PROBLEMAS (3)
Ejemplo 3: Distintas fracciones del total.
Pedro tiene ahorrados 120 €. Piensa gastarse de ese dinero en un videojuego y en un cd.
¿Qué fracción del total le quedará? ¿Cuánto dinero le quedará?
3
1
5
2
Videojuego --
Cd --
Total 120 €
3
1
5
2
15
11
15
65
5
2
3
1
=
+
=+ gasta en total
15
4
15
11
15
15
=− le quedan
32
15
4.120
120de
15
4
==
Solución:
Le quedan del total, que son 32 €
15
4
21. PROBLEMAS (4)PROBLEMAS (4)
Ejemplo 4: Fracción de fracción.
Pedro tiene ahorrados 180 €. Piensa destinar a un regalo para su hermana y los de lo que le
quede para invitar a sus amigos el día de su cumpleaños. ¿Qué fracción de su dinero le quedará?
¿Cuánto dinero le quedará al final?
6
1
3
2
regalo
invitación
Le quedan
18
5
50
18
5.180
180de
18
5
==
Solución:
Le quedan que son 50 €
18
5
regalo
6
1
invitación de
lo que queda
3
2
6
5
6
1
6
6
=−
18
10
6
5
de
3
2
=
quedan
invitación
18
13
18
103
18
10
6
1
=
+
=+
gasta en
total
18
5
18
13
18
18
=− le quedan
50
18
5.180
180de
18
5
==
Solución:
Le quedan que son 50 €
18
5
