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1. Ejemplos: Ecuaciones trigonométricas
1. Resuelve:
Solución:[Mostrar]
2. Resuelve:
Solución:[Mostrar]
3. Resuelve:
Solución:[Mostrar]
4. Resuelve:
1. Resuelve:
Solución:[Ocultar]
Transformamos la ecuación de partida:
Hacemos un cambio de variable:
Soluciones:
2. Resuelve:
Solución:[Ocultar]
Usando la identidad fundamental:

2. Sustituimos en nuestra ecuación de partida:
Soluciones:
3. Resuelve:
3. Resuelve:
Solución:[Ocultar]
Transformamos la suma en producto:
Dividimos ambos miembros entre 2 e igualamos a cero cada factor:
Soluciones:

3. Ángulos en las circunferencias
Tabla de contenidos
[ocultar]
1 Definición
2 Ángulo inscrito y ángulo
central
3 Ángulo semiinscrito
4 Ángulo interior
5 Ángulos exteriores
[editar] Definición
Dentro de una circunferencia encontramos distintos tipos de ángulos, por ejemplo:
= ángulo inscrito, con el vértice sobre la circunferencia y con lados que son cuerdas de la misma.
= ángulo semiinscrito, con el vértice en la circunferencia, un lado tangente en el vértice y otro que es una
cuerda.
= ángulo central, con el vértice en el centro de la circunferencia y los lados coincidentes con radios.
= ángulo interior, con lados que son cuerdas de la circunferencia y el vértice situado en su interior.
[editar] Ángulo inscrito y ángulo central
El ángulo inscrito a una circunferencia es el que tiene el vértice en un punto perteneciente a ella, E, siendo sus
lados cuerdas de la misma, AE y EB. Vemos que el ángulo inscrito abarca el arco AB. Todos los ángulos
inscritos que abarcan el mismo arco son iguales. En nuestro ejemplo son iguales los ángulos de vértices D, E, F,
G. El ángulo inscrito vale la mitad del arco que abarca. El ángulo central es el que tiene el vértice en el centro de
la circunferencia, C, siendo sus lados dos radios, CA y CB. Vemos que el ángulo central dibujado abarca el arco
AB. El ángulo central mide lo mismo que el arco que abarca. Cuando un ángulo inscrito y un ángulo central
de una circunferencia abarcan el mismo arco, el ángulo inscrito vale la mitad que el central.

4. Comprobamos esta propiedad dibujando el ángulo inscrito con vértice en G, de modo que la cuerda GB coincida
con el diámetro de la circunferencia. Analizando los ángulos del triángulo isósceles GAC, vemos que se cumple
la propiedad.
Es importante notar que dos puntos A y B sobre una circunferencia determinan dos arcos y, por tanto, dos
ángulos centrales, uno cóncavo y uno convexo, o los dos iguales, que sumarán 360º. Sus ángulos inscritos
serán suplementarios, pues sumarán 180º.

5. [editar] Ángulo semiinscrito
El ángulo semiinscrito tiene el vértice A en la circunferencia, siendo sus lados la recta t tangente en A y la
cuerda AB.
El ángulo semiiscrito vale la mitad que el ángulo central que abarca el arco AB. Para comprobarlo calculamos
el valor del ángulo central: , por pertenecer al triángulo isósceles ABC.
Calculamos el valor del ángulo semiiscrito: .
El razonamiento es el mismo cuando el ángulo semiiscrito abarca el otro arco definido por AB.

6. [editar] Ángulo interior
El ángulo interior tiene el vértice en un punto interior a la circunferencia, en el círculo. Sus lados son dos
rectas secantes.
El ángulo interior , siendo y los ángulos centrales de los arcos definidos por sus lados.
Vamos a comprobarlo: Consideramos el triángulo escaleno MQG:
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco MN;
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco PQ;
el ángulo , por lo tanto, .
[editar] Ángulos exteriores
El ángulo exterior tiene el vértice en un punto exterior a la circunferencia. Sus lados son dos rectas secantes.
El ángulo exterior gamma = (alpha - beta)/2, siendo alpha y beta los ángulos centrales de los arcos definidos
por sus lados.
Vamos a comprobarlo:

7. Consideramos el triángulo escaleno :
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco ;
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco ;
el ángulo , suplementario de ;
por lo tanto, el ángulo .
Hay otros dos casos de ángulos exteriores, según sus lados sean secantes o tangentes a la circunferencia:
El ángulo exterior circunscrito tiene los dos lados tangentes a la circunferencia;
, siendo el ángulo central definido por sus lados.
Vamos a comprobarlo: El cuadrilátero cumple, como tal, que la suma de sus ángulos interiores es
de .
Siendo dos de sus ángulos rectos, resulta que
, luego .

8. El ángulo exterior tiene un lado secante y otro tangente a la circunferencia.
El ángulo exterior , siendo y los ángulos centrales de los arcos definidos por sus lados.
Vamos a comprobarlo:
Consideramos el triángulo escaleno :
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco ;
el ángulo , pues es el ángulo suplementario de , ángulo semiinscrito que abarca el
arco ;
el ángulo .
El siguiente teorema se demostró en 1821, y es llamado “de los 9
puntos”. Dice lo siguiente: “Dado un triángulo cualquiera ABC,
situemos sobre él las siguientes ternas de puntos:
o Los puntos medios de los tres lados a, b y c, que llamamos
am , bm, cm (en la figura son los puntos negros)
o Los pies de las tres alturas que llamamos p, q y r (en la figura
los puntos rojos)
o Los puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el
ortocentro, que llamanos x, y z (en la figura los puntos amarillos).
Entonces estos 9 puntos están sobre una circunferencia (en la figura en
negro) que resulta tener un radio igual a la mitad de la circunferencia
circunscrita al triángulo (en la figura en amarillo).

9. Martin Gardner
Circo matemático
Los teoremas que aparecen a continuación son clásicos, conocidos desde hace
miles de años, pero no por ello resultan menos elegantes. Veamos primero
algunas definiciones fundamentales sobre el triángulo.
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita
a un triángulo. Es decir, es el centro de la circunferencia que
pasa por los tres vértices. Dicho punto es el cruce de la tres
mediatrices a los tres lados del triángulo. Demostrar esto no es
difícil (clic aqui)
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita al
triángulo. Es decir, es el centro de la circunferencia tangente a
los tres lados. Las tres bisectrices interiores se cortan en el
incentro. Tampoco es difícil demostrar esto (clic aqui)
El ortocentro (H) es el punto de corte de las tres alturas (clic
aqui)
El baricentro (G) es el centro centro de gravedad del triángulo y
se obtiene mediante el corte de sus tres medianas (segmento que
une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Si quisieras
que un triángulo de papel se sujete sobre la punta de un lápiz
habrás de ponerlo sobre su baricentro (eso sí, cuando lo pongas,
hazlo con mucho cuidado para que no se desequilibre). (clic
aqui). El baricentro tiene una propiedad muy curiosa: está sobre
la mediana, a un tercio del vértice y a dos tercios del lado. Aquí
tienes una demostración, en dos pasos (clic aquí)
Las circunferencias tangentes a los tres lados y a sus
correspondientes prolongaciones reciben el nombre

10. de exinscritas. Llamaremos ra, rb y rc a los radios de las tres
circunferencias exinscritas al triángulo ABC, de lados a, b y c.
En la siguiente figura tienes las tres circunferencias exinscritas,
la circunscrita y la inscrita.
Puedes ver cómo se obtiene el centro y radio de una de las circunferencias
exinscritas de un triángulo aquí. (clic)
o Se cumple que O, G y H están alineados. La recta que los
contiene se llama recta de Euler (clic) , y se verifica que
o El círculo de Euler es tal que su centro es el punto medio de OH
y es tangente a las tres circunferencias exinscritas y a la
circunferencia inscrita.
o Si R es el radio de la circunferencia circunscrita y r el de la
inscrita se cumple que 4R = ra + rb + rc - r
o Si p es el semiperímetro y S la superficie se cumple que S = pr =
(p - a)ra = (p - b)rb = (p - c)rc =

11. No conozco las demostraciones de estas afirmaciones. Puede ser interesante
buscarlas y entenderlas. Cuentas con la ventaja de que no son complicadas de
entender. Así que anímate.
Te hago una propuesta para que investigues ¿Nunca te has parado a pensar
porqué los tres ángulos de un triángulo tienen que sumar 180º?. ¿Porqué no
son 160º por ejemplo?: ¿Es muy difícil demostralo?. ¿En qué axioma hay que
apoyarse? ¿Qué sabes del axioma de Euclides? ¿Sabes algo de las geometrías
no euclidianas? Aquí aparece un capítulo importante de las Matemáticas del
cual vale la pena conocer algo.
Introducción
En el estudio de los triángulos, algunas rectas, puntos y circunferencias se
destacan por sus propiedades. A continuación se presenta una lista
exhaustiva de definiciones.
• Mediatrices: son las rectas perpendiculares a los lados que dividen a éstos
en partes iguales.
• Circuncentro: es el punto en el que se encuentran las mediatrices. Este
punto no siempre es interior al triángulo. (En los triángulos con un ángulo
obtuso, es exterior; en el caso de los triángulos rectángulos, pertenece a la
hipotenusa.)

12. • Circunferencia circunscripta: es la circunferencia no incluida en el triángulo
que contiene sus tres vértices. Su centro es el circuncentro, de ahí el nombre
de éste.
• Bisectrices: son las rectas que dividen a los ángulos en partes iguales.
• Incentro: es el punto en el que se encuentran las bisectrices. El incentro es
siempre interior al triángulo, de ahí su nombre.
• Circunferencia inscripta: es la circunferencia incluida en el triángulo que es
tangente a los tres lados. Su centro es el incentro.
• Circunferencias exteriores: son las circunferencias exteriores al triángulo,
tangentes a cada lado y a la prolongación de los otros dos. El centro de cada
una de ellas es la intersección de la bisectriz del ángulo opuesto al lado al
cual la circunferencia es tangente con las perpendiculares a las bisectrices de
los otros dos ángulos que pasan por los vértices correspondientes.
• Bases: son los segmentos que unen los puntos medios de los lados del
triángulo.
• Medianas: son los segmentos que unen los vértices con los puntos medios
de los lados opuestos.
• Baricentro: es el punto en el que se encuentran las medianas. En un cuerpo
real de forma triangular, el baricentro es el centro de masa (de ahí su
nombre, gr. baros = "gravedad"), es decir, el punto desde el cual se puede
tomar el cuerpo sin que manifieste tendencia a girar. El baricentro es
siempre interior al triángulo.
• Alturas: son los segmentos perpendiculares a los lados (o a la prolongación
de éstos) que tienen su otro extremo en el vértice opuesto.
• Ortocentro: es el punto de encuentro de las alturas. Este punto no siempre
es interior al triángulo.(En los triángulos con un ángulo obtuso, es exterior.
En el caso de los triángulos rectángulos, coincide con el vértice del ángulo
recto.)
• Recta de Euler (pronúnciese óiler) [1]: es la recta que contiene al
ortocentro, el baricentro y el circuncentro.
• Circunferencia de Feuerbach (pronúnciese fóierbaj) [2]: es la circunferencia
que contiene los tres puntos medios de los lados del triángulo [*]. El centro
de la circunferencia de Feuerbach pertenece a la recta de Euler.
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

13. Las mediatrices de un triángulo son las
rectas perpendiculares a cada uno de los
lados en sus puntos medios.
El punto donde se cortan las tres
mediatrices de un triángulo se denomina
circuncentroy es el centro de la
circunferencia circunscrita.
Las bisectrices de un triángulo son las
rectas que dividen cada uno de sus
ángulos en otros dos iguales.
Las bisectrices de un triángulo son las rectas
que dividen cada uno de sus ángulos en otros
dos iguales.
El punto donde se cortan las tres bisectrices de
un triángulo se denomina incentro y es el
centro de la circunferencia inscrita.
Las alturas de un triángulo son las
rectas que van desde un vértice al lado
opuesto perpendicularmente.
Las alturas de un triángulo son las rectas
que van desde un vértice al lado opuesto
perpendicularmente.
El punto donde se cortan las tres alturas de
un triángulo se denomina ortocentro.

14. Las medianas de un triángulo son las rectas que
van desde un vértice al punto medio del lado
opuesto.
El punto donde se cortan las tres medianas de un
triángulo se denomina baricentro.

15. Dibuja dos triángulos uno isósceles y otro equilátero y determina el circuncentro, el ortocentro, el incentro
y el baricentro.
Es el lugar geométrico de todos los
puntos que conforman esta figura y
que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia.
El círculo representa la zona
achurada.
El contorno de esta figura plana es
la circunferencia.
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

16. ELEMENTOS DE UN CÍRCULO
ÁNGULOS INSCRITOS EN LA
CIRCUNFERENCIA
Todo ángulo inscrito ( ) es igual a
la mitad del ángulo del centro, ( )
si el arco ( ) comprendido entre
ellos es común.

17. No importa la ubicación del ángulo
inscrito. Todos son iguales si el
arco es común.
Cuando el arco coincide con el
diámetro de la circunferencia, el
ángulo del centro AOB es 180°.
Luego el ángulo inscrito es 90°.
Teorema : Todo ángulo inscrito en
una semicircunferencia es un
ángulo recto.
Si los arcos son iguales =
Los ángulos inscritos también:
Área (A) Perímetro (P)
Circunferencia No tiene área (R: radio)
Círculo (R: radio)
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR

18. en grados sexagesimales
: ángulo del centro
ARCO
Arco (a) : Representa una fracción del perímetro.
en grados sexagesimales
: ángulo del centro
Soluciones
Solución 76.
Problemas Si XYZ es un triángulo, denotemos su área
Soluciones 1- como (XYZ). El triángulo ADO es semejante al
25 triángulo ONP en razón1:2, así OD=2OP. Como los
Soluciones
triángulos ODN y ONPcomparten la altura trazada
26-50
Soluciones desde el vértice N, entonces(ONP) = 1/2 (ODN). Por
51-75 el mismo argumento 1/2(ODN)=(ADO). Luego
Tabla de entonces (ADO) + (ONP)= 5/6(ADN) = 5/6(1/4) =
respuestas 5/24.Análogamente el área de la región sombreada en
el paralelogramo MBCN también es 5/24, y el total del

19. área sombreada es 2(5/24)=5/12. La respuesta es
(c).
Regresar al problema
Solución 77.
Llamemos a los ciclistas A y B. Si el ciclista A se
encuentra con el ciclista B en la primera esquina a
la que llega una vez iniciado su recorrido, significa
que B recorrió tres lados del cuadrado
mientras A recorrió uno, y la razón entre sus
velocidades es 1:3. Si se encuentran en la
segunda esquina a partir de que A inició su
recorrido, entonces la velocidad de A es la misma
que la de B(recorrieron la misma distancia en el
mismo tiempo), pero la tercera vez se
encontrarían en la misma esquina donde
empezaron, lo cual no puede ser. Por el mismo
razonamiento del primer caso, si se encuentran
en la tercera esquina a la que llegó A, la razón
entre sus velocidades es 1:3. La respuesta es (b).
Regresar al problema
Solución 78.
Como se comió los dulces de 3 en 3, sólo pueden
quedar dulces de aquéllos de los que
originalmente no había una cantidad múltiplo de
3: los verdes. La respuesta es (d).
Regresar al problema

20. Solución 79.
Tracemos por A una paralela a BC y por B una
paralela aAC. Si D es su punto de intersección,
cada uno de los segmentos paralelos a AC que se
han dibujado son del mismo tamaño. La suma de
las longitudes de los segmentos paralelos dentro
del triángulo ABC es igual a la suma de las
longitudes de los segmentos paralelos dentro del
triángulo ABD. Así, la suma de los segmentos en
un solo triángulo es igual a (7x10)/2 = 35. La
respuesta es (d).
Regresar al problema
Solución 80.
El perímetro del cuadrado redondeado es 4 x 2 +
(4 x 2 x 2/4) = 12 , y esto es es 6 veces el
perimetro de la rueda, que es de 2 . La respuesta
es (b).
Regresar al problema
Solución 81.
Cada vez que se concede un deseo el pedazo de
piel se reduce a 1/6 de su área. Después de
conceder 3 deseos, el pedazo de piel tiene un
área de 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/216 veces el área
original. Al principio, el pedazo de piel tenía un
área de 4 x 216=864 cm2, y como se trataba de
un rectángulo donde una arista medía 9 cm, la
otra medía 96 cm. La respuesta es (b).

21. Regresar al problema
Solución 82.
Observemos que 96 = 25 x 3. Entonces los únicos
divisores de 96 que están entre 5 y 20 son 2 x 3
= 6, 22 x 3=12, 23=8 y 24=16. Por lo tanto sólo
podemos hacer equipos de cuatro maneras
diferentes. La respuesta es (d).
Regresar al problema
Solución 83.
Dividir 1 entre 52000 es lo mismo que calcular (1/
5)2000 = (0.2)^2000. Al elevar 0.2 a alguna
potencia, observemos el comportamiento de su
última cifra:
(0.2)1 = ... 2
(0.2)2 = ... 4
(0.2)3 = ... 8
(0.2)4 = ... 6
(0.2)5 = ... 2
.
.
.
La secuencia se repite en lo sucesivo cada 4
números y, como 2000 es múltiplo de 4, es fácil
observar que la última cifra no cero en la división
será 6. La respuesta es (c).
Regresar al problema
Solución 84.
Tenemos que
415 = (22)15 = 230
811 = (23)11 = 233
168 = (24)8 = 232
326 = (25)6 = 230

22. El más grande es 811. La respuesta es (c).
Regresar al problema
Solución 85.
Agrupemos todos los 2's y los 5's que
podamos:21998 x 52002=(2 x 5)1998 x 54=625 x
101998. La respuesta es (c).
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Solución 86.
De la A a la Z, en orden, hay 26 letras, así que
de AAA aAAZ hay 26 códigos (AAZ es el número
26). De la misma manera, de AAA a AZZ hay 26
x 26 = 676 códigos. Podemos ver que 2203 = 676
x 3 + 175, así que aún nos faltan 175 códigos
después de CZZ, que es el código 3 x 26 x 26 =
2028. Como 175 = 6 x 26 + 19, después
de DFZ(que es el código 626 + 26 x 6) nos faltan
aún 19 códigos, así que la etiqueta es DGS. La
respuesta es (c).
Regresar al problema
Solución 87.
La sucesión de flechas es periódica y se repite
cada 6 números. Tenemos que 1997 = (6 ... 332)
+ 5, así es que la sucesión de 1997 a 2000 es la
misma que de 5 a 8. La respuesta es (e).
Regresar al problema
Solución 88.
Para un triángulo XYZ, denotemos su área
por (XYZ). Tenemos entonces que
(BAP) / (BCP) = AP x h / PC x h = AP / PC
(DAP) / (CDP) = AP x h / PC x h = AP / PC
(DAP) / (CDP) = (BAP) / (BCP), de donde
(BAP) / 120 = 300 / 200 y

23. (BAP) = 180
La respuesta es (b).
Regresar al problema
Solución 89.
Observemos que los lados de los triángulos que se
forman al tomar tres vértices, sólo pueden ser
aristas del cubo, diagonales de alguna cara o
diagonales del cubo. Es fácil observar que todos
los triángulos que tienen a una diagonal del cubo
como uno de sus lados son rectángulos (y por lo
tanto no son equiláteros). Por otra parte, los
triángulos quetienen aristas como dos de sus
lados (a partir del mismo vértice) también son
rectángulos. Fijándonos ahora en las diagonales
de caras,observemos que los únicos triángulos
equiláteros se forman con las diagonales de tres
caras que coinciden en un vértice y que no pasan
por él, y habrá tantos triángulos equiláteros como
vértices tiene el cubo: ocho. La respuesta es (b).
Regresar al problema
Solución 90.
Como a+f+d es par, y b+f+d es par también,
tenemos que a y b son los dos pares o los dos
impares. Usando el mismo argumento, llegamos a
que a,b,c,d y e tienen la misma paridad.
Así f tiene que ser par, puesto que a+d es par
(suma de dos pares o de dos impares).
Luego a,b,c,dy e tienen que ser impares porque
la suma de las áreas es 31.
Entonces a,b,c,d y e son los números del 1 al 9
en algún orden, y f=31-1-3-5-7-9=6. La
respuesta es (d).
Regresar al problema
Solución 91.

24. Los triángulo ABT y ARO son semejantes en
razón 2:1pues O es el punto medio de AT,
y RO es paralela a BT; así, como en el
triángulo ARO los lados AO y RO son iguales,
también lo son sus correspondientes en el
triángulo ABT, es decir, BT=AT; por tanto BT=3.
El área buscada es: área (ABT) - área (ARO) -
1/4 área ( = 3 x 3/2 - (3/2 x(3/2)/2) - 1 /4 x
(3/2)2=27/8-9 /16. La respuesta es (e) .
Regresar al problema
Solución 92.
El triángulo ABC es isósceles y ABC= ACB.
Como el triángulo BCD es isósceles también,
ABD= BDA. ComoBCD es isósceles también, y
usando que la suma de los ángulos internos de un
triángulo es 180o, tenemos BCD= BDC=180o-
BDA= ABD + BAD= 2 ABD. Luego 5
ABD= 180o y ABD=36o. La respuesta es (b).
Regresar al problema
Solución 93.
Observemos que el triángulo ABO es semejante al
triángulo DCO en razón 2:1 (AB=2CD).
EntoncesAO=2DO, pero como AO+DO=6,
tenemos que AO=4. Por lo tanto el área del
triángulo sombreado es (AB x AO)/2= 6 x
4/2=12. La respuesta es (c).
Regresar al problema

25. Solución 94.
Si alguno de los números que salen (o en el dado
o en la moneda) es par, el resultado es par. Hay
probabilidad de 1/2 de que salga el 2 en la
moneda, y la probabilidad de que si salga 1 en la
moneda y un número par en el dado es de 1/2 x
1/2 = 1/4. Así, la probabilidad de que gane Edgar
es 1/2 + 1/4 = 3/4. La respuesta es (c).
Regresar al problema
Solución 95.
Representemos cada camino como una cadena
deletras. Así, el camino ACEDB es el que recorre
los segmentos AC,CE, ED y DB. Todas las
cadenas deben empezar en A y terminar en B, y
tienen a lo más 5 letras (no se puede pasar por el
mismo vértice dos veces). Hay una sola cadena
de dos letras que representa un camino
válido: AB. Hay 3 cadenas de tres letras que
representan caminos válidos: ACB, ADB, AEB.
Los caminos que pasan por cuatro vértices son de
la forma A _ _ B, donde hay 6 opciones para
poner en lugar de las
líneas: CD, DE, CE,DC, ED y EC. Por la misma
razón, pasando por los cinco vértices hay tantos
caminos como cadenas diferentes con tres letras
distintas: CED, CED, EDC, ECD, DEC y DCE. En
total son 1+3+6+6=16 formas. La respuesta es
(c).
Regresar al problema

26. Solución 96.
Tenemos que (x+y)2=x2+2xy+y2=8xy, así que,
despejando, x+y= . De la misma manera,
2 2 2
de (x-y) =x -2xy+y =4xy obtenemos x+y=
. Entonces (x+y)/(x-y)= / = = .
La respuesta es (c).
Regresar al problema
Solución 97.
Tenemos que BE=1 - EC, FC=EC y AE=2EF.
Aplicando el Teorema de Pitágoras
en EFC obtenemos EF2=EC2+EC2, de
donde EC=(1/ )EF. Apliquemos el Teorema de
Pitágoras al triángulo ABE y sustituyamos el valor
de ECque acabamos de obtener:
(2EF)2 = 1+(1-EC)2
4EF2 = 1+1- 2EC+EC2 = 2-2EC+EC2 = 2-2((1/
)EF)+1/2 x EF2
7/2EF2+ EF-2= 0
Resolviendo obtenemos EF =1/7(- ).
Como EF es una longitud, tomamos el valor
positivo en la raíz y, por lo tanto EF=1/7(- +
). La respuesta es (c).
Regresar al problema
Solución 98.
Los tres arcos fueron trazados con el mismo
radio, luego el triángulo ABC es equilátero de lado

27. 1. Como en el triángulo equilátero todos los
ángulos son iguales a 60oentonces tenemos que el
área del sector CB es una sexta parte del área del
círculo, es decir, ( r2)/6= /6; análogamente las
áreas de los sectores AB y AC son /6,
respectivamente. El área de la figura es la suma
del área de los tres sectores menos dos veces el
área del triánguloABC. La altura del
triángulo ABC es /2, entonces su área
es bh/2=(1 x ( /2)/2= /4 Por lo tanto, el área
de la figura es: A=3( /6)-2( /over4)=( - )/2.
La respuesta es (d).
Regresar al problema
Solución 99.
El área del triángulo ADE es 1. La altura trazada
desde el vértice A de los triángulos ADE y AEF es
la misma, pero la base del triángulo AEF es el
doble de la base del triánguloADE, por lo tanto, el
área del triángulo AEF es 2.
Análogamente, la altura del triángulo ADE es
igual a la altura del triángulo AFC y, como la base
del triángulo AFCes el triple de la base del
triángulo ADE, el área del triángulo AFC es 3. El
área del triángulo DBE es igual al área del
triángulo ADE ya que tienen la misma base y la
misma altura. De la misma manera que en los
casos anteriores, las áreas de los
triángulos BEF y BFC son el doble y el triple,
respectivamente, del área del triánguloBDE;
entonces tenemos que el área del
triángulo ABC=2 x 1+2 x 2+2 x 3=12. La
respuesta es (e).

28. Regresar al problema
Solución 100.
Sumando las dos últimas ecuaciones obtenemos
2x2=8, de donde x=2. Sumando la primera y
tercera ecuaciones tenemos que 2x2+2z=9.
Sustituyendo el valor de x y despejando llegamos
a z=3. Sustituyendo x y z en la segunda
ecuación, tenemos que y=1/2. Por lo tantoxyz=3.
La respuesta es (d).
Regresar al problema

29. Inicio de la página
Polígono regular
Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos
los ángulos interiores son de la misma medida.
Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando la figura de
un hexágono para representar un polígono regular genérico.
Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscritos en
una circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el número de
lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de una circunferencia.
En un polígono regular podemos distinguir:
 Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
 Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
 Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
 Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
 Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
 Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
 Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
 Semiperímetro, SP: es la mitad de la suma de la suma de la medida de su contorno (mitad
del perímetro).

30. Propiedades
Dadas las características de los polígonos regulares, podemos diferenciar algunas propiedades
que se dan siempre, y que son de gran utilidad para determinar sus propiedades, y dimensiones
geométricas.
 Los polígonos regulares
 Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es decir, son
congruentes
 El centro de un polígono regular es un punto equidistante de todos los vértices del polígono
 Los polígonos se pueden dividir en triángulos cuyos lados son el lado del polígono y los dos
segmentos que unen el centro y los vértices (radios)
 El apotema es el segmento que une el centro y la mitad de cada lado del polígono
 El radio es el segmento que une el centro y cada vértice
Todos los polígonos tienen tres o más lados.
Ángulos centrales
 Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede
obtenerse a partir del número de lados n del polígono
en grados sexagesimales
en radianes

31. [editar]Ángulos interiores
 El Ángulo interior, , de un polígono regular sacascascasc ; </math> en grados
sexagesimales
en radianes
 La suma de los ángulos interiores, , de un polígono regular es de:
en grados sexagesimales
en radianes
[editar]Ángulos exteriores
 El Ángulo exterior, , de un polígono regular es de:
en grados sexagesimales
en radianes
 La suma de los ángulos exteriores, , de un
polígono regular es:
en grados sexagesimales
en radianes
Como puede verse la suma de los ángulos
exteriores de un polígono, y de un polígono
regular en particular, mide una circunferencia
completa, independientemente del número de
lados.
A esta conclusión se podía llegar percatándose de
que:
dado que todos los ángulos interiores de un
triángulo suman 180 grados, que resulta:
Por otro lado al ser ángulos
suplementarios tenemos:

32. por tanto, en un polígono regular
el ángulo central y el exterior
miden lo mismo:
y habiendo el mismo número
de ángulos centrales y
exteriores en un polígono, su
suma también es la misma:
que es una
circunferencia
completa,
independientemente
del número de lados,
esta conclusión es
valida también para los
polígonos no regulares.
Ángulos centrales
 Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede
obtenerse a partir del número de lados n del polígono
en grados sexagesimales
en radianes
[editar]Ángulos interiores
 El Ángulo interior, , de un polígono regular sacascascasc ; </math> en grados
sexagesimales
en radianes
 La suma de los ángulos interiores, , de un polígono regular es de:
en grados sexagesimales
en radianes
[editar]Ángulos exteriores
 El Ángulo exterior, , de un polígono regular es de:

33. en grados sexagesimales
en radianes
 La suma de los ángulos exteriores, , de un
polígono regular es:
en grados sexagesimales
en radianes
Como puede verse la suma de los ángulos
exteriores de un polígono, y de un polígono
regular en particular, mide una circunferencia
completa, independientemente del número de
lados.
A esta conclusión se podía llegar percatándose de
que:
dado que todos los ángulos interiores de un
triángulo suman 180 grados, que resulta:
Por otro lado al ser ángulos
suplementarios tenemos:
por tanto, en un polígono regular
el ángulo central y el exterior
miden lo mismo:
y habiendo el mismo número
de ángulos centrales y
exteriores en un polígono, su
suma también es la misma:
que es una
circunferencia
completa,
independientemente

34. del número de lados,
esta conclusión es
valida también para los
polígonos no regulares.
Galería de polígonos regulares

Triángulo equilátero(Triángulo regular).

Cuadrado (cuadriláteroregular).

Pentágono regular.

35. 
Hexágono regular.

Heptágono regular.

Octágono regular.
