geometria clase 3

1. Desarrollode laclase 3
Triángulo.- definición: triangulo es un polígono de tres lados; tres puntos A,B,C no colineales
siempre determinan un triángulo ABC.
Clasificaciónde los triángulos
Por sus lados:
 triánguloequilátero,cuandolostresladosdel triángulosondel mismotamaño.
 triánguloisósceles si tienedosladosde lamismalongitud.
 triánguloescalenosi todossusladostienenlongitudesdiferentes
Equilátero Isósceles Escaleno
Por sus ángulos:
 Triángulorectángulo:si tiene un ángulointeriorrecto(90°).A losdosladosque conforman
el ángulorectose lesdenomina catetosyal ladoopuestohipotenusa.
 Triángulooblicuángulo:cuandoningunode susángulosinterioressonrectos(90°).Por
ello,lostriángulosobtusángulosyacutángulossonoblicuángulos.
 Triánguloobtusángulo:si unode susángulosinterioresesobtuso(mayorde 90°);losotros
dos sonagudos(menoresde 90°).
 Triánguloacutángulo:cuandosustresángulosinterioressonmenoresde 90°.
 Trianguloequiángulo:cuandosustres ángulos soniguales
A B
C

2. Rectángulo Obtusángulo Acutángulo
Oblicuángulos
Propiedadesgeométricasde los triángulos:
 La sumade los ángulos interiores de un triánguloesigual a180°.
Hipótesis a,b , c ángulosinternosde triangulo
Tesis:a+b+c= 180°
 Demostración :
Construcciónauxiliar.- por el vértice C,se traza la recta n paralelaal ladoAB del triángulo
Así que:
- losángulos"a" soniguales, poralternosinternos
- losángulos “b” soniguales, porlamismarazón
Por lotanto a+b+c= 180°, por ser n unarecta.
Corolario: El valor de un ánguloexteriorde untriánguloesigual alasuma de los dos interiores
no adyacentes.

3. Hipótesis:α ánguloexternodel triánguloABC
Tesis: α = A + B
Demostración:
α + C = 180° (poradyacentes)
A+B+C = 180° (porángulosinternosde triángulo)
Por lotanto
α + C = A+B+C (doscantidadigualesaunatercera sonigualesentre sí)
de donde α = A+B (si restocantidadesigualesalostérminosde unaigualdadobtengootra
igualdad).
Corolarios:
 En todo triangulolamedidadel ánguloexterioresmayorque cualquierángulointeriorno
adyacente.
 La sumade las medidasde losángulosagudosde untriángulorectánguloessiempreigual
a 90°.
 La medidade cadaángulode un triánguloequiánguloes60°.
Rectas y puntosNotablesdel triángulo
Medianasy Baricentro
Se llamamedianaa la recta que une un vértice con el puntomedio (bisector) del ladoopuesto.En
un triánguloABC,las tres medianasse cruzan en un punto denominado G, llamadoBaricentroque
es el centro de gravedaddel triángulo.Ademásel Baricentrodista doble del vértice que del punto
medio del lado.

4. Mediatricesy Circuncentro
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular en su punto medio. Las mediatrices de un
triángulo son las mediatrices de sus lados. El punto donde se cortan las tres mediatrices
generalmente se denominaconlaletra O yse llamaCircuncentro, equidista,esdecir,estálamisma
distancia de los tres vértices A, B y C, y constituye el centro de la circunferencia que pasa por los
tres vértices. La circunferencia se llama Circunferencia Circunscrita.
Alturas y Ortocentro
ALTURAS:se llamaalturaenuntriánguloalaperpendiculartrazadadesdeunvérticeal ladoopuesto.
En un triángulo ABC, las tres alturas se cruzan en un punto llamado Ortocentro.
Bisectricese Incentro
Se llamabisectrizalarectaque divide unánguloendospartesiguales. Lasbisectricesdeuntriángulo
son lasbisectricesde susángulos internos.El puntoI donde se cortan las tresbisectricesinteriores

5. se llama Incentro, equidista de los tres lados y por eso podemos construir una circunferencia de
centroI tangente alosladosdel triángulo.Dichacircunferenciase llamaCircunferenciaInscritayes
la circuferenciamás"grande"que se puede definircompletamente contenidadentrodeltriángulo.
Los puntos Incentro, Baricentro,Ortocentro,y Circuncentro que son determinadospor las líneas
notables son los denominados puntos notables del triángulo.
Tarea (Esta tarea puede realizarse a mano o utilizandoel programa Geogebrade distribución
libre que puede ser descargado de la siguiente dirección.
http://www.download366.info/geogebra?utm_source=google&utm_medium=cpc&utm_campaign
=366_EC_Productividad&utm_content=Geogebra&utm_term=geogebra
En un triángulo Escaleno obtusángulo cualquiera, en un triángulo Rectángulo cualquiera, en un
triángulo equilátero, y en un triángulo isósceles acutángulo, realizar el grafico de todas las líneas
notables (todas en el mimo triangulo) estos gráficos deben tener ( en el caso de ser realizado a
mano) el procedimiento de construcción de cada una de las líneas notables y todas deben ser
graficadas. El objetivo escontestar, apoyándose conlaconstruccióngraficarealizadalassiguientes
preguntas:
En general de los puntos notables:
¿Hay algún caso particular en el que los cuatro puntos (baricentro, ortocentro, circuncentro e
incentro) estén alineados?
¿Y qué coincidan en un mismo punto?
¿Cómo son entre sí las circunferencias circunscrita e inscrita cuando el triángulo es equilátero?
¿se comprueba, en los cuatro casos que las rectas notables (medianas, mediatrices, alturas y
bisectrices) siempre se intersectan en el mismo punto (puntos notables)?
Medianas
¿Se comprueba, midiendo los segmentos, la razón de división del baricentro en cada una de las
medianas con respecto a sus extremos? (las medidas deben ser escritas en el trabajo)

6. Mediatrices
¿se comprueba, mediante mediciones,que enlaintersección de lastres mediatricesse encuentra
el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices? (las medidas debenser escritas en el
trabajo)
¿En cuáles casos el circuncentro se encuentra dentro del triángulo?
¿Cómodebe serel triánguloparaque el circuncentrose encuentre sobre el triángulo?,ental caso,
puedes describir ¿en dónde se encuentra el circuncentro?
Alturas
¿Cuáles condiciones deben existir para que el ortocentro se encuentre dentro del triángulo?
¿Cuáles condiciones deben existir para que el ortocentro se encuentre afuera del triánguo?
¿Y para que el ortocentro coincida con el triángulo?
Bisectrices
¿Cuál es la razón por la cual en la intersección de las tres bisectrices se encuentra el centro de la
circunferencia inscrita en la circunferencia? Compruebe su conclusión con medidasrealizadas (las
medidas deben ser escritas en el trabajo)
Fuente http://geogebra.geometriadinamica.org/ventana_rectas_notables.html
Nota en la dirección electrónica encontrara una aplicación interactiva del tema tratado.
Problemas de aplicación:
 Demostrar que el ángulo formado por dos bisectrices externas de una triangulo es igual a
2 rad disminuido en la mitad del ángulo interno en el tercer vértice.
 Determine el valor del ángulo α en el triángulo de la figura:
 El triángulo ABC de la figura es isósceles, con AC = BC. El trazo AD es bisectriz del ángulo
CAB, y la medida del ángulo ECD = 100°. Calcular la medida del ángulo Y.

7.  Considerando que el triángulo ABC es equilátero, y que BE es bisectriz del ángulo CBD,
determine el valor del ángulo “x”:
 Determinar el valor de x -y, considerando que AC=BC
 En el triángulode la figura,AB = BC = CA. El segmentoCDdivide el ánguloACBde tal forma
que =2. Determine la medida del ángulo x
 Hallar X°

8. a) 50°
b) 60°
c) 65°
d) 70°
e) 80°
 En untriánguloABC,el ánguloA mide 58°.¿Cuántomide el ángulo BDCdonde Desel punto
de intersección de las bisectrices de los ángulos B y C?
a) 125º
b) 119º
c) 110º
d) 95º
e) 102º
 Hallar el ánguloformado por la intersecciónde lasbisectricesde losángulosexterioresde
los ángulos agudos de un triángulo Rectángulo
a) 60º b) 45º c) 30º d) 65º e) 90º
 El ánguloB de un triánguloABCmide 40º. ¿Cuántomide el ánguloAECdonde E es el punto
de intersección de las bisectrices del ángulo interior A y ángulo exterior C?
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
 De la figura AB = BE; BD = DC; el triángulo ABD es:

9. A) isósceles
B) equilátero
C) acutángulo
D) rectángulo
E) obtusángulo
 Según el grafico. Hallar el valor de “”
A) 10°
B) 20°
C)30°
D) 40°
E) 50°
 Calcular “x”, si:  - = 18°
A) 16º B) 17º C) 18º D) 19º E) 36º
 Calcular “x”, si AB = BC y TC = TD
A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 40º