resolucion circulo

1. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
Clase de círculo
EL CICULO
Definicionesnecesarias:
Círculo.- figuraplanalimitadaporunacurva cerrada cuyospuntosequidistade unpuntointerior
fijo, llamadocentro.
Circunferencia.- curvaque limitaal círculo.
Elementosde la circunferenciay el círculo
Grafico 1 elementos del circulo
Radio.- toda recta que va del centroa un puntocualquierade lacircunferencia. Enel gráfico
segmentoAB
Todoslos radiossoniguales,doscírculossonigualessi tienenigualessusradios.
Curda.- segmentode rectaque une dos puntoscualesquierade lacircunferencia,segmento CD.
Toda cuerdadeterminaenlacircunferenciadosarcos,arco mayory arco menor. Llamadosarcos
subtendidosporlacuerda.Salvoque se indique locontrario,cuandose hablade arco subtendido
por la cuerda,se refiere al menorde losdos.
Secante.- rectaque corta la circunferencia,ejemplorectaIJ
Tangente a uncírculo esla rectade longitudilimitadaque tiene conlacircunferenciasoloun
puntoencomún,llamadopuntode tangencia, enel graficopuntode tangenciaT.
Arco.- porciónde circunferencia. Enel graficoejemplo arco PH, denominamos arco con dos letras
generalmente lasde susextremos ycolocandoeste símbolo ͡͡ sobre ellas, oanteponiendoarc. a

2. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
las letras del nombre, ejemplo arc.PH, el orden de las letra debe ser tomado en sentido anti
horario, así en el grafico siguiente si decimos arc. AB se refiere al arco menor, si queremos
referimos al arco mayor seria arc. BA.
Diámetro.- cuerda que pasapor el centro. Ejemploenel grafico1 EF
Los arcos determinados en la circunferencia por el diámetro son iguales, y se llaman
semicircunferencias.
Propiedadesfundamentales de latangente
* P punto de tangencia L recta tangente
* OP perpendiculara L, porque la distanciaentre el centro de la
circunferencia y la tangente es igual al radio.
TEOREMA

3. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
Una recta perpendicular al segmento radial de una circunferencia en su extremo externo es
tangente a la circunferencia (figura 18.14)
Demostración (reducción al absurdo)
De la hipótesis, la recta t es perpendicular al segmento radial OT en el punto T
Demostremos que ningún otro punto de la recta t pertenece a la circunferencia.
Sea P otro punto de la recta y supongamos que P pertenece a la circunferencia, lo cual implica
que OP =OT por ser radios de la misma circunferencia. Por tanto el Δ OTP sería isósceles, y como
losángulosde la base soncongruentesentoncesel ángulo OTP sería tambiénrecto,lo cual es una
contradicción porque tendríamos un triángulo con dos ángulos rectos. Luego P no pertenece a la
circunferencia y t es tangente a la circunferencia * OP= r.
Corolario
Toda recta perpendicular a una tangente en el punto de tangencia pasa por el centro del círculo
TEOREMA
Los segmentos tangentes trazados a una circunferencia desde un punto exterior son
congruentes y determinan ángulos congruentes con la recta que pasa por el centro y
el punto de intersección de las tangentes (demostrar)

4. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
Aplicación
Demostrar que la recta que une el punto de intersección de dos rectas tangentes a una
circunferencia O y el centro es mediatriz de la cuerda que une los puntos de Tangencia.

5. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
Ángulosde un círculo:
Angulocentral: con respectoa un círculo cualquiera,ángulocentral estodoángulocuyovértice
estáen el centrodel círculo y susladosson radios.
Medida de un ángulo por un arco.- se dice que un ángulo central se mide por el arco que lo
subtiende o por el arco comprendido entre sus lados.
Angulo AOB = arco AB
TEOREMA
La perpendiculartrazadadesde el centro del circuloalacuerda,bisecala cuerday el arco los arcos
subtendidosporlacuerda(demostrar)
TEOREMA
En todo círculo, dos paralelas interceptan arcos iguales.

6. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
NOTA:enlos gráficosde losteoremaslaslíneasen rojo son las construcciones necesarias para las
demostraciones.
Anguloinscrito.- es aquel cuyovértice estáenlacircunferenciaysusladossoncuerdas,el ángulo
estainscritoenel arco que contiene suvértice.
Teorema
Todo ángulo inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados.
Datos o hipótesis:
- B ánguloinscrito enun círculo de centroO
- ACarco comprendidoentre suslados
Tesisa demostrar:
- < B = ½ arc AC
Corolario 1: Todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.
Corolario 2: Un ángulo inscrito en un arco mayor que un semicírculo es agudo; en un menor
obtuso.

7. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
Corolario 3 : Todos los ángulos inscritos en un mismo arco o arcos iguales son iguales.
Definición:
Angulosemi- inscrito.- ángulocuyovértice estáenla circunferenciayunode susladoses una
cuerday el otro una tangente.
Teorema
Todo ángulo Semi-insctito tiene por medida la mitad del arco subtendido por la cuerda.
Datos o hipótesis:
- XY tangente
- QP cuerda
Tesisa demostrar:

8. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
- <QPX = ½ arc QP
Definición:
Anguloexterno:ángulocuyo vértice esexternoal círculoy susladospuedenserdossecantes,dos
tangentesouna secante yuna tangente.
Teorema
Todo ánguloexternotiene pormedidalasemidiferenciade losarcoscomprendidosentreloslados
del ángulo.
Datos o hipótesisparaprimeraposición:
- PBA y PCD secantestrazadasde P
Tesisa demostrar:
- <P = ½ (arc DA- arc BC)
Definición:
Angulointerior: ánguloformadopordos cuerdasque se cortan.
Teorema
Todo ángulo interior tiene por medida la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados.

9. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
Datos o hipótesis:
- AD y CB cuerdas
- O puntode cruce
Tesisa demostrar:
<AOB= ½ (arc AB+ arc. CD)
Aplicación:
Demostrarque el ángulo formadopor unacuerda y laprolongaciónde otra es igual a la semisuma
de los arcos subtendidos por las cuerdas
Tesis : 𝛼 =
𝑎𝑟𝑐.𝐵𝐴+𝑎𝑟𝑐.𝐸𝐵
2
En la figura,QA QB y son tangentesala circunferenciayCespuntode lamisma.Si , <AQB =30º
determine el valorde .<ACB
Considerandoque, < BCD 140º determine lamedidadel arco AB

10. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
Tarea
1. Demuestre que las rectas tangentes a una circunferencia O en los extremos de un
diámetro son paralelas.
2. Demuestre que si dos circunferencias son tangentes, sus centros y el punto de tangencia
son colineales.
3. Demuestre que dos circunferencias congruentes son tangentes exteriores y entonces
cualquier punto que equidiste de sus centros pertenece a la recta tangente común.
4. Demuestre que en todo triángulo rectángulo circunscrito la suma de las medidas de los
catetos es igual a la suma de las medidas de la hipotenusa y el diámetro de la
circunferencia.
5. Demuestre que entodocuadriláterocircunscritoaunacircunferencialasumade las
medidasde dosladosopuestos esigual ala sumade las medidasde losotrosdoslados
6. En el graficose sabe que RE y RA
son tangentesyque:
Arco BA = 80 °
Arco CB = 40°
Arco ED= 30 °
Determinarel valorde losángulos
indicados

11. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
7. Calcular“x”. Si arc CB = 100° y A espuntode tangencia
8. Hallar“x” si AB esdiámetroym∢PAC= 50°
9. En la figuramostrada,calcularx donde A y B son puntosde tangencia
10. Desde el puntoPexteriorauna circunferenciase trazanlassecantesPBA y PCD tal que las
cuerdasAC y BD seanperpendicularesentre sí,calcule lamedidadel ángulo APD si el arco
AD mide 130°.
11. En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga
hasta un punto P, desde el cual se traza un rayo

12. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
secante PMN tal que la longitud PM sea igual al radio, Si el arco AN mide 54° calcular el
ángulo APN.
a. H: CQ tang. Al círculo O
b. T: arco TC=?
c. H: DC tang.
12. T: <A = <D/2