2. Antes de comenzar debes tener en
cuenta los siguientes consejos:
1. Organiza tu lugar de trabajo. Éste debe ser un lugar despejado, limpio y con
buena iluminación.
2. Evita las distracciones: televisor, messenger abierto, facebook… la novia o el
novio.
3. A medida que desarrolles tus ejercicios, anota en una columna las dificultades
que vas teniendo. Un truco es que no mires el siguiente paso hasta que
definitivamente no encuentres el camino a seguir.
4. Identifica si tu dificultad es sobre factorización, racionalización, operaciones
con fraccionarios u otros.
5. Analiza el ejercicio, especialmente donde tuviste la dificultad. No memorices
el paso puesto que para cada ejercicio es diferente. ANALIZA LOS CASOS Y
CUÁNDO SE APLICAN.
6. Es importante estar sereno y tranquilo. Tomarse el tiempo para estudiar,
respirar profundamente y nunca darse por vencido.
4. senx cos x cos x 1
1 cos x senx senx
senx Cambiamos cotx y cscx por sus respectivas equivalencias
sen2 x cos x cos x 1 cos x 1 sen2 x Realizamos suma de fraccionarios a ambos lados de la igualdad.
1 cos x senx senx
sen2 x cos x cos x cos2 x cos2 x
Efectuamos propiedad distributiva en cos x 1 cos x
1 cos x senx senx
sen 2 x cos x cos x cos 2 x cos 2 x Analizando el numerador, se debe buscar un modo de
1 cos x senx senx
eliminar la expresión sen2 x .
Esta es una forma, pero pueden existen otras maneras de hacerlo.
Aquí agrupamos los dos primeros términos.
cos x sen 2 x 1 cos 2 x cos 2 x ¡Se factoriza!, pues existe un FACTOR COMÚN en la expresión del paréntesis
1 cos x senx senx
arriba. sen2 x cos x cos x
5. cos x cos 2 x cos 2 x cos 2 x 2
Cambiamos la expresión sen x 1 por cos2 x
1 cos x senx senx
cos3 x cos2 x cos2 x
2
1 cos x senx senx Multiplicamos los dos primeros términos cos x cos x
cos2 x cos3 x cos 2 x
Ordenamos o cambiamos el orden para ver las cosas mejor…
1 cos x senx senx
cos 2 x 1 cos x cos 2 x Nuevamente factorizamos el numerador de la izquierda
1 cos x senx senx
cos 2 x cos 2 x
Y simplificando la expresión anterior, finalmente concluimos que
senx senx
!!!ES IDENTIDAD¡¡¡
7. senx cos x senx Cambiamos la expresión tanx por su equivalente
1 1 cos x 2 tan x
cos x
senx senx Simplicando la expresión cos x senx
nos queda senx.
2 tan x 1 cos x
cos x
2 senx
2 tan x Sumando…
cos x
2 tan x 2 tan x !!!ES IDENTIDAD¡¡¡
9. 3 1 sen2 x sen2 x 2 Aplicamos la propiedad fundamental
sen2 x cos2 x 1
Propiedad distributiva de la multiplicación
3 3sen2 x sen2 x 2 con respecto a la suma
3 2sen2 x 2 Simplificación de términos semejantes
2 Propiedad uniforme. Tratamos de dejar sola
2sen x 2 3 la expresión sen2 x
2sen2 x 1 Simplificación…
2sen2 x 1 Multiplicando por (-1) a ambos lados de la igualdad
10. 1
sen2 x Despejando…
2
2 1 Sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad
sen x
2
1
Y nos queda… senx
2
2 Racionalizando…
senx
2
1 2 Recordemos que la incógnita es el ángulo x.
x sen Aplicamos la inversa…
2
3 5 7 Como las raíces son positivas y negativas, ¡¡¡éstas son
x , , ,
4 4 4 4 las soluciones!!!
12. Factorizando: ¡FACTOR COMÚN!
cos x 4cos x 1 0
Y nos quedan dos soluciones:
cos x 0 4cos x 1 0
Despejando en ángulo x en cada una, nos darán:
x cos 1 0 1
cos x
4
3
x , 1
1
2 2 x cos
4
x 1.3181rad
14. Despejamos 2senx
2senx cos x
cos 2 x sen 2 x 1
Aplicamos la propiedad fundamental. Pues:
2 2 cos 2 x 1 sen 2 x
2sen x 1 sen x cos x 1 sen 2 x
2
2 2 2 Elevamos al cuadrado a ambos lados de la igualdad
2sen x 1 sen x
Y nos queda… 4sen2 x 1 sen2 x
2 2
4sen x sen x 1 Juntamos términos semejantes
Y simplificamos… 5sen2 x 1
15. 1
sen2 x Despejando…
5
1 Raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad
senx
5
1
x sen 1
Despejando la incógnita, es decir, en ángulo x
5
En este caso, no hay un ángulo notable por lo que necesitamos la
ayuda de la calculadora en modo radianes
x 0.46rad , 0.46rad
