El documento explica los conceptos básicos de la factorización de expresiones algebraicas. La factorización involucra descomponer una expresión en factores más simples mediante la identificación de factores comunes. Se presentan diferentes métodos para factorizar, incluyendo identificar el factor común máximo, descomponer trinomios cuadrados perfectos, y aplicar fórmulas para tipos específicos como a^2 - b^2. Finalmente, se incluyen ejercicios de aplicación.
2. La factorización es el proceso por el cual expresamos una expresión como producto de dos o más factores . La factorización deshace lo que la multiplicación hace, convirtiendo una expresión que podría ser complicada, en el producto de dos o más expresiones (factores) que son típicamente más sencillas
3. Factorizar , entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos . Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica. Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras. Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original .
4. En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos. Por ejemplo, 2x³ + 8x²y se puede factorizar, o reescribir, como 2x ²(x + 4y ). Algunos ejemplos: Dada la expresión ab² + 3cb - b³ podemos factorizar b y obtenemos la expresión: b(ab + 3c - b³)
5. Si multiplicamos (2 x + 5)( x + 3) el resultado es 2 x² +11 x + 15 , lo cual tiene más términos que cualquiera de los dos factores que multiplicamos y es de mayor grado (2) que ambos factores (que son de grado 1). En este caso decimos que 2 x² +11 x + 15 puede ser factorizado como (2 x + 5)( x + 3) EJEMPLO
6. La factorización será útil para simplificar algunas expresiones como la suma de fracciones y la división de polinomios. También puede usarse para determinar las soluciones de una ecuación. Ahora estudiaremos algunas técnicas que nos facilitan hallar una factorización de una expresión algebraica dada. Para aprovechar mejor este material es necesario dominar la destreza de multiplicar expresiones .
8. IDENTIFICACION DEL FACTOR COMUN Es preferible factorizar el factor común máximo ( FCM ) de los términos, el cual puede hallarse de la siguiente manera: Primero: Factorizamos completamente los términos. Esto significa que los factores obtenidos son primos (que no pueden ser factorizados más). Segundo: El FCM es el producto de todos los factores presentes en las factorizaciones del paso previo, elevados a la menor potencia en que aparecen, la cual es la potencia 0 si hay una factorización en la que el factor no aparezca.
9. Primero: Factorizamos los términos: 15 a 3 b 5 c 6 = 3 ×5 × a 3 × b 5 × c 6 25 ab 2 c 2 = 5 2 a × b 2 × c 2 10 a 2 b 4 c 3 = 2 ×5 × a 2 × b 4 × c 3 Hallar el FCM de (15 a 3 b 5 c 6 , 25 ab 2 c 2 , 10 a 2 b 4 c 3 ) Segundo: Formar el FCM. Los factores presentes son 2, 3, 5, a, b, & c. La menor potencia de 2 que aparece es 2 0 (pues el 2 no aparece en todas las factorizaciones), la de 5 es 5 1 , la de 3 es 3 0 , la de a es a 1 , la de b es b 2 , y la de c es c 3 . Entonces el FCM es 2 0 × 5 1 ×3 0 × a 1 × b 2 × c 3 = 5 ab 2 c 3 EJEMPLO
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12. DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES (Factorización) x 2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 4) Trinomio cuadrado perfecto a 2 – b 2 = (a + b)(a – b) a 2 + b 2 = Irreductible en IR 3) Forma a n _ b n a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 2) Trinomio cuadrado perfecto ac + ad = a(c + d) 1) Factor común monomio
13. EJERCICIOS
14. Factorizar las siguientes expresiones: a) 6x – 3y = 2(3)x – (3)y = 3(2x – y) b) –4xy + 8x = –(4x)y + 2(4x) = 4x(–y + 2) c) 9a 2 + 27ab = (9a)a + (9a)3b = 9a(a + 3b) d) 5x 3 y – 10x 2 y 2 + 15xy 3 = (5xy)x 2 – (5xy)2xy + (5xy)3y 2 = 5xy(x 2 – 2xy + 3y 2 ) FACTOR COMUN MONOMIO ac + ad = a(c + d)
15. Ejemplos : a) x 2 + 6x + 9 = x 2 + 2(3x) +(3) 2 = (x + 3) 2 b) x 2 + 8x + 16 = x 2 + 2(4x) + (4) 2 = (x + 4) 2 c) x 2 – 6x + 9 = x 2 – 2(3x) +(3) 2 = (x – 3) 2 d) x 2 – 8x + 16 = x 2 – 2(4x) + (4) 2 = (x – 4) 2 a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 Trinomio cuadrado perfecto
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17. TIPO a 3 – b 3 a) x 3 – 27 = x 3 – 3 3 = (x – 3)(x 2 + 3x + 9) b) x 3 – 8 = x 3 – 2 3 = (x – 2)(x 2 + 2x + 4) TIPO a 3 + b 3 a) x 3 + 1 = x 3 + 1 3 = (x +1)(x 2 – x + 1) b) x 3 + 125 = x 3 + 5 3 = (x + 5)(x 2 – 5x + 25)
18. Estos ejercicios se desarrollan por Tanteo. a) x 2 – 7x + 6 = x 2 + (–1 – 6) x + (–1)( –6) = (x – 1)(x – 6) b) x 2 + 9x + 20 = x 2 + (5 + 4)x + (5)(4) = (x + 5)(x + 4) c) x 2 – x – 2 = x 2 + (1 – 2)x + (1)( –2) = (x + 1)(x – 2) d) x 2 – 6x + 8 = x 2 + (–2 – 4)x + (–2)( –4) = (x – 2)(x – 4) x 2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) Trinomio cuadrado perfecto
19. … y ahora a resolver Algunos ejercicios, para Aplicar los contenidos aprendidos…
20. 1) a 2 b - ab 2 = 2) 6p 2 q + 24pq 2 = 3) 12x 3 y - 48x 2 y 2 = 4) 9m 2 n + 18 mn 2 - 27mn= FACTORIZAR
