1. 1
Factorización
Raíz Cuadrada
Completar
Cuadrado
Fómula
Cuadrática
Ejercicios
Fin

2. 2
Objetivos:Objetivos:
1.1. Conocer la forma general de una ecuaciConocer la forma general de una ecuacióónn
cuadrcuadrááticatica
2.2. Resolver ecuaciones cuadrResolver ecuaciones cuadrááticas mediante losticas mediante los
siguientes msiguientes méétodos:todos:
a. Método de factorizacifactorizacióónn
b. Método de raíces cuadradas
c. Método de completar el cuadradocompletar el cuadrado
d. Método de la Fla Fóórmula Cuadrrmula Cuadrááticatica

3. 3
Ecuaciones CuadrEcuaciones Cuadrááticasticas
Definición
Una ecuación con variable x que se puede reducir
a la forma 02
=++ cbxax
0conconstantessony,donde ≠acba
se conoce como ecuación cuadrática.
Podemos resolver las ecuaciones cuadrPodemos resolver las ecuaciones cuadrááticas mediante losticas mediante los
siguientes msiguientes méétodos:todos:
Método de factorizacifactorizacióónn
Método de raíces cuadradas
Método de completar el cuadradocompletar el cuadrado
Método de la Fla Fóórmula Cuadrrmula Cuadrááticatica

4. 4
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
0910)1 2
=+− xx
33192)2 2
+= xx
259)3 2
=x
( ) 205)4
2
=−x
0148)5 2
=++ xx
2
6) 7 0x =

5. 5
El procedimiento para elEl procedimiento para el Método deMétodo de
Factorización es:Factorización es:
1.1. Iguale la ecuación a cero.Iguale la ecuación a cero.
2.2. Factorice el polinomio que forma la ecuación.Factorice el polinomio que forma la ecuación.
3.3. Use la propiedad del producto nulo para reducir aUse la propiedad del producto nulo para reducir a
ecuaciones lineales.ecuaciones lineales.
4.4. Resuelva las ecuaciones lineales.Resuelva las ecuaciones lineales.
Empezar
1. Método de Factorización1. Método de Factorización
Métodos de solución de las ecuaciones cuadráticasMétodos de solución de las ecuaciones cuadráticas

6. 6
Ejemplos:Ejemplos:
Resuelve las ecuaciones usando el método deResuelve las ecuaciones usando el método de
factorización.factorización.
910)1 2
−=− xx
09102
=+− xx
( )( ) 019 =−− xx
09 =−x ó 01=−x
9=x 1=x
{ }C. S.= 9, 1

7. 7
33192)2 2
+= xx
033192 2
=−− xx
( )( ) 01132 =−+ xx
032 =+x ó 011=−x
32 −=x
2
3−
=x
11=x
3
C.S.= , 11
2
− 
 
 

8. 82
3) 2 18x x=
2
2 18 0x x− =
( )2 9 0x x − =
2 0x = ó 9 0x − =
0
2
x =
0x =
9x =
{ }C.S.= 0, 9

9. 92
4) 9 36x =
2
9 36 0x − =
2
4 0x − =
2 0x + =
ó
2 0x − =
( ) ( )2 2 0x x+ − =
2x = − 2x =
{ }C. S.= 2, 2−
2
9 36 0
9 9 9
x
− =

10. 10
2
Si entonces ó .
Teorema:
x p x p x p= = = −
2. El método de raíz cuadrada2. El método de raíz cuadrada
2
Recordar que x x x= = ± =
0
0
x si x
x si x
≥

− <

11. 11
El procedimiento para el Método de Raíz
Cuadrada
1. Despeje la variable cuadrática
2. Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de
la ecuación
3. Simplifique
Aclaración : Este método se puede aplicar cuando el
coeficiente del término lineal es cero.
Empezar
Método de Raíz Cuadrada

12. 12
2
1) 9 25x =
9
25
9
9 2
=
x
9
252
=x
2 25
9
x =
3
5
±=x
5 5
C. S.= ,
3 3
− 
 
 
5
3
x± =
Ejemplos:Ejemplos:
Resuelve las ecuaciones usando el método de laResuelve las ecuaciones usando el método de la
raíz cuadrada.raíz cuadrada.

13. 13
( )
2
2) 5 20x − =
( )
2
5 20x − =
205 ±=−x
5 4 5x − = ± ×
525 ±=−x
525±=x
{ }C. S.= 5 2 5, 5 2 5+ −

14. 14
Procedimiento para completar el cuadrado
1. Deje a un lado los términos con variables.
2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática.
3. Encuentre el término que completa el cuadrado.
El término que completa el cuadrado se
encuentra dividiendo el coeficiente del término
lineal por 2 y elevando al cuadrado.
4. Sume el término que completa el cuadrado en ambos
lados de la ecuación.
5. Factorice y use el Método de la Raíz Cuadrada.
Empezar
3. El método de completar el cuadrado

15. 15
0148)1 2
=++ xx
1482
−=+ xx
=





2
2
8
( ) =
2
4 16
1482
−=+ xx 16+ 16+
21682
=++ xx

16. 16
21682
=++ xx
( )( ) 244 =++ xx
( ) 24
2
=+x
( ) 24
2
=+x
24 ±=+x

17. 17
24 ±−=x
24 ±=+x
{ }. 4 2, 4 2C S = − + − −

18. 18
014129)2 2
=−− xx
2
9 12 14
=
9 9 9
x x
−
2 4 14
3 9
x x− =
2 4 14
3 9
− =x x
4
9
+
4
9
+
( ) 9
4
3
2
23
4
22
=




 −
=




 −

19. 19
2 2 18
3 3 9
x x
  
− − = ÷ ÷
  
2 4 14
3 9
− =x x
4
9
+
4
9
+
2
2
2
3
x
 
− = ÷
 
2
2
2
3
 
− = ÷
 
x

20. 20
2
2
3
x − = ±
2
2
2
3
 
− = ÷
 
x
2
2
3
x = ±
2 2
. . 2, 2
3 3
C S
 
= + − 
 

21. 21Ejemplo:Ejemplo:
Resuelva paraResuelva para xx completando el cuadradocompletando el cuadrado
2
0ax bx c+ + =
2
+ = −
a b c
x x
a a a
2
+ = −
b c
x x
a a
2 b c
x x
a a
+ = −
2
2
4
b
a
+
2
2
4
b
a
+
2 2
2
2 2
4 4
b b b c
x x
a a a a
+ + = −
2 2
2
4
2 4
b b ac
x
a a
− 
+ = ÷
 
4a
4a
2
22
42 a
b
a
b
=






22. 222 2
2
4
2 4
b b ac
x
a a
− 
+ = ÷
 
2
2
4
2 4
b b ac
x
a a
−
+ = ±
2
2
4
2 4
b b ac
x
a a
−
+ = ±
2
4
2 2
b b ac
x
a a
−
+ = ±
2
4
2 2
b b ac
x
a a
−
= − ±
2
4
2
b b ac
x
a
− ± −
=
2 2
2
4
2 4
b b ac
x
a a
− 
+ = ÷
 

23. 23
Teorema:
Las soluciones de una ecuación
cuadrática 02
=++ cbxax
donde , y son constantes y 0a b c a ≠
están determinadas por la fórmula:
a
acbb
x 2
42
−±−
=
La misma es llamada la fórmula cuadrática.
Empezar
4. La Fórmula Cuadrática

24. 24
a
acbb
x 2
42
−±−
=
2
Al número se le llama el discriminante d
Definición
e la ecuacb ón.4 iac−
Aclaración:Aclaración:
1. Si el discriminante es un número positivo; laSi el discriminante es un número positivo; la
ecuación tendrá dos soluciones reales.ecuación tendrá dos soluciones reales.
2. Si el discriminante es un2. Si el discriminante es un número negativo; lanúmero negativo; la
ecuación tendrá dos soluciones complejasecuación tendrá dos soluciones complejas conjugadas.
3.Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá unaSi el discriminante es cero; la ecuación tendrá una
solución real de multiplicidadsolución real de multiplicidad dos.

25. 25Resuelva la ecuación usando la fórmula
cuadrática.
018248)1 2
=+− xx
8, b 24 y c 18a = = − =
a
acbb
x 2
42
−±−
=

26. 268, b 24 y c 18a = = − =
( ) ( )( )
( )82
18842424
2
−−±
=x
16
57657624 −±
=x
( ) ( ) ( )( )
( )
2
4
2
x
− ± −
=
24− 24− 8
8
18

27. 27
16
57657624 −±
=x
16
024 ±
=x
24 0
16
x
±
=
24
16
x =
2
3
=






=
2
3
..SC

28. 28
0523)2 2
=+− xx
3, b 2 y c 5a = = − =
a
acbb
x 2
42
−±−
=
2 4 60
6
± −
=
( ) ( ) ( )( )
( )
2
2 2 3 54
32
x
− ± −− −
=

29. 29
2 4 60
6
x
± −
=
6
562 −±
=
2 4 14 1
6
± −
=
2 2 14
6
i
x
±
=

30. 30
2 2 14
6
i
x
±
=
2 2 14
6 6
i= ±






±= iSC
3
14
3
1
..
1 14
3 3
x i= ±

31. 312
3) 3 2x x= −
1, b 3 y c 2a = = − =
a
acbb
x 2
42
−±−
=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
3 3 4 1 2
2 1
− − ± − −
=
2
3 2 0x x− + =

32. 32
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
3 3 4 1 2
2 1
x
− − ± − −
=
3 9 8
2
x
± −
=
3 1
2
x
±
=
3 1
2
x
±
=
3 1 3 1
2 2
x ó x
+ −
= =
2x = 1x =
{ }. . 2,1C S =

33. 33Ejercicios:
Resuelve la ecuación por el método de factorización.
ddd
nn
dd
y
mm
dd
dd
163215.7
4.6
01617.5
04936.4
0124.3
0144.2
012144.1
23
3
24
2
2
2
2
−=+
=
=+−
=−
=+
=+−
=++ Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Empezar

34. 34Ejercicios:
Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.
2
2
2
2
4
1. 4 16 0
2. 1 0
3. 4 32 0
4. 36 49
5. 16 0 *
d
d
m
y
d
− =
− =
− =
=
− =
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Empezar

35. 35Ejercicios:
Resuelva la ecuación completando el cuadrado.
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
2. 4 12 0
3. 2 4
4. 17 16 0
5. 3 1
d d
m m
y y
d d
d d
+ + =
+ =
+ =
− + =
+ = −
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Empezar

36. 36
Ejercicios:
Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
2. 4 4 1 0
3. 4 12 0
4. 36 49 0
5. 17 16 0
d d
d d
m m
y
d d
+ + =
− + =
+ =
− =
− + =
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Empezar

37. 37
Resuelve la ecuación usando factorización.
012144.1 2
=++ dd
2
2 2
4 14 2
2
0
2
1d d
+ + =
2
2 7 6 0d d+ + =
( ) ( )2 3 2 0d d+ + =
( ) ( )2 3 0 2 0d ó d+ = + =
Ejercicios

38. 38
2 3 0d + =
2 3d = −
3
2
d
−
=
2d = −
2 0d − =
3
. , 2
2
C S
 
= − − 
 
Ejercicios

39. 39
2
2. 4 4 1 0d d− + =
( ) ( )2 1 2 1 0d d− − =
2 1 0 2 1 0− = − =d ó d
2 1d =
1
2
d =
1
2
d =
1
. .
2
C S
 
=  
 
Ejercicios

40. 40
2
3. 4 12 0m m+ =
( )4 3 0m m + =
4 0 3 0= + =m ó m
0
4
m =
0m =
3m = −
{ }. . 0. 3C S = −
Ejercicios

41. 412
4. 36 49 0y − =
( ) ( )6 7 6 7 0y y+ − =
6 7 0 6 7 0y ó y+ = − =
7
6
y =
7
6
y
−
=
7 7
. . ,
6 6
C S
 
= − 
 
6 7 6 7y ó y= − =
Ejercicios

42. 42
4 2
5. 17 16 0d d− + =
( )( )2 2
16 1 0d d− − =
4 0 4 0 1 0 1 0d ó d ó d ó d− = + = − = + =
4d = 4d = − 1d =
{ }. . 4, 4,1, 1C S = − −
( ) ( ) ( ) ( )4 4 1 1 0d d d d− + − + =
1d = −
Ejercicios

43. 43
3
6. 4n n=
( )2
4 0n n − =
0 2 0 2 0n ó n ó n= + = − =
0n = 2n =2n = −
{ }. . 0,2 2C S = −
3
4 0n n− =
( ) ( )2 2 0n n n+ − =
Ejercicios

44. 44
3 2
7. 15 32 16 0d d d− + =
( )2
15 32 16 0d d d− + =
0 5 4 0 3 4 0d ó d ó d= − = − =
0d =
4
5
d =
4
3
d =
4 4
. . , ,0
5 3
C S
 
=  
 
( ) ( )5 4 3 4 0d d d− − =
Ejercicios

45. 45
2
1. 4 16 0d − =
Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.
Ejercicios
2
4 16d =
2
4 16
4 4
d
=
2
4d =
2
4d =
2d = ±
{ }. . 2, 2C S = −

46. 46
{ }
2
2
2
2. 1 0
1
1
1
. . 1, 1
− =
=
=
= ±
= −
d
d
d
d
C S
Ejercicios

47. 47
{ }
2
2
2
2
2
3. 4 32 0
4 32
4 32
4 4
8
8
4 2
2 2
. . 2 2, 2 2
− =
=
=
=
=
=
= ±
= −
m
m
m
m
m
m
m
C S
Ejercicios

48. 482
2
2
2
4. 36 49
36 49
36 36
49
36
49
36
7
6
7 7
. . ,
6 6
=
=
=
=
= ±
 
= − 
 
y
y
y
y
y
C S
Ejercicios

49. 49
{ }
4
4
4
2
2 2
2 2
5. 16 0 *
16
16
4
4 o 4
4 o 4
2 o 2
. . 2, 2,2 , 2
− =
=
=
= ±
= = −
= = −
= ± = ±
= − −
d
d
d
d
d d
d d
d d i
C S i i
Ejercicios

50. 50
2
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
4 14 12
4 14 12
4 4 4
7
3
4
7 49 49
3
4 16 16
7 48 49
4 16 16
+ + =
+ = −
−
+ =
+ = −
+ + = − +
 
+ = − + ÷
 
d d
d d
d d
d d
d d
d
Resuelva la ecuación completando el cuadrado.
2
7 1
4 16
7 1
4 4
7 1
4 4
6 8
o
4 4
3
o 2
2
3
. . , 2
2
 
+ = ÷
 
+ = ±
= − ±
= − = −
= − = −
 
= − − 
 
d
d
d
d d
d d
C S
Ejercicios

51. 51
2
2
2
2
2
2. 4 12 0
4 12 0
4 4 4
3 0
9 9
3
4 4
3 9
2 4
+ =
+ =
+ =
+ + =
 
+ = ÷
 
m m
m m
m m
m m
m { }
3 3
2 2
3 3 3 3
o
2 2 2 2
3 o 0
. . 3,0
+ = ±
= + = −
= =
=
m
m m
m m
C S
Ejercicios

52. 52
2
2
2
2
2
3. 2 4
2 4
2 2 2
1
2
2
1 1 1
2
2 16 16
1 32 1
4 16 16
+ =
+ =
+ =
+ + = +
 
+ = + ÷
 
y y
y y
y y
y y
y
1 33
4 16
1 33
4 4
1 33
.
4 4
+ = ±
= − ±
  
= − ± 
  
y
y
C S
Ejercicios

53. 53
2
2
2
2
2
4. 17 16 0
17 16
289 289
17 16
4 4
17 64 289
2 4 4
17 225
2 4
− + =
− = −
− + = − +
 
− = − + ÷
 
 
− = ÷
 
d d
d d
d d
d
d { }
17 15
2 2
17 15
2 2
17 15 17 15
o
2 2 2 2
16 o 1
. 16,1
− = ±
= ±
= + = −
= =
=
d
d
d d
d d
C S
Ejercicios

54. 54
2
2
2
2
5. 3 1
9 9
3 1
4 4
3 4 9
2 4 4
3 5
2 4
+ = −
+ + = − +
 
+ = − + ÷
 
 
+ = ÷
 
d d
d d
d
d
3 5
2 4
3 5
2 2
3 5 3 5
o
2 2 2 2
3 5
.
2 2
+ = ±
= − ±
= − + = − −
  
= − ± 
  
d
d
d d
C S
Ejercicios

55. 55Resuelva la ecuación usando la fórmula
cuadrática.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
4 14 12 0
2 2 2 2
2 7 6 0
7 7 4 2 6
2 2
7 49 48
4
7 1
4
+ + =
+ + =
+ + =
− ± −
=
− ± −
=
− ±
=
d d
d d
d d
d
d
d
7 1
4
7 1 7 1
o
4 4
6 8
o
4 4
3
o 2
2
3
. . , 2
2
− ±
=
− + − −
= =
− −
= =
−
= = −
 
= − − 
 
d
d x
d x
d x
C S
Ejercicios

56. 56
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2. 4 4 1 0
4 4 4 4 1
2 4
4 16 16
8
4 0
8
4 0
8
4 1
8 2
1
. .
2
− + =
− − ± − −
=
± −
=
±
=
±
=
= =
 
=  
 
d d
d
d
d
d
d
C S
Ejercicios

57. 57
( ) ( ) ( ) ( )
( )
{ }
2
2
3. 4 12 0
12 12 4 4 0
2 4
12 144
8
12 12
8
12 12 12 12
o
8 8
0 24
o
8 8
0 o 3
. . 0, 3
+ =
− ± −
=
− ±
=
− ±
=
− + − −
= =
−
= =
= = −
= −
m m
m
m
m
m m
m m
m m
C S
Ejercicios

58. 58
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
4. 36 49 0
0 0 4 36 49
2 36
2 6 7
2 6 6
7
6
7 7
o y
6 6
7 7
. . ,
6 6
− =
− ± − −
=
= ±
= ±
= − =
 
= − 
 
y
y
y
y
y
C S
Ejercicios

59. 59
( ) ( ) ( ) ( )
( )
{ }
2
2
5. 17 16 0
17 17 4 1 16
2 1
17 289 64
2
17 225
2
17 15
2
32 2
o
2 2
16 o 1
. . 1,16
− + =
− − ± − −
=
± −
=
±
=
±
=
= =
= =
=
d d
d
d
d
d
d d
d d
C S
Ejercicios