1. 114
CAPÍTULO 5: ALGUNAS CONSECUENCIAS DE LA PRIMERA LEY DE TERMODINÁMICA
5.1 INTRODUCCIÓN
La primera ley de la termodinámica es una consecuencia del principio universal de conservación de la
energía aplicado al estudio de los sistemas termodinámicos. Ella expresa el balance energético del sistema.
Matemáticamente incluye las variaciones infinitesimales del calor, el trabajo y la energía interna. La energía
interna es una función de estado, cada estado del sistema tiene un valor definido de energía. Tanto el calor
desprendido o absorbido por el sistema, como el trabajo recibido o realizado por él, son funciones de
proceso, es decir dependen de las diferentes estadías por la que pasa el sistema.
Para el uso de la primera ley de la termodinámica se requieren de ciertas magnitudes que son medidas a
través de la experimentación. Nos referimos fundamentalmente a los calores específicos y molares de las
sustancias. Como el calor es una función de proceso las mediciones de los calores específicos dependerá del
proceso mediante el cual el sistema recibe o suministra calor. Aquí nos limitaremos, para la medición de los
calores específicos, a los procesos isocóricos (volumen constante) y los isobáricos (presión constante) con
ello definiremos las capacidades caloríficas CV y CP respectivamente.
En este capítulo estudiaremos algunos ejemplos de aplicación de la primera ley de la termodinámica a los
gases ideales. Para ello necesitaremos algunas herramientas matemáticas del cálculo diferencial que serán
de mucha utilidad y que nos permitirán simplificar la notación y los métodos de cálculo.
5.2 CAPACIDAD CALORÍFICA DE LOS GASES IDEALES
Vamos a determinar la cantidad de calor que es necesario comunicarle o quitarle a un gas para que este se
caliente o se enfríe respectivamente en una magnitud dada. Como ya sabemos esta cantidad de calor
involucrada depende del proceso elegido para calentar o enfriar el gas. Si por ejemplo fijamos el volumen
(V = constante, proceso isocórico), es decir colocamos el gas en un recipiente con cierto volumen que no
varia durante todo el proceso, no se realizará trabajo dW = 0 y todo el calor involucrado modificará la
energía interna del sistema y por ende su temperatura.
En cambio si dejamos constante la presión (P = constante, proceso isobárico) parte del calor irá al
incremento de la energía interna, con la consiguiente variación de la temperatura y la otra parte contribuirá
a la realización de cierta cantidad de trabajo. Intuitivamente es fácil reconocer que en este último caso se
requerirá, por ejemplo, para calentar el gas una mayor cantidad de calor para calentar al cuerpo hasta cierta
temperatura, en comparación con el caso isocórico. Básicamente porque no todo el calor se usa para
calentar al gas, parte de él eventualmente contribuye a la realización de trabajo por parte del sistema.
Si consideramos que el cuerpo es calentado a volumen constante debemos escribir:
(5.1)
Si en cambio, la presión es la que mantenemos constante:
(5.2)

2. 115
Cuando el volumen permanece constante, sabemos que no se realiza trabajo ( dW = 0 ). La primera ley de la
termodinámica (4.1) nos permite rescribir la relación (5.1) en la forma:
(5.3)
Usando la relación (5.3) podemos reemplazar dU en la expresión matemática de la primera ley de la
termodinámica (4.1) en la siguiente forma:
(5.4)
En el capítulo 6 demostraremos que la energía interna de los gases ideales tiene una relación de
proporcionalidad directa con la temperatura y para un mol de gas ideal se satisface la siguiente simple
relación.
(5.5)
Usamos ahora las formulas (5.3) y (5.5) para determinar la capacidad calorífica a volumen constante del gas
ideal. Para ello lo más sencillo es usar una herramienta matemática de mucha utilidad, la derivada. De hecho
la expresión (5.3) es la derivada de la energía interna con respecto a la temperatura.
La capacidad calorífica a volumen constante del gas ideal se determina mediante la fórmula:
(5.6)
Para determinar la capacidad calorífica a presión constante dividimos por dT la ecuación (5.4) y
consideramos la presión constante:
(5.7)
Empleamos ahora la definición de CP (5.2):
(5.8)
Usamos ahora la ecuación de estado del gas ideal (3.2) para un mol de gas ideal (por ejemplo reemplazamos
M = μ en 3.2a) y despejamos el volumen en función de la presión y la temperatura. Teniendo en cuenta de
que la presión permanece constante podemos calcular la derivada escrita en la parte derecha de (5.8) para
obtener el siguiente resultado:
(5.9)
Como la constante universal de los gases es positiva se tiene, mediante la expresión (5.9), la demostración
matemática del hecho, que comentábamos más arriba, acerca de que la capacidad calorífica a presión
constante es mayor que la capacidad calorífica a volumen constante. En otras palabras se necesita más calor
para variar la temperatura del gas a presión constante que a volumen constante. Puede mostrarse que este
hecho se repite para otras sustancias.
Algunas capacidades caloríficas medidas experimentales para algunos gases (monoatómicos) se recogen en
la tabla 5.1, que muestran estar razonablemente de acuerdo con los valores teóricos, obtenidos mediante
las fórmulas (5.6) y (5.9).

3. 116
Tabla 5.1 Capacidades caloríficas CP y Cv para gases monoatómicos.
EJERCICIOS
PROBLEMA 1
Se calienta 1 / 2 [mol] de un cierto gas ideal entregándole 1040 [J] de calor al gas y haciendo subir su
temperatura en 100 [K]. Si el proceso se realiza a volumen constante.
Determine cuánto calor ha de administrársele a la misma sustancia para que ésta aumente la temperatura
en la misma cantidad pero a presión constante.
S1. Esquema de solución
En un proceso de entrega de calor a volumen constante, el calor (Qv) necesario para aumentar la
temperatura en una cierta cantidad es igual al no. de moles (n) del gas multiplicado por el calor específico
molar a volumen constante (Cv) por la variación de temperatura (ΔT) [ec.1].
Por lo tanto conociendo el no.de moles, la variación de temperatura y el calor suministrado podemos
despejar fácilmente el calor específico molar a volumen constante.
Una vez conocido el valor del calor específico molar a volumen constante podemos conocer el calor
específico molar a presión constante (Cp), ya que existe una sencilla relación [ec.3] que dice que para los
gases ideales, el calor específico molar a presión constante es igual al calor específico molar a volumen
constante más la constante (R) de los gases.
Conocido el calor específico molar a presión constante, lo multiplicamos por el no. de moles y por la
variación de temperatura y obtenemos el calor necesario para elevar la temperatura en la misma cantidad
que en el proceso anterior pero a presión constante [ec.2].

4. 117
S2. Datos y Ecuaciones
Calor entregado al gas a volumen constante. Qv = 1040 [J]
No. de moles de gas ideal. n = 1 / 2 [mol]
Variación de temperatura del gas ideal. DT = 100 [ oC].
Ecuaciones
Calor entregado al gas a Qv = n CvDT [ec.1]
volumen constante.
Calor entregado al gas a Qp = n CpDT [ec.2]
presión constante.
Relación entre los Cp = Cv + R [ec.3]
calores específicos para
un gas ideal.
S3. Solución
De [ec.1] podemos despejar inmediatamente el calor específico molar a volumen constante:
De [ec.3] se tiene que al valor anterior le sumamos R y obtenemos el calor específico molar a presión
constante:
Reemplazamos el resultado anterior en [ec.2] obtenemos el resultado buscado:
Respuesta Problema 1
El calor a presión constante es 1455 [J]

5. 118
PROBLEMA 2
Se entregan una cierta cantidad de calor a un mol de gas ideal monoatómico aumentando la temperatura de
éste en 20 [K].
Calcular la cantidad de calor entregada si ésta fue realizada a volumen constante.
S1. Esquema de solución
El calor (Q) entregado a volumen constante [ec.1] es igual no. de moles (n), multiplicado por el calor
específico del gas a volumen constante (Cv) y por la variación de temperatura (ΔT)
Tenemos por tanto para conocer el calor específico del gas a volumen constante para determinar el calor
entregado. Ahora este calor específico para un gas ideal monoatómico [ec.2] es igual a (3 / 2) R, donde R es
la constante de los gases.
S2. Datos y Ecuaciones
Variación de temperatura del gas. ΔT = 20 [K]
Constante de los gases. R = 8,314 [J / mol * K].
No. de moles de gas. n = 1 [mol].
Calor para aumentar en Q = n Cv ΔT [ec.1]
ΔT la temp. del gas a
volumen cte.
Calor específico a vol. Cv = (3 / 2) R [ec.2]
cte. en un gas ideal
monoatómico.
S3. Solución
Reemplazando [ec.2] en [ec.1] obtenemos inmediatamente el calor buscado:
Q = n (3 / 2) R ΔT
Respuesta Problema 2
El calor entregado al gas es 249.4 [J].
PROBLEMA 3

6. 119
Para un determinado gas ideal se cumple que la relación entre los calores específicos molares a presión
constante y a volumen constante (Cp/Cv) es g = 1.31.
Encuentre los calores específicos a volumen constante y a presión constante.
S1. Esquema de solución
Para los gases ideales se cumple una sencilla relación entre los calores específicos a presión constante (Cp) y
a volumen constante (Cv) [ec.2] y ésta es que su diferencia es igual a la constante de los gases ideales (R).
Usando esa relación y la definición de (g) [ec.1], que se define como (Cp/Cv) podemos construir un sencillo
sistema de ecuaciones de 2x2 y determinar los valores de los calores específicos del gas ideal.
S2. Datos y Ecuaciones
Datos
Constante de los gases ideales R = 8,314 [J/mol* K]
Relación entre los calores específicos molares a
presión constante y a volumen constante (Cp/Cv)
Ecuaciones
Definición de g g = Cp / Cv [ec.1]
Relación de los calores Cp - Cv = R [ec.2]
específicos para un gas ideal
S3. Solución
De [ec.1] se tiene que
g
Reemplazando esta última ecuación en [ec.2] tenemos
Luego:
Por tanto:
Reemplazando esta última ecuación en [ec.1], obtenemos
Respuesta Problema 3
El calor específico a volumen constante es 26,8 [J/mol * K]
El calor específico a presión constante es 35,1 [J/mol * K]

7. 120
PROBLEMA 4
Se tiene que para cierto gas ideal el calor específico molar a volumen constante es 13 [J/n*K].
Determine el calor específico molar del gas a presión constante.
S1. Esquema de solución
Para los gases ideales se cumple [ec.1] que la diferencia entre el calor específico molar a presión constante
(Cp) y el calor específico molar del gas a volumen constante (Cv), es la constante de los gases (R).
Por tanto el calor específico molar del gas a presión constante es la constante de los gases, más calor el
específico molar a volumen constante.
S2. Datos y Ecuaciones
Datos
Calor específico molar a volumen constante es
Cv = 13 [J/n*K]
Constante de los gases ideales
R = 8,314 [J/mol* K].

8. 121
Ecuaciones
Relación entre los calores específicos
Cp - Cv = R
[ec.1]
S3. Solución
De uno [ec.1] Cp = R + Cv
Respuesta Problema 4
El calor específico molar a presión constante es 21,314 [J/n*K]
PROBLEMA 5
Se tiene que para cierto gas ideal el calor específico molar a volumen constante es 15 [J/n*K].
Determine cuanto calor ha de administrarse a 5 moles de este gas sometidos a una presión constante, para
que ésta aumente su temperatura en 10 [K].
S1. Esquema de solución
Para determinar el calor necesario para aumentar la temperatura a presión constante [ec.3] necesitamos el
calor específico molar a presión constante; para los gases ideales se cumple [ec.1] que la diferencia entre el
calor específico molar a presión constante (Cp) y el calor específico molar del gas a volumen constante (Cv),
es la constante de los gases (R).
Por tanto el calor específico molar del gas a presión constante es la constante de los gases, más calor el
específico molar a volumen constante.
Una vez determinado así el calor específico molar a presión constante, lo multiplicamos por el número de
moles (n) y por la variación de temperatura (ΔT), obteniendo así el calor necesario para calentar el gas [ec.2]
S2. Datos y Ecuaciones
Datos
Constante de los gases ideales R = 8,314 [J/mol* K]
Calor específico a volumen constante del gas Cv = 15 [J/n*K]
Aumento de temperatura ΔT = 10 [K].
No. de moles de gas n = 5 [moles]
Ecuaciones
Relación entre los calores específicos Cp - Cv = R [ec.1]

9. 122
Calor necesario para calentar el gas a presión cte. Q = n Cp ΔT [ec.2]
Condición de la presión p = constante [ec.3]
S3. Solución
De ecuación [ec.1] Cp = R + Cv
Reemplazando esta última ecuación en [ec.2] obtenemos:
Q = n (R + Cv ) ΔT
Respuesta Problema 5
El calor necesario para aumentar la temperatura del gas es 1165,7 [J].
5.3 TRABAJO DURANTE EL CAMBIO ISOTÉRMICO Y ADIABÁTICO DEL VOLUMEN DE UN GAS IDEAL
5.3.1 TRABAJO DURANTE LA DILATACIÓN ISOTÉRMICA (T = CONSTANTE)
Para determinar el trabajo durante el cambio isotérmico del volumen necesitamos calcular la integral (4.2)
entre los volúmenes V1 y V2 :
Recordando que para el caso del gas ideal la presión se puede expresar explícitamente en función del
volumen y la temperatura, usando para ello la ecuación del gas ideal (3.2):
(5.10)
Esto nos permite escribir la integral que debemos resolver:
(5.11)
Recordemos que dada la función (5.10), donde la única variable es el volumen (T = constante) la integral
(5.11) es numéricamente igual al área bajo el gráfico (ver figura 2.4).
El resultado del cálculo de esta integral es el siguiente:
(5.12)
Usando la ley de Boyle – Mariotte
(5.13)
La fórmula para el trabajo puede rescribirse usando las presiones, en lugar de los volúmenes:
(5.14)
5.3.2 TRABAJO DURANTE LA DILATACIÓN ADIABÁTICA

10. 123
Durante un proceso adiabático el sistema se encuentra aislado térmicamente del medio y por tanto no hay
intercambio de calor. Matemáticamente esto se escribe tomando la variación de calor dQ = 0. Por tanto en
este caso podemos rescribir la ecuación (5.4) en la forma:
(5.15)
Esto significa que el trabajo asociado al cambio de volumen del gas, está acompañado por un cambio en la
energía interna y por tanto existe una variación de la temperatura. Más exactamente si el gas se dilata dV
> 0 y por tanto dT < 0, es decir el gas se enfría.
Lo contrario ocurre, por supuesto si el gas es contraído de manera adiabática.
Vamos a deducir ahora la ecuación para una dilatación o compresión de un gas cuando esto ocurre de
manera adiabática.
(5.16) PV = RT
Para ello debemos de usar un recurso matemático, que en realidad hemos estado usando sin una referencia
directa a su nombre. Nos referimos a la diferencial de una función de varias variables. Aquí tomamos el
resultado listo, pero te invitamos a que estudies más sobre el diferencial.
Aplicando la diferencial sobre la ecuación (5.16), teniendo en cuenta que las variables termodinámicas son
P, V y T y además usando la regla de Leibtnitz obtenemos:
PdV + VdP= RdT
Despejando respecto a la variación de la temperatura dT tenemos:
(5.17)
Reemplazando (5.17) en (5.15) obtenemos, después de cierta álgebra
sencilla, la relación:
(5.18)
Introduciendo la notación γ =Cp / CV (por lo general el coeficiente γ se le denomina exponente politrópico.)
en esta última ecuación obtenemos:
(5.19)
Asumiendo γ constante obtenemos, después de la integración de esta ecuación
(5.20)
Como sabemos de la sección 5.2 la capacidad calorífica a presión constante Cp es mayor que la capacidad
calorífica a volumen constante, por tanto la relación γ =Cp / CV es mayor que 1. Esto implica que la curva
que representa el proceso adiabático en un diagrama P- V tenga una caída más rápida que en el caso del
proceso isotérmico:
(5.21)
Donde la gráfica es una hipérbola.

11. 124
La fórmula (5.20) puede ser modificada usando para ello la ecuación del gas ideal (3.2). Por ejemplo
despejando en (3.2) la presión:
Y reemplazando en (5.20) obtenemos:
(5.22)
O reemplazando en (5.22) el volumen despejado de (3.2) obtenemos:
(5.23)
Empleamos ahora la fórmula (4.2) y la relación (5.20) para obtener el trabajo realizado durante un proceso
adiabático.
Durante la variación del volumen desde V1 hasta V en un proceso adiabático, se cumple la fórmula (5.20)
que rescribimos mediante:
(5.24)
De donde podemos despejar la presión en función del volumen:
(5.25)
Reemplazando (5.27) en la fórmula para el trabajo (4.2) obtenemos:
(5.26)
Integrando (5.26) obtenemos el trabajo durante un proceso adiabático entre los volúmenes V1 y V2.
(5.27)
Teniendo en cuenta que:
Podemos rescribir (5.27) de una manera más compacta:
(5.28)
Si la masa del gas es M, (5.28) toma la forma:
(5.29)
5.3.3 VOLÚMENES DE CONTROL
Un volumen de control es una región arbitraria del espacio, que puede adoptarse como marco de referencia
para cuantificar el cambio de ciertas propiedades en su interior o fronteras. En la figura 5.1 se muestra un
ejemplo de este dispositivo.

12. 125
Está formado por un pistón sobre el cual se aplica una fuerza. El pistón se desplaza sobre un recinto que
contiene una masa m de un gas en un volumen V a presión P. El desplazamiento del pistón permite variar el
volumen de manera controlada.
Figura 5.1 Esquema de un volumen de control.
Para describir el comportamiento de un flujo en una región se puede adoptar el concepto de volumen de
control (VC) formado por el espacio delimitado por una superficie de control (S C) cerrada, real o virtual,
donde una de sus características, en general, será la permanencia de la forma y el tamaño del volumen así
delimitado.
La permanencia del espacio ocupado por el volumen de control hace que las partículas en su interior no
sean siempre las mismas. La cantidad de partículas también será variable cuando el flujo no es permanente.
Para el estudio de los motores de combustión interna se puede aplicar el método de volumen de control.
Para ello se definirá la superficie que limita al volumen control por lo que suceda dentro de un cilindro entre
dos instantes determinados.
En la figura 5.2 se hace una descripción de un sistema abierto, cuyas características son:
1. Los flujos de masa (que entran y salen del sistema a través de zonas permeables de su frontera).
2. El intercambio de trabajo a través de un eje sin modificación del volumen global del sistema
3. El intercambio de trabajo con modificación de volumen global del sistema (trabajo compresión-expansión)
4. La transferencia de calor a través de la frontera del sistema.

13. 126
Figura 5.2 Volumen de control. Sistema abierto
La evolución experimentada por el sistema abierto entre dos instantes próximos, correspondientes
respectivamente a un tiempo t y t + Δ t puede ser descrito mediante un sistema cerrado. Las figuras 5.3 (a) y
5.3 (b) ilustran la situación.
Figura 5.3 En cada instante de tiempo se considera el sistema como si fuese cerrado.
El balance de masa en el volumen de control en el instante t (estado termodinámico se establece mediante
la relación:
Donde m vc1 es la masa contenida en el volumen de control en el tiempo t, es la masa que entrará
en el mismo durante el intervalo de tiempo entre 1 y 2
En el instante t + Δt, el estado 2 estará dado por:
Donde m vc2 es la masa contenida en el volumen de control en el tiempo , corresponde a la
masa que ha salido en un intervalo de tiempo entre 1 y 2.
Si consideramos que el sistema es cerrado las masas msc1 y msc2 son iguales, por lo tanto
En el límite , se obtiene la ecuación para la variación de la masa al interior del volumen de
control:

14. 127
El balance de energía en un volumen de control se obtiene de manera análoga, teniendo en cuenta en este
caso que este balance está regido por la primera ley de la termodinámica:
Dividiendo ambos lados de la ecuación por Δt obtenemos el calor y el trabajo intercambiados por el sistema
con su entorno por unidad de tiempo.
Al ser cerrado el sistema tenemos:
Donde ee es y es son las densidades de energía (energía por unidad de masa) del flujo que entra y sale
respectivamente.
Si el sistema es abierto, entonces la energía de un volumen de control en general estará dada por la
expresión
El principio de conservación de energía para volúmenes de control o bien sistemas abiertos, establece que:
Los procesos termodinámicos pueden ser de dos tipos: estacionarios o transitorios. Durante un proceso
estacionario, no existe ningún cambio al transcurrir el tiempo, para una posición fija en el volumen de
control. Durante un proceso transitorio, si existen cambios al transcurrir el tiempo, independientemente
de que la posición sea fija en el volumen de control. El término uniforme u homogéneo, significa que no
existe cambio alguno, independientemente de que si exista cambio en la posición en el volumen de
control.
Los procesos termodinámicos pueden ser de dos tipos: estacionarios o transitorios. Durante un proceso
estacionario, no existe ningún cambio al transcurrir el tiempo, para una posición fija en el volumen de
control. Durante un proceso transitorio, si existen cambios al transcurrir el tiempo, independientemente de
que la posición sea fija en el volumen de control. El término uniforme u homogéneo, significa que no existe
cambio alguno, independientemente de que si exista cambio en la posición en el volumen de control.
Otras magnitudes de mucha utilidad durante el estudio de los sistemas termodinámicos mediante
volúmenes de control son la rapidez de flujo de masa, la rapidez de flujo de volumen de un fluido, flujo de
trabajo, etc.

15. 128
La rapidez de flujo de masa es la cantidad de masa que fluye a través de una sección transversal, por unidad
de tiempo d m = vn d A donde vn es la velocidad normal a la sección transversal por donde fluye la masa y dA
es el área de la superficie de la sección transversal.
Normalmente, la densidad del fluido se considera como una propiedad uniforme a través de toda la sección
transversal. La velocidad, en cambio, puede variar. Por ejemplo a través de una tubería, debido a la fricción,
la velocidad es nula en las paredes y máxima en el eje de la tubería.
Figura 5.4 Flujo a través de una cañería. (a) Real, (b) Promedio.
Por simplicidad, entonces se asume un valor constante promedio para la velocidad. De esta forma, la rapidez
de flujo de masa se expresa como:
El volumen del fluido que fluye a través de una sección transversal por unidad de tiempo, recibe el nombre
de rapidez de flujo de volumen, y está definido por:
Los flujos de masa y volumen del fluido están relacionado mediante:
Debe recordarse que cuando entra masa a un volumen de control, la energía de este volumen se incrementa
porque la masa entrante es portadora de energía, y cuando sale masa del volumen de control, la energía del
volumen se reduce, porque la masa saliente es también portadora de energía.
En un sistema abierto (volumen de control), que involucra el movimiento de masa a través de sus fronteras,
es indispensable realizar trabajo para mover la masa hacia dentro o fuera del volumen de control. Esta
cantidad de trabajo se llama flujo de trabajo y se define mediante:
Donde vespec. es volumen específico dado en las unidades [ m3/k g ]

16. 129
La energía total de un sistema cerrado es la suma de la energía cinética y potencial. Para sistemas abiertos
esta relación no es válida. Debemos incluir en este caso el flujo de energía y el trabajo, equivalente a la
energía total por unidad de masa que atraviesa la superficie de un volumen de control. Esta suma equivale a
la entalpía por unidad de masa del fluido.