1. PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS
GRADO 10º
TRIGONOMETRÍA
CONTENIDO
UNIDAD 0 : AFIANZAMIENTO DE CONCEPTOS
•
Números Reales
•
Conceptos básicos de Geometría
•
Manejo de instrumentos para geometría
•
Manejo de la calculadora científica
UNIDAD 1 : TRIGONOMETRÍA
•
Triángulos Rectángulos
•
Teorema de Pitágoras
•
Análisis del ángulo
•
Relaciones trigonométricas
•
El concepto de radian
•
Resolución de triángulos
•
Problemas de aplicación
•
Angulo de depresión y ángulo de elevación
•
Identidades trigonométricas
•
Teorema del Seno y teorema del Coseno
•
Ecuaciones trigonométricas
•
Gráfica de funciones
UNIDAD 2 : INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

2. •
Distancia entre dos puntos
•
Hipotenusa
•
Pendiente
•
Ecuación de la recta
•
Punto medio
•
Intersección entre dos rectas
•
Angulo de intersección
•
Rectas paralelas y rectas perpendiculares
•
Cónicas
o Circunferencia
o Parábola
o Elipse
o Hipérbole
UNIDAD 3. ESTADÍSTICA
•
Encuesta
•
Muestreo
•
Frecuencia Absoluta
•
Frecuencia relativa
•
Gráficos
•
Análisis
METODOLOGÍA
 Quizes con y sin previo aviso
 Exposiciones
 Trabajos individuales y en grupo
 Exámenes en parejas e individuales
 Participación
 Dinámicas y juegos didácticos.

3. LECTURA.
Los comienzos de la trigonometría, como en la mayoría de las otras ciencias matemáticas y filosóficas, se remontan hasta la antigua Grecia;
HIPARCO DE NICEA
CLAUDIO PTOLOMEO
ARISTARCO DE SAMOS
Astrónomos de los siglos III y II A de C. Trabajaron con fórmulas más exactas que las simples construcciones geométricas, en sus cálculos de magnitudes astronómicas.,
Hiparco logro establecer algunas relaciones entre líneas y ángulos de un triángulo y las utiliza en sus trabajos matemáticos, por ello se le considera como el padre y fundador de
la trigonometría.
En el siglo XVIII, el matemático suizo LEONARDO EULER , hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía para convertirla en una nueva rama de las disciplinas
matemáticas.
La trigonometría tiene diversas aplicaciones que van desde la resolución de triángulos, hasta usos más amplios en ciencias modernas como termodinámica, electricidad y
mecánica, cálculo de longitudes, distancias entre pueblos y ciudades, perímetros de figuras, direcciones en la aviación y rumbos en la navegación marítima. Sigue siendo la
herramienta más útil para satisfacer el afán del hombre por desenredar los misterios del cielo y medir las distancias entre los planetas.
En Biología, física, economía e ingeniería, es común encontrarse con fenómenos periódicos, fenómenos que se idealizan para su análisis en un modelo matemático que
involucra funciones periódicas. Por ejemplo un dispositivo electrónico muy utilizado en clínicas y hospitales es el visos copio, el cual da la información gráfica del ritmo
cardíaco del paciente. La gráfica que aparece en pantalla modela la frecuencia cardiaca ( número de pulsaciones por minuto)del paciente; esa gráfica puede ser ajustada por una
función periódica, la cual a su vez se puede expresar en términos de las funciones seno y coseno.
En la física y construcción de vías, en topografía, que se encarga de delinear con detalle la superficie de un terreno.
En la vida diaria, tiene aplicación en diversas actividades de la vida diaria, tales como los movimientos realizados por relojes de péndulo, por resortes que actúan como
amortiguadores, por los planetas dentro de sus órbitas y en cosas más cotidianas como los trabajos de construcción de carreteras y edificios. Es posible calcular medidas en
forma indirecta, predecir el comportamiento de fenómenos relacionados con fuerzas, movimientos circulares y corrientes eléctricas.
En la geometría analítica: las tres secciones cónicas no generadas ( parábola, elipse, hipérbola. La parábola, da origen a una superficie paraboloide, modelo utilizado para la
trasmisión y recepción de señales de comunicación, muy conocidas hoy como “ antenas parabólicas”. La hipérbola es el modelo comúnmente utilizado en navegación para
localizar un sitio específico, mediante el conocimiento de cierta información en tres puntos distintos. La elipse en su uso para el tratamiento de cálculos renales por resonancia;
un electrodo se coloca en un foco de la elipse, y el paciente queda ubicado en el otro foco, de tal manera que cuando el electrodo es descargado, se producen ondas ultrasónicas
que golpean la pared de la elipse y se reflejan en el cálculo. La energía descargada en el cálculo renal lo pulveriza en pequeños fragmentos que serán eliminados luego por las
vías urinarias.
Etimológicamente, la palabra trigonometría proviene del griego:
Trígono ( triángulo)
y metrom ( medida. Y si bien es cierto que las funciones trigonométricas pueden definirse sobre un triángulo, el concepto más general de función se
obtiene sobre el círculo, de ahí que también se le llamen funciones circulares.
LECTURA.
Los comienzos de la trigonometría, como en la mayoría de las otras ciencias matemáticas y filosóficas, se remontan hasta la antigua Grecia;
HIPARCO DE NICEA
CLAUDIO PTOLOMEO
ARISTARCO DE SAMOS
Astrónomos de los siglos III y II A de C. Trabajaron con fórmulas más exactas que las simples construcciones geométricas, en sus cálculos de magnitudes astronómicas.,
Hiparco logro establecer algunas relaciones entre líneas y ángulos de un triángulo y las utiliza en sus trabajos matemáticos, por ello se le considera como el padre y fundador de
la trigonometría.
En el siglo XVIII, el matemático suizo LEONARDO EULER , hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía para convertirla en una nueva rama de las disciplinas
matemáticas.
La trigonometría tiene diversas aplicaciones que van desde la resolución de triángulos, hasta usos más amplios en ciencias modernas como termodinámica, electricidad y
mecánica, cálculo de longitudes, distancias entre pueblos y ciudades, perímetros de figuras, direcciones en la aviación y rumbos en la navegación marítima. Sigue siendo la
herramienta más útil para satisfacer el afán del hombre por desenredar los misterios del cielo y medir las distancias entre los planetas.
En Biología, física, economía e ingeniería, es común encontrarse con fenómenos periódicos, fenómenos que se idealizan para su análisis en un modelo matemático que
involucra funciones periódicas. Por ejemplo un dispositivo electrónico muy utilizado en clínicas y hospitales es el visos copio, el cual da la información gráfica del ritmo
cardíaco del paciente. La gráfica que aparece en pantalla modela la frecuencia cardiaca ( número de pulsaciones por minuto)del paciente; esa gráfica puede ser ajustada por una
función periódica, la cual a su vez se puede expresar en términos de las funciones seno y coseno.
En la física y construcción de vías, en topografía, que se encarga de delinear con detalle la superficie de un terreno.
En la vida diaria, tiene aplicación en diversas actividades de la vida diaria, tales como los movimientos realizados por relojes de péndulo, por resortes que actúan como
amortiguadores, por los planetas dentro de sus órbitas y en cosas más cotidianas como los trabajos de construcción de carreteras y edificios. Es posible calcular medidas en
forma indirecta, predecir el comportamiento de fenómenos relacionados con fuerzas, movimientos circulares y corrientes eléctricas.
En la geometría analítica: las tres secciones cónicas no generadas ( parábola, elipse, hipérbola. La parábola, da origen a una superficie paraboloide, modelo utilizado para la
trasmisión y recepción de señales de comunicación, muy conocidas hoy como “ antenas parabólicas”. La hipérbola es el modelo comúnmente utilizado en navegación para
localizar un sitio específico, mediante el conocimiento de cierta información en tres puntos distintos. La elipse en su uso para el tratamiento de cálculos renales por resonancia;
un electrodo se coloca en un foco de la elipse, y el paciente queda ubicado en el otro foco, de tal manera que cuando el electrodo es descargado, se producen ondas ultrasónicas
que golpean la pared de la elipse y se reflejan en el cálculo. La energía descargada en el cálculo renal lo pulveriza en pequeños fragmentos que serán eliminados luego por las
vías urinarias.
Etimológicamente, la palabra trigonometría proviene del griego:
Trígono ( triángulo)
y metrom ( medida. Y si bien es cierto que las funciones trigonométricas pueden definirse sobre un triángulo, el concepto más general de función se
obtiene sobre el círculo, de ahí que también se le llamen funciones circulares.

4. LECTURA
Con la invención del cálculo infinitesimal, por parte de ISAAC NEWTON Y GOTTFRIED W. LEIBNIZ, se creó una
piedra angular de la ciencia pura y aplicada, a sí como el motor que generó nuevas y fructíferas ideas.
La constante búsqueda de las leyes o principios que rigen el universo, llevó al hombre a formular modelos que
interpretaran lo mejor posible la evolución; sin lugar a dudas el cálculo infinitesimal contribuyó a un mejor entender
de nuestro mundo, describiendo su dinámica mediante ecuaciones que involucran límites y derivadas. Esos hechos
permitieron luego la revolución tecnológica, manifestada en las comunicaciones, en le desarrollo de los medios de
transporte y en la salud ( nuevas técnicas y descubrimientos en la lucha de enfermedades anteriormente mortales ).
Con éste el hombre inicio la conquista del espacio, se comienza el envío de naves espaciales, con o sin tripulación, así
como el redescubrimiento de nuestro planeta, con viajes submarinos, en donde es necesario medir la resistencia
máxima de las naves y trajes utilizados a vastas profundidades. En el diseño de grandes presas para almacenar agua,
también para medir los niveles de presión en las paredes de contención. Conocer la velocidad y la aceleración de un
objeto. Para estudiar el comportamiento de datos que se han modelado mediante ecuaciones matemáticas, como el
crecimiento de poblaciones, desintegración de materiales radioactivos, inversiones de capital y velocidades límites
alcanzadas por cuerpos que caen desde una altura dada.
Determinar la rapidez del crecimiento de una población , hallar la concentración y rapidez con que se propaga una
sustancia contaminante en un medio determinado, encontrar el ritmo de crecimiento del tamaño de un tumor, señalar
las variaciones de voltaje en un fluido eléctrico, hallar el nivel de crecimiento en el ingreso anual de una familia
promedio en cierto país, prevenir catástrofes climáticas determinando velocidades y direcciones de fenómenos
climáticos sorprendentes como el huracán, el cual es una tormenta giratoria que en el hemisferio sur se mueve en el
sentido de las manecillas del reloj y en el hemisferio norte contrario a las manecillas del reloj.

5. LECTURA
Con la invención del cálculo infinitesimal, por parte de ISAAC NEWTON Y GOTTFRIED W. LEIBNIZ, se creó una
piedra angular de la ciencia pura y aplicada, a sí como el motor que generó nuevas y fructíferas ideas.
La constante búsqueda de las leyes o principios que rigen el universo, llevó al hombre a formular modelos que
interpretaran lo mejor posible la evolución; sin lugar a dudas el cálculo infinitesimal contribuyó a un mejor entender
de nuestro mundo, describiendo su dinámica mediante ecuaciones que involucran límites y derivadas. Esos hechos
permitieron luego la revolución tecnológica, manifestada en las comunicaciones, en le desarrollo de los medios de
transporte y en la salud ( nuevas técnicas y descubrimientos en la lucha de enfermedades anteriormente mortales ).
Con éste el hombre inicio la conquista del espacio, se comienza el envío de naves espaciales, con o sin tripulación, así
como el redescubrimiento de nuestro planeta, con viajes submarinos, en donde es necesario medir la resistencia
máxima de las naves y trajes utilizados a vastas profundidades. En el diseño de grandes presas para almacenar agua,
también para medir los niveles de presión en las paredes de contención. Conocer la velocidad y la aceleración de un
objeto. Para estudiar el comportamiento de datos que se han modelado mediante ecuaciones matemáticas, como el
crecimiento de poblaciones, desintegración de materiales radioactivos, inversiones de capital y velocidades límites
alcanzadas por cuerpos que caen desde una altura dada.
Determinar la rapidez del crecimiento de una población , hallar la concentración y rapidez con que se propaga una
sustancia contaminante en un medio determinado, encontrar el ritmo de crecimiento del tamaño de un tumor, señalar
las variaciones de voltaje en un fluido eléctrico, hallar el nivel de crecimiento en el ingreso anual de una familia
promedio en cierto país, prevenir catástrofes climáticas determinando velocidades y direcciones de fenómenos
climáticos sorprendentes como el huracán, el cual es una tormenta giratoria que en el hemisferio sur se mueve en el
sentido de las manecillas del reloj y en el hemisferio norte contrario a las manecillas del reloj.

6. GRADO 11º
CALCULO INFINITESIMAL, DIFERENCIAL, E INTEGRAL
UNIDAD 0 : Afianzamiento de conceptos sobre números reales
1.
Álgebra ( factorización y operaciones )
2.
Lógica
3.
Conjuntos
4.
Racionalización
5.
Sucesiones y series de números reales
6.
progresiones aritméticas y geometricas
7.
Sumatoria, productoria y número factorial
8.
permutaciones y combinaciones
9.
problemas con ecuaciones
UNIDAD 1 : FUNCIONES REALES
•
Intervalos
•
Inecuaciones
•
álgebra de funciones
•
Grafica de funciones
UNIDAD 2: LIMITE DE FUNCIONES
 Concepto
 Propiedades
 Limites indeterminados
 Limites al infinito
UNIDAD 3 : DERIVADAS
 Concepto
 Fórmulas
 Incremento
 Propiedades
 Aplicación
UNIDAD 4 : INTEGRALES
 Concepto
 Fórmulas
 Propiedades
 Aplicación

7. METODOLOGÍA
Quizes
Talleres individuales, en pareja
Exámenes
tareas
exposiciones
participación
investigaciones
PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. ¿ Cuál es el número cuyo tercio sumado con su mitad da 860 ?
2. ¿ Cuál es el número cuyo 1 / 25, aumentado en 600, da 1000?
3. El tercio de un número sumado con su cuarta parte da 35, cuál es el número?
4. Los ¾ de un número sumado con sus 5/6 dan 494. Hallar el número.
5. Los 5/6 del precio de la acción de una fábrica disminuidos en $ 3000, valen $563.000.
Determinar el precio de la acción.
6. Hallar un número que tenga 512 por diferencia entre sus tercio y su cuarta parte.
7. ¿ Cuál es el número cuyos 3/8, disminuidos en 72, dan 159?
8. Hallar el dinero de una persona que habiendo gastado ya los 54/79, aún tiene $7.900
9. ¿ Cuál es el número que sobrepasa a sus ¾ en 144?
10. Los 2/3 de los ¾ de un número, aumentados en sus 8/9, valen 25. Hallar dicho número.
11. los 2/5 del precio de un objeto restados de $12, dan un resto igual a los 4/5 de dicho precio.
¿ Cuál es el precio?
12. ¿ Cuál es el número cuya mitad aumentada en 30, es igual a los ¾ del mismo número
aumentado en 5?
13. Triplicando el jornal de un obrero y dividiendo el resultado entre 7, se le hace perder $24.
¿Cuál es su jornal?
14. Un padre deja los 2/3 de sus bienes a uno de sus hijos; los 5/16 al segundo, y los $ 640
restantes al tercero. Hállese la suma repartida.
15. Si tuviera otra cantidad igual a la que tengo, más su mitad, su cuarta parte y $ 1 , tendría $
100. Cuánto tengo?
16. Que número se ha de añadir a los términos del fraccionario 19/163 para que sea igual a 1/7 ?
17. La edad de Juan es la cuarta parte de la edad de su padre. Calcúlese la edad de cada uno,
sabiendo que la suma de las dos es 70 años.
18. La edad de un padre , sumada con la de su hijo, es 58 años. Dentro de 10 años la edad del
padre será el doble de la del hijo. Que edad tiene cada uno?

8. 19. El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en sus 2/5, en sus 3/10 y en 40, suma 200 años.
¿Cuántos años tengo?
20. Dos números están a razón de 5 a 7, y su diferencia es 18. hállense los dos números.
PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO
13. Triplicando el jornal de un obrero y dividiendo el
1. ¿ Cuál es el número cuyo tercio sumado con su mitad da
resultado entre 7, se le hace perder $24. ¿Cuál es su jornal?
860 ?
14. Un padre deja los 2/3 de sus bienes a uno de sus hijos;
2. ¿ Cuál es el número cuyo 1 / 25, aumentado en 600, da
los 5/16 al segundo, y los $ 640 restantes al tercero. Hállese
1000?
la suma repartida.
3. El tercio de un número sumado con su cuarta parte da 35,
15. Si tuviera otra cantidad igual a la que tengo, más su
cuál es el número?
mitad, su cuarta parte y $ 1 , tendría $ 100. Cuánto tengo?
4. Los ¾ de un número sumado con sus 5/6 dan 494. Hallar
16. Que número se ha de añadir a los términos del
el número.
fraccionario 19/163 para que sea igual a 1/7 ?
5. Los 5/6 del precio de la acción de una fábrica disminuidos
17. La edad de Juan es la cuarta parte de la edad de su padre.
en $ 3000, valen $563.000. Determinar el precio de la
Calcúlese la edad de cada uno, sabiendo que la suma de las
acción.
dos es 70 años.
6. Hallar un número que tenga 512 por diferencia entre sus
18. La edad de un padre , sumada con la de su hijo, es 58
tercio y su cuarta parte.
años. Dentro de 10 años la edad del padre será el doble de la
7. ¿ Cuál es el número cuyos 3/8, disminuidos en 72, dan
del hijo. Que edad tiene cada uno?
159?
19. El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en sus 2/5,
8. Hallar el dinero de una persona que habiendo gastado ya
en sus 3/10 y en 40, suma 200 años. ¿Cuántos años tengo?
los 54/79, aún tiene $7.900
20. Dos números están a razón de 5 a 7, y su diferencia es
9. ¿ Cuál es el número que sobrepasa a sus ¾ en 144?
18. hállense los dos números.
10. Los 2/3 de los ¾ de un número, aumentados en sus 8/9,
valen 25. Hallar dicho número.
11. los 2/5 del precio de un objeto restados de $12, dan un
resto igual a los 4/5 de dicho precio. ¿ Cuál es el precio?
12. ¿ Cuál es el número cuya mitad aumentada en 30, es
igual a los ¾ del mismo número aumentado en 5?
Comprobar las siguientes identidades:
TALLER

9. 1.
2.
3.
4.
5.
CO
SX
CO
TX
S
ENX
CS CX
TANX
S
EN X
S
TA
NX
CS
CX
CO T
X
6.
S ECX
7.
TANX
8.
SE
NX
9.
S
EC X
1
0.
TANX
1
1.
TA
N
1
2 .2 S
EN
1
3.
TANX
1
4.
TAN
1
5.
S ENX
1
6.
S ENX
1
7.
TAN
1
8.
S EN
CO T
1
9.
CO T
2
0.
2
1.
TAN
T
AN
1
S
2
2 .2
TAN
2
3 .3S
EN
2
4.
2
5.
TALLER
Comprobar las siguientes identidades:
1
TAN
S
EN
CO
T
TALLER

10. Comprobar las siguientes identidades:
CO
SX
CO
TX
CO
S
ENX
1.
2.
CO
CS CX
SE
TANX
2.
3.
C
S
EN X
TA
S
3.
4.
S
E
TA
NX
CS
CX
4.
5.
T
A
CO T
X
C
5.
6.
S ECX
CO
7.
TANX
6.
S
E
8.
SE
NX
7.
TA
9.
8.
S
E
S
EC X
9.
1
0.
TANX
S
E
1.
1
0.
T
1
1.
TA
N
1
1.
1
2 .2 S
EN
T
1
3.
TANX
1
2 .2
1
4.
TAN
1
3.
T
1
5.
S ENX
1
4.
T
1
6.
S ENX
1
5.
S
1
7.
TAN
1
6.
S
S EN
1
7.
T
CO T
S
1
8.
1
9.
CO T
C
TAN
1
9.
C
2
0.
T
AN
T
2
0.
T
1
8.
2
1.
1
S
2
1.
2
2 .2
TAN
1
2
2 .2
2
3 .3S
EN
2
4.
2
5.
1
2
3 .3
TAN
2
S
4.
EN
T
CO
T
S
2
5.
C
FORMULAS PARA TRIGONOMETRÍA

11. SEN
2
θ +COS 2 θ =1
IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRIA
SEN ϑ = 1 −COS 2 ϑ
COS ϑ = 1 − SEN
SEN 2 θ =1−COS 2 θ
TAN ϑ =
SEN ϑ
COS ϑ
COT ϑ =
ϑ
COS 2 θ =1−SEN 2 θ
COS ϑ
SEN ϑ
SEC ϑ =
1
COS θ
CSC θ =
1
SEN θ
SUMA Y RESTA DE ANGULOS
SEN ( α + β ) = SEN α .COS β + COS α . SEN β
SEN ( α − β ) = SEN α .COS β − COS α . SEN β
COS ( α + β ) =COS α .COS β − SEN α . SEN β
COS ( α − β ) =COS α .COS β + SEN α . SEN β
TAN
( α + β ) = TAN α +TAN β
1 −TAN α .TAN β
TAN
( α − β ) = TAN α −TAN β
1 +TAN α .TAN β
ANGULOS DOBLES
ANGULOS TRIPLES
SEN 2 α = 2 SEN α COS α
SEN 3 α = 3 SEN α − 4 SEN
COS 2 α =2 COS
COS 3 α = 4 COS α − 3 COS α
TAN 2 α =
2
2 TAN α
1 − TAN
α
3
−1
2
3
TAN 3α =
α
3 TAN α − TAN
1 − 3 TAN
2
3
α
α
ANGULOS MITAD
SEN
α
2
=
1 − COS α
2
COS
SUMA Y RESTA
α
2
=
1 + COS α
2
TAN
( A−B)
A+B)
. COS
2
2
( A − B ) . COS ( A + B )
SEN A − SEN B = 2 SEN
2
2
( A + B ) . COS ( A − B )
COS A + COS B = 2 COS
2
2
( A + B ) . SEN ( A − B )
COS A − COS B = − 2 SEN
2
2
SEN ( A + B )
TAN A + TAN B =
TAN A − TAN B =
COS A . COS B
IDENTIDADES PRODUCTO DE ANGULOS
SEN A + SEN B = 2 SEN
[
SEN
2
1 − COS α
1 + COS α
=
(
+ SEN ( α − β )
2
[ COS ( α + β ) +COS ( α − β )
COS α . COS β =
2
SEN α . COS β =
α
( α + β)
]
]
[
− SEN ( α −
2
[ COS ( α − β ) −COS ( α +
SEN α . SEN β =
2
COS α . SEN β =
TALLER DE MATEMÁTICA
LIMITES INDETERMINADOS
SEN ( A − B )
COS A . COS B
LIMITES AL INFINITO
SEN
( α + β)

12. 1. Lim
X →4
2. lim
x 2 + 2 x − 24
x −4
2
x
x →− 2
3.
x
lim
X →3
5. Lim
X →4
6. Lim
X →4
θ
7. Lim
0º
X →− 2
30º
8. Lim
X → −1
45º
9. Lim
60º 0
X→
10. 90º
Lim
X →1
+ 7 x +10
x +2
2
2.
+7x +6
3.
3x
4 x − 25 x + 36
Cos θ
1
x
Π
3
23
x + 5x − 6 2
1
Π1
x−
1
2
2
2
4
210º→1
X
15. Lim
225º→ 2
X
240º
270º
300º
315º
330º
360º
3
X →∞
∞X → ∞
10. Lim
2
x 2 + 4x
2 Π2
3
3
X →0 3 x + x − x
3
2
x 2 + 3x + 2
135º
Π
12. Lim
2
x 2 −4
X →− 2
4
2
2
4 xΠ 16 1
−
150º
13. Lim
2x −4
X →2
14. Lim
9. Lim
0
2
x3 π 1
−
x7 1
−π
x −2
6
2
x 5− 4
π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11 π
6
2π
-
1
2
3
-
2
-1
3
-
2
2
2
-
+1
3
2
Sec θ
1
Csc θ
∞
2
3
3
2
2
+3
2
X 35
+
5 X32 + 4 X + 9
2
3
3
∞
0
6X +8
-
DE
ARCOS NOTABLES
2
3 X −6
9 X 1+ 2
2X
FUNCIONES
−4 X +7
1
- 2
3
2
3
3
3
- 1
3
-
3
3
2
3
3
1
2
-
2
2
1
2
3
3
∞
3
2
-
-
0
3
∞
- 1
-
2
- 2
3
3
-
-
2
2
2
-
1
2
1
2
2
-
-
3
-
3
-
3
-
2
- 1
2
3
-
3
- 1
3
3
∞
0
- 1
2
- 2
3
∞
0
3
-
3
2
2
-
2
3
−3 X
∞ 6U −1
+
- 1
- 1
2
-
-
2
-
0
-
1
2
+1
2
5X
X
1 →∞
2
2
2 θ
2 UCot −U + 5
3
8.3 Lim
3
11. 120º
Lim
180º
X →∞
3
5X
Tan θ
7. 0 Lim
−2 X
−X
2 X
X →∞
Sen θ
x 3 Rad.
+8
0
0
x +2
Π
1
x +5 −2
6
2
x +2
Π
2
x +2 − 2 2
4
3
2
X
6. Lim
2
2
2 X +7
X →∞
− 17 x + 20
3
3−2 X
X +5
X
5. Lim
2 x −9 x + 4
− 3 X +2
4 +3 X − X
Lim
X →∞
− 8 x −16
2
1+ X
Lim
4.
2
2
3
X
X →∞
−9
x− 3
3x
1+ X
Lim
2
2
3
X →∞
x − 4x −5
x
2 X
Lim
X → ∞
2
x → −1
4. Lim
1.
2
3
3
-
2
2
2
1
2
2
0
1
3
-
3
3
0
-
3
∞
2
3
3
1
- 2
∞

13. TALLER DE MATEMÁTICAS
Demostrar las siguientes identidades:
1.
tan 2 θ
= sen 2 θ
2θ
1+tan
1
−1 =tan 2 θ
2θ
cos
tan 2 θ +1 sec 2 θ
3.
=
cot 2 +1
csc 2 θ
4. sec 2θ  1 − sen 2 θ  = sen 2 θ  1 + cot 2 θ 




2.

5.
6.
7.
8.



1 −senθ . cos θ . tan θ = cos 2 θ
1 − cos 2 θ
= cos 2 θ
tan 2 θ
tan θ + cot θ = sec θ . csc θ
csc θ . cosθ = cot θ
 1 + tan 2 θ . cos 2 θ =1
9. 



10. sec 2 θ . csc 2 θ = sec 2 θ + csc 2 θ
1 −cos 2 θ .
1 + tan 2 θ .
csc 2 −1 =1
12. sen 2 θ − cos 2 θ =1 − 2 . cos 2 θ
1
13.
− cos θ = sen θ . tan θ
cos θ


sen 2 θ
14. 
− cos θ  =1


 1 − cos 2 θ



11.


1
1

− cos θ  = + sec 2 θ
 1
cos θ  cos θ


1 + cos θ
sen θ
16.
−
=0
sen θ
1 − cos θ
cos 2 θ
17. 1 − sen θ =
1 + sen θ
1 −cos θ
sen θ
18.
=
senθ
1 + cos θ
15.

14. POLINOMIOS TRIGONOMETRICOS
π
π
1. 5 Sen 2 + 8 cos 2 =
4
6
π
π
2. 3 Sen + 6 cos 2 =
6
4
π
π
3. 5 tan 2 + 2 sec 2
4
4
π
π
4. 4 cos + 5 csc
3
6
π
π
5. 4 cos + 6 sen
6
4
π
π
6. 6 tan + 2 csc
6
4
π
π
7. sen 2 + sec 2
6
4
π
π
8. Cos 2 + sen 2
3
4
π
π
9. Csc 2
+ Cos 2
4
6
π
π
10. Csc 2
+ Tan 2
4
6
π
π
Sen
+ Csc
6
6
11.
2 π
2 π
Sen
+ Cos
6
3
π
π
Sen 2
+ Sen 2
4
6
12.
2 π
2 π
Cos
+ Sec
4
4
π
π
Cos 2
+ tan 2
6
6
13.
2 π
2 π
Sen
+ Cos
4
3
π
π
Tan 2
+ Sen 2
6
6
14.
π
π
csc 2
+ Csc 2
4
6
π
π
Cos
+ Cos
3
6
15.
2 π
2 π
Csc
+ Sen
6
4
1
2
1
R /. 4
2
R /. 8
R /. 9
R / . 12
R /. 2 3 + 3 2
R /. 2 3 + 2 2
1
4
R /. 2
3
4
R /.
3
4
R /. 2
R /. 5
R /. 5
R /.
3
10
R /.
13
9
R /.
7
72
R /.
1+
3
9

15. POLINOMIOS TRIGONOMETRICOS
π
π
1. 5 Sen 2 + 8 cos 2 =
4
6
π
π
2. 3 Sen + 6 cos 2 =
6
4
π
π
3. 5 tan 2 + 2 sec 2
4
4
π
π
4. 4 cos + 5 csc
3
6
π
π
5. 4 cos + 6 sen
6
4
π
π
6. 6 tan + 2 csc
6
4
π
π
7. sen 2 + sec 2
6
4
π
π
8. Cos 2 + sen 2
3
4
π
π
9. Csc 2
+ Cos 2
4
6
π
π
10. Csc 2
+ Tan 2
4
6
π
π
Sen
+ Csc
6
6
11.
π
π
Sen 2
+ Cos 2
6
3
π
π
Sen 2
+ Sen 2
4
6
12.
2 π
2 π
Cos
+ Sec
4
4
π
π
Cos 2
+ tan 2
6
6
13.
2 π
2 π
Sen
+ Cos
4
3
π
π
Tan 2
+ Sen 2
6
6
14.
π
π
csc 2
+ Csc 2
4
6
π
π
Cos
+ Cos
3
6
15.
π
π
Csc 2
+ Sen 2
6
4
TALLER DE ECUACIONES
POLINOMIOS TRIGONOMETRICOS
π
π
1. 5 Sen 2 + 8 cos 2 =
4
6
π
π
2. 3 Sen + 6 cos 2 =
6
4
π
π
3. 5 tan 2 + 2 sec 2
4
4
π
π
4. 4 cos + 5 csc
3
6
π
π
5. 4 cos + 6 sen
6
4
π
π
6. 6 tan + 2 csc
6
4
π
π
7. sen 2 + sec 2
6
4
π
π
8. Cos 2 + sen 2
3
4
π
π
9. Csc 2
+ Cos 2
4
6
π
π
10. Csc 2
+ Tan 2
4
6
π
π
Sen
+ Csc
6
6
11.
π
π
Sen 2
+ Cos 2
6
3
π
π
Sen 2
+ Sen 2
4
6
12.
2 π
2 π
Cos
+ Sec
4
4
π
π
Cos 2
+ tan 2
6
6
13.
2 π
2 π
Sen
+ Cos
4
3
π
π
Tan 2
+ Sen 2
6
6
14.
π
π
csc 2
+ Csc 2
4
6
π
π
Cos
+ Cos
3
6
15.
π
π
Csc 2
+ Sen 2
6
4
Encontrar el valor de x en :

16. 1.X + 4 – 5 + 7 = - 8 + 6 – 4
2. 2X + 3X + 4 = - 5 X + 6 X + 4 – 2
3
6 X +4 X +3
6 X + 3X − 8X + 4
=
8 X +4 −5 X +2
7 X + 9 X − 6 + 3 − 2 +1
7.
X + 2X + 3 + 2
2 X + 7 X + 4 −3
=
6 X + 4 +3 − 2
X + 5X + 3 − 8 + 4
Graficar y encontrar el punto de
4. 2X 2 + 4 = - 5 + 9 + 8
intersección
5. 6X 2 + 9 = - 8 + 5 + 10 – 8
de las Rectas.
6. 7X 2 + 8 X 2 + 4 –3 + 2 – 5 + 6 = 0
1.
2x + y = - 3
-x+y= 2
2.
y = 2x - 1
y + x= 0
TALLER DE ECUACIONES
Encontrar el valor de x en :
1.X + 4 – 5 + 7 = - 8 + 6 – 4
11.
X + 2X + 3 + 2
2 X + 7 X + 4 −3
=
6 X + 4 +3 − 2
X + 5X + 3 − 8 + 4
2. 2X + 3X + 4 = - 5 X + 6 X + 4 – 2
3
6 X +4 X +3
6 X + 3X − 8X + 4
=
8 X +4 −5 X +2
7 X + 9 X − 6 + 3 − 2 +1
8. 2X 2 + 4 = - 5 + 9 + 8
Graficar y encontrar el punto de
intersección
de las Rectas.
1.
9. 6X 2 + 9 = - 8 + 5 + 10 – 8
10. 7X 2 + 8 X 2 + 4 –3 + 2 – 5 + 6 = 0
2x + y = - 3
-x+y= 2
2.
y = 2x - 1
y + x= 0
TALLER DE ECUACIONES
Encontrar el valor de x en :
1.X + 4 – 5 + 7 = - 8 + 6 – 4
15.
X + 2X + 3 + 2
2 X + 7 X + 4 −3
=
6 X + 4 +3 − 2
X + 5X + 3 − 8 + 4
2. 2X + 3X + 4 = - 5 X + 6 X + 4 – 2
Graficar y encontrar el punto de
3
intersección
6 X +4 X +3
6 X + 3X − 8X + 4
=
8 X +4 −5 X +2
7 X + 9 X − 6 + 3 − 2 +1
de las Rectas.
1.
12. 2X 2 + 4 = - 5 + 9 + 8
13. 6X 2 + 9 = - 8 + 5 + 10 – 8
14. 7X 2 + 8 X 2 + 4 –3 + 2 – 5 + 6 = 0
2x + y = - 3
-x+y= 2
2.
y = 2x - 1
y + x= 0

17. GEOMETRÍA PLANA
Conceptos Generales
PUNTO: Es una figura imaginaria sin contexto concreto, difícil de definir. Es algo que se ve o que se
hace .
LÍNEA : Es una sucesión de puntos.
PLANO: Es una superficie en un espacio determinado.
La línea esta constituida en :
LINEAS PARALELAS : Son aquellas que nunca
se encuentran por más que se prolonguen.
LINEAS PERPENDICULARES: Son aquellas que se cortan forman un ángulo recto .
SEGMENTO DE RECTA : Es un pedazo de recta que tiene un principio A y un fin B se denota por AB
y tiene una magnitud o distancia A
B
ANGULO : Es la abertura que se forma cuando dos líneas se encuentran.
De acuerdo a su MEDIDA , los ángulos se dividen en :
1.ANGULOS AGUDOS: Son aquellos que tienen un ángulo menor de 90º
θ < 90º
2. ANGULOS OBTUSOS : Son aquellos que tienen un ángulo mayor de 90º β > 90º
3. ANGULO RECTO : Es aquel que mide 90º
4. ANGULO LLANO : Es aquel que mide 180º
α = 90º
γ = 180º
De acuerdo a su POSICIÓN los ángulos se dividen en :
1.ANGULOS ADYACENTES : Son aquellos que tienen el mismo vértice y un lado común.
2. ANGULOS PUESTOS POR EL VÉRTICE : Tienen el mismo vértice y los lados del uno son las
prolongaciones de los otros lados.
TRIANGULOS
Es una figura plana que tiene tres lados y tres ángulos.
De acuerdo a sus lados se dividen en :
1.EQUILÁTERO: Cuando sus tres lados son iguales
2. ISÓSCELES : Cuando tiene dos lados iguales y uno desigual.
3. ESCALENO : Cuando sus tres lados son diferentes
De acuerdo a sus ángulos de dividen en :
1.EQUIÁNGULO : Cuando sus tres ángulos son iguales.
2. ACUTANGULO : Cuando tres ángulos son agudos
3.
RECTÁNGULO : Cuando tiene un ángulo recto igual a 90º
4.
OBTUSANGULO : Cuando tiene un ángulo obtuso .
TEOREMA “ LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO
SUMAN 180º “
POLÍGONOS : Son porciones de plano limitado por líneas rectas cerradas. De acuerdo a sus lados se
dividen en :

18. LADOS
NOMBRE
3
TRIANGULO
4
PARALELOGRAMO
4
CUADRADO
4
RECTÁNGULO
4
TRAPECIO
5
PENTÁGONO
CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
FIGURA
LADOS
6
7
8
9
10
20
NOMBRE
HEXÁGONO
EPTAGONO
OCTAGONO
NONAGONO
DECAGONO
FIGURA
CIRCUNFERENCIA : Lugar geométrico de todos los puntos del plano que estan a la misma distancia de
un punto fijo llamado centro.
CIRCULO : Es el conjunto de los puntos internos de una circunferencia.
RADIO : Es el segmento que va desde el centro a un punto de la circunferencia
DIÁMETRO : es el segmento que une dos puntos de la circunferencia , pasando por el centro . 1
diámetro = 2 radios
; D=2r
CUERDA : Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.
ARCO : Es la parte determinada por una cuerda.
LINEA SECANTE : Es el segmento que corta la circunferencia en dos puntos .
LINEA TANGENTE : E el segmento que corta la circunferencia en un solo punto.
SECTOR CIRCULAR : Es la porción limitada por dos radios y el arco comprendido de la circunferencia .
EL TRANSPORTADOR
Es una semi o circunferencia divide en 180 partes iguales , llamadas grados o horas. Cada grado se divide
en 60 partes llamadas minutos y cada minuto se divide en 60 partes llamadas segundos.
EL PLANO CARTESIANO
Es un plano que tiene dos ejes x , y , si es en el espacio z , dividido en cuatro partes positivas o negativas
llamadas CUADRANTES .
ANGULOS COMPLEMENTARIOS Y ANGULOS SUPLEMENTARIOS
Los ángulos complementarios son aquellos que su suma es igual a 90º
Los angulos suplementarios son aquellos que suma es igual a 180 º
GIRO EN EL PLANO
Es una vuelta completa que da el ángulo en el plano, es de 360º
LADO COTERMINAL : Es el ángulo donde termina ,después de dar los giros correspondientes al plano
cartesiano, puede ser positivo o negativo , contando desde el lado inicial.
TALLER DE LOGICA

19. 1. Formar la conjunción y la disyunción de los siguientes pares de proposiciones y elaborar la respectiva
tabla de verdad.
a. En febrero hay 30 días
5 es menor que 5
b. 7 es un número primo
29 es divisible por 3
c. 7 / 2 es un número racional
Los factores de 12 son 1,2,3,4,6,12
2. Escribir en símbolos las siguientes proposiciones compuestas
a.121 es el cuadrado de 11 y 3 + 0 = 4
c. Si 25 es divisible por 5 entonces 50 es
b. 121 no es el cuadrado de 11 ó 12 no es un
múltiplo de 10
número primo
3. Sean p y q las siguientes proposiciones :
p: El río Cauca desemboca en el Atlántico
q: La capital de Quindío es Armenia
Escribir en lenguaje corriente las siguientes proposiciones compuestas y dar su valor de verdad.
pΛq
~pΛ~q
p→~ q
~pV~q
~p↔q
pVq
~p
4.En cada uno de los siguientes enunciados formar la negación de la proposición dada y hallar su valor de
verdad.
a.
El oro no es un metal
d.
b.
Todos los pentágonos tienen cinco
Todos los ángulos agudos miden
menos de 90º
lados
5.
p
V
V
F
F
Algunos números son enteros
Un triángulo no tiene 4 lados
f.
No todos los números son primos
g.
c.
e.
Existen números pares
Completar la siguiente tabla de verdad.
q
pvq
pΛq
~p
~q
p→q
~q→~p
(pvq)↔(pΛq)
V
F
V
F
6. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas, sabiendo que p es
verdadera, q es falsa y r es falsa..
a.
~p↔(pΛ~r)
c.
(p→q)↔(~p v~q)
b.
(pΛ~q)→(r v~p)
d.
( pΛq)→p
TALLER DE MATEMÁTICAS GRADO 10º
I..Transformar a radianes o viceversa
1. 7 π
13
2 . 16 π
25
3. 10 π
30
4 . 240 º
5. 840 º
6. 1920 º

20. II. Encontrar los datos que faltan y las funciones trigonometricas.
α
10
20
13
x
y
θ
θ
15
III. Encontrar los datos que faltan en las siguientes funciones.
1. Sen θ = 9
14
2. Cos θ = 14
48
3. Tan θ = 18
37
IV. Hallar la grafica, complemento y funciones de .
1 . P ( - 3 , 8 ) 2. Q ( - 10, - 12 ) 3. R ( - 7 , 4 )
5. T ( 12, 11 ) 6. V ( 6, - 14 )
4. Sen θ = 25
87
4. S ( 9, 8 )
V. Hallar x, y , el ángulo, el complemento y las funciones de :
TALLER DE MATEMÁTICAS
GRADO 10º
1º Sabiendo que sen A = 4/5, calcula las demás razones trigonométricas de A sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante.

21. 2º Sabiendo que cos A = -
3
2
, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de A, sabiendo que A está
en el segundo cuadrante.
3º Sabiendo que cos A = -1/2, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de A, sabiendo que A es un
ángulo del segundo cuadrante.
4º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 315º.
5º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 240º.
6º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 300º.
7º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que a=12 y A=30º.
8º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que Â=30º y c=20, sin utilizar la calculadora.
9º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del
río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. calcular la anchura del río.
10º Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el
ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.

22. 11º Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el horizonte, calcular la altura del
edificio.
12º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 150 metros río abajo, por la orilla recta del
río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 15º con nuestra orilla. Calcular el ancho del río.
13º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 135º.
14º Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que
caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con
nuestra orilla?
Resolver las siguientes cuestiones:
A. Sin utilizar la calculadora, expresa en radianes 150º, 315º, 120º, 210º, 75º y 330º
B. Sin utilizar la calculadora, expresa en grados: 3π / 2, π / 6, π / 3, π / 5, 2π / 5, 5π / 2
C. Si un ángulo es el doble que otro, ¿su seno también lo es?. En cualquier caso poner un ejemplo para ilustrar la respuesta.

23. GRAFICA DE FUNCIONES
Son estructuras gráficas que existen de acuerdo a la ecuación y a la forma:
1. El conjunto de la función
2. La ecuación que representa
3. La estructura en el plano o en el espacio.
Las funciones reales se dividen en :
1. Funciones polinomicas :
1.1 Función constante
y = a a es constante
1.2 Función Lineal y = x +/- a
1.3 Función cuadrática : y = ax2 + bx + c
1.4 Función cúbica : y = a x 3 + b x + c
1.5 Función polinómica general : y = a x n + b x + c
2. Funciones trascendentes:
2.1 Funciones trigonométricas
y = sen x
2.2 Funciones exponenciales y = 2 x
y = 2 1/x
2.3 Funcion Logarítmica y = log x
3. Funciones especiales :
3.1 Función valor absoluto
y=x 
3.2Función racional y = x / 2
3.3Función segmentada o por partes
y=[x]
3.4Función mayor entero contenido en..
Consulta :
1. Que es una función
2. Que es una relación
3. Que es dominio y rango de una función o relación
4. Como se representa una función y una relación
Taller : pagina 99 practica 2 y 3
INTERVALOS , INECUACIONES Y DESIGUALDADES

24. Los símbolos < , > , ≥ , ≤ son importantes , ya que una ecuación con una igualdad, da como
resultado uno o dos resultados, en cambio con los símbolos mayor, menor, mayor o igual ,
menor o igual da como resultado un conjunto de soluciones numericos, que sirven como base su
aplicación en la recta numérica.
TALLER DE MATEMÁTICAS GRADO 10º
LOGRO 1 : TALLER GENERAL DE ANGULOS
GRADO 10º
1.
Sea AB = 10 cm , construir : α = 8º, 34º, 58 º , 49º, 90º, 116º, 144º, 162º.
2.
En dos plano cartesianos construir :
β= 30º, 50º, 70º, 110º, 143º, 168º, 220º, 248º, 255º, 278º, 342º, 358º
γ = - 12º, - 34º, - 62º, - 120º, - 143º, - 183º, - 220º, - 254º, -278º, - 344º.
3.
Decir cuál es el ángulo coterminal y graficar
θ= 16853º
λ= 68422º
ε = 6855º
η = 455600
δ = 8343º φ = 88400º δ = 7934º
κ = 946º
4. Transformar a grados o a Radianes según el ejercicio
1) 3/ 4 π Rad.
6) 630º
5.
7) 1840º
2) 7/6 π Rad.
8) 80º
3) 11/3 π Rad.
9) 450º
4) 15/8 π Rad
5) 18/9 π Rad.
10) 720º
Dar el complemento o el suplemento de :
ψ = 73º 92´ 135”
ρ= 156º 188´ 336”
ξ = 68º 114´ 255”
µ= 38º 874´ 655”
σ = 124º 299´ 243”
χ = 59º 368´ 423”
6 . Realizar las siguientes operaciones y dar el resultado en forma analítica para poder hallar complemento o
suplemento.
α = 123º 23´ 44”
β = 162º 37´ 83” + 44º 86´ 33”
+ 32º 13´ 55”
φ = 246º 37´ 99” - 38º 8´ 33”
7.
γ = 55º 12´ 14” - 28º 6´ 10”
Encontrar la solución real o compleja a las siguientes ecuaciones cuadráticas.
a) 6 x 2 + 8x + 9 = 0
b ) 5x 2 – 3x – 6 = 0
c) 10x 2 – 25 x + 90 = 0
LOGRO 1 : TALLER GENERAL DE ANGULOS
d) 64,5 x 2 – 12,6 x + 32, 7 = 0
GRADO 10º
4.
Sea AB = 10 cm , construir : α = 8º, 34º, 58 º , 49º, 90º, 116º, 144º, 162º.
5.
En dos plano cartesianos construir :
β= 30º, 50º, 70º, 110º, 143º, 168º, 220º, 248º, 255º, 278º, 342º, 358º
γ = - 12º, - 34º, - 62º, - 120º, - 143º, - 183º, - 220º, - 254º, -278º, - 344º.
6.
Decir cuál es el ángulo coterminal y graficar
θ= 16853º
λ= 68422º
η = 455600
δ = 8343º φ = 88400º δ = 7934º

25. ε = 6855º
κ = 946º
4. Transformar a grados o a Radianes según el ejercicio
1) 3/ 4 π Rad.
6) 630º
6.
7) 1840º
2) 7/6 π Rad.
8) 80º
3) 11/3 π Rad.
9) 450º
4) 15/8 π Rad
5) 18/9 π Rad.
10) 720º
Dar el complemento o el suplemento de :
ψ = 73º 92´ 135”
ρ= 156º 188´ 336”
ξ = 68º 114´ 255”
µ= 38º 874´ 655”
σ = 124º 299´ 243”
χ = 59º 368´ 423”
6 . Realizar las siguientes operaciones y dar el resultado en forma analítica para poder hallar complemento o
suplemento.
α = 123º 23´ 44”
β = 162º 37´ 83” + 44º 86´ 33”
+ 32º 13´ 55”
φ = 246º 37´ 99” - 38º 8´ 33”
8.
γ = 55º 12´ 14” - 28º 6´ 10”
Encontrar la solución real o compleja a las siguientes ecuaciones cuadráticas.
a) 6 x 2 + 8x + 9 = 0
b ) 5x 2 – 3x – 6 = 0
c) 10x 2 – 25 x + 90 = 0
d) 64,5 x 2 – 12,6 x + 32, 7 = 0
TALLER DE MATEMÁTICAS GRADO 10º
LOGRO : ANGULOS
9.
Sea AB = 10 cm , construir : α = 24º, 38 º , 49º, 70º, 88º, 116º, 144º, 162º.
10. En el plano cartesiano construir :
β= 30º, 50º, 70º, 110º, 143º, 168º, 220º, 248º, 255º, 278º, 342º, 358º
γ = - 12º, - 34º, - 62º, - 120º, - 143º, - 183º, - 220º, - 254º, -278º, - 344º.
11. Decir cuál es el lado coterminal y graficar
θ= 6853º
λ= 78422º
ε = 3855º
η = 155600
δ = 843º φ = 88400º δ = 1934º
κ = 114246º
12. Dar el complemento y el suplemento de :
ψ = 63º 22´ 35”
σ = 134º 299´243”
ξ = 88º 14´55” µ= 28º 74´55”
ρ= 146º 188´336”
χ = 99º 368´ 423”
5 . Realizar las siguientes operaciones y dar el resultado en forma analítica para poder hallar complemento o
suplemento.
α = 123º 23´ 44”
+ 32º 13´ 55” β = 123º 37´ 83” + 44º 86´ 33”
φ = 246º 37´ 99” - 38º 8´ 33”
γ = 55º 12´ 14” - 28º 6´ 10”
6. Transformar a grados o a Radianes según el ejercicio
1) 2/ 4 π Rad.
6) 830º
2) 9/6 π Rad.
7) 1240º 8) 60º
3) 10/3 π Rad.
9) 45º
4) 14/8 π Rad
10) 120º
5) 8/9 π Rad.

26. INTERVALOS
Son subconjuntos de la recta numérica, cuando decimos que x = a, y a es un número cualquiera ,
podemos decir que a es un punto en la recta numérica, pero si decimos que x > a , entonces la
respuesta es un conjunto de números que pueden hacer realidad la respuesta de este conjunto y
eso es un intervalo, que pueden ser abiertos a derecha o a izquierda, cerrados a derecha o a
izquierda, dependiendo del signo que se utilice. En los intervalos se trabaja con desigualdades,
con los signos, menor, mayor, menor o igual , mayor o igual.
Ej: x < 1 : los números que sean menores que 1
X > 1 : los números mayores que 1
X ≥ 2 Son los números que sean mayores o iguales que 2
X ≤ 3 son los números menores o iguales que 3
- 3 ≤ x ≤ 3 , los números que sean mayores o iguales a – 3 y que sean menores o
iguales a 3
Los intervalos se dividen en : abiertos ( ) , cerrados [ ]
1. intervalo abierto a derecha
[ .... )
2. Intervalo abierto a izquierda
(.....]
3. Intervalo cerrado a derecha
(.....]

27. 4. Intervalo cerrado a izquierda
(.....]
13. Intervalo abierto ( ... )
14. Intervalo cerrado [..... ]
Su representación completa es un conjunto , de la siguiente forma:
A= { x / x ∈ ℜ , x > 2 } , se lee , los números que pertenecen al conjunto de los reales y que
cumplan la condición de ser menores que 2, como no se toma el 2 , ya que 2 no es menor que 2
sino que es igual, entonces es abierto en 2 , y como el conjunto no termina ya que este va hasta
el infinito positivo y este no se cierra, porque no se sabe donde termina, entonces el intervalo
quedaría :
-∞
| | | | |
| | | | | (| | | | | | |
∞ ( 2, ∞ )
0 1 2 3
Ejercicios .
Página 41 , practica 11, página 43, practica 12 A y B , grado 9º.
RELACIONES Y FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Sen θ = cateto opuesto θθθθθ
h
b
a

28. Asintotas
Definición
Una asíntota es una recta que se aproxima infinitamente a una curva a medida que la
curva se aleja del origen de coordenadas.
Asintotas verticales
Cuando la recta es vertical se llama asíntota vertical
2
2
Ejemplo de cálculo de las asintotas verticales de la función y = (x + x - 5)/(x - 1): Se
2
2
pone la función en esta forma: y(x - 1) - x - x + 5 = 0 Se coge el coeficiente de la
2
mayor potencia de y, en nuestro caso x - 1 y se descompone en factores lineales Las
asintotas serían x = 1 y x = -1.
Asintotas horizontales

29. Cuando la recta es horizontal se llama asíntota horizontal
2
2
Ejemplo de cálculo de las asintotas horizontales de la función y = (2x - 5x + 3)/(x + 2x
2
2
- 3): Se pone la función en esta forma: x y + 2xy - 3y - 2x + 5x - 3 = 0 Se agrupan los
2
terminos en x y se coge el coeficiente de la mayor potencia de x, en nuestro caso x (y
- 2) + ... = 0 y se descompone en factores lineales La asintota sería y = 2.
Asintotas oblicuas
Cuando la recta es oblicua se llama asíntota oblicua
2
Ejemplo de cálculo de las asintotas oblicuas de la función y = 2x /(x - 1): Se sustituye y
por mx + n Se agrupan los terminos en x y se cogen los coeficientes de las dos
mayores potencias de x, en nuestro caso m - 2 y n - m Se resuelve el sistema formado
por las dos ecuaciones anteriores. La asintota sería y = 2X - 2.
Dado un número real , devuelve el entero mas próximo a ese número.
Funciones
Definición
Una función es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se
obtiene un valor.
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos
datos y que obtiene un valor.
A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores
de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina ' funciona) se
llama dominio de definición de la función.
Ejemplo: la función raiz cuadrada de un número no está definida para números
negativos.
Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los
valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del
conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.
2
Ejemplo: la función y = x nunca obtiene valores negativos.
Clasificación

30. De la definición de función se intuye que hay muchisimas funciones. Para estudiarlas
conviene comenzar por las mas sencillas y clasificarlas en diferentes tipos.
Las funciones elementales son las siguientes:
Función potencial: y = x
a
Función exponencial: y = ax
Función logarítmica: y = loga x
Funciones circulares: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cosec x, y = sec x, y = cot x.
A partir de las funciones potenciales, mediante sumas y diferencias se obtienen las
funciones polinómicas (y = anxn + an-1xn-1 + ... + a0 )
Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones polinómicas.
La función es irracional cuando algun exponente del polinomio no es entero.
Las funciones polinómicas, racionales e irracionales se llaman funciones algebraicas.
Las funciones exponenciales, logarítmicas y circulares se llaman funciones
trascendentes.
Otras funciones no incluidas en las anteriores (p.e. esas que tanto les gustan a
nuestros profesores, y tan poco a nosotros: la parte entera, valor absoluto) se llaman
funciones no elementales.
Continuidad de una función.
Una aproximación al concepto de continuidad de una función, se puede visualizar
intentando dibujar la función sin levantar el lapiz del papel.
Expresado matemáticamente, se dice que la función y = f(x) es continua en el punto x
= x0 si verifica que:
Una función, por lo tanto, puede no ser continua:
a) No existe f(x0)
b) No existe el límite en ese punto,
c) f(x0) no es igual al límite en ese punto.
Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en ese
punto.
Las discontinuidades pueden ser de dos tipos:

31. a) Discontinuidades de primera especie (cuando la función no existe en ese punto, o
bien, cuando los límites laterales existen y son finitos, pero no son iguales
b) Discontinuidades de segunda especie (cuando los límites laterales tienden a infinito
en ese punto).
Una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos los puntos de ese
intervalo.
¿Qué diferencia existe entre una función continua y otra uniformemente continua?
La continuidad es una propiedad local. Una función es continua si lo es todos sus
puntos, es decir, la continuidad se define según lo que ocurre en el entorno de un
punto.
Sin embargo, ser uniformemente continua es una propiedad global de la función.
Un ejemplo: La propiedad "ser rubio" es una propiedad individual (local). Decir, "los
alemanes son rubios" no es correcto porque "ser rubio" es una propiedad individual y
no todos los alemanes son rubios. Sin embargo, una propiedad como "la densidad de
población" de un país es una propiedad global de un país, no es una propiedad local.
Supongamos que la densidad de población de un país sea 5 hab/Km2, el hecho de
analizar 1 Km2 no nos define si es cierta la propiedad o no, hemos de fijarnos en el
país en su conjunto.
Composición de funciones:
Supongamos que el resultado de una función f se utiliza como entrada para otra
función g. A esto se le llama composición de funciones y se representa así:
(g o f)(x).
Función inversa:
Una función es inversa de otra si una deshace la operacion que hizo la otra.
Dicho en términos matemáticos: f(x) y g(x) son inversas si cuando b = f(a), a = g(b)
La división es la operación inversa de la multiplicación. La suma es la operación
inversa de la resta.
Funcion par:
Cuando f(x) = f(-x).

32. La función y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de y
independientemente del signo de x.
Función impar:
Cuando f(x) = -f(-x)
Función periódica:
Cuando f(x+T) = f(x)
Funciones hiperbólicas
Si construimos diferentes triángulos rectángulos como el de la figura 1, (triángulos
cuyo ángulo a sea igual pero con lados de tamaños diferentes) y calculamos la
relación entre sus lados, veremos que la relación es independiente del tamaño del
triángulo.
A la relación BD/OD se le llama seno (se escribe sen a )
A la relación OB/OD se le llama coseno.
A la relación BD/OD se le llama tangente.
A la relación OD/BD se le llama cosecante (es la inversa del seno).
A la relación OD/OB se le llama secante (es la inversa del coseno).
A la relación OD/BD se le llama cotangente (es la inversa de la tangente).

33. El área del círculo construido con centro en O y radio OD (que para abreviar
2
llamaremos R) es igual a p R , luego el área de un sector circular de ángulo 2a será a
2
R y si tomamos R como la unidad, el área del sector circular de ángulo 2a será a .
Llamémos x al área del sector circular de ángulo 2a (que hemos visto es igual a a ).
Entonces el sen a = sen x = BD, cos a = cos x = OB, tan a = tan x = AC.
2
Resulta que la ecuación de una circunferencia de radio 1 (y centro en el origen) es x +
2
2
y = 1 y la ecuación de una hiperbola equilatera de radio 1 (y centro el origen) es x - y
= 1. Como veis son muy parecidas, por lo que a alguien se le ocurrió definir las
funciones seno hiperbólico (sh), coseno hiperbólico (ch) y tangente hiperbólica de x
(siendo x el área sombreada de la figura 2) de la siguiente manera:
Sh x = BC
Ch x = OB
Th x = AD
Es muy importante darse cuenta que x es una superficie no un ángulo. Esta superficie
se calcúla mediante cálculo integral.
x
-x
Pues resulta que por una razón que todavía desconozco BC = (e -e )/2,
x
-x
x
-x
x
-x
OB = (e +e )/2 y AD = (e -e )/ (e +e ).
Funciones numéricas
Definición
Son las funciones que se aplican a los números.
Parte entera
Dado un número real, devuelve la parte entera del número.
Parte fraccionaria
Dado un número real, devuelve la parte fraccionaria del número.
Redondeo
Dado un número real , devuelve el entero mas próximo a ese número.
2

34. Suelo
Dado un número real, devuelve el entero mas grande que no se mayor que el número
dado.
Techo
Dado un número real, devuelve el menor entero que no menor que el número dado.
Signo
Dado un número real, devuelve 1 si el número es mayor que cero, y -1 si es menor
que cero.
Valor absoluto
Dado un número real, devuelve el número sin signo.
X
Parte
entera
Parte
Redondeo Suelo Techo Signo
fraccionaria
Valor
absoluto
3,4
3
0,4
3
3
4
1
3,4
3,5
3
0,5
3
3
4
1
3,4
3,6
3
0,6
4
3
4
1
3,4
-3,4
-3
-0,4
-3
-4
-3
-1
-3,4
-3,5
-3
-0,5
-3
-4
-3
-1
-3,4
-3,6
-3
-0,6
-4
-4
-3
-1
-3,4

35. Funciones trigonométricas
Si construimos diferentes triángulos rectángulos como el de la figura 1, (triángulos
cuyo ángulo a sea igual pero con lados de tamaños diferentes) y calculamos la
relación entre sus lados, veremos que la relación es independiente del tamaño del
triángulo.
A la relación BD/OD se le llama seno (se escribe sen a )
A la relación OB/OD se le llama coseno.
A la relación BD/OD se le llama tangente.
A la relación OD/BD se le llama cosecante (es la inversa del seno).
A la relación OD/OB se le llama secante (es la inversa del coseno).
A la relación OD/BD se le llama cotangente (es la inversa de la tangente).
Límites de funciones
Introducción
Algunas funciones tienen un comportamiento extraño en algunos puntos de su gráfica.
Por ejemplo, cuando no hay valores de y para algunos valores de x, o cuando la
función obtiene un valor indeterminado.
Limites finitos en puntos finitos
Este es el caso mas habitual: a cada valor que le damos a la variable x, obtenemos un
valor para la funcion y.

36. 3
Consideremos la funcion y = x y el punto x = 2.
Hagamos una tabla con los valores de y que obtenemos al dar valores a x desde x =
1,9 hasta x = 2 para valores cada vez mas proximos a x = 2
X
Y
1,9
6,86
1,99
7,880599
1,999
7,988005999
1,9999
7,99880006
1,99999
7,9998800006
Hagamos una tabla con los valores de y que obtenemos al dar valores a x desde x =
2,1 hasta x = 2 con valores cada vez mas próximos a x = 2
X
Y
2,1
9,261
2,01
8,120601
2,001
8,012006001
2,0001
8,00120006
2,00001
8,0001200006

37. Como vemos tanto si nos acercamos a x = 2 por la derecha como por la izquierda el
valor de y se acerca a 8 (un numero determinado). Este es el comportamiento habitual
de las funciones, pero, en algunos casos no ocurre esto.
Definición
Se dice que la funcion y = f(x) tiene como limite el numero L, cuando x tiende a x 0 si,
para cualquier ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ, tal que, para todos los
x distintos de x0 que cumplen la condicion  x - x0 < δ, se cumple que  f(x) - L < ε.
Una función y = f(x) tiene limite en el punto x0, si y solo si, los limites de la función
existen y son iguales cuando x tiende a x0 por la derecha y por la izquierda.
Limites infinitos en puntos finitos
2
La funcion y = 1/x cuando x = 0, tiene un comportamiento diferente, pues el valor de y
tiende a infinito a medida que x se acerca a cero, tanto por la derecha como por la
izquierda.
X
Y
0,1
100
0,01
10000
0,001
1000000
0,0001
100000000
0,00001
10000000000
En este caso, cuanto mas nos acercamos a 0 mas crece el valor de y. Se dice que y
tiende a infinito.
Definición

38. La función y = f(x) tiene un limite +infinito o -infinito, cuando x tiende a x 0 si para
cualquier M positivo, existe un δ , mayor que cero, tal que, para todos los x distintos de
x0 que cumplen la condicion  x - x0 < δ, se cumple que f(x) >M.
Limites en el infinito
Otro caso a estudiar es cuando x se hace muy grande (tiende a infinito). Supongamos
la funcion y = (1 + 1/x). Cuando x se hace muy grande el termino 1/x se hace muy
pequeño, por lo tanto y tiende a 1 cuando x tiende a infinito.
X
Y
100
1,01
1000
1,001
10000
1,0001
100000
1,000001
1000000
1,0000001
Definición
La función y = f(x) tiene un limite L cuando x tiende a +infinito o x tiende a -infinito, si
para cualquier ε, mayor que cero, es posible encontrar un N, mayor que cero, tal que,
para todos los valores de x que cumplen la condicion x > N, se cumple que f(x) L < ε.
Infinitésimos
Todos nos imaginamos un infinitésimo como algo muy pequeño, pero no es sólo eso,
además debe ser algo que podamos hacer todo lo pequeño que queramos. Un
infinitésimo no es un número

39. Definición
Un infinitésimo es una función que tiene la característica que cuando x se acerca a
determinado valor, la funcion se acerca a cero.
4
y = x cuando x tiende a cero, es un inifinitésimo y = lnx cuando x tiende a uno, es un
inifinitésimo
Comparación de infinitésimos
Algunas funciones se acercan a cero mas rápidamente que otras.
Para comparar dos infinitesimos, se dividen, si el resultado es un numero real (que no
sea cero) los infinitesimos son del mismo orden, si es igual a cero, el infinitesimo del
numerador es de orden superior al del denominador. Si el cociente es un número
complejo, cambiamos el numerador por el denominador y si el cociente es 0 el
inifinitesimo que esta en le numerador (en el segundo cociente) es de orden superior
al situado en el denominador, si el segundo cociente sigue siendo complejo, los
infinitesimos son incomparables.
Infinitésimos más usuales
Sólo se pueden usar los inifinitesimos en productos y cocientes
Cuando x tiende a cero.
sen kx se puede sustituir por kx
tg kx se puede sustituir por kx
kx
e - 1 se puede sustituir por x
x
a - 1 se puede sustituir por xln a
ln(1 + x) se puede sustituir por x
2
1 - cos x se puede sustituir por x /2
arcsen x se puede sustituir por x
m
(1 + x) - 1 se puede sustituir por mx
Cuando x tiende a pi/2.
cotg kx se puede susitutir por pi/2 - kx
Indeterminaciones

40. A veces, al calcular el límite de una función nos sale una indeterminación.
Las indeterminaciones son:
(∞-∞)
(∞/∞)
(0 / 0)
(0 * ∞ )
0
(0 )
0
(∞ )
(1∞ )
Es evidente que el símbolo ∞ representa un número muy grande pero ya no es tan
evidente que los números cero y uno que aparecen en estas expresiones no son
exactamente estos números si no números infinitamente próximos a ellos. Por eso, un
número infinitamente próximo a 1 elevado a un número infinitamente grande es una
indeterminación.
Cuando el resultado de una expresión es una indeterminación tenemos que
ingeniarnoslas (haciendo operaciones que no alteren la expresión) para deshacer la
indeterminación.
Si la indeterminacion es del tipo ∞ /∞ se resuelve dividiendo numerador y denominador
por la incognita elevada a mayor grado.
2
3
Ejemplo: lim (4x + 5) / (5x -3) = 0
Si es del tipo ∞ - ∞ se resuelve con (a+b)(a-b).
2
2
2
2
2
2
Ejemplo: Lim √ (x + 5) - √ (x - 8) = lim (x + 5 - x - 8)/ √ (x + 5) + √ (x - 8) = 0 / 1 = 0
a
Si es 1∞ se resuelve con el numero e = (1+1/a) .
2 x
2 x^2 1/x
Ejemplo: Lim (1 + 1 / x ) = lim [(1 + 1/x ) ]
0
=e =1
Regla de l'Hopital
Este método de romper las indeterminaciones, en realidad se debe a Johann Bernoulli.
Johann vendía al marques de l'Hopital sus trabajos y éste los publicaba como si
fuesen suyos.
Cuando la indeterminación es de la forma 0/0 o ∞ / ∞, y las funciones del numerador y
del denominador son derivables en el punto que produce la indeterminacion, se puede

41. romper la indeterminacion derivando las funciones del numerador y del denominador.
Dicho matematicamente:
en el supuesto de que exista el segundo limite.
Cuando la indeterminacion es del tipo ∞ - ∞ se puede convertir en 0/0 haciendo esta
operacion:
f(x) - g(x) = (1/g(x) - 1/f(x))/(1/(f(x)g(x)).
Cuando la indeterminacion es del tipo 0 *∞ se puede convertir en 0/0 o ∞ / ∞ haciendo
esta operacion:
f(x) * g(x) = (g(x))/(1/(f(x)).
0
0
Cuando la indeterminacion es de la forma 0 , ∞ o 1∞ se puede convertir en la forma 0
*∞ aplicando logaritmos a la función, y despues se puede resolver aplicando la
transformacion anterior.
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42. LOGRO : ANGULOS
EXAMEN EN PAREJAS
NOMBRE : __________________________________ FECHA_________
1. Graficar en el plano: 50º, - 80º, 120º, - 340º, - 130º, 220º, - 15º
2. Encontrar el ángulo coterminal de: 3456º, 834º, 75624º, graficar
3. Encontrar el complemento de : 34º 124´ 134”
4. Encontrar el suplemento de : 134º 568´384”
5. Transformar a grados o a radianes : 3 / 5 π Rad.
68º 346´ 486”
36º 128´ 246”
, 14 / 7 π Rad. , 86º, 190º
____________________________________________________________________
LOGRO : ANGULOS EXAMEN EN PAREJAS
NOMBRE : __________________________________ FECHA_________
1. Graficar en el plano: 50º, - 80º, 120º, - 340º, - 130º, 220º, - 15º
2. Encontrar el ángulo coterminal de: 3456º, 834º, 75624º, graficar
3. Encontrar el complemento de : 34º 124´ 134”
4. Encontrar el suplemento de : 134º 568´384”
5. Transformar a grados o a radianes : 3 / 5 π Rad.
68º 346´ 486”
36º 128´ 246”
, 14 / 7 π Rad. , 86º, 190º
____________________________________________________________________
LOGRO : ANGULOS EXAMEN EN PAREJAS
NOMBRE : __________________________________ FECHA_________
1. Graficar en el plano: 50º, - 80º, 120º, - 340º, - 130º, 220º, - 15º

43. 2. Encontrar el ángulo coterminal de: 3456º, 834º, 75624º, graficar
3. Encontrar el complemento de : 34º 124´ 134”
68º 346´ 486”
4. Encontrar el suplemento de : 134º 568´384”
36º 128´ 246”
5. Transformar a grados o a radianes : 3 / 5 π Rad.
, 14 / 7 π Rad. , 86º, 190º
____________________________________________________________________
LOGRO : ANGULOS EXAMEN EN PAREJAS
NOMBRE : __________________________________ FECHA_________
1. Graficar en el plano: 50º, - 80º, 120º, - 340º, - 130º, 220º, - 15º
2. Encontrar el ángulo coterminal de: 3456º, 834º, 75624º, graficar
3. Encontrar el complemento de : 34º 124´ 134”
68º 346´ 486”
4. Encontrar el suplemento de : 134º 568´384”
36º 128´ 246”
5. Transformar a grados o a radianes : 3 / 5 π Rad.
LOGRO 1 : ANGULOS
, 14 / 7 π Rad. , 86º, 190º
EXAMEN INDIVIDUAL 1
NOMBRE : __________________________________ FECHA_________
1. Graficar en el plano: 68º, - 46 140º, - 340º, 200, - 120º
2. Encontrar el ángulo coterminal de: 13857º, 2350º, 5687º, 45689º graficar
3. Encontrar el complemento de : 54º 224´ 334” ; 126º 369`589´´
4. Encontrar el suplemento de : 169º 668´584” 35º 561`999´´
5. Transformar a grados o a radianes : 8 / 5 π Rad. , 15 / 6 π , 150º, 60º
____________________________________________________________________
LOGRO : ANGULOS EXAMEN INDIVIDUAL
2
NOMBRE : __________________________________ FECHA_________
1. Graficar en el plano: 50º, - 80º, 120º, - 340º, 220º, - 150º
2. Encontrar el ángulo coterminal de: 75624º, 2250º, 6890º, 46897º,graficar
3. Encontrar el complemento de :
68º 346´ 486” ; 146º 221`566´´
4. Encontrar el suplemento de : 134º 568´ 1384” ; 22º 66´889´´
5. Transformar a grados o a radianes :
14 / 7 π Rad. , 12 / 4 π , 160º, 300º
____________________________________________________________________

44. LOGRO : ANGULOS EXAMEN INDIVIDUAL 3
NOMBRE : __________________________________ FECHA_________
1. Graficar en el plano: 120º, - 130º, -220º, 15º, 200º, -136º
2. Encontrar el ángulo coterminal de: 93456º , 2651º, 15689º, 458123º,graficar
3. Encontrar el complemento de : 34º 124´ 734” ; 121º 111´658´´
4. Encontrar el suplemento de : 136º 628´ 746” ; 35º 555´699´´
5. Transformar a grados o a radianes : 13 / 5 π Rad. , 90 / 4 π , 60º, 160º
____________________________________________________________________
LOGRO : ANGULOS EXAMEN INDIVIDUAL 4
NOMBRE : __________________________________ FECHA_________
1. Graficar en el plano: 50º - 340º, 220º, - 15º, 120º, -180º
2. Encontrar el ángulo coterminal de: 83476º , 2222º, 1350º, 458791º graficar
3. Encontrar el complemento de : 34º 724´ 534” ; 156º 56´ 758´´
4. Encontrar el suplemento de : 124º 1568´ 384” ; 65º 333´ 568´´
5. Transformar a grados o a radianes : 9 / 2 π Rad., 3 / 4 π, 280º, 600º
EXAMEN DE GRAFICAS DE FUNCIONES
Encontrar la grafica de las siguientes funciones :

45. EXAMEN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

46. TALLER DE MATEMÁTICAS

47. FACTORIZAR Y SIMPLIFICAR
3a b
1.
2 a 2 x +2 a 3
xy
2.
2
3 x y −3 x y 2
3.
2 a x +4 b x
3 a y +6 b y
x 2 −2 x −3
4.
x −3
5.
10 a 2 b 3 c
80 ( a 3 −a 2 b )
6.
x 2 −4
5 a x +10 a
3 x 2 −4 x −15
7.
x 2 −5 x +6
x 2 −y 2
8.
x 2 +2 x y + y 2
3 x 2 y +15 x y
9.
x 2 −25
a 2 − 4 a b +4 b 2
10.
a 3 −8 b 3
6 x 2 +5 x −6
11.
15 x 2 − 7 x −2
x 2 −4
x 2 −2 x
12.
x 2 − 9 x +20
13.
x 2 + x −20
x 2 − 5 x −6
14. 2
x −2 x −3
15.
3 x 2 −27 x +24
2 x 3 −16 x 2 +14 x
12 x 2 −19 x +4
16.
6 x 2 −17 x +12

48. GRAFICAR. 
Los valores para casi todos es 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6
x
1. y = 4
12. y = 2
2. x = - 3
13. y = 3 1 / x
3. y = 2 x – 1
14. y = 2 log x ( x = 10, 100, 1000,
10000, 105 , 10 6 )
4. y = - x + 2
5. y = x 2 + 2
15. y =  x 
6. y = - 2 x2 – 1
16. y = x / 2
7. y = 2 x2 + x – 2
17. y = - 3 x / 4
3
8. y = x – 1
18. y = [ x ]
3
9. y = - 2 x + 1
19.
4
10. y = x + 2 x – 3
11. y = 2 sen θ
( θ = 30º, 60º, 90º, -
90º , -60º, 180º )
y =
2x
(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10 )
20. y =
x +1
2 x2 −2
GRAFICAR. 
Los valores para casi todos es 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6
11. y = 2 cos θ
1. y = 2
2. x = - 4
( θ = 30º, 60º, 90º, -
90º , -60º, 180º )
3. y = 3 x – 1
12. y = 3
4. y = - x - 1
13. y = 2 1 / x
5. y = x 2 - 2
14. y = - 2 log x ( x = 10, 100, 1000,
2
6. y = - 3 x – 2
7. y = 3 x2 + x – 1
3
8. y = x + 1
3
9. y = - x + 2
4
10. y = x + x – 2
x
10000, 105 , 10 6 )
15. y = 3. x 
16. y = x / 3
17. y = - 4 x / 3
18. y = [ x ]

49. 19.
y=
x
(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10 )
20. y =
x −1
x2 −2
GRAFICAR.
Los valores para casi todos es 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6
1. y =
12. y =
2. x =
13. y =
3. y =
14. y =
( x = 10, 100,
1000, 10000, 105 , 10 6 )
4. y =
5. y =
15. y = 
6. y =
16. y =
7. y =
17. y =
8. y =
18. y = [ x ]
9. y =
19.
10. y =
11. y =
- 90º , -60º, 180º )

(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10 )
( θ = 30º, 60º, 90º,
20.
y=
x
x
GRAFICAR.
Los valores para casi todos es 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6
1. y =
8. y =
2. x =
9. y =
3. y =
10. y =
4. y =
11. y =
5. y =
6. y =
7. y =
- 90º , -60º, 180º )
12. y =
( θ = 30º, 60º, 90º,

50. 13. y =
17. y =
14. y =
( x = 10, 100,
1000, 10000, 105 , 10 6 )
15. y = 
18. y = [ x ]
19.

16. y =
(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10 )
20.
y=
x
x
GRADO 10º
•
Ecuaciones trigonométricas
•
PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS
Gráfica de funciones
TRIGONOMETRÍA
UNIDAD 2 : INTRODUCCIÓN A LA
CONTENIDO
UNIDAD 0 : REPASO DE CONCEPTOS
GEOMETRÍA ANALÍTICA
•
o
•
•
•
•
Radianes y grados
•
Intersección entre dos rectas
o
Angulo coterminal
Punto medio
o
Ángulos positivos y negativos
Ecuación de la recta
o
Conceptos básicos de Geometría
Pendiente
o
ecuaciones cuadráticas
Hipotenusa
o
Raíces Reales y Complejas de
Distancia entre dos puntos
o
NUMERICOS
•
LINEA RECTA
Angulo de intersección
Cónicas
o
Circunferencia
o
Parábola
o
Elipse
o
UNIDAD 1 : TRIGONOMETRÍA
Hipérbole
•
Teorema de Pitágoras
•
Triángulos Rectángulos
•
Relaciones trigonométricas
•
Resolución de triángulos
•
Problemas de aplicación
•
Encuesta
•
Angulo de depresión y ángulo de
•
Muestreo
elevación
•
Frecuencia Absoluta
•
Frecuencia relativa
•
Gráficos
•
Moda, mediana y media
•
Análisis
•
Teorema del Seno y teorema del
Coseno
•
Semiperímetro y área
•
Identidades trigonométricas
UNIDAD 3. ESTADÍSTICA

51.  Exposiciones
METODOLOGÍA
 Trabajos individuales y en grupo
 Exámenes en parejas e individuales
 Quizes con y sin previo aviso
 Participación
 cuaderno
 Dinámicas y juegos didácticos.
TALLER DE TRIGONOMETRIA
I . Llenar el siguiente cuadro, completando los datos que faltan de las ternas
pitagóricas.
a
b
16
280
440
192,3
25,13
184,6
840,9
896,87
h
34
296
442
320,5
313,62
a
b
18
h
106
513,9
569,7
1696,8
476,6
676,65
99,99
101,98
II. Dibujar y realizar los siguientes problemas
1. La distancia entre los edificios es 2,5 √ 6 m, si queremos conseguir una
escalera que alcance, una altura de 4,5 m del otro edificio. ¿ Cuál es la
longitud de la escalera?
2. Cuantos metros necesita un trabajador para tender una línea telefónica de la
parte superior de un poste de 15 m de altura, a un punto situado a 8 m de la
base del poste?

52. 3. Una persona coloca una escalera de 18 m sobre la pared de una casa. La
base de la escalera esta a 5 m de la pared. A que altura esta la escalera?
III. Completar la siguiente figura.