Trabajo de Karbey Alvarez

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Antonio José de Sucre
Extensión San Cristóbal
Aplicación de la derivada
Nombres: Karbey Josiel
Apellidos: Alvarez Molina
C.I: 30.443.627

2. Índice
Introducción........................................................................................................ 3
La Derivada........................................................................................................ 4
Historia de la Derivada.................................................................................... 4
Siglo XVII........................................................................................................ 5
Newton y Leibniz ............................................................................................ 5
Concepto y Aplicaciones................................................................................. 5
Variación de una función ................................................................................ 6
Derivada de una función en un punto ............................................................. 7
Interpretación geométrica de la derivada........................................................ 7
Derivadas laterales ......................................................................................... 8
Aplicaciones de la derivada ............................................................................ 8
 Tasa de variación: .................................................................................... 8
 Punto Crítico:............................................................................................ 9
 Determinación de valores mínimos y máximos: ....................................... 9
 Método de Newton: .................................................................................. 9
 Aplicaciones en el ámbito del comercio:................................................... 9
 Aproximación lineal: ................................................................................. 9
Conclusión........................................................................................................ 10
Bibliografía ....................................................................................................... 11

3. Introducción
El cálculo de las derivadas está unido a dos grandes matemáticos: Newton y
Leibniz.
Ambos resolvieron los dos problemas origen del Cálculo Infinitesimal: el
problema del movimiento no uniforme y el problema de encontrar la tangente a
una curva en un punto de la misma.
Gracias al cálculo de derivadas es posible resolver problemas en los que
intervengan dos magnitudes y queramos determinar el valor de una de ellas
para que la otra alcance un valor máximo o mínimo.

4. La Derivada
La derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que
varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su
variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es
decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en
cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente
se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de
una función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función
representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la
velocidad de dicho objeto para todos los momentos. Un avión que realice un
vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una
velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a
velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si
entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es
de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo,
es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez
menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y
las 15:21.
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede
interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es, a
su vez, la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de
dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de
funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
Historia de la Derivada
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron
a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se
encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos
después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico
que le dieron origen:
 El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
 El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)

5. En su conjunto dieron origen a lo que actualmente se conoce como cálculo
diferencial.
Siglo XVII
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos les habían tenido a los
infinitesimales: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros
en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al
descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez
más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas,
volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al
integral.
Newton y Leibniz
A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos
usados por sus predecesores, en lo que hoy llamamos «derivada» e «integral».
La historia de la matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibniz son
los creadores del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para
manipular las derivadas (reglas de derivación) e Isaac Barrow demostró que la
derivación y la integración son operaciones inversas.
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de
tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas
que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a
reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los
infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad
con la que una variable “fluye” (varía) con el tiempo.
Gottfried Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en
1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton
descubriera 10 años antes, de manera independiente. En su investigación
conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente
incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia
con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.
Concepto y Aplicaciones
El concepto de derivada es uno de los conceptos básicos del análisis
matemático. Los otros son los de integral definida e indefinida,sucesión; sobre
todo, el concepto de límite. Este es usado para la definición de cualquier tipo de
derivada y para la integral de Riemann, sucesión convergente y suma de una

6. serie y la continuidad. Por su importancia, hay un antes y un después de tal
concepto que biseca las matemáticas previas, como el álgebra, la trigonometría
o la geometría analítica, del cálculo. Según Albert Einstein, el mayor aporte que
se obtuvo de las derivadas fue la posibilidad de formular diversos problemas de
la física mediante ecuaciones diferenciales.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en
aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el
cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo
fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias
sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la
gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de
la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de
esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que
determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta
secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse
muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como
monotonía de una función (si es creciente o decreciente) y la concavidad o
convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos.
Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una
tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente,
gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones prácticas
son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de
derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola
variable), son aproximables linealmente.
Variación de una función
Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de
su dominio x1 y x2, siendo x1 < x2, a la diferencia f (x2) - f (x1). Cuando esta
diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la
función es decreciente.
Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f
(x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:

7. El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por
los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)).
Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos
entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal
caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor
infinitamente pequeño.
Derivada de una función en un punto
Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama
derivada de la función en ese punto, denotada como f ¿ (a), al siguiente límite:
Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas
siguientes:
Interpretación geométrica de la derivada
La definición de derivada tiene mucho que ver con el concepto de variación
instantánea. Teniendo en cuenta que el cociente:
Expresa la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f(b)), es lógico
pensar que si b y a están muy próximos entre sí, separados por un valor h que
tiende a cero, esta recta se aproximará a la recta tangente a la función en el
punto x = a.
Tal es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un
punto: coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho
punto.

8. La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la
recta tangente a la función en dicho punto.
Derivadas laterales
Como sucedía con los límites, se pueden definir los conceptos de derivadas
laterales de una función en un punto.
Dada una función f (x) y considerado un punto a de su dominio de definición,
se define su derivada por la derecha, y se denota como f ¿ (a+), al límite
siguiente:
Por su parte, la derivada por la izquierda de f (x) en el punto a, denotada por
f ¿ (a-), se define como el siguiente límite:
Una función se dice derivable cuando tiene derivadas por la derecha y por la
izquierda, y sus valores coinciden.
Aplicaciones de la derivada
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la
pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada
para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función,
concavidad y convexidad, etc.
La determinación de las derivadas no está limitada solamente a un punto
de vista teórico para que de esta forma los estudiantes puedan entender
distintos temas de las matemáticas, sino que hay una serie de aplicaciones
vitales de las derivadas en ejemplos de la vida real. Las derivadas encuentran
un lugar vital en la ingeniería, física e incluso en los negocios y la economía,
etc. Algunas de las aplicaciones más notables de las derivadas se explican a
continuación:
 Tasa de variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas.
Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de
variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto.
De manera similar la tasa de cambio de la velocidad de un punto se conoce

9. como la aceleración del mismo. La velocidad de un punto se despeja como
aquí x es el punto cuya velocidad será calculada y t representa el intervalo
de tiempo.
 Punto Crítico: El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que
incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto
crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en
absoluto.
 Determinación de valores mínimos y máximos: A este proceso se le
denomina optimización. Existen una serie de problemas que requieren la
determinación de los valores mínimos y máximos de alguna función tal
como la determinación del menor costo, aproximación del menor tiempo,
cálculo de mayor ganancia, etc. Puede existir un mínimo local / punto
máximo que se denomina mínimo relativo / máximo punto o mínimo global /
máximo punto que se le llama como mínimo absoluto / punto máximo. El
máximo absoluto es uno, para todos los puntos del dominio de la función.
Mientras que un punto máximo relativo es uno, para todos los puntos en un
período abierto en las proximidades de x igual a c.
 Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el
método de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una
ecuación en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución
encontremos una solución mejor y más adecuada como raíz de la ecuación.
Este envuelve también el uso de algunos términos de las Series Taylor.
 Aplicaciones en el ámbito del comercio: Existe una gran cantidad de
lugares en el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que el
objetivo final del comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las
pérdidas, la teoría de máximos y mínimos puede utilizarse aquí para evaluar
la respuesta correcta y así aumentar la productividad total del comercio.
También resulta conveniente analizar el costo promedio de un artículo lo
que puede ayudar al aumento de la ganancia.
 Aproximación lineal: Es una serie de ramas de la física, como es el caso
de la óptica, la aproximación lineal juega un papel vital. En este utilizamos
una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier
función general. Esta es más comúnmente conocida como una aplicación
de la recta tangencial al gráfico de cualquier función lineal.

10. Conclusión
El concepto de derivada es importante comprender y derivar fórmulas, que a
su vez tienen una importante aplicación en cualquier campo de trabajo y la
ciencia en general. El propósito principal de un derivado es optimizar los
sistemas que se expresan por las funciones más o menos complejo. Además,
es habitual encontrar la derivada de aplicar los valores máximos y mínimos de
ciertas expresiones matemáticas. Finalmente, los derivados son útiles para la
búsqueda de los intervalos de aumento o disminución del valor de interés cada
vez que se puede expresar por funciones.

11. Bibliografía
Actividadesinfor. (s.f.). actividadesinfor.webcindario.com. Obtenido de
actividadesinfor.webcindario.com:
https://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm
Cecyt3. (s.f.). cecyt3.ipn.mx. Obtenido de cecyt3.ipn.mx:
https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/u3tipos.html
Derivadas. (s.f.). www.derivadas.es. Obtenido de www.derivadas.es:
https://www.derivadas.es/aplicaciones-de-la-
derivada/#:~:text=La%20derivada%20tiene%20una%20gran,Ejemplo%3A&text
=Por%20el%20criterio%20de%20la%20primera%20derivada.
Hiru. (s.f.). hiru.eus. Obtenido de hiru.eus:
https://www.hiru.eus/es/matematicas/derivada-de-una-funcion
Khanacademi. (s.f.). es.khanacademy.org. Obtenido de es.khanacademy.org:
https://es.khanacademy.org/math/differential-calculus/dc-context-app
Recursostic. (s.f.). recursostic.educacion.es. Obtenido de
recursostic.educacion.es:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivada_
de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm