El documento presenta información sobre funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas y sus aplicaciones. Las funciones exponenciales se usan para modelar crecimiento de poblaciones y datación por carbono-14. Las funciones logarítmicas se usaron originalmente para simplificar multiplicaciones y ahora se usan para medir la magnitud de terremotos. La trigonometría se usa en ingeniería, astronomía y otras áreas. Las funciones hiperbólicas describen la forma de cables colgantes.

1. Instituto Universitario Tecnológico Antonio José de Sucre
Barquisimeto – Lara
Venezuela
Yosneiver José
Función exponencial
Las funciones exponenciales son muy útiles en situaciones del mundo real.
Las funciones exponenciales se utilizan en modelado de poblaciones, en la
arqueología a establecer la fecha de los hallazgos, mediante la prueba del carbono
14 a los médicos forenses les ayuda a determinar el tiempo de la muerte, calcular
las inversiones, así como muchas otras aplicaciones.
• El enfriamiento de un cuerpo
La ley del enfriamiento de los cuerpos de Newton establece que el
enfriamiento de un cuerpo es proporcional, en cada instante, a la diferencia con la
temperatura ambiente.
La ley dice que si T0 es la temperatura inicial con que introducimos un cuerpo
en un ambiente con una temperatura de Ta grados, al cabo de un tiempo t la
temperatura del cuerpo es
T(t) = Ta + (T0 − Ta) e−α t
donde α es una constante, llamada la constante de enfriamiento, y que es particular
de cada cuerpo.
Una aplicación interesante de esta ley consiste en determinar el instante de
fallecimiento de una persona, después de algunas horas de muerta. Esta información
es de crucial importancia en criminología y en estudios forenses.
El escenario de un crimen puede variar de manera muy importante según que
un crimen haya ocurrido a una hora u otra. La idea se basa en que los mamíferos,
cuando estamos vivos, tenemos una temperatura muy estable e igual a T0 = 37 ºC.
Al morir, la temperatura corporal comienza a descender hasta alcanzar la
temperatura ambiente Ta.

2. Crecimiento de poblaciones
Muchas veces los científicos se iniciarán con un cierto número de bacterias o
de los animales y ver cómo la población crece. Por ejemplo, si la población se duplica
cada 5 días, esto puede ser representado como una función exponencial. La mayoría
de la población implican el uso de modelos el número e.
Forma general para los modelos poblacionales. La mayor parte del tiempo,
empezamos con una ecuación que parece
P = Po ekt
P representa la población después de una cierta cantidad de tiempo
Po representa la inicial de la población o la población al principio
k representa el crecimiento (o decadencia) tasa
t representa la cantidad de tiempo
Recordemos que e no es una variable, tiene un valor numérico. No se
reemplace por otro valor.
• Desintegración radioactiva
Algunos átomos son inestables y se desintegran espontáneamente emitiendo
radiaciones. Se ha observado que el tiempo en que determinada substancia se
reduce a la mitad, llamado vida media, es una constante característica de ella e
independiente de la cantidad que haya.
La ley de Rutherford sobre la desintegración radiactiva dice que el número de átomos
de un elemento radiactivo transformados en un tiempo determinado es proporcional
al número de átomos de ese elemento que estén presentes en la substancia, en
particular, la fórmula que describe la desintegración es de la forma:
N(t) = N0 e−k t
donde N0 es la población inicial, y k es la constante de desintegración radiactiva.
La vida media de los elementos radiactivos puede utilizarse a veces para
determinar la fecha de sucesos del pasado de la Tierra. Las edades de las rocas de
más de 2000 millones de años pueden establecerse mediante la desintegración
radiactiva del uranio (de 4500 millones de años de vida media).

3. En un organismo vivo, cada gramo de carbono contiene 10−6
gramos de C14
. Tras su
muerte, el organismo deja de absorber carbono y la proporción de C14
decrece a
medida que se va desintegrando. Su vida media es de unos 5730 años, de modo
que es posible estimar la edad de restos orgánicos: los arqueólogos han fechado así
conchas, semillas, objetos de madera, o la fecha en que se realizaron pinturas
rupestres.
Logaritmo
John Napier (1550-1617) fue un hacendado escocés para quien las
matemáticas eran un pasatiempo. Hoy día se le conoce principalmente como el
inventor de los logaritmos. Publicó su invención en 1614 bajo el título de A
Description of the Marvelous Rule of Logarithms. En tiempos de Napier los
logaritmos se utilizaban exclusivamente para simplificar cálculos complicados. Por
ejemplo para multiplicar dos números grandes los escribimos como potencias de
10. Los exponentes son simplemente los logaritmos de los números. Por ejemplo,
4532 × 57783 ≈ 104.76180
= 104.76180
≈ 261,872,564
La idea es que es fácil, multiplicar potencias de 10 (simplemente sumamos
sus exponentes) Napier elaboró extensas tablas dando los logaritmos (o
exponentes) de los números. Desde el advenimiento de las calculadoras y las
computadoras, los logaritmos ya no se utilizan para este fin. Sin embargo, las
funciones logaritmo, han encontrado muchas aplicaciones.
El cálculo de la magnitud de un terremoto, utiliza una escala logarítmica para
medir la magnitud de un terremoto.
La escala de Richter* es una forma de convertir las lecturas sismográficas en
números que proporcionen una referencia sencilla para medir la magnitud M de un
terremoto. Todos los terremotos se comparan con un terremoto de nivel cero cuya
lectura sismográfica mide 0.001 de milímetro a una distancia de 100 kilómetros del
epicentro. Un terremoto cuya lectura sismográfica mide x milímetros tiene una
magnitud M(x) dada por

4. 𝑀( 𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 (
𝑥
𝑥0
)
Donde 𝑥0 = 10−3
es la lectura de un terremoto de nivel cero a la misma
distancia del epicentro.
Trigonometría
La trigonometría fue desarrollada por astrónomos griegos que consideraban
al cielo como el interior de una esfera, de modo que resultó natural estudiar
primero los triángulos sobre una esfera (por Menelao de Alejandría, año 100 a de
C ) y que los triángulos en el plano fueran estudiados mucho después. El primer
libro que contiene un tratamiento sistemático de trigonometría plana y esférica fue
escrito por el astrónomo persa Nasír ed-dín (alrededor del 1250 a. C).
Regiomontano (1436-1476) es el autor principal a quien se debe el traslado de la
trigonometría astronómica a tas matemáticas. Su trabajo fue mejorado por
Copérnico (1473-1543) y por el alumno de Copérnico. Rhaeticus (1514-1576). La
obra de Rhaeticus fue la primera en definir las seis funciones trigonométricas como
razones entre lados de triángulos, aunque no le dio a las funciones sus nombres
actuales. El crédito de esto se lo lleva Thomas Fincke (1583), pero en su época esa
notación no fue aceptada universalmente. La notación quedó establecida a partir
de los libros de texto de Leonardo Euler (1707-1783).
Desde entonces la trigonometría ha venido evolucionando desde su uso por
agrimensores, navegantes e ingenieros, hasta las aplicaciones actuales corro el
movimiento de las mareas en los océanos, el alza y caída de los recursos
alimenticios en determinadas condiciones ecológicas, patrones de ondas cerebrales
y muchos otros fenómenos.
Hay dos enfoques aceptados ampliamente para el desarrollo de las
funciones trigonométricas: uno utiliza círculos, en especial el círculo unitario; el
otro se vale de los triángulos rectángulos. La trigonometría del triángulo rectángulo
es un caso especial del enfoque del círculo unitario.

5. En la ingeniería Civil se emplean para los cálculos en las estructuras, que
generalmente están compuestas por triángulos, estas son las funciones que menos
requieren presentación en cuanto a sus aplicaciones puesto que su reputación las
precede desde la invención de las mismas.
La trigonometría es una de las ramas más versátiles de las matemáticas.
Desde su invención en la antigüedad, ha sido importante tanto en aplicaciones
teóricas como prácticas. En los tiempos modernos se ha aplicado en campos tan
diversos como el procesamiento de señales en la industria telefónica, la codificación
de música en reproductores de discos compactos, la determinación de las distancias
a las estrellas, el diseño de sistemas de navegación en el transbordador espacial, la
producción de rastreos CAT para uso médico y muchos otros. Es una herramienta
indispensable para los ingenieros electricistas, los físicos, los científicos de la
computación y prácticamente para todas las ciencias. El poder y la versatilidad de la
trigonometría provienen del hecho de que puede considerarse de dos maneras
diferentes. Una de ellas define la trigonometría como el estudio de funciones de
números reales; la otra, como el estudio de funciones de ángulos. Las funciones
trigonométricas definidas en estas dos formas son idénticas: asignan el mismo valor
a un número real dado (en el segundo caso, el número real es la medida de un
ángulo).
Hiperbólicas
Si se considera un cable que soporta una carga uniformemente distribuida a
lo largo del mismo cable. Los cables que cuelgan bajo la acción de su propio peso
están cargados de esta forma. Como lo son los cables en las redes de transmisión
eléctrica y los cables en los puentes colgantes, donde las fuerzas están ejercidas
solo en sus extremos y a lo largo del cable mediante su propio peso, la ecuación que
describe la forma que toma este tipo de cable se le llama catenaria y es formada por
una función hiperbólica, veamos:

6. 𝑦 = 𝑐 𝐶𝑜𝑠ℎ
𝑥
𝑐
El Gateway Arch en San Luis, Missouri, tiene la forma de la gráfica de una
combinación de funciones exponenciales (no de una parábola como pudiera
parecer a primera vista). Específicamente se trata de una catenaria,