Electrostatica final

Departamento Electrotecnia
Materia: Teoría de los Campos
Prof.: Mg. Ing. Eduardo Guillermo
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Bahía Blanca
ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
1

2
Las fuerzas de campo pueden actuar a través del espacio, produciendo algún efecto
pese a que no exista contacto físico entre los objetos que actúan entre sí.
Ej: el campo gravitatorio. Una masa m experimenta una fuerza gravitatoria debido a la presencia
de otras masas. El efecto de esas otras masas sobre m se transmite a través de un campo
gravitatorio g generado en el espacio por la existencia de las otras masas. Así, puede definirse al
campo gravitacional g en un punto del espacio como la fuerza gravitacional Fg actuando sobre
una partícula de prueba de masa m dividido esa masa:
m
gF
=g
•El campo gravitatorio es la aceleración en caída libre debido a la gravedad en el punto en
cuestión.
•La expresión específica para el campo gravitatorio depende de la forma y distribución de las
masas que crean el campo, y no de la masa m colocada en el campo.
•La existencia de la masa m no altera la forma y distribución de las masas generadoras del
campo bajo observación.
•Las masas sobre las que se realiza un estudio de pesos, caída libre, etc. aún siendo enormes,
son insignificantes con respecto a la masa de la tierra y, por tanto, su efecto sobre aquélla es
absolutamente despreciable.
El concepto de campo fue desarrollado por Michael Faraday (1791-1867) en relación con las cargas eléctricas
FUERZAS DE CAMPO

3
Que es?
Es un principio experimental basado en la balanza de torsión de
Cavendish para la medición de la constante de gravedad, reemplazando
esferas eléctricamente neutras por esferas cargadas
Modelo cuantitativo de la interacción entre cargas eléctricas
Permite comparar y medir cargas eléctricas
Características del modelo
cargas eléctricas puntuales: su tamaño es mucho menor que la
distancia que las separa
cargas en reposo: r1 y r2 constantes
fuerza en la dirección que une las cargas
fuerza newtoniana
proporcional a la inversa de la distancia al cuadrado
rango de validez 10-15m – 103m
LEY DE COULOMB
r1
r2

4
LEY DE COULOMB
Propiedades de la fuerza de interacción
r1 r2
x y
z
F12 F21
q1q2<0F12
q1q2>0
q1 q2
r = r1-r2
F12 colineal con
atractiva si
repulsiva si
módulo de la fuerza:
proporcional al producto
inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia
expresión matemática:
021 >qq
021 <qq
21 qq
2
12
21
12
PP
qq
∝F
12PP
3
21
21
21
21
21
2
21
21
2
21
21
12
ˆ
rr
rr
rr
rr
rr
r
rr
F
−
−
=
−
−
−
=
−
= qqk
qq
k
qq
k eee
04
1
πε
=ek
2112 FF −=fuerza newtoniana (3° ley de Newton)
P1 P2

5
LEY DE COULOMB
Principio de superposición
Principio general
La superposición de causas da lugar a la suma
de efectos
Principio de superposición en electrostática
Cada carga ejerce una fuerza electrostática
elemental Fi sobre q (ley de Coulomb)
La fuerza electrostática total sobre la carga q
es la suma de las Fi
∑∑ == −
−
==
N
i i
i
i
N
i
i q
q
1
3
01 4 rr
rr
FF
πε
qn
qi
q1
r ri
x y
z
Fi q
sistema de
cargas “fuente”
F1
Fn
P1
Pn
Pi
F
carga
prueba 0ε

6
Campos Eléctricos Estáticos
Para el espacio libre sólo tenemos que considerar una de las cuatro cantidades
de campo vectoriales fundamentales del modelo electromagnético, la intensidad
de campo eléctrico E
La intensidad de campo se define como la fuerza por unidad de carga que
experimenta un carga de prueba estacionaria muy pequeña (tal que no perturbe
la distribución de carga fuente) al colocarse en una región donde existe un campo
eléctrico
qq
F
E
0
lim
→
= (N/C) ó (V/m)
la intensidad de campo es proporcional a la fuerza y tiene su misma
dirección. La inversa sería:
EF q= (N)

7
Campo eléctrico de cargas puntuales
•las cargas fuente provocan una “perturbación” en el espacio, detectada
como fuerza electrostática sobre la carga de prueba q
•el campo eléctrico describe la perturbación (independiente de q)
qn
qi
q1
r ri
x y
z
∆F
∆q
sistema de
cargas “fuente”
P1
Pn
Pi
E(P)
0ε
P
El campo eléctrico o fuerza
electrostática en P, por unidad de
carga será:
Para cualquier punto del espacio:
PP
q dq
d
q
P
FF
E =
∆
∆
=
→∆ 0
lim)(
∑=
−
−
=
N
i
i
i
iq1 3
04
1
)(
rr
rr
rE
πε

8
Campo eléctrico de cargas puntuales
Principio de superposición
el campo eléctrico total es la suma de
los campos creados por cada qi
P
i
q
i
q
P
∆
∆
=
→∆
F
E
0
lim)(
∑∑ == −
−
==
N
i i
i
i
N
i
i q
1
3
01 4
1
)(
rr
rr
ErE
πε
qn
qi
q1
r ri
x y
z
∆Fi
∆q
sistema de
cargas
“fuente”
P1
Pn
Pi
E(P)
0ε
PEi(P)
Fuerza en términos de campo
•para carga puntual q en P
•para carga q distribuida en Ω
)()( PqP EF =
∫∫ ΩΩ
Ω
′′== )(rEFF qdd

9
Ejemplo de cálculo de campo eléctrico de cargas puntuales
Se disponen siete cargas eléctricas iguales en los vértices de un octógono regular
situado en el plano OXY, con centro en el origen, quedando vacío el octavo vértice,
situado en
¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro
del octógono? y en los demás puntos del eje OZ?
ir ˆ
8 a=
( ) ( )OO 4EE = ( )
( )
)(
ˆˆ7
4 2
3
22
0
z
az
azq
Pz E
ik
E =
+
+
=
πε
( ) E(0)iE == ˆ
4 2
0
0
a
q
P
πε

10
Campo eléctrico de distribuciones continuas
Campo de distribución volumétrica
distribución “fuente” dada por
en cada P´ de la distribución “fuente”
hay una carga infinitesimal
ésta produce en P un elemento de
campo eléctrico (perturbación
infinitesimal):
por el principio de superposición:
τdPqd )(ρv
′=′
( )
3
04
1
rr
rr
E
′−
′−′
=
qd
d P
πε
( )
∫∫ ′
′−
′−′
=→=
ff
ddP
ττ
τ
πε 3
v
0
)(ρ
4
1
)()(
rr
rrr
rEEE
)(ρρ vv r′=

11
Campo de distribución superficial
infinitesimal):
( )
∫∫ ΣΣ
′
′−
′−′
=→=
ff
SddP 3
S
0
)(ρ
4
1
)()(
rr
rrr
rEEE
πε
)(ρρ ss r′=
SdPqd ′′=′ )(ρS
( )
3
04
1
rr
rr
E
′−
′−′
=
qd
d P
πε

12
Campo de distribución lineal
infinitesimal):
( )
∫∫ ΓΓ
′
′−
′−′
=→=
ff
lddP l
3
0
)(ρ
4
1
)()(
rr
rrr
rEEE
πε
)(ρρ r′= ll
ldPqd l
′′=′ )(ρ
( )
3
04
1
rr
rr
E
′−
′−′
=
qd
d P
πε

13
Postulados fundamentales de la electrostática en el espacio libre
( )
( ) 0II
ρ
I
0
v
=×∇
=⋅∇
E
E
ε
(en el espacio libre)
los campos eléctricos estáticos son irrotacionales
un campo eléctrico estático no es solenoidal a menos que ρv=0
esto es independiente del sistema de coordenadas elegido
Tomando la integral de volumen a ambos lados del primer postulado:
Teniendo en cuenta el teorema de la divergencia se transforma en:
∫∫ =⋅∇
VV
dvdv ρ
1
V
0ε
E
0ε
q
d
S
∫ =⋅ SELey de Gauss 

14
Ejemplo de cálculo de campo eléctrico de cargas continuas
Determinar la intensidad de campo eléctrico de una línea de
carga recta, infinitamente larga, en el aire y con una
densidad lineal de carga uniforme
y
z
z´
dz´
dE
dEr
dEz
r
R
O
P
lρ
( )
( )
rrE ˆ
2
ρ
ˆ
´
4
ρ
0
2/322
0 rzr
dzr
P ll
z
πεπε
=








′+
= ∫
∞+
∞−
x
El problema tiene simetría cilíndrica, por lo tanto:
( ) ´ρ
4
1
3
0
dl
R
P lz
R
E ∫=
πε
zrR ˆˆ zr ′−=
( ) ( )
( )
( ) ( )zErE
zr
E
ˆˆ
ˆˆ
4
ρ
2/322
0
zzzr
l
z
PdPd
zd
zr
zr
Pd
+=
=′
′+
′−
=
πε
al integrar se cancela la componente ( )zE ˆzz P

15
El campo resultante debe ser radial y perpendicular a la línea
de carga y no puede existir una componente de E a lo largo de
la línea. Se construye una superficie gaussiana cilíndrica. El
elemento de superficie, sobre la superficie gaussiana será:
Ejemplo de cálculo de campo eléctrico de cargas continuas
Resolver el mismo ejercicio anterior mediante la Ley de Gauss
rS ˆ= dzrdd φ
z
L
r
superficie
gaussiana
No hay contribución sobre la cara superior e inferior del cilindro pues no hay
campo perpendicular a dichas superficies.
La carga total encerrada por el cilindro es:
rrE ˆ
2
ρ
ˆ
0r
E l
r
πε
==→=
0
ρ
2
ε
π
L
rLE l
r
dldQ lρ=
∫∫∫ ==⋅
π
πφ
2
00
2 rr
L
S
rLEdzdrEdSE
∫∫ ==⋅ dQ
Q
d
S 00
1
εε
SELey de Gauss 

16
Fuentes de Campos Eléctricos Estáticos
Campo de una distribución general de carga
distribución de carga eléctrica discreta
(cargas puntuales) “qi” en Pi y continua Λf
distribución continua:
El campo total será:
( ) ( )








′−
′−′
+
−
−
= ∫∑
Λ= f
qdqN
i i
ii
3
1
3
04
1
)(
rr
rr
rr
rr
rE
πε
ffff ΓΣ=Λ ,,τ





Γ∈Γ′=′
Σ∈Σ′=′
∈′=′
Γ
Σ
fl
fs
fv
dPqd
dPqd
dPqd
P´si)(ρ
P´si)(ρ
P´si)(ρ τττ
Falta primar las
cargas discretas

17
Fuentes de Campos Eléctricos Estáticos
Fuentes escalares: Ley de Gauss
situación inversa: dado un campo
¿qué distribución de carga lo produce?
Ley de Gauss:
 volumen incluye todas las cargas
“fuente” de campo eléctrico
La densidad volumétrica comprensiva será:
Ley de Gauss local:
distribución de fuentes escalares de
)(rEE =
0ετ
t
S
Q
d =⋅∫ SE
τ
P
e
Q
ττ ∆
∆
=
→∆ 0
limρ 3
ℜ→∈∀ τP
)(rEE =
( ) τρ
ε
τ
ττ
dd e
1
33 0
∫∫
ℜ→ℜ→
=⋅∇ E ( ) ( )rrE eρ
1
0ε
=⋅∇

18
Condiciones del Campo Eléctrico en las Superficies
Discontinuidad de la componente normal
campo creado por fuentes en
y una
creamos una superficie gaussiana en el entorno
de P y aplicamos la Ley de Gauss
La carga en debe ser igual
al flujo neto de
)(rEE = ´τ
Σ= en)(ρρ s r
ΣS
)(rEE =
0
00
limlim
ε
τ
τ
∆
→∆→∆
=⋅∫
Q
d
h
S
h
SE
dSdd
SSS
ρ
1
s
0
)(P)(P ∫∫∫
Σ
−
Σ
−
+
Σ
+ =⋅−⋅ ΣΣ
ε
SESE
con
en cada punto de se verifica un “salto”
en la componente normal de
Σ⊥=Σ )(PdSd nS
)(rE
Σ [ ]
0
s )(ρ
)()(
ε
P
PP =⋅− −+
nEE
Σ
E(r)
ε0
ρ=ρs(r)
E(P-)
E(P+)
PQ∆τSΣ
dSΣ
-dSΣ
∆h

19
Continuidad de la componente tangencial
∆h
drΣ
ΛΣ
∆S
E(P+)
E(P-)
con )()( PPdld ntr ⊥=Σ
[ ] 0)()( =⋅− −+
tEE PP
Σ
E(r)
ε0
ρ=ρs(r)
τ
y una
creamos una circulación en el entorno
de Σ y aplicamos el teorema de Stokes
el campo estático es irrotacional
)(rEE = ´τ
Σ= en)(ρρ s r
0lim
0
=⋅∫∆
→∆
S
h
drE
0=⋅−⋅ ∫∫ −
Σ
+
Σ Λ
Σ
Λ
Σ rErE dd
( ) 0=⋅=⋅×∇ ∫∫ ΣΛ
∆
drd
S
ESE

20
n(P)
t(P)
Et
E(P+)
En
+
E(P-)
En
-
Resumen
Σ
E(r)
ε0
ρ=ρs(r)
τ´
y una
el campo eléctrico en P de Σ puede
descomponerse como:
)(rEE = ´τ
Σ= en)(ρρ s r
tn EEE +=)(P
estas componentes verifican las
siguientes condiciones de salto y
continuidad
−+
−+
=
=−
tt
nn
EE
nEE )(
)(ρ
0
s
P
P
ε

21
Potencial Electrostático
Un campo vectorial con rotacional nulo siempre puede expresarse como un gradiente
de otro campo escalar, por lo tanto podemos definir a partir de
un potencial eléctrico escalar φ:
0=×∇ E
φ−∇=E
Si conocemos φ (también llamado V ) podemos encontrar el valor del campo hallando
el gradiente de esa función escalar, con una sencilla operación de diferenciación.
El potencial se relaciona con el trabajo realizado para mover una carga de un punto a
otro, al mover esta carga hay que realizar un trabajo en contra del campo, igual a:
(J/C o V).∫ ⋅−=
2
1
P
P
e
dl
q
W
E
El valor de la integral de línea escalar del campo irrotacional o conservativo (caso del
campo electrostático) es independiente de la trayectoria. La integral anterior
representa la diferencia en energía potencial eléctrica de una unidad de carga entre
el punto P1 y el punto P2 . Si denotamos la energía potencial eléctrica por unidad de
carga por φ o V (el potencial eléctrico), tenemos:
∫ ⋅−=−
2
1
12
P
P
dVV lE

22
Potencial Electrostático
Potencial del campo creado por una carga
∫∫ ⋅−=⋅−==−
2
1
2
1
12 φφ
P
P
P
P
e
drEd
q
W
lE
rl
r
r
rE
ˆ
ˆ
4
1
)( 2
0
drd
q
=
=
πε
100
2
0
1
44
1
4
1
φ
11
r
q
r
q
dr
r
q
q
W
rr
e
πεπεπε
==−==
∞∞
∫






−==−=−=








⋅−−








⋅−=− ∫∫∫∫ ΓΓ∞∞ 2300,
2
0,
2
0
23
11
44
1
4
1
4
1
φφ
3
2
3
22
3
21
23
rr
q
r
q
dr
r
q
dr
r
q
drEdrE
r
r
r
r
r
r
rr
πεπεπεπε
P1
P3
P4
P5
P2
Γ1
Γ2
r1
r2
r3
r5
r4
El potencial del punto P1 se halla integrando
desde el infinito (potencial 0) hasta el punto:
La diferencia de potencial entre los puntos P2 y P3 será:
La diferencia de potencial entre los puntos P4 y P5 será:
Rrr
rr
q
r
q
dr
r
q
r
r
r
r
===





−==−=− ∫ 45
4500
2
0
45 ,0
11
44
1
4
1
φφ
5
4
5
4
πεπεπε
El potencial es una cantidad escalar, y su valor depende de la carga que genera el campo
y la distancia al punto considerado. Las superficies esféricas de radio R , con centro en el
punto donde se ubica la carga q , constituyen superficies de igual potencial o
equipotenciales

23
qn
qi
q1
r r´i
x
y
z
∆q
sistema de
cargas “fuente”
P1
Pn
Pi
E(P)
0ε
P
(r-r´i)
Potencial debido a sistemas de cargas
Sistema de cargas puntuales (discretas)
el potencial eléctrico total debido a un
sistema de cargas discretas es la suma de
los potenciales debidos a cada qi
∑∑ == ′−
===
N
i i
i
N
i
i
q
V
101 4
1
φ)(φ)(
rr
rr
πε
Sistema de cargas distribuidas
∫ ′−
′
==
i
qd
V
rr
rr
04
1
)(φ)(
πε
∫ ′−
==
i
l dl
V
rr
rr
´ρ
4
1
)(φ)(
0πε
∫ ′−
==
i
s dS
V
rr
rr
´ρ
4
1
)(φ)(
0πε
∫ ′−
==
i
v d
V
rr
rr
´ρ
4
1
)(φ)(
0
τ
πε

24
Potencial debido a una distribución de cargas general
distribución de carga eléctrica discreta
(cargas puntuales) “qi” en Pi y continua Λf
distribución continua:
El potencial total será:








′−
′
+
−
== ∫∑
Λ= f
qdqN
i i
i
rrrr
rr
104
1
)(φ)V(
πε
ffff ΓΣ=Λ ,,τ





Γ∈Γ′=′
Σ∈Σ′=′
∈′=′
Γ
Σ
fl
fs
fv
dPqd
dPqd
dPqd
P´si)(ρ
P´si)(ρ
P´si)(ρ τττ

25
Propiedades del potencial electrostático
Superficie equipotencial (Σvi):
lugar geométrico de todos los puntos Pi(q1,q2,q3)
con igual valor de potencial
su ecuación describe superficies en R3
Propiedades del gradiente de φ(r):
Las proyección de E(P) es la derivada direccional
de φ(r) en el entorno de P
En general: E(r) indica la dirección y sentido de la máxima disminución del
potencial
E(Pi) es perpendicular al plano tangente a la Σv equipotencial que contiene a Pi
-∇φ(P2)=E(P2)
V1=φ1
V2=φ1 +dφ
P3
P1
P2
Σv2
-dφ
dl
dl dn
Σv1
α

26
Propiedades del potencial electrostático
Propiedades del gradiente de φ(r):
Las proyección de E(P) es la derivada direccional
de φ(r) en el entorno de P:
para P3 cercano a P2 tenemos:
αφ
φ
α
φφφ
cos)(ˆ)(ˆˆ
cos)(
P
dn
d
dn
d
dl
dn
dn
d
dl
d
Pl
Elln
E
=⋅−∇=⋅−=
=−=−=−=
dl
dn
=αcos
-∇φ(P2)=E(P2)
V2=φ1 +dφ
P3
P1
P2
Σv2
-
dφ
dl
dl dn
Σv1
α
V1=φ1
P1
dl dn
α
αφ cos)(ˆ)()( PPl ElE =⋅−∇=⇒
nl
)()( φ
φ
−∇=−=
dn
d
PnE

27
Energía y Fuerzas Electrostáticas
El potencial eléctrico en un punto de un campo eléctrico es el trabajo necesario para
traer una unidad de carga positiva desde el infinito (potencial cero) a dicho punto.
Para traer una carga Q2 mediante un proceso cuasiestático (lentamente) desde el
infinito contra el campo creado por una carga Q1 en el espacio libre hasta una
distancia R12 , la cantidad de trabajo necesaria es (independientemente
de la trayectoria que siga Q2):
o también:
combinando ambas:
120
1
2222
4 R
Q
QVQW
πε
==
11
210
2
12
4
VQ
R
Q
QW ==
πε
[ ]22112
2
1
VQVQW +=
r2 r1
x
y
z
Q2 Q1
0ε
R12
Q3
Si traemos otra carga Q3 desde el infinito hasta un
punto dentro del campo se necesitará un trabajo
adicional igual a:






+==∆
230
2
130
1
333
44 R
Q
R
Q
QVQW
πεπε






++=∆+=
23
32
13
31
12
21
0
23
4
1
R
QQ
R
QQ
R
QQ
WWW
πε
∫ ⋅−=
2
1
P
P
e
dl
q
W
E

28
r2 r1
x
y
z
Q2 Q1
0ε
R12
Q3






++=∇+=
23
32
13
31
12
21
0
23
4
1
R
QQ
R
QQ
R
QQ
WWW
πε
Podemos escribir W3 como:
( )332211
230
2
130
1
3
230
3
120
1
2
130
3
120
2
13
2
1
4444442
1
VQVQVQ
R
Q
R
Q
Q
R
Q
R
Q
Q
R
Q
R
Q
QW
++=
=











++





++





+=
πεπεπεπεπεπε
Si extendemos este procedimiento para incorporar cargas
adicionales llegamos a la expresión general de la energía
potencial de un grupo de N cargas puntuales discretas en
reposo:
(J) o (eV)∑=
==
N
i
iiee VQUW
12
1
Joule)10(1,6(eV)1 -19
×=

29
Distribución continua
En el caso de una carga distribuida la expresión se modifica
de la siguiente manera:
∫∑
Λ=
∞→
Λ=





∆=
f
fdVVqW eii
N
i
i
N
e ρ
2
1
)(lim
2
1
1
r
con:
ffff ΓΣ=Λ ,,τ





Γ∈Γ′=′
Σ∈Σ′=′
∈′=′
Γ
Σ
fl
fs
fv
dPqd
dPqd
dPqd
P´si)(ρ
P´si)(ρ
P´si)(ρ τττ
qd ′
Γ
′qd
fΓ
Σ
′qd
fΣ
Σ
′P
Γ
′P
r′
τqd ′fτ
τP′
fΛ
aquí V es el potencial del punto donde la
densidad volumétrica comprensiva es ρe y Λf es
el volumen de la región donde existe ρe
o también:
∫Λ
=
f
VdqWe ´
2
1
El valor de We incluye el trabajo (energía propia)
necesario para formar la distribución de cargas
macroscópicas, ya que es la energía de la
interacción entre cada elemento de carga
infinitesimal y todos los otros elementos de
carga infinitesimales

30
( )22
d/2θcos2/ ∆+∆=∆ drr  rr








±




 ∆
+
∆
±=
∆
...
2
θcos3
2
θcos
1
1
2/
1
3
22
r
d
r
d
rrr 








−θ




 ∆
+θ
∆
== ...)(cos
4
)()(
3
0
f
r
d
r
d
r
q
V
πε
φ rr

3
0
3
0
2
0
ˆ
4
1
4
1
4
θcos
rr
q
r
dq
rd
rprr
prr
⋅
=
⋅∆
=
∆
≅
⋅∆
<<∆ πεπεπε

momento dipolar
distancia entre P y las cargas:
Aproximación en puntos lejanos:
desarrollo en serie para ∆d/r«1
valor aproximado del potencial:
∆r
r2
r1
P1
P2
−∇φ(P)=E(P)
Sistema de dos cargas puntuales opuestas
Dipolo eléctrico
 sistema compuesto por dos cargas +q en P1
y –q en P2 , tal que:
potencial electrostático:
2
,
2
2211
r
r
r
r
∆
−==
∆
== OPOP








∆+
−
∆−
==
2/
1
2/
1
4
)()(
0 rrrr
rr
πε
φ
q
V +
-

31
Dipolo eléctrico ideal
 Momento dipolar:
•característica del dipolo eléctrico
dipolo eléctrico ideal:
•elemento puntual con carga neta nula y
momento dipolar no nulo
3
04
1
)(φ
r
q
rp
rrp
rr
⋅
≅→∆=
<<∆ πε
cte.,limquetales
0
0
pr
r
r
=∆



∞→
→∆
∞→
→∆
q
q
q
3
04
1
r
rp⋅
=
πε
φdip
5
2
0
)(3
4
1
)()(
r
rprrp
rrE
⋅−⋅
=−∇=
πε
φdipdip
el potencial electrostático del dipolo ideal será:
el campo eléctrico del dipolo ideal será:
El DI consiste en dos cargas puntuales de
igual magnitud y signo opuesto, cuando la
distancia que las separa tiende a cero, pero
de manera que se mantiene cte. el
momento dipolar

32
 Sistema de fuerzas:
•dipolo eléctrico en un campo externo
cargas próximas
momento dipolar
•fuerzas sobre las cargas
debidas al campo externo
“internas” tal que
Acciones de sobre el dipolo
•par de fuerzas (respecto de P) provoca un momento en P
•energía potencial
El dipolo eléctrico en presencia
de campos eléctricos externos
+p
-
F+
F-
E(P1)
E(P2)
E(P)F
Mp
P
21 2/ PPPP =∆= r
rp ∆= q
E(r)
)(,)( 21 PqPq EFEF −== −+
cte=∆r
)(rE
)(rE
[ ] )()()(
2
21 PqPPqP ErEE
r
M ×∆=+×
∆
= )()( rEprp,M ×=P
dipolo
ideal
[ ] ( )








∆⋅∇−=−=
∆
 rE
r
.
)()()( φφφ 21 PPPe qqU )()( rEprp, ⋅−=eUdipolo
ideal
Dos importantes implicancias:
1. si el campo eléctrico externo es uniforme,
entonces el dipolo buscará el equilibrio
orientándose en la dirección del campo
2. si el campo no es uniforme, el dipolo se
orientará con él, pero además se desplazará
buscando la zona donde el campo es más
intenso

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