1. Capítulo 24 – Campo eléctricoCapítulo 24 – Campo eléctrico
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Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State UniversitySouthern Polytechnic State University
© 2007

2. Objetivos: Después de terminarObjetivos: Después de terminar
esta unidad deberá:esta unidad deberá:
• Definir el campo eléctrico y explicar qué
determina su magnitud y dirección.
• Discutir las líneas de campo eléctrico y el
significado de la permitividad del espacio.
• Escribir y aplicar fórmulas para la
intensidad del campo eléctrico a
distancias conocidas desde cargas
puntuales.
• Escribir y aplicar la ley de Gauss para campos en
torno a superficies con densidades de carga conocidas.

3. El concepto de campoEl concepto de campo
UnUn campocampo se define como unase define como una propiedad del espaciopropiedad del espacio
en el que un objeto material experimenta unaen el que un objeto material experimenta una fuerzafuerza..
.P
Sobre la Tierra, se dice que existeSobre la Tierra, se dice que existe
unun campo gravitacionalcampo gravitacional enen PP..
Puesto quePuesto que una masauna masa mm experimentaexperimenta
unauna fuerzafuerza descendente en dichodescendente en dicho
punto.punto.
¡No hay fuerza, no hay campo; no hay
campo, no hay fuerza!
m
F
LaLa direccióndirección del campo está determinada por ladel campo está determinada por la fuerzafuerza..

4. El campo gravitacionalEl campo gravitacional
Note que la fuerzaNote que la fuerza FF eses realreal, pero el, pero el
campo sólo es una formacampo sólo es una forma
conveniente deconveniente de describir el espaciodescribir el espacio..
El campo en los puntos A o B seEl campo en los puntos A o B se
puede encontrar de:puede encontrar de:
F
g
m
=
SiSi gg se conoce ense conoce en
cada punto sobre lacada punto sobre la
Tierra, entonces seTierra, entonces se
puede encontrar lapuede encontrar la
fuerzafuerza FF sobre unasobre una
masa dada.masa dada.
LaLa magnitudmagnitud yy direccióndirección deldel
campocampo gg depende del peso, quedepende del peso, que
es la fuerzaes la fuerza F.F.
•
A
• B Considere los puntosConsidere los puntos AA yy BB sobresobre
la superficie de la Tierra, sólola superficie de la Tierra, sólo
puntos en elpuntos en el espacioespacio..
FF
FF

5. El campo eléctricoEl campo eléctrico
1. Ahora, considere el punto1. Ahora, considere el punto
PP a una distanciaa una distancia rr dede +Q+Q..
2.2. EnEn PP existe un campo eléctricoexiste un campo eléctrico EE
si una cargasi una carga de pruebade prueba +q+q tienetiene
una fuerzauna fuerza FF en dicho punto.en dicho punto.
3. La3. La direccióndirección deldel EE es iguales igual
que la dirección de unaque la dirección de una fuerzafuerza
sobre la cargasobre la carga + (pos)+ (pos)..
E
4. La4. La magnitudmagnitud dede EE estáestá
dada por la fórmula:dada por la fórmula:
Campo eléctrico
++
++
+
+
++Q
.P
r
+q
F
+
C
N
q
F
E unidades;=

6. El campo es propiedad delEl campo es propiedad del
espacioespacio
E
Campo eléctrico
++
++
+
+
++Q
.
r
En un punto existe un campoEn un punto existe un campo EE ya sea que enya sea que en
dicho punto haya o no una carga. Ladicho punto haya o no una carga. La direccióndirección
del campo esdel campo es alejándosealejándose de la cargade la carga +Q+Q..
E
Campo eléctrico
++
++
+
+
++Q
.
r
++q --q
F
F
La fuerza sobreLa fuerza sobre +q+q estáestá
en dirección del campo.en dirección del campo.
La fuerza sobreLa fuerza sobre -q-q
está contra laestá contra la
dirección del campo.dirección del campo.

7. Campo cerca de una carga negativaCampo cerca de una carga negativa
Note que el campoNote que el campo EE en la vecindad de unaen la vecindad de una cargacarga
negativanegativa –Q–Q eses haciahacia la carga, la dirección en que sela carga, la dirección en que se
movería una carga de pruebamovería una carga de prueba +q+q..
La fuerza sobreLa fuerza sobre +q+q estáestá
en dirección del campo.en dirección del campo.
La fuerza sobreLa fuerza sobre -q-q
está contra laestá contra la
dirección del campo.dirección del campo.
E
Campo eléctrico
.
r
++q
F
--
-- -
-
---Q
E
Campo eléctrico
.
r
--q
F
--
-- -
-
---Q

8. La magnitud del campo ELa magnitud del campo E
LaLa magnitudmagnitud de la intensidad del campo eléctrico en unde la intensidad del campo eléctrico en un
punto en el espacio se define como lapunto en el espacio se define como la fuerza por unidadfuerza por unidad
de cargade carga (N/C)(N/C) que experimentaría cualquier carga deque experimentaría cualquier carga de
prueba que se coloque en dicho punto.prueba que se coloque en dicho punto.
Intensidad de
campo eléctrico E
Intensidad de
campo eléctrico E
LaLa direccióndirección dede EE en un punto es la misma que laen un punto es la misma que la
dirección en que se movería una cargadirección en que se movería una carga positivapositiva SISI
se colocara en dicho punto.se colocara en dicho punto.
C
N
q
F
E unidades;=

9. Ejemplo 1.Ejemplo 1. Una carga deUna carga de +2 nC+2 nC sese
coloca a una distanciacoloca a una distancia rr de una cargade una carga
dede–8–8 µµCC. Si la carga experimenta. Si la carga experimenta
una fuerza deuna fuerza de 4000 N4000 N, ¿cuál es la, ¿cuál es la
intensidad del campo eléctrico E enintensidad del campo eléctrico E en
dicho punto P?dicho punto P?
Campo eléctrico
.
--
-- -
-
---Q
P
Primero, note que la dirección dePrimero, note que la dirección de
E es hacia –Q (abajo).E es hacia –Q (abajo).
–8 µC
E
++q
E
4000 N
-9
4000 N
2 x 10 C
F
E
q
= =
+2 nC
r
E = 2 x 1012
N/C
hacia abajo
Nota: El campoNota: El campo EE sería elsería el mismomismo parapara cualquiercualquier carga que secarga que se
coloque en el puntocoloque en el punto PP. Es una propiedad de dicho. Es una propiedad de dicho espacioespacio..

10. Ejemplo 2.Ejemplo 2. Un campo constanteUn campo constante EE dede 40,000 N/C40,000 N/C
se mantiene entre las dos placas paralelas.se mantiene entre las dos placas paralelas.
¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza
sobre un electrón que pasa horizontalmente entresobre un electrón que pasa horizontalmente entre
las placas?las placas?
E.
FEl campo E es hacia abajo, yEl campo E es hacia abajo, y
la fuerza sobre ela fuerza sobre e--
es arriba.es arriba.
;
F
E F qE
q
= =
-19 4
(1.6 x 10 C)(4 x 10 )N
CF qE= =
F = 6.40 x 10-15
N, hacia arribaF = 6.40 x 10-15
N, hacia arriba
+ + + + + + + + +
- - - - - - - - -
-ee--
-ee-- -ee--

11. Campo E a una distancia rCampo E a una distancia r
desde una sola carga Qdesde una sola carga Q
++
++
+
+
++Q
.
r
P
Considere una carga de pruebaConsidere una carga de prueba +q+q
colocada encolocada en PP a una distanciaa una distancia rr dede QQ..
La fuerza hacia afuera sobre +qLa fuerza hacia afuera sobre +q
es:es:
Por tanto, el campo eléctricoPor tanto, el campo eléctrico EE es:es:
2
F kQq r
E
q q
= = 2
kQ
E
r
=
++q
F
2
kQq
F
r
=
+
+
++
+
+
+
+Q
.
r
P
E
2
kQ
E
r
=

12. Ejemplo 3.Ejemplo 3. ¿Cuál es la intensidad del¿Cuál es la intensidad del
campo eléctricocampo eléctrico EE en el puntoen el punto PP, a una, a una
distancia dedistancia de 3 m3 m desde una carga negativadesde una carga negativa
dede–8 nC–8 nC??
.
r
P
-Q
3 m
-8 nC
E = ? Primero, encuentre la magnitud:Primero, encuentre la magnitud:
2
2
9 -9Nm
C
2 2
(9 x 10 )(8 x 10 C)
(3 m)
kQ
E
r
= =
E = 8.00 N/CE = 8.00 N/C
La dirección es la misma que la fuerza sobre unaLa dirección es la misma que la fuerza sobre una
carga positivacarga positiva sisi se colocase en el punto P:se colocase en el punto P: hacia –Qhacia –Q..
EE = 8.00 N, hacia -Q= 8.00 N, hacia -Q

13. El campo eléctrico resultanteEl campo eléctrico resultante
El campo resultanteEl campo resultante EE en la vecindad de un número deen la vecindad de un número de
cargas puntuales es igual a lacargas puntuales es igual a la suma vectorialsuma vectorial de losde los
campos debidos a cada carga tomada individualmente.campos debidos a cada carga tomada individualmente.
Considere E para cada carga.Considere E para cada carga.
+
- •q1
q2
q3
-
A
E1
E3
E2
ER
Suma vectorial:
E = E1 + E2 + E3
Suma vectorial:
E = E1 + E2 + E3
Las direcciones se basan en
carga de prueba positiva.
Magnitudes a partir de:
2
kQ
E
r
=

14. Ejemplo 4.Ejemplo 4. Encuentre el campo resultante enEncuentre el campo resultante en
el puntoel punto AA debido a las cargas dedebido a las cargas de –3 nC–3 nC yy +6+6
nCnC ordenadas como se muestra.ordenadas como se muestra.
+
-
•
q1
q24 cm
3 cm
5 cm
-3 nC
+6 nC
E para cada q se muestraE para cada q se muestra
con la dirección dada.con la dirección dada.
E2
E1
1 2
1 22 2
1 2
;
kq kq
E E
r r
= =A
2
2
9 -9Nm
C
1 2
(9 x 10 )(3 x 10 C)
(3 m)
E =
2
2
9 -9Nm
C
2 2
(9 x 10 )(6 x 10 C)
(4 m)
E =
Los signos de las cargas sólo se usan para encontrar la dirección de ELos signos de las cargas sólo se usan para encontrar la dirección de E

15. Ejemplo 4.Ejemplo 4. (Cont.)(Cont.) Encuentre el campoEncuentre el campo
resultante en el puntoresultante en el punto AA. Las magnitudes son:. Las magnitudes son:
+
-
•
q1
q24 cm
3 cm
5 cm
-3 nC
+6 nC
E2
E1
A
2
2
9 -9Nm
C
1 2
(9 x 10 )(3 x 10 C)
(3 m)
E =
2
2
9 -9Nm
C
2 2
(9 x 10 )(6 x 10 C)
(4 m)
E =
EE11 == 3.00 N, oeste3.00 N, oeste EE22 == 3.38 N, norte3.38 N, norte
E2
E1
A continuación, encuentre el vector resultante EA continuación, encuentre el vector resultante ERR
ER
2 2 1
2 1
2
; tanR
E
E E R
E
φ= + =
φ

16. Ejemplo 4.Ejemplo 4. (Cont.)(Cont.) Encuentre el campo resultanteEncuentre el campo resultante
en el puntoen el punto AA con matemáticas vectoriales.con matemáticas vectoriales.
E1 = 3.00 N, oeste
E2 = 3.38 N, norte
Encuentre el vector resultante EEncuentre el vector resultante ERR
E2
E1
ER
2 2
(3.00 N) (3.38 N) 4.52 N;E = + =
3.38 N
tan
3.00 N
φ =
φφ = 48.4= 48.400
N de O; oN de O; o θθ = 131.6= 131.600
Campo resultante: ER = 4.52 N; 131.60Campo resultante: ER = 4.52 N; 131.60
φ

17. Líneas de campo eléctricoLíneas de campo eléctrico
++
++
+
+
++Q
--
-- -
-
---Q
LasLas líneas de campo eléctricolíneas de campo eléctrico son líneas imaginarias que seson líneas imaginarias que se
dibujan de tal forma que su dirección en cualquier punto esdibujan de tal forma que su dirección en cualquier punto es
la misma que la dirección del campo en dicho punto.la misma que la dirección del campo en dicho punto.
Las líneas de campo seLas líneas de campo se alejanalejan de las cargasde las cargas
positivaspositivas y sey se acercanacercan a las cargasa las cargas negativasnegativas..

18. 1.1. La dirección de la línea de campo en cualquier puntoLa dirección de la línea de campo en cualquier punto
es la misma que el movimiento de +q en dicho punto.es la misma que el movimiento de +q en dicho punto.
2. El espaciamiento de las líneas debe ser tal que2. El espaciamiento de las líneas debe ser tal que
estén cercanas donde el campo sea intenso yestén cercanas donde el campo sea intenso y
separadas donde el campo sea débil.separadas donde el campo sea débil.
+ -qq11 qq22
EE11
EE22
EERR
Reglas para dibujar líneas deReglas para dibujar líneas de
campocampo
Reglas para dibujar líneas deReglas para dibujar líneas de
campocampo

19. Ejemplos de líneas de campo EEjemplos de líneas de campo E
Dos cargas igualesDos cargas iguales
peropero opuestasopuestas..
Dos cargasDos cargas idénticasidénticas
(ambas +).(ambas +).
Note que las líneasNote que las líneas salensalen de las cargasde las cargas ++ yy entranentran a las cargasa las cargas --..
Además,Además, EE eses más intensomás intenso donde las líneas de campo sondonde las líneas de campo son más densasmás densas..

20. Electrical Force with OtherElectrical Force with Other
Forces, ExampleForces, Example
• The spheres are inThe spheres are in
equilibriumequilibrium
• Since they are separated,Since they are separated,
they exert a repulsivethey exert a repulsive
force on each otherforce on each other
– Charges are like chargesCharges are like charges
• Proceed as usual withProceed as usual with
equilibrium problems,equilibrium problems,
noting one force is annoting one force is an
electrical forceelectrical force

21. Electrical Force with OtherElectrical Force with Other
Forces, Example cont.Forces, Example cont.
• The free bodyThe free body
diagram includes thediagram includes the
components of thecomponents of the
tension, the electricaltension, the electrical
force, and the weightforce, and the weight
• Solve for |Solve for |qq||
• You cannot determineYou cannot determine
the sign ofthe sign of qq, only, only
that they both havethat they both have
same signsame sign

22. Relationship BetweenRelationship Between FF andand
EE
• FFee == qqEE
– This is valid for a point charge onlyThis is valid for a point charge only
– One of zero sizeOne of zero size
– For larger objects, the field may vary over theFor larger objects, the field may vary over the
size of the objectsize of the object
• IfIf qq is positive,is positive, FF andand EE are in the sameare in the same
directiondirection
• IfIf qq is negative,is negative, FF andand EE are in oppositeare in opposite

23. Electric Field Notes, FinalElectric Field Notes, Final
• The direction ofThe direction of EE is thatis that
of the force on a positiveof the force on a positive
test chargetest charge
• The SI units ofThe SI units of EE are N/Care N/C
• We can also say that anWe can also say that an
electric field exists at aelectric field exists at a
point if a test charge atpoint if a test charge at
that point experiences anthat point experiences an
electric forceelectric force

24. Electric Field, Vector FormElectric Field, Vector Form
• Remember Coulomb’s law, between theRemember Coulomb’s law, between the
source and test charges, can besource and test charges, can be
expressed asexpressed as
• Then, the electric field will beThen, the electric field will be
2
ˆo
e e
qq
k
r
=F r
2
ˆe
e
o
q
k
q r
= =
F
E r

25. More About ElectricMore About Electric
Field DirectionField Direction
• a)a) qq is positive,is positive, FF isis
directed away fromdirected away from qq
• b) The direction ofb) The direction of EE isis
also away from thealso away from the
positive source chargepositive source charge
• c)c) qq is negative,is negative, FF isis
directed towarddirected toward qq
• d)d) EE is also toward theis also toward the
negative source chargenegative source charge

26. Superposition with ElectricSuperposition with Electric
FieldsFields
• At any pointAt any point PP, the total electric field due, the total electric field due
to a group of source charges equals theto a group of source charges equals the
vector sum of electric fields of all thevector sum of electric fields of all the
chargescharges
2
ˆi
e i
i i
q
k
r
= ∑E r

28. Superposition ExampleSuperposition Example
• Find the electric field dueFind the electric field due
toto qq11,, EE11
• Find the electric field dueFind the electric field due
toto qq22,, EE22
• EE == EE11 ++ EE22
– Remember, the fields addRemember, the fields add
as vectorsas vectors
– The direction of theThe direction of the
individual fields is theindividual fields is the
direction of the force on adirection of the force on a

29. Electric Field – ContinuousElectric Field – Continuous
Charge DistributionCharge Distribution
• The distances between charges in a groupThe distances between charges in a group
of charges may be much smaller than theof charges may be much smaller than the
distance between the group and a point ofdistance between the group and a point of
interestinterest
• In this situation, the system of charges canIn this situation, the system of charges can
be modeled as continuousbe modeled as continuous
• The system of closely spaced charges isThe system of closely spaced charges is
equivalent to a total charge that isequivalent to a total charge that is
continuously distributed along some line,continuously distributed along some line,
over some surface, or throughout someover some surface, or throughout some

30. Electric Field – ContinuousElectric Field – Continuous
Charge Distribution, contCharge Distribution, cont
• Procedure:Procedure:
– Divide the chargeDivide the charge
distribution into smalldistribution into small
elements, each of whichelements, each of which
containscontains ΔΔqq
– Calculate the electricCalculate the electric
field due to one of thesefield due to one of these
elements at pointelements at point PP
– Evaluate the total fieldEvaluate the total field
by summing theby summing the
contributions of all thecontributions of all the
charge elementscharge elements

31. Electric Field – ContinuousElectric Field – Continuous
Charge Distribution,Charge Distribution,
equationsequations
• For the individual charge elementsFor the individual charge elements
• Because the charge distribution isBecause the charge distribution is
continuouscontinuous
2
ˆe
q
k
r
∆
∆ =E r
2 20
ˆ ˆlim
i
i
e i e
q
i i
q dq
k k
r r∆ →
∆
= =∑ ∫E r r

32. Charge DensitiesCharge Densities
• Volume charge densityVolume charge density: when a charge is: when a charge is
distributed evenly throughout a volumedistributed evenly throughout a volume
– ρρ == QQ // VV
• Surface charge densitySurface charge density: when a charge is: when a charge is
distributed evenly over a surface areadistributed evenly over a surface area
– σσ == QQ // AA
• Linear charge densityLinear charge density: when a charge is: when a charge is
distributed along a linedistributed along a line
– λλ == QQ // ℓℓ

33. Amount of Charge in a SmallAmount of Charge in a Small
VolumeVolume
• For the volume:For the volume: dqdq == ρρ dVdV
• For the surface:For the surface: dqdq == σσ dAdA
• For the length element:For the length element: dqdq == λλ ddℓℓ

34. Problem Solving HintsProblem Solving Hints
• UnitsUnits: when using the Coulomb constant,: when using the Coulomb constant, kkee,,
the charges must be in C and the distancesthe charges must be in C and the distances
in min m
• Calculating the electric field of pointCalculating the electric field of point
chargescharges: use the superposition principle,: use the superposition principle,
find the fields due to the individual chargesfind the fields due to the individual charges
at the point of interest and then add them asat the point of interest and then add them as
vectors to find the resultant fieldvectors to find the resultant field

35. Problem Solving Hints, cont.Problem Solving Hints, cont.
• Continuous charge distributionsContinuous charge distributions: the: the
vector sums for evaluating the total electricvector sums for evaluating the total electric
field at some point must be replaced withfield at some point must be replaced with
vector integralsvector integrals
– Divide the charge distribution into infinitesimalDivide the charge distribution into infinitesimal
pieces, calculate the vector sum by integratingpieces, calculate the vector sum by integrating
over the entire charge distributionover the entire charge distribution
• SymmetrySymmetry:: take advantage of anytake advantage of any
symmetry to simplify calculationssymmetry to simplify calculations

36. Campo electrico debido aCampo electrico debido a
una varilla cargadauna varilla cargada

38. Example – Charged DiskExample – Charged Disk
• The ring has aThe ring has a
radiusradius RR and aand a
uniform chargeuniform charge
densitydensity σσ
• ChooseChoose dqdq as a ringas a ring
of radiusof radius rr
• The ring has aThe ring has a
surface area 2surface area 2ππrr drdr

39. Electric Field LinesElectric Field Lines
• Field lines give us a means of representingField lines give us a means of representing
the electric field pictoriallythe electric field pictorially
• The electric field vectorThe electric field vector EE is tangent to theis tangent to the
electric field line at each pointelectric field line at each point
– The line has a direction that is the same as thatThe line has a direction that is the same as that
of the electric field vectorof the electric field vector
• The number of lines per unit area through aThe number of lines per unit area through a
surface perpendicular to the lines issurface perpendicular to the lines is
proportional to the magnitude of the electricproportional to the magnitude of the electric
field in that regionfield in that region

40. Electric Field Lines, GeneralElectric Field Lines, General
• The density of linesThe density of lines
through surface A isthrough surface A is
greater than throughgreater than through
surface Bsurface B
• The magnitude of theThe magnitude of the
electric field is greater onelectric field is greater on
surface A than Bsurface A than B
• The lines at differentThe lines at different
locations point in differentlocations point in different
directionsdirections
– This indicates the field isThis indicates the field is
non-uniformnon-uniform

41. Electric Field Lines, PositiveElectric Field Lines, Positive
Point ChargePoint Charge
• The field lines radiateThe field lines radiate
outward in all directionsoutward in all directions
– In three dimensions, theIn three dimensions, the
distribution is sphericaldistribution is spherical
• The lines are directedThe lines are directed
away from the sourceaway from the source
chargecharge
– A positive test charge wouldA positive test charge would
be repelled away from thebe repelled away from the
positive source chargepositive source charge

42. Electric Field Lines, NegativeElectric Field Lines, Negative
Point ChargePoint Charge
• The field lines radiateThe field lines radiate
inward in all directionsinward in all directions
• The lines are directedThe lines are directed
toward the sourcetoward the source
chargecharge
– A positive test chargeA positive test charge
would be attractedwould be attracted
toward the negativetoward the negative
source chargesource charge

43. Electric Field Lines – DipoleElectric Field Lines – Dipole
• The charges areThe charges are
equal and oppositeequal and opposite
• The number of fieldThe number of field
lines leaving thelines leaving the
positive chargepositive charge
equals the numberequals the number
of lines terminatingof lines terminating
on the negativeon the negative
chargecharge

44. Electric Field Lines – LikeElectric Field Lines – Like
ChargesCharges
• The charges are equalThe charges are equal
and positiveand positive
• The same number ofThe same number of
lines leave eachlines leave each
charge since they arecharge since they are
equal in magnitudeequal in magnitude
• At a great distance,At a great distance,
the field isthe field is
approximately equal toapproximately equal to
that of a single chargethat of a single charge
of 2of 2qq

45. Electric Field Lines, UnequalElectric Field Lines, Unequal
ChargesCharges
• The positive charge isThe positive charge is
twice the magnitude of thetwice the magnitude of the
negative chargenegative charge
• Two lines leave theTwo lines leave the
positive charge for eachpositive charge for each
line that terminates on theline that terminates on the
negative chargenegative charge
• At a great distance, theAt a great distance, the
field would befield would be
approximately the sameapproximately the same
as that due to a singleas that due to a single
charge of +charge of +qq

46. Electric Field Lines – RulesElectric Field Lines – Rules
for Drawingfor Drawing
• The lines must begin on a positive charge andThe lines must begin on a positive charge and
terminate on a negative chargeterminate on a negative charge
– In the case of an excess of one type of charge,In the case of an excess of one type of charge,
some lines will begin or end infinitely far awaysome lines will begin or end infinitely far away
• The number of lines drawn leaving a positiveThe number of lines drawn leaving a positive
charge or approaching a negative charge ischarge or approaching a negative charge is
proportional to the magnitude of the chargeproportional to the magnitude of the charge
• No two field lines can crossNo two field lines can cross

47. Motion of Charged ParticlesMotion of Charged Particles
• When a charged particle is placed in anWhen a charged particle is placed in an
electric field, it experiences an electricalelectric field, it experiences an electrical
forceforce
• If this is the only force on the particle, itIf this is the only force on the particle, it
must be the net forcemust be the net force
• The net force will cause the particle toThe net force will cause the particle to
accelerate according to Newton’s secondaccelerate according to Newton’s second
lawlaw

48. Motion of Particles, contMotion of Particles, cont
• FFee == qqEE == mmaa
• IfIf EE is uniform, thenis uniform, then aa is constantis constant
• If the particle has a positive charge, itsIf the particle has a positive charge, its
acceleration is in the direction of the fieldacceleration is in the direction of the field
• If the particle has a negative charge, itsIf the particle has a negative charge, its
acceleration is in the direction opposite theacceleration is in the direction opposite the
electric fieldelectric field
• Since the acceleration is constant, theSince the acceleration is constant, the
kinematic equations can be usedkinematic equations can be used

49. Electron in a Uniform Field,Electron in a Uniform Field,
ExampleExample
• The electron is projectedThe electron is projected
horizontally into a uniformhorizontally into a uniform
electric fieldelectric field
• The electron undergoes aThe electron undergoes a
downward accelerationdownward acceleration
– It is negative, so theIt is negative, so the
acceleration is oppositeacceleration is opposite EE
• Its motion is parabolicIts motion is parabolic
while between the plateswhile between the plates

51. The Cathode Ray TubeThe Cathode Ray Tube
(CRT)(CRT)
• A CRT is commonly used to obtain aA CRT is commonly used to obtain a
visual display of electronic information invisual display of electronic information in
oscilloscopes, radar systems, televisions,oscilloscopes, radar systems, televisions,
etc.etc.
• The CRT is a vacuum tube in which aThe CRT is a vacuum tube in which a
beam of electrons is accelerated andbeam of electrons is accelerated and
deflected under the influence of electricdeflected under the influence of electric
or magnetic fieldsor magnetic fields

52. CRT, contCRT, cont
• The electrons areThe electrons are
deflected in variousdeflected in various
directions by two setsdirections by two sets
of platesof plates
• The placing of chargeThe placing of charge
on the plates createson the plates creates
the electric fieldthe electric field
between the platesbetween the plates
and allows the beamand allows the beam
to be steeredto be steered

53. Flux Through Closed Surface,Flux Through Closed Surface,
finalfinal
• TheThe netnet flux through the surface isflux through the surface is
proportional to the net number of linesproportional to the net number of lines
leaving the surfaceleaving the surface
– This net number of lines is the number ofThis net number of lines is the number of
lines leaving the surface minus the numberlines leaving the surface minus the number
entering the surfaceentering the surface
• IfIf EEnn is the component ofis the component of EE perpendicularperpendicular
to the surface, thento the surface, then
E nd E dAΦ = × =∫ ∫E AÑ Ñ

54. Gauss’s Law, IntroductionGauss’s Law, Introduction
• Gauss’s law is an expression of theGauss’s law is an expression of the
general relationship between the netgeneral relationship between the net
electric flux through a closed surface andelectric flux through a closed surface and
the charge enclosed by the surfacethe charge enclosed by the surface
– The closed surface is often called aThe closed surface is often called a gaussiangaussian
surfacesurface
• Gauss’s law is of fundamentalGauss’s law is of fundamental
importance in the study of electric fieldsimportance in the study of electric fields

55. Gauss’s Law – GeneralGauss’s Law – General
• A positive pointA positive point
charge,charge, qq, is located, is located
at the center of aat the center of a
sphere of radiussphere of radius rr
• The magnitude ofThe magnitude of
the electric fieldthe electric field
everywhere on theeverywhere on the
surface of thesurface of the
sphere issphere is
EE == kkeeqq // rr22

56. Gauss’s Law – General, cont.Gauss’s Law – General, cont.
• The field lines are directed radiallyThe field lines are directed radially
outward and are perpendicular to theoutward and are perpendicular to the
surface at every pointsurface at every point
• This will be the net flux through theThis will be the net flux through the
gaussian surface, the sphere of radiusgaussian surface, the sphere of radius rr
• We knowWe know EE == kkeeqq//rr22
andand AAspheresphere = 4= 4ππrr22
,,
E d E dAΦ = × =∫ ∫E AÑ Ñ 4E e
o
q
πk q
ε
Φ = =

57. Gauss’s Law – General,Gauss’s Law – General,
notesnotes
• The net flux through any closed surfaceThe net flux through any closed surface
surrounding a point charge,surrounding a point charge, qq, is given by, is given by qq//εεoo
and is independent of the shape of that surfaceand is independent of the shape of that surface
• The net electric flux through a closed surfaceThe net electric flux through a closed surface
that surrounds no charge is zerothat surrounds no charge is zero
• Since the electric field due to many charges isSince the electric field due to many charges is
the vector sum of the electric fields produced bythe vector sum of the electric fields produced by
the individual charges, the flux through anythe individual charges, the flux through any
closed surface can be expressed asclosed surface can be expressed as
( )1 2d d× = + ×∫ ∫E A E E AKÑ Ñ

58. Gauss’s Law – FinalGauss’s Law – Final
• Gauss’s law statesGauss’s law states
• qqinin is the net charge inside the surfaceis the net charge inside the surface
• EE represents the electric field at any point onrepresents the electric field at any point on
the surfacethe surface
– EE is theis the total electric fieldtotal electric field and may have contributionsand may have contributions
from charges both inside and outside of the surfacefrom charges both inside and outside of the surface
• Although Gauss’s law can, in theory, be solvedAlthough Gauss’s law can, in theory, be solved
E A in
E
o
q
d
ε
Φ = × =∫Ñ

59. Applying Gauss’s LawApplying Gauss’s Law
• To use Gauss’s law, you want to chooseTo use Gauss’s law, you want to choose
a gaussian surface over which thea gaussian surface over which the
surface integral can be simplified and thesurface integral can be simplified and the
electric field determinedelectric field determined
• Take advantage of symmetryTake advantage of symmetry
• Remember, the gaussian surface is aRemember, the gaussian surface is a
surface you choose, it does not have tosurface you choose, it does not have to
coincide with a real surfacecoincide with a real surface

60. Conditions for a GaussianConditions for a Gaussian
SurfaceSurface
• Try to choose a surface that satisfies one orTry to choose a surface that satisfies one or
more of these conditions:more of these conditions:
– The value of the electric field can be argued fromThe value of the electric field can be argued from
symmetry to be constant over the surfacesymmetry to be constant over the surface
– The dot product ofThe dot product of EE..
ddAA can be expressed as acan be expressed as a
simple algebraic productsimple algebraic product EdAEdA becausebecause EE andand ddAA
are parallelare parallel
– The dot product is 0 becauseThe dot product is 0 because EE andand ddAA areare
perpendicularperpendicular
– The field can be argued to be zero over the surfaceThe field can be argued to be zero over the surface

61. Field Due to a Point ChargeField Due to a Point Charge
• Choose a sphere as theChoose a sphere as the
gaussian surfacegaussian surface
– EE is parallel tois parallel to ddAA at eachat each
point on the surfacepoint on the surface
2
2 2
(4 )
4
E
o
e
o
q
d EdA
ε
E dA Eπr
q q
E k
πε r r
Φ = × = =
= =
= =
∫ ∫
∫
E AÑ Ñ
Ñ

62. Field Due to a SphericallyField Due to a Spherically
Symmetric Charge DistributionSymmetric Charge Distribution
• Select a sphere as theSelect a sphere as the
gaussian surfacegaussian surface
• ForFor rr >>aa
in
2 2
4
E
o
e
o
q
d EdA
ε
Q Q
E k
πε r r
Φ = × = =
= =
∫ ∫E AÑ Ñ

63. Spherically Symmetric, cont.Spherically Symmetric, cont.
• Select a sphere asSelect a sphere as
the gaussianthe gaussian
surface,surface, rr << aa
• qqinin << QQ
• qqinin == rr (4/3(4/3ππrr33
))
in
in
2 3
4
E
o
e
o
q
d EdA
ε
q Q
E k r
πε r a
Φ = × = =
= =
∫ ∫E AÑ Ñ

64. Spherically SymmetricSpherically Symmetric
Distribution, finalDistribution, final
• Inside the sphere,Inside the sphere, EE
varies linearly withvaries linearly with rr
– EE →→ 0 as0 as rr →→ 00
• The field outside theThe field outside the
sphere is equivalentsphere is equivalent
to that of a pointto that of a point
charge located atcharge located at
the center of thethe center of the
spheresphere

65. Field Due to a Thin SphericalField Due to a Thin Spherical
ShellShell
• Use spheres as the gaussian surfacesUse spheres as the gaussian surfaces
• WhenWhen rr >> aa, the charge inside the surface is, the charge inside the surface is QQ andand
EE == kkeeQQ // rr22
• WhenWhen rr << aa, the charge inside the surface is 0 and, the charge inside the surface is 0 and EE = 0= 0

66. Field at a Distance from a LineField at a Distance from a Line
of Chargeof Charge
• Select a cylindricalSelect a cylindrical
charge distributioncharge distribution
– The cylinder has aThe cylinder has a
radius ofradius of rr and a lengthand a length
ofof ℓℓ
• EE is constant inis constant in
magnitude andmagnitude and
perpendicular to theperpendicular to the
surface at every pointsurface at every point
on the curved part ofon the curved part of
the surfacethe surface

67. Field Due to a Line of Charge,Field Due to a Line of Charge,
cont.cont.
• The end viewThe end view
confirms the field isconfirms the field is
perpendicular to theperpendicular to the
curved surfacecurved surface
• The field through theThe field through the
ends of the cylinderends of the cylinder
is 0 since the field isis 0 since the field is
parallel to theseparallel to these
surfacessurfaces

68. Field Due to a Line of Charge,Field Due to a Line of Charge,
finalfinal
• Use Gauss’s law to find the fieldUse Gauss’s law to find the field
( )
in
2
2
2
E
o
o
e
o
q
d EdA
ε
λ
Eπr
ε
λ λ
E k
πε r r
Φ = × = =
=
= =
∫ ∫E A
l
l
Ñ Ñ

69. Field Due to a Plane of ChargeField Due to a Plane of Charge
• EE must bemust be
perpendicular to theperpendicular to the
plane and must haveplane and must have
the same magnitude atthe same magnitude at
all points equidistantall points equidistant
from the planefrom the plane
• Choose a smallChoose a small
cylinder whose axis iscylinder whose axis is
perpendicular to theperpendicular to the
plane for the gaussianplane for the gaussian
surfacesurface

70. Field Due to a Plane ofField Due to a Plane of
Charge, contCharge, cont
• EE is parallel to the curved surface andis parallel to the curved surface and
there is no contribution to the surfacethere is no contribution to the surface
area from this curved part of the cylinderarea from this curved part of the cylinder
• The flux through each end of the cylinderThe flux through each end of the cylinder
isis EAEA and so the total flux is 2and so the total flux is 2EAEA

71. Field Due to a Plane ofField Due to a Plane of
Charge, finalCharge, final
• The total charge in the surface isThe total charge in the surface is σσAA
• Applying Gauss’s lawApplying Gauss’s law
• Note, this does not depend onNote, this does not depend on rr
• Therefore, the field is uniformTherefore, the field is uniform
2
2
E
o o
σA σ
EA and E
ε ε
Φ = = =

72. Electrostatic EquilibriumElectrostatic Equilibrium
• When there is no net motion of chargeWhen there is no net motion of charge
within a conductor, the conductor is said towithin a conductor, the conductor is said to
be inbe in electrostatic equilibriumelectrostatic equilibrium

73. Properties of a Conductor inProperties of a Conductor in
Electrostatic EquilibriumElectrostatic Equilibrium
• The electric field is zero everywhere insideThe electric field is zero everywhere inside
the conductorthe conductor
• If an isolated conductor carries a charge,If an isolated conductor carries a charge,
the charge resides on its surfacethe charge resides on its surface
• The electric field just outside a chargedThe electric field just outside a charged
conductor is perpendicular to the surfaceconductor is perpendicular to the surface
and has a magnitude ofand has a magnitude of σσ//εεoo
• On an irregularly shaped conductor, theOn an irregularly shaped conductor, the
surface charge density is greatest atsurface charge density is greatest at

74. Property 1:Property 1: EEinsideinside = 0= 0
• Consider a conducting slab inConsider a conducting slab in
an external fieldan external field EE
• If the field inside the conductorIf the field inside the conductor
were not zero, free electrons inwere not zero, free electrons in
the conductor wouldthe conductor would
experience an electrical forceexperience an electrical force
• These electrons wouldThese electrons would
accelerateaccelerate
• These electrons would not beThese electrons would not be
in equilibriumin equilibrium
• Therefore, there cannot be aTherefore, there cannot be a

75. Property 1:Property 1: EEinsideinside = 0, cont.= 0, cont.
• Before the external field is applied, freeBefore the external field is applied, free
electrons are distributed throughout theelectrons are distributed throughout the
conductorconductor
• When the external field is applied, theWhen the external field is applied, the
electrons redistribute until the magnitude ofelectrons redistribute until the magnitude of
the internal field equals the magnitude of thethe internal field equals the magnitude of the
external fieldexternal field
• There is a net field of zero inside theThere is a net field of zero inside the
conductorconductor
-15-15

76. Property 2: Charge Resides onProperty 2: Charge Resides on
the Surfacethe Surface
• Choose a gaussian surfaceChoose a gaussian surface
inside but close to the actualinside but close to the actual
surfacesurface
• The electric field inside isThe electric field inside is
zero (prop. 1)zero (prop. 1)
• There is no net flux throughThere is no net flux through
the gaussian surfacethe gaussian surface
• Because the gaussianBecause the gaussian
surface can be as close tosurface can be as close to
the actual surface asthe actual surface as
desired, there can be nodesired, there can be no
charge inside the surfacecharge inside the surface

77. Property 2: Charge ResidesProperty 2: Charge Resides
on the Surface, conton the Surface, cont
• Since no net charge can be inside theSince no net charge can be inside the
surface, any net charge must residesurface, any net charge must reside onon
the surfacethe surface
• Gauss’s law does not indicate theGauss’s law does not indicate the
distribution of these charges, only that itdistribution of these charges, only that it
must be on the surface of the conductormust be on the surface of the conductor

78. Property 3: Field’s MagnitudeProperty 3: Field’s Magnitude
and Directionand Direction
• Choose a cylinder asChoose a cylinder as
the gaussian surfacethe gaussian surface
• The field must beThe field must be
perpendicular to theperpendicular to the
surfacesurface
– If there were a parallelIf there were a parallel
component tocomponent to EE,,
charges wouldcharges would
experience a force andexperience a force and
accelerate along theaccelerate along the
surface and it wouldsurface and it would
not be in equilibriumnot be in equilibrium

79. Property 3: Field’s MagnitudeProperty 3: Field’s Magnitude
and Direction, cont.and Direction, cont.
• The net flux through the gaussian surfaceThe net flux through the gaussian surface
is through only the flat face outside theis through only the flat face outside the
conductorconductor
– The field here is perpendicular to the surfaceThe field here is perpendicular to the surface
• Applying Gauss’s lawApplying Gauss’s law
E
o o
σA σ
EA and E
ε ε
Φ = = =

80. Conductors in Equilibrium,Conductors in Equilibrium,
exampleexample
• The field lines areThe field lines are
perpendicular toperpendicular to
both conductorsboth conductors
• There are no fieldThere are no field
lines inside thelines inside the
cylindercylinder

81. Derivation of Gauss’s LawDerivation of Gauss’s Law
• We will use a solidWe will use a solid
angle,angle, ΩΩ
• A spherical surfaceA spherical surface
of radiusof radius rr containscontains
an area elementan area element ΔΔAA
• The solid angleThe solid angle
subtended at thesubtended at the
center of the spherecenter of the sphere
is defined to beis defined to be
2
A
r
∆
Ω =

82. Some Notes About SolidSome Notes About Solid
AnglesAngles
• AA andand rr22
have the same units, sohave the same units, so ΩΩ is ais a
dimensionless ratiodimensionless ratio
• We give the nameWe give the name steradiansteradian to thisto this
dimensionless ratiodimensionless ratio
• The total solid angle subtended by aThe total solid angle subtended by a
sphere is 4sphere is 4ππ steradianssteradians

83. Derivation of Gauss’s Law,Derivation of Gauss’s Law,
cont.cont.
• Consider a pointConsider a point
charge,charge, qq, surrounded, surrounded
by a closed surface ofby a closed surface of
arbitrary shapearbitrary shape
• The total flux throughThe total flux through
this surface can bethis surface can be
found by evaluatingfound by evaluating
EE..
ΔΔAA for each smallfor each small
area element andarea element and
summing over all thesumming over all the
elementselements

84. Derivation of Gauss’s Law,Derivation of Gauss’s Law,
finalfinal
• The flux through each element isThe flux through each element is
• Relating to the solid angleRelating to the solid angle
– where this is the solid angle subtended bywhere this is the solid angle subtended by
ΔΔAA
( ) 2
cos
cosE e
Aθ
Eθ A k q
r
∆
Φ = ×∆ = ∆ =E A
2
cosAθ
r
∆
∆Ω =
2
cos
E e e
o
dAθ q
k q k q d
rε
Φ = = Ω =∫ ∫Ñ Ñ

85. Densidad de las líneas deDensidad de las líneas de
campocampo
∆NSuperficie gaussiana
N
A
σ
∆
=
∆
Densidad de
líneas σ
Ley de Gauss: El campo E en cualquier punto en
el espacio es proporcional a la densidad de
líneas σ en dicho punto.
Ley de Gauss: El campo E en cualquier punto en
el espacio es proporcional a la densidad de
líneas σ en dicho punto.
∆A
Radio r
rr

86. Densidad de líneas y constante deDensidad de líneas y constante de
espaciamientoespaciamiento
Considere el campo cerca de una carga positiva q:Considere el campo cerca de una carga positiva q:
Superficie gaussiana
Radio r
rr
Luego, imagine una superficie (radio r) que rodea a q.Luego, imagine una superficie (radio r) que rodea a q.
EE es proporcional aes proporcional a ∆∆N/N/∆∆AA y esy es
igual aigual a kq/rkq/r22
en cualquier punto.en cualquier punto.
2
;
N kq
E E
A r
∆
∝ =
∆
εεοο se define como constante dese define como constante de
espaciamiento. Entonces:espaciamiento. Entonces:
0
1
4 k
ε
π
=:esεDonde 00E
A
N
ε=
∆
∆

87. Permitividad del espacio librePermitividad del espacio libre
La constante de proporcionalidad para la densidad deLa constante de proporcionalidad para la densidad de
líneas se conoce comolíneas se conoce como permitividadpermitividad εεοο y se define como:y se define como:
2
-12
0 2
1 C
8.85 x 10
4 N mk
ε
π
= =
⋅
Al recordar la relación con la densidad de líneas se tiene:Al recordar la relación con la densidad de líneas se tiene:
0 0
N
E or N E A
A
ε ε
∆
= ∆ = ∆
∆
Sumar sobre toda el área ASumar sobre toda el área A
da las líneas totales como:da las líneas totales como: N = εoEAN = εoEA

88. Ejemplo 5.Ejemplo 5. Escriba una ecuación paraEscriba una ecuación para
encontrar el número total de líneasencontrar el número total de líneas NN queque
salen de una sola carga positivasalen de una sola carga positiva qq..
Superficie gaussiana
Radio r
rr
Dibuje superficie gaussiana esférica:Dibuje superficie gaussiana esférica:
2
2 2
; A = 4 r
4
kq q
E
r r
π
π
= =
Sustituya E y A de:Sustituya E y A de:
2
0 0 2
(4 )
4
q
N EA r
r
ε ε π
π
 
= =  
 
N = εoqA = qN = εoqA = q
El número total de líneas es igual a la carga encerrada q.El número total de líneas es igual a la carga encerrada q.
EANAEN 00 y εε =∆=∆

89. Ley de GaussLey de Gauss
Ley de Gauss:Ley de Gauss: El número neto de líneas de campoEl número neto de líneas de campo
eléctrico que cruzan cualquier superficie cerrada eneléctrico que cruzan cualquier superficie cerrada en
una dirección hacia afuera es numéricamente igual a launa dirección hacia afuera es numéricamente igual a la
carga neta total dentro de dicha superficie.carga neta total dentro de dicha superficie.
Ley de Gauss:Ley de Gauss: El número neto de líneas de campoEl número neto de líneas de campo
eléctrico que cruzan cualquier superficie cerrada eneléctrico que cruzan cualquier superficie cerrada en
una dirección hacia afuera es numéricamente igual a launa dirección hacia afuera es numéricamente igual a la
carga neta total dentro de dicha superficie.carga neta total dentro de dicha superficie.
0N EA qε= Σ = Σ
SiSi qq se representa como lase representa como la cargacarga
positiva neta encerradapositiva neta encerrada, la ley de, la ley de
Gauss se puede rescribir como:Gauss se puede rescribir como: 0
q
EA
ε
Σ =

90. Ejemplo 6.Ejemplo 6. ¿Cuántas líneas de campo¿Cuántas líneas de campo
eléctrico pasan a través de laeléctrico pasan a través de la
superficie gaussiana dibujada abajo?superficie gaussiana dibujada abajo?
+
-q1
q4
q3
-
+q2
-4 µC
+5 µC
+8 µC
-1 µC
Superficie gaussiana
Primero encuentre la cargaPrimero encuentre la carga
NETANETA ΣΣqq encerrada por laencerrada por la
superficiesuperficie::
ΣΣq = (+8 –4 – 1) = +3q = (+8 –4 – 1) = +3 µµCC
0N EA qε= Σ = Σ
N = +3 µC = +3 x 10-6
líneasN = +3 µC = +3 x 10-6
líneas

91. Ejemplo 6.Ejemplo 6. Una esfera sólida (R = 6 cm) con unaUna esfera sólida (R = 6 cm) con una
carga neta de +8carga neta de +8 µµC está adentro de un cascarónC está adentro de un cascarón
hueco (R = 8 cm) que tiene una carga neta de–6hueco (R = 8 cm) que tiene una carga neta de–6
µµC. ¿Cuál es el campo eléctrico a una distanciaC. ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia
de 12 cm desde el centro de la esfera sólida?de 12 cm desde el centro de la esfera sólida?
ΣΣq = (+8 – 6) = +2q = (+8 – 6) = +2 µµCC
0N EA qε= Σ = Σ
-6 µC
+8 µC-
-
-
-
-
-
- -
Dibuje una esfera gaussiana a unDibuje una esfera gaussiana a un
radio de 12 cm para encontrar E.radio de 12 cm para encontrar E.
8cm
6 cm
12 cm
Superficie gaussiana
0
0
;net
q
AE q E
A
ε
ε
Σ
= =
2
2
-6
2 -12 2Nm
0 C
2 x 10 C
(4 ) (8.85 x 10 )(4 )(0.12 m)
q
E
rε π π
Σ +
= =

92. Ejemplo 6 (Cont.)Ejemplo 6 (Cont.) ¿Cuál es el campo¿Cuál es el campo
eléctrico a una distancia de 12 cm desde eleléctrico a una distancia de 12 cm desde el
centro de la esfera sólida?centro de la esfera sólida?
Dibuje una esfera gaussiana a unDibuje una esfera gaussiana a un
radio de 12 cm para encontrar E.radio de 12 cm para encontrar E.
ΣΣq = (+8 – 6) = +2q = (+8 – 6) = +2 µµCC
0N EA qε= Σ = Σ
0
0
;net
q
AE q E
A
ε
ε
Σ
= =
6 N
C2
0
2 C
1.25 x 10
(4 )
E
r
µ
ε π
+
= =
-6 µC
+8 µC-
-
-
-
-
-
- -
8cm
6 cm
12 cm
Superficie gaussiana
E = 1.25 MN/CE = 1.25 MN/C

93. Carga sobre la superficie de un conductorCarga sobre la superficie de un conductor
Conductor cargado
Superficie gaussiana justo
adentro del conductor
Dado que cargas igualesDado que cargas iguales
se repelen, se esperaríase repelen, se esperaría
que toda la carga seque toda la carga se
movería hasta llegar almovería hasta llegar al
reposo. Entonces, de lareposo. Entonces, de la
ley de Gauss. . .ley de Gauss. . .
Como las cargas están en reposo, E = 0 dentro delComo las cargas están en reposo, E = 0 dentro del
conductor, por tanto:conductor, por tanto:
0 or 0 =N EA q qε= Σ = Σ Σ
Toda la carga está sobre la superficie; nada dentro del conductorToda la carga está sobre la superficie; nada dentro del conductor

94. Ejemplo 7.Ejemplo 7. Use la ley de Gauss para encontrar elUse la ley de Gauss para encontrar el
campo E justo afuera de la superficie de uncampo E justo afuera de la superficie de un
conductor. Densidad de carga superficial:conductor. Densidad de carga superficial: σσ == q/Aq/A..
ConsidereConsidere q adentro de la cajaq adentro de la caja..
Las líneas deLas líneas de EE a través dea través de
todas las áreas son haciatodas las áreas son hacia
afuera.afuera.
Densidad de carga superficial σ
++
+ +
+
+ +
+
+
+ +++
A
E2
E1
0 AE qεΣ =
Las líneas de E a través de losLas líneas de E a través de los
ladoslados se cancelan por simetría.se cancelan por simetría.
E3
E3 E3
E3
εεooEE11A +A + εεooEE22AA == qq
El campo es cero dentro del conductor, así que EEl campo es cero dentro del conductor, así que E22 = 0= 0
00
0 0
q
E
A
σ
ε ε
= =

95. Ejemplo 7 (Cont.)Ejemplo 7 (Cont.) Encuentre el campo justoEncuentre el campo justo
afuera de la superficie siafuera de la superficie si σσ == q/A =q/A = +2 C/m+2 C/m22
..
Densidad de carga superficial σ
++
+ +
+
+ +
+
+
+ +++
A
E2
E1 E3
E3 E3
E3
1
0 0
q
E
A
σ
ε ε
= =
Recuerde que los camposRecuerde que los campos
laterales se cancelan y ellaterales se cancelan y el
campo interior es cero, decampo interior es cero, de
modo quemodo que
2
2
-6 2
-12 Nm
C
2 x 10 C/m
8.85 x 10
E
+
= E = 226,000 N/CE = 226,000 N/C

96. Campo entre placas paralelasCampo entre placas paralelas
Cargas iguales y opuestas.Cargas iguales y opuestas.
Dibuje cajas gaussianas enDibuje cajas gaussianas en
cada superficie interior.cada superficie interior.
+
+
+
+
+
Q1 Q2
-
-
-
-
-
Campos ECampos E11 y Ey E22 a la derecha.a la derecha.
E1
E2
E1
E2
La ley de Gauss para cualquierLa ley de Gauss para cualquier
caja da el mismo campo (Ecaja da el mismo campo (E11 = E= E22).).
0 AE qεΣ = Σ
0 0
q
E
A
σ
ε ε
= =

97. Línea de cargaLínea de carga
r
E
2πr
L
q
L
λ =
A1
A
A2
0
q
; =
2 L
q
E
rL
λ
πε
=
02
E
r
λ
πε
=
Los campos debidosLos campos debidos
a Aa A11 y Ay A22 se cancelanse cancelan
debido a simetría.debido a simetría.
0
; (2 )
q
EA A r Lπ
ε
= =
0 AE qεΣ =

98. Ejemplo 8:Ejemplo 8: El campo eléctrico a unaEl campo eléctrico a una
distancia de 1.5 m de una línea de carga esdistancia de 1.5 m de una línea de carga es
5 x 105 x 1044
N/C. ¿Cuál es la densidad lineal deN/C. ¿Cuál es la densidad lineal de
la línea?la línea?
r
EL
q
L
λ =
02
E
r
λ
πε
=
02 rEλ πε=
2
2
-12 4C
Nm
2 (8.85 x 10 )(1.5 m)(5 x 10 N/C)λ π=
EE = 5 x 10= 5 x 1044
N/CN/C r = 1.5 mr = 1.5 m
λ = 4.17 µC/m

99. Cilindros concéntricosCilindros concéntricos
+ + +
+ + + +
+ +
+ + + + +
+ + + +
+ +
+ +
a
b
λa
λb
r1
r2
-6 µC
ra
rb
12 cm
Superficie gaussiana
λa
λb
Afuera es como un largoAfuera es como un largo
alambre cargado:alambre cargado:
Para
r >
rb
02
a b
E
r
λ λ
πε
+
=
Para
rb > r > ra 02
a
E
r
λ
πε
=

100. Ejemplo 9.Ejemplo 9. Dos cilindros concéntricos de radiosDos cilindros concéntricos de radios 33 yy 6 cm6 cm..
La densidad de carga lineal interior es deLa densidad de carga lineal interior es de +3+3 µµC/mC/m y lay la
exterior es deexterior es de -5-5 µµC/mC/m. Encuentre E a una distancia de. Encuentre E a una distancia de 44
cmcm desde el centro.desde el centro.
+ + +
+ + + +
+ +
+ + + + +
+ + + +
+ +
+ +
a = 3
cm
b=6 cm
-7 µC/m
+5 µC/m
E = 1.38 x 106
N/C, radialmente hacia afueraE = 1.38 x 106
N/C, radialmente hacia afuera
rr
Dibuje una superficieDibuje una superficie
gaussiana entre los cilindros.gaussiana entre los cilindros.
02
b
E
r
λ
πε
=
0
3 C/m
2 (0.04 m)
E
µ
πε
+
=

101. E = 5.00 x 105
N/C, radialmente hacia adentroE = 5.00 x 105
N/C, radialmente hacia adentro
+ + +
+ + + +
+ +
+ + + + +
+ + + +
+ +
+ +
a = 3 cm
b=6 cm
-7 µC/m
+5 µC/m rr
Gaussiana afuera deGaussiana afuera de
ambos cilindros.ambos cilindros.
02
a b
E
r
λ λ
πε
+
=
0
( 3 5) C/m
2 (0.075 m)
E
µ
πε
+ −
=
Ejemplo 8 (Cont.)Ejemplo 8 (Cont.) A continuación, encuentre EA continuación, encuentre E
a una distancia de 7.5 cm desde el centroa una distancia de 7.5 cm desde el centro
(afuera de ambos cilindros)(afuera de ambos cilindros)

102. Resumen de fórmulasResumen de fórmulas
Intensidad de
campo eléctrico E:
Intensidad de
campo eléctrico E:
Campo eléctrico cerca
de muchas cargas:
Campo eléctrico cerca
de muchas cargas:
Ley de Gauss para
distribuciones de carga.
Ley de Gauss para
distribuciones de carga. 0 ;
q
EA q
A
ε σΣ = Σ =
C
N
r
kQ
q
F
E esUnidad2
==
vectorialSuma2∑=
r
kQ
E

103. CONCLUSIÓN: Capítulo 24CONCLUSIÓN: Capítulo 24
El campo eléctricoEl campo eléctrico