1. Profesora: Albina Ordóñez Valenzuela
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
La función exponencial en el mundo que nos rodea.
Las amebas (busca en un diccionario información sobre ellas) seres unicelulares, se
reproducen partiéndose en dos, fenómeno conocido como bipartición.
La bipartición se produce más o menos rápido según las condiciones del medio en el
que se encuentren.
1ª Práctica. Supongamos que inicialmente tenemos una sola ameba y que la
bipartición se produce cada hora, calcula el número de amebas que se van
reproduciendo y completa esta tabla:
Tiempo
en 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
horas
Amebas
El ejemplo planteado es un caso de comportamiento asimilable a la función
exponencial.
Crecimiento de una población.
Imagino que una vez construida la tabla habrás llegado a la conclusión de que al cabo
de x horas el número total de amebas será de:
y = 2 x si al comienzo sólo había una ameba.
2ª Práctica. Supongamos que inicialmente tenemos 20 amebas y que la bipartición se
produce cada hora, calcula el número de amebas que se van reproduciendo y completa
esta tabla:
Tiempo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
en horas
Amebas
Intenta obtener la expresión de la nueva función.
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Este es uno de los muchos ejemplos que pueden darse de crecimiento de una población.
La población podía ser de personas, plantas, etc. pero la ley de crecimiento tendrá
siempre la misma forma:
y = kax
donde el crecimiento peculiar de cada población viene dado por el valor de la constante
a. El exponente x indicará la unidad de tiempo tenida en cuenta.
Compara la expresión general con tu caso particular.
Generalización.
La función y = a x con a > 0 se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL En un primer
momento vamos a estudiarla para valores de a >1.
3ª Práctica. Inicialmente trabajaremos con a = 2 y k=1.
Da valores positivos a la variable independiente x. Observa el comportamiento de la
función.
A continuación da valores negativos. Observa el comportamiento de la función.
¿La función es creciente o decreciente? ¿Qué le ocurre al tender x a menos infinito?
Cuando hayas manejado suficientemente esta aplicación, cambia el valor de a (eso sí,
siempre mayor que uno) y repite el proceso.
Finalmente cambia el valor de k (eso sí, siempre positivo), repite y observa las
variaciones que se producen.
4ª Práctica. Compara esas funciones y anota en tu cuaderno sus parecidos y
diferencias.
Desintegración radiactiva.
Pero si únicamente estudiásemos los crecimientos nuestra actividad estaría
incompleta.
Las sustancias radiactivas como el uranio, se desintegran transformándose en otras
sustancias y lo hacen con mayor o menor rapidez según de la sustancia de que se trate.
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5ª Práctica. Supongamos que tenemos un kilogramo de uranio que se desintegra
reduciéndose a la mitad cada año. El resto de la sustancia no desaparece sino que se
transforma en otra sustancia química distinta. Rellena la tabla.
Tiempo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
en años
Masa de
uranio
El nuevo ejemplo planteado es también un caso de comportamiento asimilable a la
función exponencial aunque algo distinto al anteriormente visto.
Imagino que no necesitarás repetir el proceso anterior para llegar a la expresión
general.
6º Práctica. Apunta en tu cuaderno la expresión de la nueva función.
Generalización.
Vamos a estudiarla para valores de 0<a<1.
7ª Práctica. Inicialmente trabajaremos con a = 1/2 y k = 1.
Da valores positivos a la variable independiente x. Observa el comportamiento de la
función.
A continuación da valores negativos. Observa el comportamiento de la función.
¿La función es creciente o decreciente? ¿Qué le ocurre al tender x a más infinito?
Cuando hayas manejado suficientemente esta aplicación, cambia el valor de a (eso sí
valores comprendidos entre cero y uno) y repite el proceso anterior.
Finalmente cambia el valor de k (eso sí, siempre positivo),repite el procedimiento y
observa las variaciones que se producen.
8ª Práctica. ¿Qué ocurre para a = 1?
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Dominio de la función exponencial.
Después de haber trabajado en las dos escenas, primero con la función exponencial
con a>1 y luego con 0<a<1.
9ª Práctica. ¿Cuál es el dominio de dicha función? ¿Es el mismo en ambos casos?
Te recomiendo volver hacia atrás en el caso de duda y que varíes los valores de x en
las escenas.
Asíntota de la función exponencial.
Después de haber trabajado en las dos escenas, primero con la función exponencial
con a>1 y luego con 0<a<1.
10ª Práctica. ¿Qué ocurre al acercarse los valores de x al infinito? Comprueba este
fenómeno para distintos valores de a con a>1 y con 0<a<1.
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