Funciones

1. LA FUNCIÓN
LA FUNCIÓN
EXPONENCIAL
EXPONENCIAL
Pablo Abner Pagán Rivera
Pablo Abner Pagán Rivera
Gloria López Náter
Gloria López Náter
Mat. 133 Sección 3 (Pre-Cálculo)
Profesora M. Alonso

2. FUNCIONES
• Una función es una regla de asociación que relaciona
dos o mas conjuntos entre sí.
• Se hace uso de las funciones reales en el manejo de
cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a
que se está usando subconjuntos de los números
reales.
• Las funciones son de mucho valor y utilidad para
resolver problemas de la vida diaria, problemas de
finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de
medicina, de química y física, de astronomía, de
geología, y de cualquier área social donde haya que
relacionar variables. existen varios

3. TIPOS DE FUNCIONES
• Función inversa
• Función cuadrática
• Función lineal
• Función de raíz cuadrada
• Función de raíz cúbica
• Función de valor absoluto
• Función Racional
• Función de dominio partido
• Función exponencial
Función exponencial
• Función logarítmica

4. ¿Qué es la Función Exponencial?
n

5. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
• La función exponencial se define mediante la forma:
F(x)= bx
en la cual b y x son números reales tal que b>0 y b≠1.
En dicha función b es una constante llamada base y el
exponente, dominio de f, es el conjunto de todos los
números reales. Es necesario que b sea positivo para
evitar números complejos.

6. FUNCIONES EXPONENCIALES
• Se denominan a menudo “funciones de crecimiento”
debido a que se usan extensamente en la descripción de
diversos tipos de fenómenos de crecimiento.
• Se usan para describir el crecimiento de la población de
las personas, animales, y bacterias; la desintegración
radioactiva (crecimiento negativo), la formación de una
sustancia nueva en una reacción química; el aumento o
descenso de la temperatura de una sustancia que se
calienta o se enfría; el aumento del capital con interés
compuesto; la absorción de la luz (crecimiento negativo)
cuando pasa por el aire, agua o vidrio; el descenso de la
presión atmosférica cuando aumenta la altura; y el
aprendizaje de una destreza como la natación o la
mecanografía, en función de la practica.

7. PROPIEDADES
• El dominio consiste de todos los números reales.
• El rango consiste de todos los números positivos.
• La función es creciente (la curva sube) cuando b>1 y es
decreciente (la curva baja) cuando 0<b<1.
• La curva es cóncava hacia arriba cuando b>1 y cuando
0<b<1.
• Es una función biunívoca { si f(x1)= f(x2) ; x1=x2 }.
• El punto (0,1) pertenece a la curva.
• En esta función no hay abscisa al origen.
• El eje de x es una asíntota horizontal a la curva: hacia la
izquierda cuando b>1 y hacia la derecha cuando 0>b>1.

8. La Función Exponencial Natural
La Función Exponencial Natural
• Esta se define como:
F(x)=ex
en donde e es un número irracional que puede
expresarse con cualquier grado de exactitud
usando una serie infinita.
Con siete cifras decimales, el valor de e puede
aproximarse a 2,7182818. Además de escribirse
como ex, también se escribe como
y=exp. (x)

9. PROPIEDADES
• Su dominio lo son todos los números reales.
• En su rango toda y>0.
• Cuando la función es creciente la curva de esta
es cóncava hacia arriba.
• Para poder determinar si esta es función
biunívoca se establece que:
si ex^1=ex^2 entonces x^1 = x^2 y que
0<e(x) <1, cuando x<0; e^0=1; cuando x>0 exK.

10. ENTREVISTA REALIZADA
• Entrevistado:
– Profesor Francisco Arencibia-Albite
Universidad del Sagrado Corazón en
Santurce, Puerto Rico
– Nos habló con respecto a la utilidad de la
Función exponencial en la Biología.

11. ¿Para qué utiliza usted la función exponencial
en su área de estudios y enseñanza?
• “La utilizo para describir el comportamiento de los
canales iónicos, ya que en las membranas existen unos
polos en las proteínas integradas a la membrana de la
célula que permiten la entrada y salida de sustancias. En
esto es donde actualmente me estoy enfocando más.
Esta función la utilizo y la modifico para saber un
aproximado de la carga que pasa entre esos polos y por
que es que pasa al uno abrirse por la carga que tengan;
para describir el voltaje de dependencia de los canales
iónicos. Estos canales pueden estar en dos estados,
cerrado o abierto. Con esto se pueden provocar dos
estímulos de las membranas. También en las
transiciones químicas que provoco haciendo que el
voltaje en las proteínas de las membranas cambie. La
transición es cambiar de cerrado a abierto y vise-versa.”

12. ¿Por qué es tan importante estudiar
estas estructuras?
• “Es muy importante debido a que la función
exponencial nos ayuda a ver los canales de la
membrana si están bien o si hubo un cambio o una
mutación; acá le decimos que esa membrana se
enfermo; debido a la carga de la compuerta o como
en ingles se diría “Gating Charge’’. Además es
también muy importante ya que gracias a esta
función pudimos encontrar muchas enfermedades
que ocurren en los canales iónicos de las proteínas
de la membrana, tal como la Canalopatía.”

13. ¿Sabe de alguna otra enfermedad que se ha
encontrado gracias a la función exponencial?
• “Si, esta la fibrosis cística en donde los canales que
permiten el flujo del ión de Cloro en las células
epiteliales no lo hacen adecuadamente y la
enfermedad hereditaria del reflejo del susto
exagerado (“Startel Disease”) en donde los canales
iónicos cuya apertura es regulada por glicina
(neurotransmisor) ahora no responden a ella con la
misma afinidad. Cuando haces este experimento es
particular es bien gracioso porque ves como al
asustar levemente al ratón hace un movimiento de
susto exagerado que causa gracia. Es bien nítido
este experimento.”

14. ¿Cómo yo como estudiante puedo utilizar
esta función en mi vida diaria?
• “Ahora mismo no es tan útil pero una vez que la
conoces bien la puedes utilizar hasta para saber la
gráfica del crecimiento de un árbol. Las funciones
permiten identificar los elementos de un fenómeno,
y describen de manera efectiva la utilización de ese
fenómeno en particular. Debes pasar un tiempo que
es bastante largo para conocer bien esta función y
aprender paso a paso la utilidad de las matemáticas
para entonces poder ir aplicándolas; o sea que al
principio lo vas a notar como que medio aburrido y
hasta llegas a preguntarte ¿para que rayos quiero
saber yo esto? Pero a la larga sabrás y entenderás
el por qué.

15. ¿Cuál es la importancia de esta función
en las Matemáticas?
• “Es súper importante porque se utiliza en cualquier
área en la que haya crecimiento. Esta función es
medular para las estadísticas, o sea es fundamental
y en la investigación no haces nada si no utilizas las
estadísticas, así es que también utilizas la función
exponencial. Un biólogo, un químico, un científico,
etc. siempre utiliza esta función para ver el
comportamiento del crecimiento de alguna planta,
sustancia o algún animal, por lo tanto es súper
importante para la vida de los que estudian algún
tipo de ciencias y tenga que hacer alguna
investigación por más mínima que sea.”

16. ¿Donde usted utiliza más esta función?
• “La utilizo mas en mi especialidad que son las
neuronas, las membranas de las neuronas.
También se pueden utilizar en ecología para saber
el crecimiento de las poblaciones ya sea de plantas,
hongos o bacterias; pero donde mas me enfoco o
utilizo es en la membrana de las neuronas. En fin la
función exponencial esta básicamente en todas
partes.”

17. Suposiciones del Modelo
EJEMPLO - Considere una colonia de microorganismos
de tamaño N^0 donde cada uno de sus miembros es
capaz de duplicarse en un intervalo de tiempo
relativamente fijo. Por ejemplo, una colonia de bacterias.
Supongamos además, que esta colonia reside en un
entorno en donde el espacio y los nutrientes son
aproximadamente inagotables. Ahora, observemos la
colonia durante un periodo de tiempo suficientemente
amplio como para presentar un crecimiento significativo,
pero que a su vez este sea de mucha menor duración
para la expectativa de vida promedio de las bacterias.
Estas precauciones son solo para asegurarnos de que el
crecimiento observado sea el resultado de la tasa de
nacimientos y no el resultado de la interacción de otras
variables que pudieran estar afectando el curso temporal
de crecimiento.

18. RESOLVIENDO FUNCIONES
RESOLVIENDO FUNCIONES
EXPONENCIALES
EXPONENCIALES

20. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

21. VIDEO (FUNCIONES EXPONENCIALES)

22. Ejemplos para realizar
Ejercicios de Práctica
1. Suponga que tiene una población inicial de 25 bacterias y
que la constante de duplicación es 4.5 horas, ¿Cuántas
bacterias habrá al cabo de 4 días?
2. Una persona se infecta con 10 bacterias de cierto tipo y el
tiempo de duplicación de las mismas es 0.5 horas. Como
producto secundario de su metabolismo estas secretan una
proteína que en ciertos individuos ocasiona reacciones
alérgicas severas cuando se acumula en altas
concentraciones. Esta concentración cítrica suele alcanzarse
cuando la población de bacterias es de al menos un millón.
Suponiendo que la persona infectada es alérgica a dicha
proteína ¿en cuantos días, aproximadamente, esta
comenzara a presentar síntomas de alergia.

23. CONCLUSIÓN
• Definitivamente es increíble y sorprendente como cada vez el
ser humano descubre muchísimos métodos más para poder
alcanzar la respuesta a un sinnúmero de dudas y
planteamientos que se realiza. Sin duda alguna, se puede
decir ¿qué seriamos o que haríamos sin las matemáticas?
¿Cómo resolveríamos y descubriríamos todo lo que hasta
ahora se ha logrado gracias a esta? En algo tan sencillo y
que sucede todos los días como lo es el crecimiento ya sea
de una población de personas, animales o bacterias y otros
ejemplos ya antes citados, vemos lo esencial que es dentro
de este campo matemático este tipo de función: la función
exponencial. Ha cambiado totalmente nuestra manera de
pensar en relación a lo que se nos enseña y aprendemos en
clase ya que de nada nos sirve equiparnos con las
herramientas que nos dicen que necesitamos si al fin y al
cabo no sabremos como utilizarlas en el campo de trabajo.

24. CONCLUSIÓN
• Queda claro ante nosotros que esta es imprescindible en
nuestro diario vivir porque nos ayuda en todo lo que
realizamos. Seria nuestro deseo que todos los estudiantes se
entusiasmaran a ver más de cerca todo lo que estudian y no
conformarse con el simple hecho de querer aprender eso
para quizás pasar el curso y llegar preparado a al curso
próximo de mayor dificultad sino aprender para utilizar las
herramientas de forma adecuada y ser de gran ayuda para
todos y todo lo que nos rodea. Estamos seguros de que este
método de utilización que hoy nosotros podemos entender
mejor gracias a este trabajo especial nos ayudará a ser
mejores estudiantes, ciudadanos, profesionales y seres
humanos en nuestro diario vivir.
Definitivamente, la matemática no se limita a un salón de
clases así que ¿por qué habríamos nosotros de hacerlo?

25. BIBLIOGRAFÍA
• Presentaciones en “Power Point” sobre las Funciones, Funciones
Básicas y Funciones Exponenciales y Logarítmicas de la
Profesora Alonso.
• Entrevista al Profesor Arencibia (Profesor de la Universidad del
Sagrado Corazón en Santurce, Puerto Rico).
• Documentos facilitados por el Prof. Arencibia (contenía ejemplos
de los ejercicios en los que se utilizaba la función exponencial).
• Google - Símbolos Matematicos, Función Exponencial
• Libro de Precalculo 5ta Edición de Max Sobel, Norbert Lerner.
• http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml
• http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/
funcionexponentenatural.htm
• http://www.vadenumeros.es/segundo/representar-funcion-
exponencial.htm