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Edición 2014
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ISBN 9789929804692
Índice................................................................................................................................................	I
Semana 18
Expresiones algebraicas...............................................................................	1
¡Para comenzar! ¿Conoce usted la torre inclinada de Pisa? ....................................... 	2
El mundo de la matemática
1.	 Clasificación de expresiones algebraicas .....................................................................	3
	 1.1 Monomio ...........................................................................................................................	3
	 1.2 Polinomio .......................................................................................................................... 	4
	 1.3 Polinomios ordenados .................................................................................................	5
	 	 	a. Por orden alfabético ................................................................................................	5
	 	 	b. Orden descendente .................................................................................................	5
	 	 	c. Orden ascendente ....................................................................................................	5
2.	 Valor numérico de una expresión algebraica..............................................................	6
	 2.1 Expresión algebraica con una sola variable ......................................................... 	6
	 2.2 Expresión algebraica con dos variables ................................................................	6
	 2.3 Expresión algebraica con tres variables ................................................................	7
Resumen .........................................................................................................................................	8
Autocontrol ..................................................................................................................................	9
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	12
Razonamiento lógico................................................................................................................	13
Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................	14
Semana 19
Suma y resta de polinomios .................................................................	15
¡Para comenzar! ¿Cómo se suman y restan números enteros? ................................. 	16
El mundo de la matemática
1.	 Suma y resta de polinomios .............................................................................................	17
	 1.1		 Suma y resta de monomios ......................................................................................	17
	 1.2		Suma y resta de un monomio con un polinomio ............................................ 	19
	 1.3		Suma y resta de polinomios .....................................................................................	21
Resumen .........................................................................................................................................	23
Autocontrol...................................................................................................................................	24
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	26
Razonamiento lógico................................................................................................................	27
Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................	28
Índice
IMatemática − Índice
Semana 20
Multiplicación de polinomios I ........................................................... 	29
¡Para comenzar! Ley de signos para el producto ............................................................ 	 30
			 Producto de potencias de igual base .................................................	 30
El mundo de la matemática
1. 	Multiplicación de polinomios ...........................................................................................	31
	 1.1		Producto de dos o más monomios .......................................................................	31
	 1.2		Producto de un monomio por un polinomio .................................................... 	34
Resumen .........................................................................................................................................	36
Autocontrol...................................................................................................................................	37
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	40
Razonamiento lógico................................................................................................................	41
Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................	42
Semana 21
Multiplicación de polinomios II ......................................................... 	43
¡Para comenzar! Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la
suma y la resta...............................................................................................................................	 44
El mundo de la matemática
1.	 Multiplicación de polinomios ...........................................................................................	45
	 1.1		Multiplicación de un binomio por otro binomio .............................................. 	45
	 1.2		Multiplicación de polinomios ...................................................................................	48
Resumen .........................................................................................................................................	51
Autocontrol...................................................................................................................................	52
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	54
Razonamiento lógico................................................................................................................	55
Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................	56
Semana 22
Productos notables I ........................................................................................	57
¡Para comenzar! Joseph Louis Lagrange ............................................................................	 58
El mundo de la matemática
1.	 Productos notables ............................................................................................................... 	59
	 1.1		Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2
.................................................. 	59
	 1.2		Cuadrado de la resta de un binomio (a - b)2
.................................................... 	61
Resumen .........................................................................................................................................	62
Autocontrol...................................................................................................................................	63
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	65
Razonamiento lógico................................................................................................................	66
II IGER − Utatlán
Semana 23
Productos notables II ......................................................................................	67
¡Para comenzar! Emmy Noether ..........................................................................................	 68
El mundo de la matemática
1.	 Productos Notables............................................................................................................... 	69
	 1.1		Producto de la suma por la diferencia ..................................................................	69
	 1.2		Producto de dos binomios con un término común y signos iguales ....... 	71
			a. (a + b)(a + c) .............................................................................................................	71
	 	 	b. (a - b)(a - c) .............................................................................................................	72
Resumen .........................................................................................................................................	73
Autocontrol...................................................................................................................................	74
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	77
Razonamiento lógico................................................................................................................	78
Semana 24
División de polinomios ..................................................................................	79
¡Para comenzar! Ley de signos de la división ...................................................................	 80
			 División de potencias de igual base....................................................	 80
El mundo de la matemática
1.	 División de polinomios ....................................................................................................... 	81
	 1.1		División de un monomio entre otro monomio ................................................. 	81
	 1.2		División de polinomio entre monomio ................................................................ 	83
	 1.3		División de un polinomio entre un binomio: La regla de Ruffini ............... 	84
Resumen .........................................................................................................................................	87
Autocontrol...................................................................................................................................	88
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	90
Razonamiento lógico................................................................................................................	91
Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................	92
Semana 25
Repaso semanas 18-24 .............................................................................	93
El mundo de la matemática
Expresiones algebraicas ............................................................................................................	95
Suma y resta de polinomios.....................................................................................................	97
Multiplicación de polinomios I ...............................................................................................	100
Multiplicación de polinomios II ..............................................................................................	102
Productos notables I ...................................................................................................................	105
Productos notables II .................................................................................................................	106
IIIMatemática − Índice
División de polinomios...............................................................................................................	108
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	111
Orientaciones sobre la prueba parcial ............................................................................	112
Semana 26
Pares ordenados y producto cartesiano ............................ 	113
¡Para comenzar! Elija su menú .............................................................................................	 114
El mundo de la matemática
1.	 Pares ordenados .................................................................................................................... 	115
2.	 Producto cartesiano ............................................................................................................. 	116
	 2.1		Formas de representar el producto cartesiano.................................................. 	116
	 	 	a.	Forma enumerativa .................................................................................................	116
	 	 	b.	Tabla de doble entrada ..........................................................................................	118
	 	 		 El plano cartesiano...................................................................................................	119
	 	 	c.	Representación del conjunto producto cartesiano en el plano
	 	 		 cartesiano ....................................................................................................................	120
Resumen .........................................................................................................................................	121
Autocontrol...................................................................................................................................	122
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	125
Razonamiento lógico ..............................................................................................................	126
Semana 27
Relaciones y funciones ...............................................................................	127
¡Para comenzar! ¡Osadía hasta la cumbre! ......................................................................	 128
El mundo de la matemática
1.	 Relaciones ................................................................................................................................ 	129
	 1.1		Representación gráfica de una relación ............................................................... 	129
2.	 Funciones ................................................................................................................................. 	131
	 2.1		Representación gráfica de una función ................................................................	132
Resumen .........................................................................................................................................	134
Autocontrol...................................................................................................................................	135
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	138
Razonamiento lógico ..............................................................................................................	139
Desarrolle nuevas habilidades.............................................................................................	140
IV IGER − Utatlán
Semana 28
Funciones lineales ...............................................................................................	141
¡Para comenzar! Sistema de coordenadas cartesianas ........................................................	 142
El mundo de la matemática
1.	 Función lineal .......................................................................................................................... 	143
	 1.1		Función de proporcionalidad f(x) = ax ................................................................	144
	 1.2		Función afín f(x) = ax + b..........................................................................................	146
Practique en la red... ................................................................................................................	150
Resumen .........................................................................................................................................	150
Autocontrol...................................................................................................................................	151
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	153
Razonamiento lógico................................................................................................................	154
Semana 29
Estadística I ....................................................................................................................	155
¡Para comenzar! Historia de la Estadística......................................................................... 	 156
El mundo de la matemática
1.	 Estadística ................................................................................................................................. 	157
	 1.1		Estadística descriptiva .................................................................................................	157
	 1.2		Estadística inferencial ..................................................................................................	157
2.	 Términos estadísticos ........................................................................................................... 	158
3.	 Organización de datos ........................................................................................................ 	160
	 3.1		Organización de datos nominales ..........................................................................	160
	 3.2		Organización de datos ordinales ............................................................................	161
	 	 3.2.1.	 Conteo y organización de datos ordinales ............................................ 	161
Resumen .........................................................................................................................................	163
Autocontrol ..................................................................................................................................	164
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	167
Razonamiento lógico................................................................................................................	168
Semana 30
Estadística II ..................................................................................................................	169
¡Para comenzar! Estadística en la computadora ............................................................ 	 170
El mundo de la matemática
1.	 Gráficas estadísticas.............................................................................................................. 	171
	 1.1		Tipos de gráficas estadísticas....................................................................................	172
	 	 	a.	Diagrama de barras..................................................................................................	172
	 	 	b.	Polígono de frecuencias.........................................................................................	174
	 	 	c.	Diagrama de sectores..............................................................................................	176
VMatemática − Índice
Resumen .........................................................................................................................................	178
Autocontrol...................................................................................................................................	179
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	182
Razonamiento lógico................................................................................................................	183
Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................	184
Semana 31
Medidas de tendencia central............................................................. 	185
¡Para comenzar! Y usted, ¿qué opina?.................................................................................	 186
El mundo de la matemática
1.	 Medidas de tendencia central...........................................................................................	187
	 1.1		La media aritmética (X)................................................................................................	187
	 1.2		La mediana (Me).............................................................................................................	190
	 	 	a.	La mediana para una cantidad par de datos ................................................ 	192
	 1.3		La moda (Mo)..................................................................................................................	194
Resumen .........................................................................................................................................	195
Autocontrol...................................................................................................................................	196
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	198
Razonamiento lógico................................................................................................................	199
Semana 32
Sistema de numeración maya ........................................................... 	201
¡Para comenzar! Un recorrido por el mundo con los sistemas de numeración.... 	 202
El mundo de la matemática
1.	 La numeración maya............................................................................................................. 	203
	 1.1		Símbolos de la numeración maya...........................................................................	203
	 	 	a.	Números del 1 al 19 ................................................................................................	203
	 	 	b.	Números mayores de 19........................................................................................	205
	 1.2		Conversión del sistema decimal a numeración maya .................................... 	205
	 1.3		Conversión de numeración maya a sistema decimal ...................................... 	208
Resumen .........................................................................................................................................	209
Autocontrol ..................................................................................................................................	210
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	213
Razonamiento lógico................................................................................................................	214
VI IGER − Utatlán
Semana 33
Suma y resta con números mayas ............................................ 	215
¡Para comenzar! Calendario maya ......................................................................................	 216
El mundo de la matemática
1.	 Suma con números mayas ................................................................................................	217
2.	 Resta con números mayas..................................................................................................	220
Resumen .........................................................................................................................................	221
Autocontrol...................................................................................................................................	222
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	225
Razonamiento lógico................................................................................................................	226
Semana 34
Repaso: semanas 26 a 33 .....................................................................	227
El mundo de la matemática
Pares ordenados y producto cartesiano..............................................................................	229
Relaciones y funciones................................................................................................................	231
Funciones lineales .......................................................................................................................	234
Estadística I .....................................................................................................................................	236
Estadística II ...................................................................................................................................	239
Medidas de tendencia central ................................................................................................	242
Sistema de numeración maya .................................................................................................	244
Suma y resta con números mayas..........................................................................................	247
Agilidad de cálculo mental ...................................................................................................	249
Orientación sobre la prueba final......................................................................................	250
Claves.............................................................................................................................................	251
Bibliografía...............................................................................................................................	277
VIIMatemática − Índice
18
Expresiones algebraicas
¿Qué encontrará esta semana?
	 ¿Conoce usted la torre inclinada de Pisa?
	 Clasificación, grado, orden y valor numérico de expresiones algebraicas
	 Valuar expresiones algebraicas
	 Problemas de polinomios
Esta semana logrará:
	 Clasificar expresiones algebraicas según el número de términos.
	 Identificar el grado absoluto y relativo de un polinomio.
	 Escribir expresiones algebraicas en orden alfabético, descendente y ascendente.
	 Calcular el valor numérico de una expresión algebraica.
	 Practicar el cálculo mental.
	
1Matemática − Semana 18
¡Para comenzar!
¿Conoce usted la torre inclinada de Pisa?
La Torre inclinada de Pisa es el campanario de la
catedral de la ciudad de Pisa, en Italia. Comenzó a
inclinarse tan pronto inició su construcción. ¿Sabe
qué altura tiene?
La pregunta se puede responder a través de una
expresión algebraica que los científicos han deter-
minado para calcular la altura de cualquier torre.
Solo hay que tomar el tiempo que tarda en caer un
objeto desde la parte más alta hasta el suelo.
Si el objeto se deja caer libremente, la fórmula o expresión algebraica que nos
permite calcular la altura es:
h
gt
2
2
=
h es la altura del edificio.
g es el valor constante de la gravedad, 9.8 m/s2
(aceleración con que los objetos
caen sobre la tierra).
t es el tiempo que tarda en caer el objeto.
Ahora ya podemos calcular la altura. Si un objeto tarda 3.37 segundos en caer
desde el punto más alto de la torre de Pisa hasta el suelo, sustituimos los
valores en la fórmula, operamos y obtenemos la respuesta. Así:
( ) . ( . ) . 55.66
9.8 3.37
h
2 2
9 8 11 36
2
111 33
2
= = = =h
gt
2
2
=
Respuesta: La torre inclinada de Pisa mide 55.66 metros de altura.
¡A trabajar!
Conteste las preguntas.
1)	 ¿Cuál es el valor constante de la gravedad (g)?				
2)	 ¿Cuál es el valor del tiempo (t) que tarda en caer el objeto?		
3)	 ¿Qué variables se sustituyeron en la expresión matemática?		
4)	 ¿Cuál es el valor de h después de operar?					
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2 IGER − Utatlán
1.	 Clasificación de expresiones 		
	algebraicas
Así como los polígonos se clasifican por el número de sus lados en triángulos,
cuadrados, pentágonos, etc. las expresiones algebraicas se catalogan por el
número de términos que las forman. Veamos.
1.1	Monomio
Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término alge-
braico, en la cual, las potencias de las variables son números enteros positivos.
Por ejemplo.
-4a3
b2
Un monomio indica siempre el producto de dos o más factores, o lo que es lo
mismo, todos los valores numéricos y literales se multiplican entre sí.
En el ejemplo, los factores son: -4, a3
, b2
. El coeficiente (-4) es el factor numé-
rico y las variables (a3
, b2
) son los factores literales.
Veamos algunos ejemplos de monomios.
7, 	 2a, 		 -5b, 		-2xy3
, 		 -x2
y4
z,		2
5
b2
c3
Ahora veremos algunos ejemplos de expresiones algebraicas que no son
monomios.
2a + b, 		 2a + b + 1, 		 5w1/2		 4y2
x3
No son monomios porque el primero tiene dos términos algebraicos, el segundo
tiene tres, el tercero tiene variable con exponente fraccionario y el último indica
una división de dos monomios.
	Ejercicio 1
Escriba sobre la línea si la expresión algebraica es monomio o no y explique por qué. Hay un ejemplo.
0)	 2x + 1 	 	
1)	 5x3
y		 	
2)	 2
c
a3
		 	
3)	 -6d2
c	 	
Un monomio se
compone de las
mismas partes que un
término algebraico:
•	 signo
•	 coeficiente
•	 variable
•	 exponente
no es monomio 		 porque está formada por dos términos algebraicos
3Matemática − Semana 18
El mundo de la matemática
1.2	Polinomio
Llamamos polinomio a la suma o la resta algebraica de dos o más monomios.
Si un polinomio está formado por dos monomios recibe el nombre de binomio.
Por ejemplo.
	 2c + d
Si un polinomio está formado por tres monomios recibe el nombre de trino-
mio. Por ejemplo.
	 3y2
+ 4z - x
Si una expresión algebraica tiene cuatro o más monomios recibe el nombre de
polinomio. Por ejemplo.
	 x3
+ x2
+ x + 1
1.2.1 Grado de un polinomio
Cuando hablamos del grado de un polinomio, nos referimos al valor máximo de
los exponentes de los monomios que lo forman. Puede ser absoluto o relativo.
El grado absoluto es la suma de todos los exponentes de las variables que
forman un monomio. Por ejemplo.
	 4b2
c3
El grado absoluto es 5 porque la suma de los exponentes es 2 + 3 = 5.
El grado relativo es el mayor exponente al que está elevada una variable de-
terminada. Un polinomio tendrá tantos grados relativos como variables tenga.
Por ejemplo.
	 2x4
y + 3x2
y2
El grado relativo respecto a la variable x es 4 porque es su mayor exponente. El
grado relativo respecto de y es 2 porque es su mayor exponente.
	Ejercicio 2
Complete la tabla escribiendo si el polinomio se clasifica como binomio o trinomio. Luego escriba
el grado relativo respecto a la variable indicada. Hay un ejemplo.
polinomio clasificación grado de x grado de y
2x3
y + 2x2
y + y2 trinomio 3 2
x3
y + xy2
3x5
y + 4x4
y3
+ x2
6x4
y2
+ 4x3
y5
4 IGER − Utatlán
Ejercicio 3
Observe con atención cada polinomio, luego escríbalos en orden alfabético y descendente. Hay un
ejemplo.
e + a + b a + b + e
a + a3
+ a2
a2
+ a3
b
c3
+ c5
+ c2
x2
y3
+ x + x4
y2
-3r5
+ s + r3
s
a3
b2
+ a5
b + a
1.3	 Polinomios ordenados
Un polinomio se puede escribir o expresar en orden alfabético o en orden as-
cendente y descendente según los exponentes.
a.	 Orden alfabético
Ordenar alfabéticamente un polinomio es escribir las variables de los términos
en la misma disposición de las letras en el alfabeto, como el polinomio del
ejemplo.
	 a + b + c
b.	 Orden descendente
Ordenar un polinomio en forma descendente significa escribir de mayor a me-
nor valor los exponentes de la variable. Por ejemplo.
	 x3
+ x2
+ x + 1
Atención: cuando un polinomio tiene dos o más variables, se escribe en orden
descendente respecto de la primera letra y en orden ascendente respecto de la
segunda. Por ejemplo.
	a4
b + a3
b2
+ a2
b3
c.	 Orden ascendente
Ordenar un polinomio en forma ascendente significa escribir de menor a mayor
valor, los exponentes de la variable. Por ejemplo.
	 1 + x + x2
+ x3
Recuerde:
Todo número elevado
al exponente cero da
como resultado uno.
Ejemplo: x0
= 1
5Matemática − Semana 18
2.	 Valor numérico de una expresión 	
	algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir las letras de dicha expresión por valores numéricos asignados a cada
letra y desarrollar las operaciones indicadas.
Para calcular el valor numérico de una expresión algebraica, seguimos los pasos
siguientes:
•	 Sustituir cada variable por el valor asignado.
•	 Operar respetando los signos de agrupación y la jerarquía
de las operaciones, en el orden siguiente:
1.	 { [ ( ) ] } 	signos de agrupación
2.	 xn
, x 	 potencias y raíces
3.	 •, ÷ 		 multiplicación y división
4.	 +, – 		 sumas y restas
•	 Obtener el valor numérico.
2.1	 Expresión algebraica con una sola variable
Si x = 2, calculemos el valor numérico de:
•	 Sustituimos la variable por su valor.
•	 Operamos según la jerarquía de las operaciones.
•	 Obtenemos el valor numérico.
Escribimos la respuesta: Si x = 2	 	 4x3
+ x2
+ 5 = 41
2.2	 Expresión algebraica con dos variables
Si a = 1 y b = 2, calculemos el valor numérico de: 				2a + 3b
•	 Sustituimos cada variable por su valor.
•	 Operamos según la jerarquía de las operaciones.
•	 Obtenemos el valor numérico.
Escribimos la respuesta: Si a = 1 y b = 2	 	2a + 3b = 8
( ) ( )
( )
4 5
4 8 4 5
32 9
2 2
41
3 2
= + +
= + +
= +
=
x x4 53 2
+ +
2( ) 3( )1 2
2 6
8
= +
= +
=
Recuerde
En la semana 15
del grupo Quiriguá
aprendimos a resolver
operaciones combi-
nadas y con signos de
agrupación.
6 IGER − Utatlán
2.3	 Expresión algebraica con tres variables
Si a = 3, b = -2, c = 2, calculemos el valor numérico de
•	 Sustituimos cada variable por su valor.
•	 Operamos según la jerarquía de las
operaciones.
•	 Obtenemos el valor numérico.
Escribimos la respuesta: Si a = 3, b = -2, c = 2	 	 3ab2
- c3
+ ac = 34
3
( ) ( )( )
( )( )
2 3 2
ab c ac
3 3 4 8 6
36 2
34
2 3
3
- +
+
= - +
= -
=
= 3(3)(-2)2
-
	Ejercicio 4
Calcule el valor numérico de las expresiones algebraicas según los valores asignados.
1)	Si x = 4, calcule el valor numérico de: 	
•	 Sustituya la variable por su valor.
•	 Opere según la jerarquía de las operaciones.
•	 Obtenga el valor numérico.
Escriba la respuesta: Si x = 4	 	 3x2
- 2x + 1 =
2)	Si a = 1 y b = 2, calcule el valor numérico de:	
•	 Sustituya cada variable por su valor.
•	 Opere según la jerarquía de las operaciones.
•	 Obtenga el valor numérico.
Escriba la respuesta: Si a = 1 y b = 2		 	 3a + 2b =
( ) ( )
( )
x x3 2 1
3 2 1
3
2
2
- +
= - +
= - +
= -
=
.......... ..........
............. .......... ..........
............. .............
.............
( ) ( )
a b3 2
3 2
+
= +
= +
=
.......... ..........
.......... ..........
..........
7Matemática − Semana 18
3)	Si c = 2 y d = 3, calcule el valor numérico de: 			 2c3
+ c2
d - d
•	 Sustituya cada variable por su valor.
•	 Opere según la jerarquía de las operaciones.
•	 Obtenga el valor numérico.
Escriba la respuesta: Si = 2 y d = 3		 	 2c3
+ c2
d - d =
1.	 Las expresiones algebraicas se clasifican según el número de términos.
1.1	Monomio es una expresión algebraica formada por un solo término.
1.2	Polinomio es la suma o la resta de dos o más monomios.
	 Binomio es un polinomio formado por dos monomios.
	 Trinomio es un polinomio formado por tres monomios.
	 Si una expresión algebraica está formada por cuatro o más
terminos recibe el nombre de polinomio.
1.2.1	El grado de un polinomio es el mayor exponente de los monomios que lo forman. Puede
ser absoluto o relativo.
	El grado absoluto es la suma de los exponentes de cada variable.
	El grado relativo es el mayor exponente al que está elevada una variable.
1.3	Un polinomio se puede escribir en orden alfabético (a, b, c... etc.), en orden ascendente (de
menor a mayor grado del exponente) o descendente (de mayor a menor grado del exponente).
2.	El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir cada letra
por un valor asignado y realizar las operaciones indicadas.
	 -3c3
d4
	 2a + b2
	 a + b + c + 1
	 3a3
+ b2
+ 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2
2
3 2
= + -
= + -
= + -
=
......... ......... ......... .........
......... ......... ......... .........
............ ............ .........
............
8 IGER − Utatlán
Resumen
Actividad 1. Demuestre lo aprendido
A.	 Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta.
1)	 ¿Cuál es un ejemplo de monomio?
2)	 ¿Cuántos términos algebraicos tiene un binomio?
3)	 Si escribimos el trinomio 2x2
+ 3x5
+ x3
en orden
descendente, ¿cuál sería el primer término?
4)	 ¿Cuál es el grado relativo respecto de x del polinomio
3yx + x2
+ 5y2
x3
?
5)	 Si escribimos el trinomio e + d + c en orden alfabético,
¿cuál sería el primer término?
B.	 Clasifique cada polinomio en binomio, trinomio o polinomio si tiene más de tres términos. Luego
escriba el grado relativo respecto de cada variable. Hay un ejemplo.
2x + w
x2
y3
1 + x2
3x5
2x2
x3
1
2
3
c
d
e
uno
dos
tres
polinomio clasificación grado de x grado de y
-5x5
+ 4x2
y2
+ 3y trinomio 5 2
2x2
- 5x
x3
+ 2x2
+ 5xy
y5
+ y3
+ 2
+ 2
x6
y4
+ x4
y
x5
+ 2x3
y3
+ 4xy
y6
- 5y4
+ 2y2
+ 1
x4
y + 6x3
y2
- 7x2
y3
9Matemática − Semana 18
Autocontrol
Actividad 2. Practique lo aprendido
A.	 Escriba cada polinomio en orden alfabético y descendente. Hay un ejemplo.
y2
+ 3 + y y2
+ y + 3
x + 1 + x3
+ x2
c + d + a + b
x2
y + xy2
+ x3
ac3
+ a2
c2
+ a3
b2
c - b3
c + b4
yz2
+ y2
z - y3
z
2r3
+ r + r2
xy2
- x2
y3
+ x4
y
B.	 Siga los pasos para determinar el valor numérico de cada expresión algebraica, según los valores
asignados.
1)	Si a = 4 y b = 5, calcule el valor numérico de:
•	 Sustituya cada variable por su valor.
•	 Opere según la jerarquía de las operaciones.
•	 Obtenga el valor numérico.
Escriba la respuesta: Si a = 4 y b = 5 2a - b =
2)	Si a = -1 y b = 2, calcule el valor numérico de:
•	 Sustituya cada variable por su valor.
•	 Opere según la jerarquía de las operaciones.
•	 Obtenga el valor numérico.
Escriba la respuesta: Si a = -1 y b = 2	 		3ab3
+ b2
=
( )( ) ( )
( )( )
ab b3
3
3
3 2
3 2
+
= +
= +
= +
=
.......... .......... ..........
.......... .......... .............
............. ..........
.............
( )
a b2
2
-
= -
= -
=
.......... ..........
.......... ..........
...........
10 IGER − Utatlán
C.	 Calcule el valor numérico de cada expresión algebraica tomando en cuenta los valores asignados a
cada letra. Hay un ejemplo.
	Si a = 2, b = 1, c = 3, d = 4
0)	 -2a2
b + d			 1)	 3a + b - c 						 2)	 4a2
+ 2a - 3
	
( ) ( ) ( )
( )( )
2 2 1 4
2 4 1 4
8 4
4
2
-
=- +
=- +
=- +
=
	 -2a2
b + d = - 4
3)	 c3
+ 2c2
- 3c + 4		 4)	 4bc - d2
						 5)	 2b + 3c - 2d
6)	 2ab2
+ c2
				 7)	 3ab3
+ c2
- 4d				 8)	 3a2
b3
- c2
9)	 bc + 2c3
- 3d			 10)	 a3
b + 2bc2
- d2
			 11)	
4bc + d
2a
11Matemática − Semana 18
Calcule el valor numérico de cada expresión algebraica tomando en cuenta los valores asignados.
Escriba su respuesta sobre la línea. Hágalo lo más rápido que pueda. Fíjese en los ejemplos.
A.		 Si b = 2						Si d = -2					Si e = -5
0)	 b + 2 = 				6)	d + 11 = 			 12)	 e + 18 =
1)	 b + 1 = 				7)		d + 14 = 			 13)	 e + 25 =
2)	 b + 5 = 				8)		d + 16 = 			 14)	 e + 24 =
3)	 b + 6 = 				9)		d + 12 = 			 15)	 e + 28 =
4)	 b + 9 = 			10)	d + 19 = 			 16)	 e + 33 =
5)	 b + 7 = 			11)	d + 23 = 			 17)	 e + 37 =
B.		 Si b = 4	Si c = 2	 Si d = 3
0)	 3b = 				7)	2c = 			14)	5d =
1)	 2b = 				8)	6c = 			15)	3d =
2)	 4b = 				9)	9c = 			16)	7d =
3)	 5b = 			10)	8c = 			17)	2d =
4)	 7b = 			11)	5c = 			18)	9d =
5)	 9b = 			12)	3c = 			19)	4d =
6)	 6b = 			13)	7c = 			20)	8d =
C.		 Si a = 2	Si b = 10	 Si c = 3
0)	 a3
= 			5)	b1
= 				10)	c2
=
1)	 a2
= 			6)	b3
= 				11)	c1
=
2)	 a4
= 			7)	b0
= 				12)	c3
=
3)	 a1
= 			8)	b2
= 				13)	c0
=
4)	 a0
= 			9)	b4
= 				14)	c2
+ 2 =
4
12
8
9 13
12 IGER − Utatlán
Agilidad de cálculo mental
Lea cuidadosamente cada problema y luego realice las actividades. Fíjese en el ejemplo.
A.	 El triángulo de la figura siguiente está dividido a su vez en otros dos triángulos más pequeños
(1 y 2). La medida de cada lado está representada por una variable.
a
b
h
c d
1 2
1)	 Escriba un polinomio que represente el perímetro del
triángulo mayor (suma de sus lados).
2)	 Escriba un binomio que represente el lado más largo
del triángulo mayor.
3)	 Escriba un trinomio que represente el perímetro del
triángulo 1.
4)	Si b = 2.24, d = 2 y h = 1, ¿cuánto mide el perímetro
del triángulo 2?
B.	 Observe con atención la figura siguiente, luego realice las actividades en su cuaderno.
x
y
2x
3x
z
y + z 1
2
1)	 Escriba un polinomio que represente el perímetro del rectángulo 1. Pista: aplique la fórmula
de perímetro de un rectángulo.
2)	 Escriba un polinomio que represente el perímetro del rectángulo 2.
3)	 Escriba un polinomio que represente el perímetro de la figura completa.
4)	Si x = 6, ¿cuántas unidades mide el lado horizontal más largo de la figura?
5)	Si y = 1 y z = 2, ¿cuántas unidades mide el lado vertical más largo de la figura?
6)	 Si los valores de las letras son x = 5, y = 2, z = 3, ¿cuántas unidades mide el perímetro de la
figura total?
a + b + (c + d)
13Matemática − Semana 18
Razonamiento lógico
Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento.
logrado
en
proceso
no
logrado
Despuésdeestudiar...
Clasifico expresiones algebraicas según el número de términos.
Identifico el grado relativo de un polinomio.
Escribo expresiones algebraicas en orden alfabético, descendente y
ascendente.
Calculo el valor numérico de una expresión algebraica.
Practico el cálculo mental.
Desarrolle nuevas habilidades
¡Expresemos en forma de polinomios!
Sabemos que una letra en álgebra representa cualquier número. Por lo tanto,
la longitud de los lados y el área de unos azulejos se pueden representar por
medio de variables. Por ejemplo.
azulejo cuadrado
Área = a2
a
a
Área = a : b
azulejo rectangular
b
a
Utilizando la expresión de área en cada caso, representamos modelos de poli-
nomios con diferentes azulejos. Por ejemplo.
modelo expresión polinomial del área
2a2
+ 4a : ba2
a2
a : b a : b
a : b a : b
Ahora le toca a usted escribir una expresión polinomial que represente el área
de los azulejos.
modelo expresión polinomial del área
a2 a : b
a : ba : b
a : b b2
b2
b2
b2
b2
b2
a
b
14 IGER − Utatlán
Revise su aprendizaje
19
Suma y resta de polinomios
¿Qué encontrará esta semana?
	 Suma y resta de números enteros
	 Suma y resta de monomios y polinomios
	 Suma de enteros y términos semejantes
	 Ejercicios de habilidad visual
Esta semana logrará:
	 Recordar cómo se suman y restan números enteros.
	 Identificar monomios semejantes.
	 Sumar y restar polinomios.
	 Practicar el cálculo mental de suma de enteros y términos semejantes.
	 Resolver ejercicios de habilidad visual.
	
15Matemática − Semana 19
¡Para comenzar!
¿Cómo se suman y restan números enteros?
Esta semana recordaremos cómo se suman y restan números enteros para
operar polinomios de manera rápida y precisa.
En los cursos anteriores aprendimos que el conjunto de los números enteros
está formado por los números enteros positivos y los números enteros negati-
vos. Son ejemplo de estos números:
–10, –5, –1, 6, 100, 255
Suma de números enteros
Las reglas para la suma se aplican a dos casos: números con igual signo y
números con distinto signo.
•	 Suma de números enteros con signos iguales
Para sumar números enteros con signos iguales, se suman los valores absolutos
y se conserva el signo, si el signo es positivo, no se escribe en el resultado.
Ejemplos:
a.	12 + 25 = 37
b.	65 + 96 = 161
c.	(–3) + (–8) = –11
d.	(–24) + (–26) = –50
•	 Suma de números enteros con signos diferentes
Si los números enteros tienen diferente signo, se restan los valores absolutos y
al resultado se le escribe el signo del número con mayor valor absoluto.
Ejemplos:
a.	 10 + (–5) = 5
b.	 5 + (–51) = –46
c.	 –14 + 34 = 20
d.	 –110 + 50 = –60
¡A trabajar!
Realice las operaciones con números enteros. Tiene un ejemplo.
0)	 2 + (-6) = 		 2)	 -10 + (-6) = 		4)		-85 + (-10) =
1)	 -3 + (-4) = 		3)	 10 + 25 = 		5)		52 + (-18) =
-4
16 IGER − Utatlán
1.	 Suma y resta de polinomios
	 Peras con peras y manzanas con manzanas
En un canasto tenemos cuatro peras y tres manzanas, y en otro, cinco peras y
dos manzanas. ¿Cuántas frutas de cada clase tenemos en total?
Aunque en el canasto las frutas están revueltas, para obtener el total de man-
zanas debemos sumar solamente las manzanas y aparte las peras. Lo mismo
sucede en álgebra, un polinomio puede tener diferentes términos pero solo los
términos semejantes se pueden sumar o restar.
Recuerde que términos semejantes son las expresiones algebraicas que tienen
las mismas variables elevadas a la misma potencia, aunque el coeficiente numé-
rico sea diferente. Por ejemplo 7a2
c es semejante a 3a2
c.
1.1	 Suma y resta de monomios
Para sumar o restar monomios, se suman o restan los coeficientes numéricos
respetando la ley de signos y se mantiene el coeficiente literal. Podemos efec-
tuar las operaciones en sentido horizontal o vertical.
Veamos un ejemplo.
Operemos
En sentido horizontal
•	 Sumamos los coeficientes numéricos y
copiamos la parte literal.
En sentido vertical
•	 Escribimos un monomio debajo del otro.
•	 Sumamos los coeficientes numéricos y
copiamos la parte literal.
¡Otro ejemplo!
Operemos
En sentido horizontal
•	 Por la ley de signos sumamos los coeficien-
tes numéricos y copiamos la parte literal.
En sentido vertical
•	 Escribimos un monomio debajo del otro.
•	 Sumamos los coeficientes numéricos y
copiamos la parte literal.
2a + 3a
2a + 3a = 5a
-5yz - 12yz
-5yz - 12yz = -17yz
5
a
a
a
2
3+
yz
yz
yz
5
12
17
-
-
-
Números con el
mismo signo se
suman y se mantiene
el signo.
17Matemática − Semana 19
El mundo de la matemática
Ejercicio 1
A.	 Opere los monomios en sentido horizontal.
1)	 3x + 15x = 			 4)	 -8a2
b5
c4
- 16a2
b5
c4
=
2)	 6x6
y8
- 12x6
y8
= 			 5)	 -36a3
b5
+ 15a3
b5
=
3)	 10x2
y2
- 5x2
y2
= 			 6)	 -32x6
y8
-18x6
y8
=
B.	 Opere los monomios en sentido vertical.
	1)	2xy + 16xy =	
•	 Escriba un monomio debajo del otro.
•	 Sume los coeficientes numéricos y copie la parte literal.
2)	 -2x4
y3
- 6x4
y3
=	
•	 Escriba un monomio debajo del otro.
•	 Sume los coeficientes numéricos y copie la parte literal.
(ponga atención al signo)
3)	 5a3
b2
c - 9a3
b2
c =
•	 Escriba un monomio debajo del otro.
•	 Reste los coeficientes numéricos y copie la parte literal.
¡Un ejemplo más!
Operemos
En sentido horizontal
•	 Por la ley de signos restamos los coefi-
cientes numéricos y copiamos la parte
literal.
En sentido vertical
•	 Escribimos un monomio debajo del otro.
•	 Restamos los coeficientes numéricos y
copiamos la parte literal.
-25x3
y2
+ 6x3
y2
-25x3
y2
+ 6x3
y2
= -19x3
y2
19
x y
x y
x y
25
6
3 2
3 2
3 2
-
+
-
2xy
+
-
-
-
Números con signos
diferentes se restan y
se escribe el signo del
número mayor.
18 IGER − Utatlán
1.2	 Suma y resta de un monomio con un 	
	 polinomio
Cuando sumamos o restamos un monomio con un polinomio, eliminamos los
paréntesis del polinomio, para eso recuerde:
•	 Un signo positivo delante de un paréntesis no altera los signos que
están dentro.
•	 Un signo negativo delante del paréntesis cambia el signo de todas las
cantidades que están dentro.
Operemos
En sentido horizontal
•	 Eliminamos los paréntesis.
•	 Ordenamos y agrupamos términos
semejantes.
•	 Sumamos o restamos según sea el caso
y obtenemos el resultado.
•	 Escribimos la respuesta: 		 2b + (3a + 3b - 4c) = 3a + 5b - 4c
En sentido vertical
•	 Eliminamos los paréntesis respetando la
ley de signos y escribimos el monomio
debajo del polinomio, de tal manera
que queden en la misma columna los
términos semejantes.
•	 Sumamos o restamos según sea el caso
y obtenemos el resultado.
¡Otro ejemplo!
Operemos
En sentido horizontal
•	 Eliminamos los paréntesis.
•	 Ordenamos y agrupamos términos
semejantes.
•	 Sumamos o restamos según sea el caso
y obtenemos el resultado.
•	 Escribimos la respuesta: 	 2x - (3xy + 6x - 6y) = -4x - 3xy + 6y
( )
( )
b a b c
b a b c
a c
a b c
b b
2 3 3 4
2 3 3 4
3 4
3 5 4
2 3
+ + -
= + + -
= + -
= + -
+
2
a b c
b
a b c
3 3 4
3 5 4
+ -
+
+ -
2 (3 6 6 )
( ) 3 62 6
x xy x y
x xy x y
xy y
x xy y
x x
2 3 6 6
4 3 6
- + -
= - - +
= - - +
=- - +
19Matemática − Semana 19
No olvide que un
signo negativo
delante del paréntesis
cambia el signo de
todas las cantidades
que están dentro.
	Ejercicio 2
A.	 Opere un monomio con un polinomio en sentido horizontal.
1)	
•	 Elimine los paréntesis.
•	 Sume o reste según sea el caso y obtenga el
resultado.
2)	
•	 Elimine los paréntesis.
•	 Agrupe términos semejantes.
•	 Sume o reste según sea el caso y obtenga el
resultado.
B.	 Opere un monomio con un polinomio en sentido vertical.
•	 Escriba el monomio debajo del polinomio sin
paréntesis, de tal manera que queden en la
misma columna los términos semejantes.
•	 Sume o reste según sea el caso y obtenga el
resultado.
Un ejemplo más
Operemos
En sentido horizontal
•	 Eliminamos los paréntesis operando el signo
menos que está delante del polinomio.
•	 Ordenamos y agrupamos términos
semejantes.
•	 Sumamos y obtenemos el resultado.
•	 Escribimos la respuesta: 18x - (3x2
y2
+ 4x - 6) = -3x2
y2
+ 14x + 6
En sentido vertical
•	 Eliminamos los paréntesis respetando la
ley de signos y escribimos el monomio
debajo del polinomio, de tal manera
que queden en la misma columna los
términos semejantes.
•	 Sumamos y obtenemos el resultado.
18 (3 4 6)
3 ( ) 618 4
x x y x
x x y x
x y
x y x
x x
18 3 4 6
3 14 6
2 2
2 2
2 2
2 2
- + -
= - - +
=- + +
=- + +
-
18
x y x
x
x y x
3 4 6
3 14 6
2 2
2 2
- - +
+
- + +
9 (3 10)xy xy+ -
= + -
= -
............... ............... ...............
........................... ..............
5 (4 2 5)
5
4 ( )
4
x x x
x
x
x
2
2
2
- - +
= - + -
=- + + -
=- + -
............... ............... ...............
............... ............... ...............
............... ...............
9 (6 6 10)
6
9
x x xy
xy
x
+ + + =
+ +
+
............... ..............
20 IGER − Utatlán
1.3	 Suma y resta de polinomios
Para sumar y restar polinomios se aplican los pasos anteriores.
Operemos
En sentido horizontal
•	 Eliminamos los paréntesis.
•	 Ordenamos y agrupamos
términos semejantes.
•	 Sumamos o restamos
según sea el caso y
obtenemos el resultado.
•	 Escribimos la respuesta:
	 (2x3
+ 3x2
+ 6x + 1) + (5x2
- 3x + 5) = 2x3
+ 8x2
+ 3x + 6
En sentido vertical
•	 Escribimos un polinomio debajo del
otro sin paréntesis, de tal manera
que queden en la misma columna los
términos semejantes.
•	 Sumamos o restamos según sea el
caso y obtenemos el resultado.
Operemos
En sentido horizontal
•	 Eliminamos los paréntesis
operando el signo menos que
está antes del paréntesis.
•	 Ordenamos y agrupamos
términos semejantes.
•	 Sumamos o restamos según sea el
caso y obtenemos el resultado.
•	 Escribimos la respuesta: (7y2
+ 4y + 3) - (5y2
+ 3y - 2) = 2y2
+ y + 5
En sentido vertical
•	 Escribimos un polinomio debajo del
otro sin paréntesis, de tal manera
que queden en la misma columna los
términos semejantes.
•	 Sumamos o restamos según sea el
caso y obtenemos el resultado.
(2x3
+ 3x2
+ 6x + 1) + (5x2
- 3x + 5)
= 2x3
+ 3x2
+ 6x + 1 + 5x2
- 3x + 5
= 2x3
+ (3x2
+ 5x2
) + (6x - 3x) + (1 + 5)
= 2x3
+ 8x2
+ 3x + 6
(7y2
+ 4y + 3) - (5y2
+ 3y - 2)
= 7y2
+ 4y + 3 - 5y2
- 3y + 2
= (7y2
- 5y2
) + (4y - 3y) + (3 + 2)
= 2y2
+ y + 5
5 3 5
x x x
x x
x x x
2 3 6 1
2 8 3 6
3 2
2
3 2
+ + +
+ - +
+ + +
5 3 2
y y
y y
y y
7 4 3
2 5
2
2
2
+ +
+ +
- - +
21Matemática − Semana 19
Operemos
En sentido horizontal
•	 Eliminamos los paréntesis,
teniendo cuidado de operar
el signo menos delante del
paréntesis.
•	 Ordenamos y agrupamos
términos semejantes.
•	 Sumamos o restamos según
sea el caso y obtenemos el
resultado.
•	 Escribimos la respuesta:
	 (5x2
y + 9xy + 5x) - (4x2
y + 3xy - 8) = x2
y + 6xy + 5x + 8
En sentido vertical
•	 Escribimos un polinomio debajo del
otro sin paréntesis, de tal manera que
queden en la misma columna los tér-
minos semejantes.
•	 Sumamos o restamos según sea el caso
y obtenemos el resultado.
(5x2
y + 9xy + 5x) - (4x2
y + 3xy - 8)
= 5x2
y + 9xy + 5x - 4x2
y - 3xy + 8
= (5x2
y - 4x2
y) + (9xy - 3xy) + 5x + 8
= x2
y + 6xy + 5x + 8
	Ejercicio 3
A.	 Opere los polinomios en sentido horizontal.
1)
•	 Elimine los paréntesis.
•	 Ordene y agrupe términos semejantes.
•	 Sume o reste según sea el caso y obtenga
el resultado.
2)	
•	 Elimine los paréntesis.
•	 Ordene y agrupe términos.
•	 Sume o reste según sea el caso y obtenga
el resultado.
(10 6) (3 4)
( )
x x
x x10 6 3 4
+ + -
= + + -
= + + -
= +
............... ............... .............. ..............
.................... ..............
( )
(3 5 1) (2 4 6)
( ) ( ) ( )
x x x x2 2
+ - - - +
= + - - + -
= - + + + - -
= + -
............... ............... ............... ............... ............... ...............
............... ............... ............... ............... ............... ...............
............... ............... ...............
4 3 8
x y xy x
x y xy
x y xy x
5 9 5
6 5 8
2
2
2
+ +
+ + +
- - +
22 IGER − Utatlán
Para sumar o restar monomios, sumamos o restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte
literal.
4m + 11m = 15m
Para sumar o restar monomios y polinomios, eliminamos los paréntesis del polinomio respetando
la ley de signos, agrupamos o alineamos términos semejantes y luego reducimos.
Puede operar los monomios y polinomios en sentido vertical u horizontal.
Sentido horizontal
				(8m + 2n) - (3m + 5n -2) = 8m + 2n - 3m - 5n + 2 =
				(8m - 3m) + (2n - 5n) + 2 = 5m - 3n + 2				
	 Sentido vertical
			
	8m + 2n
-3m - 5n + 2
	 5m - 3n + 2
B.	 Opere los polinomios en sentido vertical.
1)	
•	 Escriba un polinomio debajo del otro sin
paréntesis, de tal manera que queden en la
misma columna los términos semejantes.
•	 Sume o reste según sea el caso y obtenga el
resultado.
2)
•	 Escriba un polinomio debajo del otro sin
paréntesis, de tal manera que queden en la
misma columna los términos semejantes.
•	 Sume o reste según sea el caso y obtenga el
resultado.
3)
•	 Escriba un polinomio debajo del otro sin
paréntesis, de tal manera que queden en la
misma columna los términos semejantes.
•	 Sume o reste según sea el caso y obtenga el
resultado.
( 2 3 6) (5 10)
3
x y x x y
x y
2 2
2
- - + + - =
- - +
+ -
- -
....................... .............. ..............
....................... ..............
............... ...............
............................... .............
.............
..........
............................... ..........
(8 5 2) (10 8 4)
2
a b a a b b
a b
2 2
2
- - - + - =
- -
- -
............. ............. ..........- +-
+
-
(5 3 6) (9 2 4)
5
2
x x x x
x
x
2 2
2
+ - + + + =
+ -
+ +
+ -
.............. ..............
..............
...................
...................
............. ..............
23Matemática − Semana 19
Resumen
Actividad 1. Demuestre lo aprendido
Observe con atención los monomios de cada fila y rellene el círculo de los términos semejantes. Tiene
un ejemplo.
0)	 -2x2
y			 xy - 25	 		 5x2
y						 4x3
y2
1)	 5xy2
			 5x2
y2
				 -6x3
y3
					 -15x2
y2
	
2)	 -25x4
y4
		 -10x4
y			 -10x4
y4
					 -10xy4
	
3)	 -8x2
y3
			 -6x2
y3
z4
			 -9x2
y					 -2x2
y3
z4
4)	 -14w2
x6
		 24w2
x			 -19w3
x3
					 -5w3
x3
5)	 4a4
b3
c			 10a3
b2
c			 -100a4
b3
c				 -100a3
b2
c2
6)	 -10ab2
c3
		 -100a2
b2
c2
		 -100a3
b2
c				 -10a3
b2
c
Actividad 2. Practique lo aprendido
A.	 Opere los polinomios en sentido horizontal. Tiene un ejemplo.
0)	 ( 3 6) (5 4 9)a a a a
a a a a
a a a a
a a a
3 6 5 4 9
3 5 4 6 9
8 4 15
3 2 2
3 2 2
3 2 2
3 2
-
- + - - -
= - + - + +
= - - + + +
= + +
				1)	-x2
+ 8x2
2)	 9x2
y2
+ 6x2
y2
							3)	-2a3
b2
+ 9a3
b2
4)	 5x + (8x + 2y + 10)					5)	5x2
- (2x2
+ x - 10)
24 IGER − Utatlán
Autocontrol
6)	 (2y2
- 4y + 3) + (-6y2
+ 5y + 9)			7)	 (5x3
y2
- 3x2
y + 1) - (9x3
y2
- 2x2
y + 7x)
8)	 (15y2
- 9y + 5) + (2y4
+ 9y2
- 3y)			9)	 (6m2
+ 4m + 15) - (2m2
+ 2m - 4)
B.	 Realice los ejercicios de sumas y resta de polinomios en sentido vertical. Tiene un ejemplo.
0)	 (x2
- 9x + 1) - (3x2
- 4x + 6)				1)	-4x6
y4
+ 9x6
y4
	
3 4 6
x x
x x
x x
9 1
2 5 5
2
2
2
- - -
- +
- + -
2)	 -5x4
y2
- 6x4
y2
							3)	8b + (5a + 2b - 8c)
4)	 4b3
- (2b5
- 6b3
+ 9b)					5)	(a3
+ 2b - 8) - (4a3
+ 3b + 8)
25Matemática − Semana 19
C.	 Realice en su cuaderno las siguientes operaciones con polinomios. Puede resolverlo en sentido
vertical y horizontal.
	1)	 25y + 10y						 11)	 15x - (8x3
- 3x2
+ x)
	2)	 8x4
y3
+ 10x4
y3					
12)	 9x2
- (14x3
+ 2x2
- 4x + 2)
	3)	 14m5
n2
+ m5
n2					
13)	 (3x + 2y + 1) + (5x + 2y + 7)
	4)	 16x2
y2
- 14x2
y2					
14)	 (x2
+ 5x) + (3x2
+ 9x + 16)
	5)	 12a3
b4
- 4a3
b4					
15)	 (4xy + 5x -2y) + (3xy + 4x + 7y + 6)
	6)	 6abc - 8abc						 16)	 (6a - 10b + 8c) - (5a + 7b - c)
	7)	 10a2
b4
- 15a2
b4					
17)	 (2x3
y2
+ 8xy - y) - (6x3
y2
+ 2xy - 4x)
	8)	 8x2
+ (2x3
+ 4x2
+ x)					 18)	 (6a2
b2
+ 2ab - 2) - (2a2
b2
+ 9ab - a)
	9)	 2x3
+ (9x3
- 5x2
- x)					 19)	 (9x2
+ 5y2
- 2x + 3y) - (14x2
+ 7y)
10)	 3m2
+ (m3
- 8m2
+ 4m - 10)			 20)	 (5x3
y2
- 4xy - 5) - (15x3
y2
- 9xy - 8x)
A.	 Practique la ley de signos para sumar y restar. Tiene un ejemplo para cada caso.
0)	 5 + 3 = 				6)	-8 - 9 = 			 12)	 -9 + 4 =
1)	 9 + 6 = 				7)	-6 - 5 = 			 13)	 -6 + 8 =
2)	 5 + 8 = 				8)	-4 - 8 = 			 14)	 -8 + 3 =
3)	 2 + 3 = 				9)	-7 - 9 = 			 15)	 -7 + 8 =
4)	 1 + 1 = 			10)	-2 - 1 = 		 16)	 -5 + 3 =
5)	 9 + 0 = 			11)	-5 - 61 = 		 17)	 -6 + 1 =
B.	 Aplique la misma ley para sumar y restar monomios. Tiene un ejemplo.
	 0)		 -y2
-6y2
= 					6)	-5a -25a =
	 1)		 5x + 5x = 					7)	 -24a + a =
	 2)		 2a + 6a = 					8)	 3x3
-17x3
=
	 3)		 -8y -9y = 					9)	 24x -39x =
	 4)		 x3
+ 5x3
= 				10)	 8a2
- 19a2
=
	 5)		 -5w -8w = 				11)	 -9a3
+ 19a3
=
8
-7y2
-17 -5
26 IGER − Utatlán
Agilidad de cálculo mental
En esta actividad le proponemos que, utilizando su habilidad visual, observe detenidamente las fi-
guras y responda las preguntas que siguen. De esta manera estará desarrollando su capacidad de
atención a los detalles.
			
1unidad
1 unidad
1unidad
1)	 ¿Cuántos triángulos pequeños tienen una medida de 1 unidad por lado?
2)	 ¿Cuántos triángulos tienen una medida lateral de 2 unidades por lado?
3)	 ¿Cuántos triángulos con una medida lateral de 3 unidades contienen un número de círculos
que es múltiplo de 3?
							
1 unidad
1 unidad
1unidad
1unidad
1)	 ¿Cuántos cuadrados pequeños tienen una medida de 1 unidad por lado?
2)	 ¿Cuántos cuadrados tienen una medida lateral de 3 unidades por lado?
3)	 ¿Cuántos cuadrados con una medida de 1 unidad contienen un número de círculos que es
múltiplo de 2?
27Matemática − Semana 19
Razonamiento lógico
Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento.
logrado
en
proceso
no
logrado
Despuésde
estudiar...
Recuerdo cómo se suman y restan números enteros.
Identifico monomios semejantes.
Sumo y resto monomios, monomio con polinomio y polinomios.
Practico el cálculo mental de suma de enteros y términos semejantes.
Resuelvo ejercicios de habilidad visual.
Desarrolle nuevas habilidades
El álgebra tiene como característica que utiliza patrones o fórmulas para operar números y letras.
Observe los dibujos siguientes y escriba un polinomio que represente la serie de figuras que se le
indican. Guíese por el ejemplo.
0)	 + + + + + + =
1)	 + + + + + + + =
2)	 + + + + + + + =
3)	 + + + + + + + =
4)	 + + + + + + + + + =
5)	 + + + + + + + + + =
6)	 + + + + + + + + =
4 + 3
28 IGER − Utatlán
Revise su aprendizaje
20
Multiplicación de polinomios I
¿Qué encontrará esta semana?
	 Repaso de la ley de signos y del producto de potencias
	 Multiplicación de dos o más monomios y de monomio por polinomio
	 Producto de números enteros y producto de dos monomios
	 Área algebraica de figuras geométricas y traducción de lenguaje común a
lenguaje algebraico
Esta semana logrará:
	 Recordar la ley de signos aplicada al producto de números enteros y el procedimiento
para multiplicar potencias de la misma base.
	 Multiplicar dos o más monomios y un monomio por un polinomio.
	 Practicar el cálculo mental a través del producto de números enteros y de dos
monomios.
	 Calcular el área algebraica de figuras geométricas.
	 Traducir problemas de lenguaje común a lenguaje algebraico.
	
29Matemática − Semana 20
¡Para comenzar!
Para empezar nuestro estudio esta semana conviene recordar cómo multiplicar
números enteros y potencias de la misma base, porque nos servirá para multi-
plicar polinomios.
Ley de signos para el producto
Recuerde:
•	 El producto de dos números enteros con el mismo signo es un número
entero positivo.
•	 El producto de dos números enteros con signo diferente es un número
entero negativo.
Observe con atención los principios de la ley de signos y el ejemplo que lo
acompaña.
ley de signos ejemplo
(+)(+)	=	+ (7)(3)	 =		 21
( – )( – ) 	=	 + (–7)(–3)	 =		 21
(+)( – ) 	=	 – (7)(–3)	=	–21
( – )(+)	=	– (–7)(3)	=	–21
Producto de potencias de igual base
Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los
exponentes.
Ejemplos	 (32
)(35
) = 32+5
= 37 	
(a4
)(a3
)(a) = a4+3+1
= a8
	(63
)(62
) = 63+2
= 65 	
(x2
)(x2
)(x3
) = x2+2+3
= x7
	
(2)(23
) = 21+3
= 24 	
(b)(b)(b2
) = b1+1+2
= b4
¡A trabajar!
Repase y practique. Tiene algunos ejemplos.
0)	 (-3)(6) = 		 4)	(24
)(23
) = 			8)	 (m6
)(m3
)(m) =
1)	 (2)(-5) = 		 5)	(52
)(54
) = 			 9)	 (a4
)(a)(a2
) =
2)	 (-8)(-4) = 		 6)	(73
)(75
) = 		10)	(b5
)(b4
)(b3
) =
3)	 (-6)(7) = 		 7)	(36
)(37
) = 		11)	(x)(x6
)(x8
) =
m6+3+1
= m10
-18 24+3
= 27
30 IGER − Utatlán
1.	 Multiplicación de polinomios
Para multiplicar polinomios seguimos las mismas leyes del producto y de la
potenciación de números enteros, como acabamos de repasar.
Estudiaremos tres casos de multiplicación de polinomios:
•	 producto de dos o más monomios
•	 producto de un monomio por un polinomio
•	 producto de un polinomio por un polinomio
Esta semana veremos los dos primeros casos, comencemos.
1.1	 Producto de dos o más monomios
A diferencia de la suma y de la resta, que necesitan variables y exponentes igua-
les para reducirlos, podemos multiplicar dos o más monomios aunque tengan
coeficientes, literales y exponentes diferentes. Por ejemplo.
(2a)(3b2
) = 6ab2
Para comprender mejor el tema comencemos por resolver paso a paso un ejem-
plo sencillo. Ponga mucha atención.
Multipliquemos el monomio -2x por el monomio 3x2
.
Escribimos entre paréntesis cada monomio para
indicar la multiplicación.
•	 Agrupamos los coeficientes y las literales por
separado (primero los números, después las
letras).
•	 Multiplicamos los valores agrupados.
	 Acostúmbrese a multiplicar el signo en
primer lugar (- : + = -) después los
coeficientes y por último las variables.
•	 Escribimos la respuesta.
Expresamos el producto completo: 					 (-2x)(3x2
) = -6x3
( 2 )(3 )
( )( )
x x
x x
x
2 3
6 1 2
2
2
: :
-
= -
=- +
x6 3
=-
¡Atención!
Para indicar producto,
además del signo “x”
y paréntesis, también
podemos utilizar el
punto “•” en medio de
los factores (x • y).
31Matemática − Semana 20
El mundo de la matemática
Otro ejemplo
Multipliquemos los monomios.
•	 Agrupamos los factores numéricos y
literales por separado.
	 Ordenamos las letras iguales para faci-
litar la resolución.
•	 Multiplicamos los valores agrupados
(observe la ley de potenciación para x).
•	 Escribimos la respuesta.
Expresamos el producto completo: 					 (2x2
y)(4x) = 8x3
y
Ahora veamos un ejemplo de producto de tres monomios
Seguimos los mismos pasos.
Multipliquemos.	
•	 Agrupamos los factores numéricos
y literales por separado.
•	 Multiplicamos los valores agrupados.
	 Atención al resultado de los signos.
•	 Escribimos la respuesta.
Expresamos el producto completo: 				(-3a)(2a2
)(-3a2
) = 18a5
Otro ejemplo
Multipliquemos	
•	 Agrupamos los factores numéricos
y literales por separado.
•	 Multiplicamos los valores agrupa-
dos. (Atención a los signos diferen-
tes y las potencias iguales)
•	 Escribimos la respuesta.
Expresamos el producto completo: 			(-5x2
y3
)(6xy2
)(2x3
) = -60x6
y5
( )( )
( )( )
( )( )
8
x y x
x y x
x x y
x y
x y
2 4
2 4
8
8
2
2
2
2 1
3
: :=
=
=
=
+
( )( )( )
( )( )
18
a a a
a a a
a
3 2 3
3 2 3
2 2
2 2
1 2 2
: : : :
- -
= - -
= + +
18a5
=
Atención
Para multiplicar
tres cantidades
con diferente signo
podemos hacerlo de
la forma siguiente.
(-3 : 2)(-3) =
(-6 : -3) =
	+ 18
( 5 )(6 )(2 )
( )( )
( )( )
60
x y xy x
x y xy x
x x x y y
x y
5 6 2
60
2 3 2 3
2 3 2 3
2 3 3 2
2 1 3 3 2
: : : :
:: :
-
= -
=-
=- + + +
60x6
y5
=-
32 IGER − Utatlán
Ejercicio 1
A.	 Multiplique los monomios siguiendo los pasos indicados.
1)
•	 Agrupe factores numéricos y literales por
separado.
•	 Multiplique los valores agrupados.
•	 Escribimos la respuesta.
Exprese el producto completo:
2)	
•	 Agrupe los factores numéricos y literales
por separado.
•	 Multiplique los valores agrupados.
•	 Escribimos la respuesta.
Exprese el producto completo:
B.	 Resuelva los productos. Hay un ejemplo.
0)	 ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
x x z
x x z
x x z
x z
x z
x x z x z
4 3
4 3
12
12
12
4 3 12
2 3 2
2 3 2
2 3 2
2 3 2
5 2
2 3 2 5 2
: :=
=
=
=
=
+
				1)	(y)(6y2
) =
2)	 (-6cd)(-2c2
) =						3)	 (2x)(-6x2
y)(2y2
) =
( )( )
(3 2)( )
b b3 23
: :=
=
=
.............. ..............
.........................................................
.........................................................
( )( 2 )( 5 )
(1 2 5)( )
( )( )( )( )
a ab b c
a a
3
: : : :
:
- -
= - -
=
=
=
.............. .............. ..............
.............. ............................ .....................
...............................................................................
...............................................................................
33Matemática − Semana 20
1.2	 Producto de un monomio por un polinomio
El procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio es el siguiente:
•	 Multiplicar el monomio por cada término del polinomio.
•	 Resolver cada operación como producto de dos monomios.
•	 Escribir la respuesta.
Al igual que la suma y la resta, podemos resolver esta operación en sentido
horizontal y vertical. Veamos un ejemplo.
En sentido horizontal
Multipliquemos.
•	 Multiplicamos el monomio por cada
término del polinomio.
•	 Resolvemos cada operación como
producto de dos monomios.
•	 Escribimos la respuesta.
•	 Expresamos el producto completo:   	 	 (3x)(2x + 4y) = 6x2
+ 12xy
En sentido vertical
•	 Escribimos el monomio debajo del
polinomio.
•	 Multiplicamos el monomio por cada
término del polinomio, de derecha
a izquierda.
Otro ejemplo
Multipliquemos
•	 Multiplicamos el mono-
mio por cada término
del polinomio.
•	 Resolvemos cada ope-
ración como producto
de dos monomios.
•	 Escribimos la respuesta.
•	 Expresamos el producto completo:
						(-2x)(x2
- 4x + 5) = -2x3
+ 8x2
- 10x
( )( )
( 2 ) ( 4 )
( )( ) ( )( )
6 12
3 3
x x y
x y
x x x y
x xy
x x
x xy
3 2 4
3 2 3 4
6 12
1 1
2
: :
: :
: :
+
= +
= +
= +
= +
+
3
x y
x
x xy
2 4
6 122
+
+
( )( )
( ) ( 4 ) ( 5)
(2 1)( ) (2 4)( ) (2 5)( )
2 8 10
2 2 2
x x x
x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x
2 4 5
2 8 10
2
2
2
1 2 1 1
3 2
: :
: : :
: : :
- - +
= + - + -
=
=- + -
- -
- + -
=- + -
+ +
34 IGER − Utatlán
En sentido vertical
•	 Escribimos el monomio debajo del
polinomio.
•	 Multiplicamos el monomio por cada
término del polinomio, de derecha
a izquierda.
4 5
2
x x
x
x x x2 8 10
2
3 2
- +
-
- + -
	Ejercicio 2
A.	 Realice cada multiplicación en el sentido indicado.
1)	 Multiplique en sentido horizontal.
•	 Multiplique el monomio por cada término
del polinomio.
•	 Resuelva cada operación como producto
de dos monomios.
•	 Escriba la respuesta:
•	 Exprese el producto completo:
2)	 Multiplique en sentido vertical.
•	 Escriba el monomio debajo del polinomio.
•	 Multiplique el monomio por cada término
del polinomio, de derecha a izquierda.
3) Multiplique en forma horizontal.
•	 Multiplique el monomio por cada
término del polinomio.
•	 Resuelva cada operación como
producto de dos monomios.
•	 Escriba la respuesta:
•	 Exprese el producto completo:
( )( )
(3 )( ) (3 )( )
( )( ) ( )( )
a a a
a a
3 3
3 3 3 1
3 2
: :
+
= +
= +
= +
= +
................... ...................
..................... .....................
....................................... .......................................
............................. .............................
(3 )(3 )
3
a a a
a a
a
3
3 2
3 2
+
+
+.......................... .........................
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
(5 2)( ) (5 4)( ) (5 1)( )
y x y y
y y
5 2 4 1
5 5
2 2
: : :
- - +
= - + - +
=- + -
=- + -
=- + -
.............................. ................. ..........
.............................. ................. ..........
............................................ ....................................... .............................
.................................. .................................. .............................
(-5y)
Recuerde:
Multiplicamos el
signo en primer lugar,
después los coeficien-
tes y por último las
variables.
35Matemática − Semana 20
1.	 Para multiplicar polinomios aplicamos las mismas leyes del producto y de la potenciación de
números enteros.
1.1	Podemos multiplicar dos o más monomios aunque los coeficientes, literales y exponentes sean
diferentes. El procedimiento es el siguiente:
•	 Agrupar los coeficientes numéricos y literales por separado.
•	 Multiplicar los valores agrupados respetando las leyes de los
signos y de la potenciación.
•	 Escribir la respuesta.
1.2	El procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio es:
•	 Multiplicar el monomio por cada término del polinomio.
•	 Resolver cada operación como producto de dos monomios.
•	 Escribir la respuesta.
B.	 Resuelva los productos. Hay un ejemplo.
0)	 ( )( )ab a b bc
a b bc
ab
a b ab c ab
2 4 3 1
4 3 1
2
8 6 2
2
2
3 2 2
- + =
- +
- +
				1)	(3x)(x2
+ 2x - 1) =
2)	 (2xy)(3x2
+ 5y2
+ 2) =				 3)	 (c2
)(3c3
- 2d2
- 4) =	
36 IGER − Utatlán
Resumen
Actividad 1. Demuestre lo aprendido
Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta.
1)	 ¿Qué expresión indica lo mismo que (-1)(x)?
2)	 ¿Qué expresión indica lo mismo que (d2
)(-3)?
3)	 ¿Qué expresión indica lo mismo que (-x)(y)?
4)	 ¿Cuál es el resultado de operar (-b)(-b)?
5)	 ¿Cuál es el resultado de operar (-a)(-a)(-a)?
Actividad 2. Practique lo aprendido
A.	 Siga los pasos para realizar las multiplicaciones.
1)	Multiplique											(3b3
)(-4b2
c)
•	 Agrupe los factores numéricos y literales por separado.
•	 Multiplique los valores agrupados.
•	 Escriba la respuesta:
•	 Exprese el producto completo:
2)	Multiplique 										(-2x2
)(xy)(-4yz)	
•	 Agrupe los factores numéricos y literales por separado. 	
•	 Multiplique los valores agrupados.
•	 Escriba la respuesta:
•	 Exprese el producto completo:
x
-x
-1
d2
- 3
-3 + d2
-3d2
-x + y
-xy
xy
b2
b
-b2
-a3
a3
a2
( )( ): :=
=
=
............... ............... ............... ...............
...........................................................................
...............................................................
( )( )yz: : : :=
=
=
=
................ ................ ................ ................ ................
............................................................
............................................................................
.
...............................................
37Matemática − Semana 20
Autocontrol
3)	 Multiplique en sentido vertical.
a.	 (-x2
)(x2
- 2x + 4) =
•	 Escriba el monomio debajo
del polinomio.
•	 Multiplique el monomio por
cada término del polinomio
de derecha a izquierda.
b.	 (2ab)(3a2
- 4b3
+ 5) =
•	 Escriba el monomio debajo
del polinomio
•	 Multiplique el monomio por
cada término del polinomio
de izquierda a derecha.
B.	 Realice las multiplicaciones. Deje escrito el procedimiento que utilice para obtener el resultado. Hay
un ejemplo.
0)	 ( )( )
( )( )
( )( )
a b a bc
a b a bc
a b c
a b c
a b a bc a b c
6 3
6 3
18
18
6 3 183 2 2 3
3 2 2
3 2 2
3 2 2 1
5 3
5
: :
- =
= -
=-
=-
- = -
+ +
= -18(a3
: a2
)(b2
: b)(c)
				1)	(3a2
)(-2ab) =	
2)	 (2)(3c3
)(2bc2
) =						3)	 (3a2
)(2ab)(-b3
) =
2 4x x
x
x
2
2
4
- +
-
- + -...................... ......................
a b
ab
3 4 5
2
2 2
- +
...................................................................................................
38 IGER − Utatlán
4)	 3(a2
- 4) =							5)	a(2a3
+ 3a2
) =
6)	 3x(2x3
- 3x2
+ 4) =						7)	5y2
(-3x3
y2
+ 2xy - y) =
8)	 2ab(3a3
- 2b3
+ 2ab) =					9)	(-2xy2
)(2x3
y - 3xy + 4y) =
10)		 a3
b2
(-2a3
+ 3b2
+ 3) =					11)		-xz3
(-2x2
+ 3yz2
- y2
+ z) =
39Matemática − Semana 20
Realice mentalmente las multiplicaciones de números enteros y de monomios. Escriba su respuesta
sobre la línea. Tome en cuenta las leyes de los signos y de la potenciación. Hágalo lo más rápido que
pueda. Fíjese en los ejemplos.
A.
0)	 -2(4) =
1)	 -5(2) =
2)	 -2(3) =
3)	 -4(8) =
4)	 -6(7) =
5)	 -3(6) =
	 6)		 3(-2) =
	 7)		 4(-8) =
	 8)		 5(-7) =
	 9)		 2(-5) =
10)		 6(-4) =
11)		 8(-7) =
12)		 (-3)(-4) =
13)		 (-5)(-2) =
14)		 (-2)(-8) =
15)		 (-4)(-3) =
16)		 (-6)(-6) =
17)		 (-8)(-3) =
B.
0)	 5b2
(4b) =
1)	 3b2
(7b) =
2)	 6b2
(5b) =
3)	 5b2
(9b) =
4)	 8b2(
3b) =
5)	 4b2
(7b) = 	
	6)	 9d3
(-2d) =
	7)	 4d3
(-4d) =
	8)	 3d3
(-8d) =
	9)	 5d3
(-3d) =
10)	 2d3
(-7d) =
11)	 7d3
(-8d) =
12) 	 -5c(3c2
) =
13) 	 -2c(6c2
) =
14) 	 -4c(5c2
) =
15) 	 -3c(3c2
) =
16) 	 -6c(2c2
) =
17) 	 -9c(4c2
) =
C.
0)	 5a(2c) =
1)	 x(6y3
) =
2)	 2a(8b) =
3)	 5c2
(5d) =
4)	 3h(9k3
) =
5)	 6x3
(2y) =
	 6)		 -2g(-8h4
) =
	 7)		 -4s(-3t2
) =
	 8)		 -5b(-9c) =
	 9)		 -3q2
(-7r3
) =
10)		 -4w3
(-4z4
) =
11)		 -2y3
(-9z2
) =
12)		 b4
(-3c3
) =
13)		 2g(-8t) =
14)		 4w(-5x2
) =
15)		 3yz5
(-7z3
) =
16)		 9d2
e(-4d3
) =
17)		 8st(-6st) =
-8
20b3
10ac
40 IGER − Utatlán
Agilidad de cálculo mental
A.	 Observe las medidas de cada figura y encuentre una expresión algebraica que represente su
área. Fíjese en el ejemplo.
0)	
x + 3
2x
	
( )
A b h
A x x
A x x
2 3
2 62
:=
= +
= +
		 1)	
3a
4a
2)	
2a + 3b
4
					3)	
3y
3y
4)	
2c + d
5c
					5)	
2x + 3y
2xy
B.	 Lea cada problema y realice lo que se pide. Recuerde que en la semana 13 aprendimos a traducir
a símbolos lo que normalmente expresamos con palabras. Fíjese en el ejemplo.
0)	 Si la edad actual de Rosa es x años, escriba un polinomio que represente el doble de la edad
que tendrá dentro de 5 años.
	 Edad de Rosa: x 					
	 Edad dentro de 5 años: x + 5
	 El doble de edad dentro de 5 años: 2(x + 5)
1)	 La base de un triángulo rectángulo mide 5x y la altura mide 2x + 1. Escriba un polinomio que
represente el área del triángulo.
2)	 El martes, Rubén obtuvo el doble de ganancia que el lunes; el miércoles ganó el doble que el
martes y el jueves el doble de lo que ganó el miércoles. Escriba un monomio que represente
la ganancia que obtuvo el jueves.
3)	 Hoy Pilar recorrió 2 km más que ayer y mañana piensa recorrer el doble que hoy. Escriba un
polinomio que represente la distancia que Pilar recorrerá mañana.
Expresión polinomial
2(x + 5) = 2x + 10
41Matemática − Semana 20
Razonamiento lógico
Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento.
logrado
en
proceso
no
logrado
Despuésde
estudiar...
Recuerdo la ley de signos aplicada al producto de números enteros y
el procedimiento para multiplicar potencias de la misma base.
Multiplico dos o más monomios y un monomio por un polinomio.
Practico el cálculo mental a través de los productos de números
enteros y de dos monomios.
Calculo el área algebraica de figuras geométricas.
Traduzco problemas de lenguaje común a lenguaje algebraico.
Desarrolle nuevas habilidades
¡Expresemos el área en forma de polinomio!
Para calcular el área de una figura cuyas medidas son valores desconocidos,
como la figura de la izquierda, debemos descomponerla en figuras que ya co-
nocemos, por ejemplo en dos rectángulos como la figura de la derecha.
x + 2
x
x x
x
x + 2
3 x
x x
x
x
1
2
La base del rectángulo 2 mide 3x porque es la suma de los lados superiores
(x + x + x). Ahora calculemos el área de cada uno a través de la fórmula de
área de un rectángulo.
				rectángulo 1				rectángulo 2
	 A = b : h 	 	 A1 = x (x + 2) = x2
+ 2x 		 A2 = 3x (x) = 3x2
Sumamos el área de los dos rectángulos para obtener el área total.
		Atotal = A1 + A2
		Atotal = (x2
+ 2x) + (3x2
) = x2
+ 2x + 3x2
		Atotal = 4x2
+ 2x
Ahora le toca a usted. Exprese como polinomio el área total de la figura siguiente:
2x + 3
x
x
xx
x
x
42 IGER − Utatlán
Revise su aprendizaje
21
Multiplicación de polinomios II
¿Qué encontrará esta semana?
	 La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y a la resta
	 Multiplicación de polinomios
	 Multiplicación de monomios
	 Agudeza visual
Esta semana logrará:
	 Recordar la propiedad distributiva de la multiplicación.
	 Multiplicar binomio por binomio.
	 Multiplicar polinomio por polinomio.
	 Practicar la agilidad de cálculo mental con la multiplicación de monomios.
	 Desarrollar agudeza visual con el reflejo de figuras.
	
43Matemática − Semana 21
¡Para comenzar!
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto
a la suma y la resta
Recordemos que para multiplicar un número por una suma o resta indicada, se
multiplica dicho número por cada uno de los valores y se suman o restan los
resultados.
Por ejemplo
Respecto a la suma
1)	 (7 3) (7 2) 21 14 35+ = + =: :7(3 + 2) = 	
2)	 5(8 4) (5 : 8) (5 : 4) 40 20 60+ = + = + = 	
Respecto a la resta
1)	 9(6 3) (9 : :6) (9 3) 54 27 27- = - = - =
2)	 4(8 3) (4 8: :) (4 3) 32 12 20- = - = - = 	
¡A trabajar!
Resuelva las siguientes operaciones aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación. Tiene un
ejemplo.
0)	 6(10 -2 + 3) =
1)	 2(3 + 2 + 1) =
2)	 2(3 + 5) =
3)	 4(1 + 2 + 6) =
4)	 7(11 + 5 + 4) =
5)	 5(7 - 2) =
6)	 4(8 - 3 - 2) =
7)	 9(3 + 2 - 4) =
8)	 5(6 - 8 + 3) =
9)	 3(-2 + 6 - 4) =
(6 : 10) - (6 : 2) + (6 : 3) = 60 - 12 + 18 = 66
44 IGER − Utatlán
1.	 Multiplicación de polinomios	
Esta semana aprenderemos a multiplicar:
•	 un binomio por otro binomio y
•	 un polinomio por otro polinomio
1.1	 Multiplicación de un binomio por otro
	binomio
Cuatro jóvenes participan en un concurso de ajedrez. Ana y Nicté (A + N) forman
un equipo, Pablo y Samuel (P + S) forman otro. Si las partidas son uno a uno,
¿cuántos juegos deben realizar?
•	 En la primera ronda, Ana juega primero
con Pablo (AP) y luego con Samuel (AS).
•	 En la segunda ronda, Nicté juega con
Pablo (NP) y luego con Samuel (NS).
Si queremos averiguar el número total de partidas, multiplicamos las dos pare-
jas, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación y obtenemos cuatro
juegos.
(A + N)(P + S) = AP + AS + NP + NS
En realidad, hemos representado las parejas del juego mediante binomios y
para averiguar el número de partidas, hemos multiplicado ambos binomios.
Ahora ya podemos deducir el procedimiento del producto de dos binomios.
Para multiplicar un binomio por otro binomio, multiplicamos cada término del
primer binomio por cada término del segundo.
Podemos hacer la operación en sentido horizontal o en sentido vertical.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
a b
c d
ad bd
ac bc
ac ad bc bd
+
+
+ +
+
+ + +
Recuerde la forma de
multiplicar números
enteros, porque
así se operan los
polinomios.
(A)(P + S) = AP + AS
(N)(P + S) = NP + NS
45Matemática − Semana 21
El mundo de la matemática
Lea los pasos que se describen a continuación y observe la operación al final de
estos. Siga la secuencia guiándose por los números de color rojo.
Para multiplicar en sentido horizontal dos binomios seguimos el siguiente pro-
cedimiento. 	
•	 Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a
la suma y resolvemos los productos planteados.
•	 Reducimos términos semejantes.
(2x + 3)(x + 5) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x2 2 5 3 3 5: : : := + + +6 6@ @
	=	2x2
	 + 	 10x 	 + 	 3x 	 + 	 15
	 = 	 2x2
	 + 	 13x 	 + 	 15
•	 Escribimos el producto completo: ( )( )
x x x
x x x x
2 10 3 15
2 3 5 2 13 15
2
2
= + + +
+ + = + +
Hagamos la misma operación en sentido vertical. 	
•	 Eliminamos los paréntesis y escribimos
un polinomio debajo del otro.
•	 Multiplicamos cada término del binomio
inferior por cada término del binomio
superior. Los términos semejantes deben
quedar alineados en la misma columna.
•	 Sumamos y reducimos términos seme-
jantes y escribimos la respuesta.
Observe que operando en cualquiera de los dos sentidos llegamos al mismo re-
sultado.
Sigamos el mismo procedimiento para este otro ejemplo.
	 (a2
+ a)(2a - 6) ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a2 6 2 62 2
: : : := + - + + -6 6@ @
	=	 2a3
	-	 6a2
	 +	2a2
	-	 6a
	= 2a3
- 4a2
- 6a
•	 Escribimos el producto completo: (a2
+ a)(2a - 6) = 2a3
- 4a2
- 6a
Hagamos la misma operación en sentido vertical.
a a
a
a a
a a
a a a
2 6
6 6
2 2
2 4 6
2
2
3 2
3 2
+
-
- -
+
- -
x
x
x
x x
x x
2 3
5
10 15
2 3
2 13 15
2
2
+
+
+
+
+ +
Ponga atención
al aplicar la ley de
signos.
Escriba los términos
del polinomio en
orden alfabético y
descendente.
46 IGER − Utatlán
Ejercicio 1
A.	 Multiplique los polinomios en sentido horizontal. Siga el procedimiento que practicamos en los
ejemplos.
1)	 (x + 4)(x + 6)
[( : ) + ( : )] + [( : ) + ( : )]
= + + +
= + +
Escriba el producto completo:
2)	 (-2x2
+ 2)(3x3
- 5)
[(- : ) + (- : - )] + [( : ) + ( : - )]
– + + –
Escriba el producto completo:
B.	 Multiplique los polinomios en sentido vertical.
1)	(x + 8)(2x + 2)
+
+
+
+
Escriba el producto completo:
2)	 (a4
b2
+ 5)(a2
b + 3b)
+
+
+
+
++
................................. ..................
.................................
.................................
.................................
..................................................................
+..................................................................
..................
..................
..................
Escriba el producto completo:
47Matemática − Semana 21
1.2	 Multiplicación de polinomios
Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se multiplica cada término del
primer polinomio por cada término del segundo, se reducen términos semejan-
tes si los hay y se escribe la respuesta. Podemos hacer la operación en sentido
horizontal o vertical.
(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be
c d e
a b
bc bd be
ac ad ae
ac ad ae bc bd be
+ +
+
+ + +
+ +
+ + + + +
Veamos un ejemplo
Multipliquemos los polinomios en sentido horizontal. Recuerde que el procedi-
miento es el mismo del caso anterior.
(x+4)(x2
+2x+5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x2 5 4 4 2 4 52 2
: : : : : := + + + + +6 6@ @
	=	 x3
	 +	 2x2
	 +	 5x 	 +	 4x2
	 + 	 8x 	 +	 20
x x x x x
x x x
2 4 5 8 20
6 13 20
3 2 2
3 2
= + + + + +
= + + +	=	x3
	+	 6x2
	 +	13x	 +	20
•	 Escribimos el producto completo.
(x + 4)(x2
+ 2x + 5) = x3
+ 6x2
+ 13x + 20
Hagamos la misma operación en sentido vertical.
x x
x
x x
x x x
x x x
2 5
4
4 8 20
2 5
6 13 20
2
2
3 2
3 2
+ +
+
+ +
+ +
+ + +
•	 Escribimos el producto completo.
(x + 4)(x2
+ 2x + 5) = x3
+ 6x2
+ 13x + 20
48 IGER − Utatlán
Ejercicio 2
A.	 Multiplique los polinomios en sentido horizontal.
1)	 (3x + y)(2x - 5y + z)
= [( : ) + ( : ) + ( : )] + [( : ) + ( : )+ ( : )]
= - + + - +
= - + + - +
= - + - +
Escriba el producto completo:
¡Un ejemplo más!
Multipliquemos los polinomios en sentido horizontal.
(2x - y)(x - 3y - 2z)
= [(2x : x) + (2x : -3y) + (2x : -2z)] + [(-y : x) + (-y : -3y) + (-y : -2z)]
=	2x2
	 -	 6xy 	 -	 4xz 	 -	 xy 	 + 	 3y2
	 +	 2yz
x xy xy xz y yz2 6 4 3 22 2
= - - - + +
= 2x2
- 7xy - 4xz + 3y2
+ 2yz
•	 Escribimos el producto completo.
(2x - y)(x - 3y - 2z) = 2x2
- 7xy - 4xz + 3y2
+ 2yz
Hagamos la misma operación en sentido vertical.
x y z
x y
xy y yz
x xy xz
x xy xz y yz
3 2
2
3 2
2 6 4
2 7 4 3 2
2
2
2 2
- -
-
- + +
- -
- - + +
•	 Escribimos el producto completo.
(2x - y)(x - 3y - 2z) = 2x2
- 7xy - 4xz + 3y2
+ 2yz
49Matemática − Semana 21
2)	 (b - 3)(b2
+ 3b + 9)
= [( : ) + ( : ) + ( : )] + [(- : ) + (- : )+ (- : )]
= + + - - -
= + - + - -
= -
Escriba el producto completo:
3)	 (3a - 4)(2b2
+ b + 5)
= [( : ) + ( : ) + ( : )] + [(- : ) + (- : ) + (- : )]
= + + - - -
= + + - - -
Escriba el producto completo:
4)	 (x - 2)(x2
+ 2xy + 5y2
)
= [( : ) + ( : ) + ( : )] + [(- : ) + (- : ) + (- : )]
= + + - - -
= - + + - -
Escriba el producto completo:
B.	 Multiplique los polinomios en sentido vertical.
1)	 (4x + 1)(4x2
+ 2x + 2)
x
x
x
4
4
16
2
3
+ +
+
+ +
+ +
Escriba el producto completo:
50 IGER − Utatlán
Multiplicación de polinomios
Para multiplicar un binomio por otro binomio y un polinomio por otro polinomio:
•	 Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y se resuelven los productos
planteados.
•	 Se reducen términos semejantes.
•	 Se ordena el polinomio.
•	 Se escribe el producto completo.
Se puede multiplicar en sentido vertical y horizontal.
(b3
+ 8)(3b2
+ 5b + 1) =
= [(b3
: 3b2
) + (b3
: 5b) + (b3
: 1)] + [(8 : 3b2
) + (8 : 5b) + (8 : 1)]
	 = 	 3b5
	 +	5b4
	+	b3
	 +	24b2
	 +	 40b	+	 8
(b3
+ 8)(3b2
+ 5b + 1) = 3b5
+ 5b4
+ b3
+ 24b2
+ 40b + 8
3 5 1
8
24 40 8
3 5
3 5 24 40 8
b b
b
b b
b b b
b b b b b5 4
2
3
2
5 4 3
3 2
+ +
+
+ + +
+ +
+ + + + +
2)	 (x2
y + 2x)(x2
- 4x - 6)
x y x
x y x y x y
2
4 6
2
4 3 2
- -
+
- -
- -
+ - - - -
.................. .................. ..................
.................. .................. ..................
.................. .................. .................. .................. .................. ..................
Escriba el producto completo:
51Matemática − Semana 21
Resumen
Actividad 1. Demuestre lo aprendido
Rellene el círculo donde está la respuesta correcta a cada pregunta.
1)	 ¿Qué propiedad se aplica en la multiplicación de polinomios?
2)	 ¿Qué expresión es equivalente a y(y+ 1)?
3)	 ¿Cuál es el primer término y segundo término que resulta
al multiplicar (x + 1)(x + 2)?
4)	 ¿Cuáles son los términos tercero y cuarto que resultan al
multiplicar (2y - 5)(5y2
- y)?
5)	 ¿Qué resultado se obtiene al multiplicar (a + b)(c + d)?
Actividad 2. Practique lo aprendido
A.	 Multiplique los polinomios de forma vertical. Tiene un ejemplo.
0)	 (x2
- 1)(3x2
+ 6)						1)	 (a + 3)(a + 2)
	
x
x
x
x x
x x
1
3 6
6 6
3 3
3 3 6
2
2
2
4 2
4 2
-
-
+
-
-
+
2)	 (2x - y)(5x + 3)						3)	 (3a + 1)(a + 7b)
conmutativa
asociativa
distributiva
2y + y
y2
+ y
y2
+ 1
2x + 2x
x2
+ x
x2
+ 2x
-25y2
+ 5y
-2y2
+ 5y
10y3
- 2y
a2
+ ac + d2
ac + bc + ad
ac + ad + bc + bd
52 IGER − Utatlán
Autocontrol
4)	 (c + 5)(c2
+ 3c + 1)						5)	(4x + 2y)(2x + 3y + 1)	
6)	 (2x- 1)(x2
- 4x + 3)					7)	(r + 1) (r3
+ 4r2
- r + 3)	
8)	 (a2
- 1)(2a - 8)						9)	(x2
+ 4x)(x2
- 2x - 2)	
B.	 Multiplique en su cuaderno.
1)	 (x + 2)(x - 5)					5)	 (x3
+ x)(x + 6)
2)	 (y - 4)(y + 4)					6)	 (x2
y + 2x)(y2
- 2y + 4)
3)	 (x2
+ 1)(x - 6)					7)	 (5a2
- 4a)(a3
- 3a + 7)
4)	 (xy - 3)(xy - 5)				 8)	 (b4
+ 9)(-2b2
- 5b - 2)
53Matemática − Semana 21
Practique la agilidad de cálculo multiplicando los monomios lo más rápido que pueda. Recuerde
aplicar la ley de signos y de la potenciación. Fíjese en los ejemplos.
A.	
	 0)		 (x3
)(x6
) =
	 1)		 (a2
)(a3
) =
	 2)		 (y7
)(y2
) =
	 3)		 (b4
)(b9
) =
	 4)		 (x4
)(x3
) =
	 5)		 (y5
)(y4
) =
	 6)		 (x2
)(x9
) =
	 7)		 (m6
)(m2
) =
	 8)		 (b6
)(b4
) =
	 9)		 (w3
)(w8
) =
10)		 (b3
)(b5
) =
11)		 (-a)(2b) =
12)		 (-a)(4c) =
13)		 (-3b)(d) =
14)		 (-4x)(y) =
15)		 (-3x)(3z) =
16)		 (-4c)(2d) =
17)		 (-2e)(5f ) =
18)		 (-4h)(6k) =
19)		 (-2s)(7t) =
20)		 (-4w)(5x) =
21)		 (-6y)(9z) =
B.
	 0)		 (2c)(-2c) =
	 1)		 (3a)(-4a) =
	 2)		 (5b) (-2b) =
	 3)		 (4c)(-4c) =
	 4)		 (2d)(-3d) =
	 5)		 (7h)(-2h) =
	 6)		 (4s2
)(-3s2
) =
	 7)		 (5x2
)(-2x2
) =
	 8)		 (3y3
)(-7y3
) =
	 9)		 (9w3
)(-2w3
) =
10)		 (5z4
)(-9z4
) =
11)		 (-6d2
)(-d3
) =
12)		 (-8h)(-h3
) =
13)		 (-3b4
)(-b) =
14)		 (-x)(-5x2
) =
15)		 (-d2
)(-3d2
) =
16)		 (-h3
)(-4h2
) =
17)		 (-2t4
)(-5t3
) =
18)		 (-4v3
)(-3v3
) =
19)		 (-6w7
)(-6w3
) =
20)		 (-2x4
)(-8x2
) =
21)		 (-6y5
)(-3y4
) =
x9
-4c2
6d5
-2ab
54 IGER − Utatlán
Agilidad de cálculo mental
La agudeza visual es la capacidad de ver los detalles de un objeto donde hay muchos más objetos
que lo rodean.
Estas figuras son reflejos la una de la otra, sus posiciones están al revés. Rodee con un círculo la
cuadrícula que es un reflejo de la figura de la izquierda. Tiene un ejemplo.
0)
1)	 a. b. c. d.
2)	 a. b. c. d.
3)	 a. b. c. d.
4)	 a. b. c. d.
5)	 a. b. c. d.
55Matemática − Semana 21
Razonamiento lógico
Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento.
logrado
en
proceso
no
logrado
Despuésde
estudiar...
Aplico la propiedad distributiva de la multiplicación.
Multiplico binomio por binomio.
Multiplico polinomio por polinomio.
Practico la agilidad de cálculo mental con la multiplicación de
monomios.
Desarrollo agudeza visual con el reflejo de figuras.
Desarrolle nuevas habilidades
El Sudoku es un rompecabezas matemático como el que aparece a la izquierda
de este párrafo. El objetivo es rellenar una cuadrícula de 4 x 4 con las cifras del
1 al 4 partiendo de algunos números ya dispuestos. No se debe repetir ninguna
cifra en una misma fila o columna. Un sudoku está bien planteado si la solución
es única. La práctica de este pasatiempo es ideal para ejercitar la atención. Ob-
serve con atención el ejemplo.
0)	
1
3
4
2
2
4
3
1
3
2
1
4
4
1
2
3
	 1)	
2
3
1
3
2
4
2)	
3
2
3
4
3
2
	 3)	
2
3
2
2
3
4
3
1
56 IGER − Utatlán
Revise su aprendizaje
22
Productos notables I
¿Qué encontrará esta semana?
		Joseph Louis Lagrange
		El cuadrado de la suma o la resta de un binomio
		 Términos del cuadrado de un binomio
		Área algebraica de cuadrados
Esta semana logrará:
	 Conocer a Joseph Louis Lagrange y su aporte a la matemática.
	 Resolver el cuadrado de la suma o la resta de un binomio por simple inspección.
	 Practicar el cálculo mental en la resolución del cuadrado de un binomio.
	 Calcular en forma algebraica el lado y el área de un cuadrado.
	
57Matemática − Semana 22
¡Para comenzar!
Joseph Louis Lagrange
Joseph Louis Lagrange nació en 1736 en Turín, Italia. De formación autodidacta,
sus numerosos estudios en diversos campos de las matemáticas, en especial
sobre análisis, le convirtieron en uno de los matemáticos más destacados y
apreciados del siglo XVIII.
Trabajó en Turín como profesor en la Real Escuela de Artillería. En 1757 colaboró
junto con un grupo de estudiantes en la fundación de la Academia de Ciencias
turinesa.
En 1766 fue nombrado director de matemáticas de la Academia de Ciencias de
Berlín, Alemania. Durante esta etapa de su vida, escribió su obra más importante:
Tratado de mecánica analítica.
Se trasladó a París, Francia, en 1787, y trabajó para la Academia de Ciencias de
esta ciudad. Entre otras tareas, formó parte del comité de pesas y medidas que
introdujo el sistema métrico decimal y publicó sus investigaciones sobre cálculo
matemático. Murió en París en 1813.
Biografía tomada y adaptada de www.mcnbiografias.com
¡A trabajar!
Lea detenidamente la biografía de Lagrange y responda a las preguntas.
1)	 ¿Cuál es título de su obra más importante?
	
2)	 ¿Cuál fue su aporte más importante en el comité de pesas y medidas?
	
3)	 Busque en el diccionario el significado de la palabra autodidacta.
	
58 IGER − Utatlán
1.	 Productos notables
	 A simple vista
Los productos notables son casos especiales de multiplicación de polinomios
que cumplen con reglas fijas y se pueden resolver por simple inspección, es
decir, operar mentalmente sin necesidad de escribir todo el procedimiento.
Aprenderemos tres casos:
•	 Cuadrado de un binomio:
–	 cuadrado de la suma (a + b)2
–	 cuadrado de la resta (a - b)2
•	 Producto de la suma por la diferencia de un binomio	 (a + b)(a - b)
•	 Producto de dos binomios con un término común		 (a + b)(a + c)
Esta semana aprenderemos a resolver por simple inspección el cuadrado de la
suma o la resta de un binomio.
1.1	 Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2
Elevar una cantidad al cuadrado es lo mismo que multiplicarla por sí misma.
Por ejemplo (3)2
= (3)(3) = 9
Lo mismo sucede con el cuadrado de la suma de un binomio, es equivalente a
multiplicar el binomio por sí mismo.
Por ejemplo			(a + b)2
= (a + b) (a + b)	
Si hacemos la operación, obtenemos:
ab b
a ab
a b
a b
a ab b2
2
2
2 2
+
+
++
+
+
Observe que el resultado del producto es (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
.
Un camino más corto para obtener el mismo resultado es a través de la fórmula
general del cuadrado de la suma de un binomio.
Veamos en la página siguiente el procedimiento para deducir la fórmula.
Atención:
El producto (a + b)2
no es lo mismo que
a2
+ b2
, es decir,
(a + b)2
! a2
+ b2
.
59Matemática − Semana 22
El mundo de la matemática
Deducimos de la operación anterior los pasos para resolver el cuadrado de la
suma de un binomio:
•	 El cuadrado del primer término, (a2
)
•	 más el doble del primero por el
segundo, 2(a : b)
•	 más el cuadrado del segundo (b2
)
Memorice la fórmula general:
El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado
del primer término, más el doble del primero por el segundo,
más el cuadrado del segundo.
Fíjese en el desarrollo completo.
(a + b)2
= (a)2
+ 2(a : b) + (b)2
= a2
+ 2ab + b2
Veamos un ejemplo
Desarrollemos por simple inspección el producto (x + 3)2
.
(x + 3)2
= (x)2
+ 2(x : 3) + (3)2
= x2
+ 6x + 9
Otros ejemplos
cuadrado de la suma desarrollo resultado
(x + 1)2
= (x)2
+ 2(x : 1) + (1)2
= x2
+ 2x + 1
(x + 5)2
= (x)2
+ 2(x : 5) + (5)2
= x2
+ 10x + 25
(x + 10)2
= (x)2
+ 2(x : 10) + (10)2
= x2
+ 20x + 100
	Ejercicio 1
Desarrolle el cuadrado de la suma de un binomio. Vaya diciendo mentalmente la fórmula general:
"cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo".
Guíese por el ejemplo.
cuadrado de la suma desarrollo resultado
0)	 (4x + 2)2
= (4x)2
+ 2(4x : 2) + (2)2
= 16x2
+ 16x + 4
1)	 (x + 7)2
= (x)2
+ (x : ) + ( )2
=
2)	 (x + 5)2
= ( )2
+ ( : 5) + (5)2
=
3)	 (2x + 3)2
= ( )2
+ ( : ) + ( )2
=
4)	 (3x + 1)2
= ( )2
+ ( : ) + ( )2
=
5)	 (2x + y)2
= ( )2
+ ( : ) + ( )2
=
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
60 IGER − Utatlán
1.2	 Cuadrado de la resta de un binomio (a − b)2
Al igual que la suma, el cuadrado de la resta de un binomio es equivalente a
multiplicar el binomio por sí mismo. Veamos.
(a - b)2
= (a - b) (a - b)
Si efectuamos el procedimiento, obtenemos:
ab b
a ab
a b
a b
a ab b2
2
2
2 2
-
-
- +
-
- +
El resultado a2
- 2ab + b2
es muy parecido al cuadrado de la suma. La diferencia
está en el signo menos que separa al primer término del segundo. Por lo tanto:
Deducimos de la operación anterior los pasos para resolver el cuadrado de la
resta de un binomio:
•	 El cuadrado del primer término (a)2
•	 menos el doble del primero por el
segundo -2(a : b)
•	 más el cuadrado del segundo (b)2
Memorice la fórmula general:
El cuadrado de la resta de un binomio es igual al cuadrado del
primer término, menos el doble del primero por el segundo,
más el cuadrado del segundo.
Fíjese en el desarrollo completo.
(a - b)2
= (a)2
- 2(a : b) + (b)2
= a2
- 2ab + b2
Veamos un ejemplo
Desarrollemos por simple inspección el producto (5x - 4y)2
(5x - 4y)2
= (5x)2
- 2(5x : 4y) + (4y)2
= 25x2
- 40xy + 16y2
Otros ejemplos
cuadrado de la resta desarrollo resultado
(x - 3)2
= (x)2
- 2(x : 3) + (3)2
= x2
- 6x + 9
(a - 1)2
= (a)2
- 2(a : 1) + (1)2
= a2
- 2a + 1
(y - 3)2
= (y)2
- 2(y : 3) + (3)2
= y2
- 6y + 9
(2b - 1)2
= (2b)2
- 2(2b : 1) + (1)2
= 4b2
- 4b + 1
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
Atención:
El producto (a - b)2
no es lo mismo que
a2
- b2
, es decir,
(a - b)2
! a2
- b2
.
61Matemática − Semana 22
Ejercicio 2
Obtenga el cuadrado de la resta de un binomio. Hay un ejemplo.
cuadrado de la resta desarrollo resultado
0)	 (d - 2)2
= (d)2
- 2(d : 2) + (2)2
= d2
- 4d + 4
1)	 (x - 9)2
= ( )2
- ( : 9) + (9)2
=
2)	 (y - 6)2
= ( )2
- ( : ) + ( )2
=
3)	 (y - 8)2
= ( )2
- ( : ) + ( )2
=
4)	 (2x - 1)2
= ( )2
- ( : ) + ( )2
=
5)	 (3a - 5b)2
= ( )2
- ( : ) + ( )2
=
1.	 Productos notables
	 Los productos notables son multiplicaciones de polinomios que cumplen con reglas fijas y se
pueden resolver por simple inspección.
1.1	Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2
	 Fórmula general para resolver el cuadrado de la suma de un binomio:
El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término,
más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(a + b)2
= (a)2
+ 2(a : b) + (b)2
= a2
+ 2ab + b2
1.2	Cuadrado de la resta de un binomio (a - b)2
	 Fórmula general para resolver el cuadrado de la resta de un binomio:
El cuadrado de la resta de un binomio es igual al cuadrado del primer término,
menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(a - b)2
= (a)2
- 2(a : b) + (b)2
= a2
- 2ab + b2
62 IGER − Utatlán
Resumen
Utatlan matematica-2-sem
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  • 1. 2º Básico - Grupo Utatlán Segundo semestre - IGER 8Matemática iger@iger.edu.gt www.iger.edu.gt Tel: 2412 6666 Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica y Grupo Radial ¡uy, uy, uy! Estudiar le cambiará la vida Siga los pasos... Lea el contenido de la semana Escuche la clase radial con los cinco sentidos Después de la clase radial… estudio y autocontrol Consulte sus dudas Participe en un círculo de estudio Matemática-2ºBásico-GrupoUtatlán-Segundosemestre-IGER 8
  • 2. 2o básico - Grupo Utatlán Segundo semestre - IGER Matemática 8
  • 3. Matemática 8 Segundo semestre Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización del Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría. © Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, iger. Es una obra producida por el Departamento de Redacción y Diseño, para el Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. 11 avenida 18-45, Ciudad Nueva, zona 2 Ciudad de Guatemala. PBX: 2412 6666 Fax: 2412 6704 Correo electrónico: iger@iger.edu.gt Página web: www.iger.edu.gt Edición 2014 Impreso en IGER talleres gráficos Código: 1110804202 ISBN 9789929804692
  • 4. Índice................................................................................................................................................ I Semana 18 Expresiones algebraicas............................................................................... 1 ¡Para comenzar! ¿Conoce usted la torre inclinada de Pisa? ....................................... 2 El mundo de la matemática 1. Clasificación de expresiones algebraicas ..................................................................... 3 1.1 Monomio ........................................................................................................................... 3 1.2 Polinomio .......................................................................................................................... 4 1.3 Polinomios ordenados ................................................................................................. 5 a. Por orden alfabético ................................................................................................ 5 b. Orden descendente ................................................................................................. 5 c. Orden ascendente .................................................................................................... 5 2. Valor numérico de una expresión algebraica.............................................................. 6 2.1 Expresión algebraica con una sola variable ......................................................... 6 2.2 Expresión algebraica con dos variables ................................................................ 6 2.3 Expresión algebraica con tres variables ................................................................ 7 Resumen ......................................................................................................................................... 8 Autocontrol .................................................................................................................................. 9 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 12 Razonamiento lógico................................................................................................................ 13 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 14 Semana 19 Suma y resta de polinomios ................................................................. 15 ¡Para comenzar! ¿Cómo se suman y restan números enteros? ................................. 16 El mundo de la matemática 1. Suma y resta de polinomios ............................................................................................. 17 1.1 Suma y resta de monomios ...................................................................................... 17 1.2 Suma y resta de un monomio con un polinomio ............................................ 19 1.3 Suma y resta de polinomios ..................................................................................... 21 Resumen ......................................................................................................................................... 23 Autocontrol................................................................................................................................... 24 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 26 Razonamiento lógico................................................................................................................ 27 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 28 Índice IMatemática − Índice
  • 5. Semana 20 Multiplicación de polinomios I ........................................................... 29 ¡Para comenzar! Ley de signos para el producto ............................................................ 30 Producto de potencias de igual base ................................................. 30 El mundo de la matemática 1. Multiplicación de polinomios ........................................................................................... 31 1.1 Producto de dos o más monomios ....................................................................... 31 1.2 Producto de un monomio por un polinomio .................................................... 34 Resumen ......................................................................................................................................... 36 Autocontrol................................................................................................................................... 37 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 40 Razonamiento lógico................................................................................................................ 41 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 42 Semana 21 Multiplicación de polinomios II ......................................................... 43 ¡Para comenzar! Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la resta............................................................................................................................... 44 El mundo de la matemática 1. Multiplicación de polinomios ........................................................................................... 45 1.1 Multiplicación de un binomio por otro binomio .............................................. 45 1.2 Multiplicación de polinomios ................................................................................... 48 Resumen ......................................................................................................................................... 51 Autocontrol................................................................................................................................... 52 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 54 Razonamiento lógico................................................................................................................ 55 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 56 Semana 22 Productos notables I ........................................................................................ 57 ¡Para comenzar! Joseph Louis Lagrange ............................................................................ 58 El mundo de la matemática 1. Productos notables ............................................................................................................... 59 1.1 Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 .................................................. 59 1.2 Cuadrado de la resta de un binomio (a - b)2 .................................................... 61 Resumen ......................................................................................................................................... 62 Autocontrol................................................................................................................................... 63 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 65 Razonamiento lógico................................................................................................................ 66 II IGER − Utatlán
  • 6. Semana 23 Productos notables II ...................................................................................... 67 ¡Para comenzar! Emmy Noether .......................................................................................... 68 El mundo de la matemática 1. Productos Notables............................................................................................................... 69 1.1 Producto de la suma por la diferencia .................................................................. 69 1.2 Producto de dos binomios con un término común y signos iguales ....... 71 a. (a + b)(a + c) ............................................................................................................. 71 b. (a - b)(a - c) ............................................................................................................. 72 Resumen ......................................................................................................................................... 73 Autocontrol................................................................................................................................... 74 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 77 Razonamiento lógico................................................................................................................ 78 Semana 24 División de polinomios .................................................................................. 79 ¡Para comenzar! Ley de signos de la división ................................................................... 80 División de potencias de igual base.................................................... 80 El mundo de la matemática 1. División de polinomios ....................................................................................................... 81 1.1 División de un monomio entre otro monomio ................................................. 81 1.2 División de polinomio entre monomio ................................................................ 83 1.3 División de un polinomio entre un binomio: La regla de Ruffini ............... 84 Resumen ......................................................................................................................................... 87 Autocontrol................................................................................................................................... 88 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 90 Razonamiento lógico................................................................................................................ 91 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 92 Semana 25 Repaso semanas 18-24 ............................................................................. 93 El mundo de la matemática Expresiones algebraicas ............................................................................................................ 95 Suma y resta de polinomios..................................................................................................... 97 Multiplicación de polinomios I ............................................................................................... 100 Multiplicación de polinomios II .............................................................................................. 102 Productos notables I ................................................................................................................... 105 Productos notables II ................................................................................................................. 106 IIIMatemática − Índice
  • 7. División de polinomios............................................................................................................... 108 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 111 Orientaciones sobre la prueba parcial ............................................................................ 112 Semana 26 Pares ordenados y producto cartesiano ............................ 113 ¡Para comenzar! Elija su menú ............................................................................................. 114 El mundo de la matemática 1. Pares ordenados .................................................................................................................... 115 2. Producto cartesiano ............................................................................................................. 116 2.1 Formas de representar el producto cartesiano.................................................. 116 a. Forma enumerativa ................................................................................................. 116 b. Tabla de doble entrada .......................................................................................... 118 El plano cartesiano................................................................................................... 119 c. Representación del conjunto producto cartesiano en el plano cartesiano .................................................................................................................... 120 Resumen ......................................................................................................................................... 121 Autocontrol................................................................................................................................... 122 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 125 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 126 Semana 27 Relaciones y funciones ............................................................................... 127 ¡Para comenzar! ¡Osadía hasta la cumbre! ...................................................................... 128 El mundo de la matemática 1. Relaciones ................................................................................................................................ 129 1.1 Representación gráfica de una relación ............................................................... 129 2. Funciones ................................................................................................................................. 131 2.1 Representación gráfica de una función ................................................................ 132 Resumen ......................................................................................................................................... 134 Autocontrol................................................................................................................................... 135 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 138 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 139 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................. 140 IV IGER − Utatlán
  • 8. Semana 28 Funciones lineales ............................................................................................... 141 ¡Para comenzar! Sistema de coordenadas cartesianas ........................................................ 142 El mundo de la matemática 1. Función lineal .......................................................................................................................... 143 1.1 Función de proporcionalidad f(x) = ax ................................................................ 144 1.2 Función afín f(x) = ax + b.......................................................................................... 146 Practique en la red... ................................................................................................................ 150 Resumen ......................................................................................................................................... 150 Autocontrol................................................................................................................................... 151 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 153 Razonamiento lógico................................................................................................................ 154 Semana 29 Estadística I .................................................................................................................... 155 ¡Para comenzar! Historia de la Estadística......................................................................... 156 El mundo de la matemática 1. Estadística ................................................................................................................................. 157 1.1 Estadística descriptiva ................................................................................................. 157 1.2 Estadística inferencial .................................................................................................. 157 2. Términos estadísticos ........................................................................................................... 158 3. Organización de datos ........................................................................................................ 160 3.1 Organización de datos nominales .......................................................................... 160 3.2 Organización de datos ordinales ............................................................................ 161 3.2.1. Conteo y organización de datos ordinales ............................................ 161 Resumen ......................................................................................................................................... 163 Autocontrol .................................................................................................................................. 164 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 167 Razonamiento lógico................................................................................................................ 168 Semana 30 Estadística II .................................................................................................................. 169 ¡Para comenzar! Estadística en la computadora ............................................................ 170 El mundo de la matemática 1. Gráficas estadísticas.............................................................................................................. 171 1.1 Tipos de gráficas estadísticas.................................................................................... 172 a. Diagrama de barras.................................................................................................. 172 b. Polígono de frecuencias......................................................................................... 174 c. Diagrama de sectores.............................................................................................. 176 VMatemática − Índice
  • 9. Resumen ......................................................................................................................................... 178 Autocontrol................................................................................................................................... 179 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 182 Razonamiento lógico................................................................................................................ 183 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 184 Semana 31 Medidas de tendencia central............................................................. 185 ¡Para comenzar! Y usted, ¿qué opina?................................................................................. 186 El mundo de la matemática 1. Medidas de tendencia central........................................................................................... 187 1.1 La media aritmética (X)................................................................................................ 187 1.2 La mediana (Me)............................................................................................................. 190 a. La mediana para una cantidad par de datos ................................................ 192 1.3 La moda (Mo).................................................................................................................. 194 Resumen ......................................................................................................................................... 195 Autocontrol................................................................................................................................... 196 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 198 Razonamiento lógico................................................................................................................ 199 Semana 32 Sistema de numeración maya ........................................................... 201 ¡Para comenzar! Un recorrido por el mundo con los sistemas de numeración.... 202 El mundo de la matemática 1. La numeración maya............................................................................................................. 203 1.1 Símbolos de la numeración maya........................................................................... 203 a. Números del 1 al 19 ................................................................................................ 203 b. Números mayores de 19........................................................................................ 205 1.2 Conversión del sistema decimal a numeración maya .................................... 205 1.3 Conversión de numeración maya a sistema decimal ...................................... 208 Resumen ......................................................................................................................................... 209 Autocontrol .................................................................................................................................. 210 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 213 Razonamiento lógico................................................................................................................ 214 VI IGER − Utatlán
  • 10. Semana 33 Suma y resta con números mayas ............................................ 215 ¡Para comenzar! Calendario maya ...................................................................................... 216 El mundo de la matemática 1. Suma con números mayas ................................................................................................ 217 2. Resta con números mayas.................................................................................................. 220 Resumen ......................................................................................................................................... 221 Autocontrol................................................................................................................................... 222 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 225 Razonamiento lógico................................................................................................................ 226 Semana 34 Repaso: semanas 26 a 33 ..................................................................... 227 El mundo de la matemática Pares ordenados y producto cartesiano.............................................................................. 229 Relaciones y funciones................................................................................................................ 231 Funciones lineales ....................................................................................................................... 234 Estadística I ..................................................................................................................................... 236 Estadística II ................................................................................................................................... 239 Medidas de tendencia central ................................................................................................ 242 Sistema de numeración maya ................................................................................................. 244 Suma y resta con números mayas.......................................................................................... 247 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 249 Orientación sobre la prueba final...................................................................................... 250 Claves............................................................................................................................................. 251 Bibliografía............................................................................................................................... 277 VIIMatemática − Índice
  • 11.
  • 12. 18 Expresiones algebraicas ¿Qué encontrará esta semana? ¿Conoce usted la torre inclinada de Pisa? Clasificación, grado, orden y valor numérico de expresiones algebraicas Valuar expresiones algebraicas Problemas de polinomios Esta semana logrará:  Clasificar expresiones algebraicas según el número de términos.  Identificar el grado absoluto y relativo de un polinomio.  Escribir expresiones algebraicas en orden alfabético, descendente y ascendente.  Calcular el valor numérico de una expresión algebraica.  Practicar el cálculo mental.  1Matemática − Semana 18
  • 13. ¡Para comenzar! ¿Conoce usted la torre inclinada de Pisa? La Torre inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de la ciudad de Pisa, en Italia. Comenzó a inclinarse tan pronto inició su construcción. ¿Sabe qué altura tiene? La pregunta se puede responder a través de una expresión algebraica que los científicos han deter- minado para calcular la altura de cualquier torre. Solo hay que tomar el tiempo que tarda en caer un objeto desde la parte más alta hasta el suelo. Si el objeto se deja caer libremente, la fórmula o expresión algebraica que nos permite calcular la altura es: h gt 2 2 = h es la altura del edificio. g es el valor constante de la gravedad, 9.8 m/s2 (aceleración con que los objetos caen sobre la tierra). t es el tiempo que tarda en caer el objeto. Ahora ya podemos calcular la altura. Si un objeto tarda 3.37 segundos en caer desde el punto más alto de la torre de Pisa hasta el suelo, sustituimos los valores en la fórmula, operamos y obtenemos la respuesta. Así: ( ) . ( . ) . 55.66 9.8 3.37 h 2 2 9 8 11 36 2 111 33 2 = = = =h gt 2 2 = Respuesta: La torre inclinada de Pisa mide 55.66 metros de altura. ¡A trabajar! Conteste las preguntas. 1) ¿Cuál es el valor constante de la gravedad (g)? 2) ¿Cuál es el valor del tiempo (t) que tarda en caer el objeto? 3) ¿Qué variables se sustituyeron en la expresión matemática? 4) ¿Cuál es el valor de h después de operar? www.pisa-tourism.com 2 IGER − Utatlán
  • 14. 1. Clasificación de expresiones algebraicas Así como los polígonos se clasifican por el número de sus lados en triángulos, cuadrados, pentágonos, etc. las expresiones algebraicas se catalogan por el número de términos que las forman. Veamos. 1.1 Monomio Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término alge- braico, en la cual, las potencias de las variables son números enteros positivos. Por ejemplo. -4a3 b2 Un monomio indica siempre el producto de dos o más factores, o lo que es lo mismo, todos los valores numéricos y literales se multiplican entre sí. En el ejemplo, los factores son: -4, a3 , b2 . El coeficiente (-4) es el factor numé- rico y las variables (a3 , b2 ) son los factores literales. Veamos algunos ejemplos de monomios. 7, 2a, -5b, -2xy3 , -x2 y4 z, 2 5 b2 c3 Ahora veremos algunos ejemplos de expresiones algebraicas que no son monomios. 2a + b, 2a + b + 1, 5w1/2 4y2 x3 No son monomios porque el primero tiene dos términos algebraicos, el segundo tiene tres, el tercero tiene variable con exponente fraccionario y el último indica una división de dos monomios. Ejercicio 1 Escriba sobre la línea si la expresión algebraica es monomio o no y explique por qué. Hay un ejemplo. 0) 2x + 1 1) 5x3 y 2) 2 c a3 3) -6d2 c Un monomio se compone de las mismas partes que un término algebraico: • signo • coeficiente • variable • exponente no es monomio porque está formada por dos términos algebraicos 3Matemática − Semana 18 El mundo de la matemática
  • 15. 1.2 Polinomio Llamamos polinomio a la suma o la resta algebraica de dos o más monomios. Si un polinomio está formado por dos monomios recibe el nombre de binomio. Por ejemplo. 2c + d Si un polinomio está formado por tres monomios recibe el nombre de trino- mio. Por ejemplo. 3y2 + 4z - x Si una expresión algebraica tiene cuatro o más monomios recibe el nombre de polinomio. Por ejemplo. x3 + x2 + x + 1 1.2.1 Grado de un polinomio Cuando hablamos del grado de un polinomio, nos referimos al valor máximo de los exponentes de los monomios que lo forman. Puede ser absoluto o relativo. El grado absoluto es la suma de todos los exponentes de las variables que forman un monomio. Por ejemplo. 4b2 c3 El grado absoluto es 5 porque la suma de los exponentes es 2 + 3 = 5. El grado relativo es el mayor exponente al que está elevada una variable de- terminada. Un polinomio tendrá tantos grados relativos como variables tenga. Por ejemplo. 2x4 y + 3x2 y2 El grado relativo respecto a la variable x es 4 porque es su mayor exponente. El grado relativo respecto de y es 2 porque es su mayor exponente. Ejercicio 2 Complete la tabla escribiendo si el polinomio se clasifica como binomio o trinomio. Luego escriba el grado relativo respecto a la variable indicada. Hay un ejemplo. polinomio clasificación grado de x grado de y 2x3 y + 2x2 y + y2 trinomio 3 2 x3 y + xy2 3x5 y + 4x4 y3 + x2 6x4 y2 + 4x3 y5 4 IGER − Utatlán
  • 16. Ejercicio 3 Observe con atención cada polinomio, luego escríbalos en orden alfabético y descendente. Hay un ejemplo. e + a + b a + b + e a + a3 + a2 a2 + a3 b c3 + c5 + c2 x2 y3 + x + x4 y2 -3r5 + s + r3 s a3 b2 + a5 b + a 1.3 Polinomios ordenados Un polinomio se puede escribir o expresar en orden alfabético o en orden as- cendente y descendente según los exponentes. a. Orden alfabético Ordenar alfabéticamente un polinomio es escribir las variables de los términos en la misma disposición de las letras en el alfabeto, como el polinomio del ejemplo. a + b + c b. Orden descendente Ordenar un polinomio en forma descendente significa escribir de mayor a me- nor valor los exponentes de la variable. Por ejemplo. x3 + x2 + x + 1 Atención: cuando un polinomio tiene dos o más variables, se escribe en orden descendente respecto de la primera letra y en orden ascendente respecto de la segunda. Por ejemplo. a4 b + a3 b2 + a2 b3 c. Orden ascendente Ordenar un polinomio en forma ascendente significa escribir de menor a mayor valor, los exponentes de la variable. Por ejemplo. 1 + x + x2 + x3 Recuerde: Todo número elevado al exponente cero da como resultado uno. Ejemplo: x0 = 1 5Matemática − Semana 18
  • 17. 2. Valor numérico de una expresión algebraica El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de dicha expresión por valores numéricos asignados a cada letra y desarrollar las operaciones indicadas. Para calcular el valor numérico de una expresión algebraica, seguimos los pasos siguientes: • Sustituir cada variable por el valor asignado. • Operar respetando los signos de agrupación y la jerarquía de las operaciones, en el orden siguiente: 1. { [ ( ) ] } signos de agrupación 2. xn , x potencias y raíces 3. •, ÷ multiplicación y división 4. +, – sumas y restas • Obtener el valor numérico. 2.1 Expresión algebraica con una sola variable Si x = 2, calculemos el valor numérico de: • Sustituimos la variable por su valor. • Operamos según la jerarquía de las operaciones. • Obtenemos el valor numérico. Escribimos la respuesta: Si x = 2 4x3 + x2 + 5 = 41 2.2 Expresión algebraica con dos variables Si a = 1 y b = 2, calculemos el valor numérico de: 2a + 3b • Sustituimos cada variable por su valor. • Operamos según la jerarquía de las operaciones. • Obtenemos el valor numérico. Escribimos la respuesta: Si a = 1 y b = 2 2a + 3b = 8 ( ) ( ) ( ) 4 5 4 8 4 5 32 9 2 2 41 3 2 = + + = + + = + = x x4 53 2 + + 2( ) 3( )1 2 2 6 8 = + = + = Recuerde En la semana 15 del grupo Quiriguá aprendimos a resolver operaciones combi- nadas y con signos de agrupación. 6 IGER − Utatlán
  • 18. 2.3 Expresión algebraica con tres variables Si a = 3, b = -2, c = 2, calculemos el valor numérico de • Sustituimos cada variable por su valor. • Operamos según la jerarquía de las operaciones. • Obtenemos el valor numérico. Escribimos la respuesta: Si a = 3, b = -2, c = 2 3ab2 - c3 + ac = 34 3 ( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 ab c ac 3 3 4 8 6 36 2 34 2 3 3 - + + = - + = - = = 3(3)(-2)2 - Ejercicio 4 Calcule el valor numérico de las expresiones algebraicas según los valores asignados. 1) Si x = 4, calcule el valor numérico de: • Sustituya la variable por su valor. • Opere según la jerarquía de las operaciones. • Obtenga el valor numérico. Escriba la respuesta: Si x = 4 3x2 - 2x + 1 = 2) Si a = 1 y b = 2, calcule el valor numérico de: • Sustituya cada variable por su valor. • Opere según la jerarquía de las operaciones. • Obtenga el valor numérico. Escriba la respuesta: Si a = 1 y b = 2 3a + 2b = ( ) ( ) ( ) x x3 2 1 3 2 1 3 2 2 - + = - + = - + = - = .......... .......... ............. .......... .......... ............. ............. ............. ( ) ( ) a b3 2 3 2 + = + = + = .......... .......... .......... .......... .......... 7Matemática − Semana 18
  • 19. 3) Si c = 2 y d = 3, calcule el valor numérico de: 2c3 + c2 d - d • Sustituya cada variable por su valor. • Opere según la jerarquía de las operaciones. • Obtenga el valor numérico. Escriba la respuesta: Si = 2 y d = 3 2c3 + c2 d - d = 1. Las expresiones algebraicas se clasifican según el número de términos. 1.1 Monomio es una expresión algebraica formada por un solo término. 1.2 Polinomio es la suma o la resta de dos o más monomios. Binomio es un polinomio formado por dos monomios. Trinomio es un polinomio formado por tres monomios. Si una expresión algebraica está formada por cuatro o más terminos recibe el nombre de polinomio. 1.2.1 El grado de un polinomio es el mayor exponente de los monomios que lo forman. Puede ser absoluto o relativo. El grado absoluto es la suma de los exponentes de cada variable. El grado relativo es el mayor exponente al que está elevada una variable. 1.3 Un polinomio se puede escribir en orden alfabético (a, b, c... etc.), en orden ascendente (de menor a mayor grado del exponente) o descendente (de mayor a menor grado del exponente). 2. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir cada letra por un valor asignado y realizar las operaciones indicadas. -3c3 d4 2a + b2 a + b + c + 1 3a3 + b2 + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 2 = + - = + - = + - = ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ............ ............ ......... ............ 8 IGER − Utatlán Resumen
  • 20. Actividad 1. Demuestre lo aprendido A. Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Cuál es un ejemplo de monomio? 2) ¿Cuántos términos algebraicos tiene un binomio? 3) Si escribimos el trinomio 2x2 + 3x5 + x3 en orden descendente, ¿cuál sería el primer término? 4) ¿Cuál es el grado relativo respecto de x del polinomio 3yx + x2 + 5y2 x3 ? 5) Si escribimos el trinomio e + d + c en orden alfabético, ¿cuál sería el primer término? B. Clasifique cada polinomio en binomio, trinomio o polinomio si tiene más de tres términos. Luego escriba el grado relativo respecto de cada variable. Hay un ejemplo. 2x + w x2 y3 1 + x2 3x5 2x2 x3 1 2 3 c d e uno dos tres polinomio clasificación grado de x grado de y -5x5 + 4x2 y2 + 3y trinomio 5 2 2x2 - 5x x3 + 2x2 + 5xy y5 + y3 + 2 + 2 x6 y4 + x4 y x5 + 2x3 y3 + 4xy y6 - 5y4 + 2y2 + 1 x4 y + 6x3 y2 - 7x2 y3 9Matemática − Semana 18 Autocontrol
  • 21. Actividad 2. Practique lo aprendido A. Escriba cada polinomio en orden alfabético y descendente. Hay un ejemplo. y2 + 3 + y y2 + y + 3 x + 1 + x3 + x2 c + d + a + b x2 y + xy2 + x3 ac3 + a2 c2 + a3 b2 c - b3 c + b4 yz2 + y2 z - y3 z 2r3 + r + r2 xy2 - x2 y3 + x4 y B. Siga los pasos para determinar el valor numérico de cada expresión algebraica, según los valores asignados. 1) Si a = 4 y b = 5, calcule el valor numérico de: • Sustituya cada variable por su valor. • Opere según la jerarquía de las operaciones. • Obtenga el valor numérico. Escriba la respuesta: Si a = 4 y b = 5 2a - b = 2) Si a = -1 y b = 2, calcule el valor numérico de: • Sustituya cada variable por su valor. • Opere según la jerarquía de las operaciones. • Obtenga el valor numérico. Escriba la respuesta: Si a = -1 y b = 2 3ab3 + b2 = ( )( ) ( ) ( )( ) ab b3 3 3 3 2 3 2 + = + = + = + = .......... .......... .......... .......... .......... ............. ............. .......... ............. ( ) a b2 2 - = - = - = .......... .......... .......... .......... ........... 10 IGER − Utatlán
  • 22. C. Calcule el valor numérico de cada expresión algebraica tomando en cuenta los valores asignados a cada letra. Hay un ejemplo. Si a = 2, b = 1, c = 3, d = 4 0) -2a2 b + d 1) 3a + b - c 2) 4a2 + 2a - 3 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 4 2 4 1 4 8 4 4 2 - =- + =- + =- + = -2a2 b + d = - 4 3) c3 + 2c2 - 3c + 4 4) 4bc - d2 5) 2b + 3c - 2d 6) 2ab2 + c2 7) 3ab3 + c2 - 4d 8) 3a2 b3 - c2 9) bc + 2c3 - 3d 10) a3 b + 2bc2 - d2 11) 4bc + d 2a 11Matemática − Semana 18
  • 23. Calcule el valor numérico de cada expresión algebraica tomando en cuenta los valores asignados. Escriba su respuesta sobre la línea. Hágalo lo más rápido que pueda. Fíjese en los ejemplos. A. Si b = 2 Si d = -2 Si e = -5 0) b + 2 = 6) d + 11 = 12) e + 18 = 1) b + 1 = 7) d + 14 = 13) e + 25 = 2) b + 5 = 8) d + 16 = 14) e + 24 = 3) b + 6 = 9) d + 12 = 15) e + 28 = 4) b + 9 = 10) d + 19 = 16) e + 33 = 5) b + 7 = 11) d + 23 = 17) e + 37 = B. Si b = 4 Si c = 2 Si d = 3 0) 3b = 7) 2c = 14) 5d = 1) 2b = 8) 6c = 15) 3d = 2) 4b = 9) 9c = 16) 7d = 3) 5b = 10) 8c = 17) 2d = 4) 7b = 11) 5c = 18) 9d = 5) 9b = 12) 3c = 19) 4d = 6) 6b = 13) 7c = 20) 8d = C. Si a = 2 Si b = 10 Si c = 3 0) a3 = 5) b1 = 10) c2 = 1) a2 = 6) b3 = 11) c1 = 2) a4 = 7) b0 = 12) c3 = 3) a1 = 8) b2 = 13) c0 = 4) a0 = 9) b4 = 14) c2 + 2 = 4 12 8 9 13 12 IGER − Utatlán Agilidad de cálculo mental
  • 24. Lea cuidadosamente cada problema y luego realice las actividades. Fíjese en el ejemplo. A. El triángulo de la figura siguiente está dividido a su vez en otros dos triángulos más pequeños (1 y 2). La medida de cada lado está representada por una variable. a b h c d 1 2 1) Escriba un polinomio que represente el perímetro del triángulo mayor (suma de sus lados). 2) Escriba un binomio que represente el lado más largo del triángulo mayor. 3) Escriba un trinomio que represente el perímetro del triángulo 1. 4) Si b = 2.24, d = 2 y h = 1, ¿cuánto mide el perímetro del triángulo 2? B. Observe con atención la figura siguiente, luego realice las actividades en su cuaderno. x y 2x 3x z y + z 1 2 1) Escriba un polinomio que represente el perímetro del rectángulo 1. Pista: aplique la fórmula de perímetro de un rectángulo. 2) Escriba un polinomio que represente el perímetro del rectángulo 2. 3) Escriba un polinomio que represente el perímetro de la figura completa. 4) Si x = 6, ¿cuántas unidades mide el lado horizontal más largo de la figura? 5) Si y = 1 y z = 2, ¿cuántas unidades mide el lado vertical más largo de la figura? 6) Si los valores de las letras son x = 5, y = 2, z = 3, ¿cuántas unidades mide el perímetro de la figura total? a + b + (c + d) 13Matemática − Semana 18 Razonamiento lógico
  • 25. Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. logrado en proceso no logrado Despuésdeestudiar... Clasifico expresiones algebraicas según el número de términos. Identifico el grado relativo de un polinomio. Escribo expresiones algebraicas en orden alfabético, descendente y ascendente. Calculo el valor numérico de una expresión algebraica. Practico el cálculo mental. Desarrolle nuevas habilidades ¡Expresemos en forma de polinomios! Sabemos que una letra en álgebra representa cualquier número. Por lo tanto, la longitud de los lados y el área de unos azulejos se pueden representar por medio de variables. Por ejemplo. azulejo cuadrado Área = a2 a a Área = a : b azulejo rectangular b a Utilizando la expresión de área en cada caso, representamos modelos de poli- nomios con diferentes azulejos. Por ejemplo. modelo expresión polinomial del área 2a2 + 4a : ba2 a2 a : b a : b a : b a : b Ahora le toca a usted escribir una expresión polinomial que represente el área de los azulejos. modelo expresión polinomial del área a2 a : b a : ba : b a : b b2 b2 b2 b2 b2 b2 a b 14 IGER − Utatlán Revise su aprendizaje
  • 26. 19 Suma y resta de polinomios ¿Qué encontrará esta semana? Suma y resta de números enteros Suma y resta de monomios y polinomios Suma de enteros y términos semejantes Ejercicios de habilidad visual Esta semana logrará:  Recordar cómo se suman y restan números enteros.  Identificar monomios semejantes.  Sumar y restar polinomios.  Practicar el cálculo mental de suma de enteros y términos semejantes.  Resolver ejercicios de habilidad visual.  15Matemática − Semana 19
  • 27. ¡Para comenzar! ¿Cómo se suman y restan números enteros? Esta semana recordaremos cómo se suman y restan números enteros para operar polinomios de manera rápida y precisa. En los cursos anteriores aprendimos que el conjunto de los números enteros está formado por los números enteros positivos y los números enteros negati- vos. Son ejemplo de estos números: –10, –5, –1, 6, 100, 255 Suma de números enteros Las reglas para la suma se aplican a dos casos: números con igual signo y números con distinto signo. • Suma de números enteros con signos iguales Para sumar números enteros con signos iguales, se suman los valores absolutos y se conserva el signo, si el signo es positivo, no se escribe en el resultado. Ejemplos: a. 12 + 25 = 37 b. 65 + 96 = 161 c. (–3) + (–8) = –11 d. (–24) + (–26) = –50 • Suma de números enteros con signos diferentes Si los números enteros tienen diferente signo, se restan los valores absolutos y al resultado se le escribe el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplos: a. 10 + (–5) = 5 b. 5 + (–51) = –46 c. –14 + 34 = 20 d. –110 + 50 = –60 ¡A trabajar! Realice las operaciones con números enteros. Tiene un ejemplo. 0) 2 + (-6) = 2) -10 + (-6) = 4) -85 + (-10) = 1) -3 + (-4) = 3) 10 + 25 = 5) 52 + (-18) = -4 16 IGER − Utatlán
  • 28. 1. Suma y resta de polinomios Peras con peras y manzanas con manzanas En un canasto tenemos cuatro peras y tres manzanas, y en otro, cinco peras y dos manzanas. ¿Cuántas frutas de cada clase tenemos en total? Aunque en el canasto las frutas están revueltas, para obtener el total de man- zanas debemos sumar solamente las manzanas y aparte las peras. Lo mismo sucede en álgebra, un polinomio puede tener diferentes términos pero solo los términos semejantes se pueden sumar o restar. Recuerde que términos semejantes son las expresiones algebraicas que tienen las mismas variables elevadas a la misma potencia, aunque el coeficiente numé- rico sea diferente. Por ejemplo 7a2 c es semejante a 3a2 c. 1.1 Suma y resta de monomios Para sumar o restar monomios, se suman o restan los coeficientes numéricos respetando la ley de signos y se mantiene el coeficiente literal. Podemos efec- tuar las operaciones en sentido horizontal o vertical. Veamos un ejemplo. Operemos En sentido horizontal • Sumamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal. En sentido vertical • Escribimos un monomio debajo del otro. • Sumamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal. ¡Otro ejemplo! Operemos En sentido horizontal • Por la ley de signos sumamos los coeficien- tes numéricos y copiamos la parte literal. En sentido vertical • Escribimos un monomio debajo del otro. • Sumamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal. 2a + 3a 2a + 3a = 5a -5yz - 12yz -5yz - 12yz = -17yz 5 a a a 2 3+ yz yz yz 5 12 17 - - - Números con el mismo signo se suman y se mantiene el signo. 17Matemática − Semana 19 El mundo de la matemática
  • 29. Ejercicio 1 A. Opere los monomios en sentido horizontal. 1) 3x + 15x = 4) -8a2 b5 c4 - 16a2 b5 c4 = 2) 6x6 y8 - 12x6 y8 = 5) -36a3 b5 + 15a3 b5 = 3) 10x2 y2 - 5x2 y2 = 6) -32x6 y8 -18x6 y8 = B. Opere los monomios en sentido vertical. 1) 2xy + 16xy = • Escriba un monomio debajo del otro. • Sume los coeficientes numéricos y copie la parte literal. 2) -2x4 y3 - 6x4 y3 = • Escriba un monomio debajo del otro. • Sume los coeficientes numéricos y copie la parte literal. (ponga atención al signo) 3) 5a3 b2 c - 9a3 b2 c = • Escriba un monomio debajo del otro. • Reste los coeficientes numéricos y copie la parte literal. ¡Un ejemplo más! Operemos En sentido horizontal • Por la ley de signos restamos los coefi- cientes numéricos y copiamos la parte literal. En sentido vertical • Escribimos un monomio debajo del otro. • Restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal. -25x3 y2 + 6x3 y2 -25x3 y2 + 6x3 y2 = -19x3 y2 19 x y x y x y 25 6 3 2 3 2 3 2 - + - 2xy + - - - Números con signos diferentes se restan y se escribe el signo del número mayor. 18 IGER − Utatlán
  • 30. 1.2 Suma y resta de un monomio con un polinomio Cuando sumamos o restamos un monomio con un polinomio, eliminamos los paréntesis del polinomio, para eso recuerde: • Un signo positivo delante de un paréntesis no altera los signos que están dentro. • Un signo negativo delante del paréntesis cambia el signo de todas las cantidades que están dentro. Operemos En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. • Escribimos la respuesta: 2b + (3a + 3b - 4c) = 3a + 5b - 4c En sentido vertical • Eliminamos los paréntesis respetando la ley de signos y escribimos el monomio debajo del polinomio, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. ¡Otro ejemplo! Operemos En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. • Escribimos la respuesta: 2x - (3xy + 6x - 6y) = -4x - 3xy + 6y ( ) ( ) b a b c b a b c a c a b c b b 2 3 3 4 2 3 3 4 3 4 3 5 4 2 3 + + - = + + - = + - = + - + 2 a b c b a b c 3 3 4 3 5 4 + - + + - 2 (3 6 6 ) ( ) 3 62 6 x xy x y x xy x y xy y x xy y x x 2 3 6 6 4 3 6 - + - = - - + = - - + =- - + 19Matemática − Semana 19
  • 31. No olvide que un signo negativo delante del paréntesis cambia el signo de todas las cantidades que están dentro. Ejercicio 2 A. Opere un monomio con un polinomio en sentido horizontal. 1) • Elimine los paréntesis. • Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado. 2) • Elimine los paréntesis. • Agrupe términos semejantes. • Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado. B. Opere un monomio con un polinomio en sentido vertical. • Escriba el monomio debajo del polinomio sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. • Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado. Un ejemplo más Operemos En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis operando el signo menos que está delante del polinomio. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes. • Sumamos y obtenemos el resultado. • Escribimos la respuesta: 18x - (3x2 y2 + 4x - 6) = -3x2 y2 + 14x + 6 En sentido vertical • Eliminamos los paréntesis respetando la ley de signos y escribimos el monomio debajo del polinomio, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. • Sumamos y obtenemos el resultado. 18 (3 4 6) 3 ( ) 618 4 x x y x x x y x x y x y x x x 18 3 4 6 3 14 6 2 2 2 2 2 2 2 2 - + - = - - + =- + + =- + + - 18 x y x x x y x 3 4 6 3 14 6 2 2 2 2 - - + + - + + 9 (3 10)xy xy+ - = + - = - ............... ............... ............... ........................... .............. 5 (4 2 5) 5 4 ( ) 4 x x x x x x 2 2 2 - - + = - + - =- + + - =- + - ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... 9 (6 6 10) 6 9 x x xy xy x + + + = + + + ............... .............. 20 IGER − Utatlán
  • 32. 1.3 Suma y resta de polinomios Para sumar y restar polinomios se aplican los pasos anteriores. Operemos En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. • Escribimos la respuesta: (2x3 + 3x2 + 6x + 1) + (5x2 - 3x + 5) = 2x3 + 8x2 + 3x + 6 En sentido vertical • Escribimos un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. Operemos En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis operando el signo menos que está antes del paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. • Escribimos la respuesta: (7y2 + 4y + 3) - (5y2 + 3y - 2) = 2y2 + y + 5 En sentido vertical • Escribimos un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. (2x3 + 3x2 + 6x + 1) + (5x2 - 3x + 5) = 2x3 + 3x2 + 6x + 1 + 5x2 - 3x + 5 = 2x3 + (3x2 + 5x2 ) + (6x - 3x) + (1 + 5) = 2x3 + 8x2 + 3x + 6 (7y2 + 4y + 3) - (5y2 + 3y - 2) = 7y2 + 4y + 3 - 5y2 - 3y + 2 = (7y2 - 5y2 ) + (4y - 3y) + (3 + 2) = 2y2 + y + 5 5 3 5 x x x x x x x x 2 3 6 1 2 8 3 6 3 2 2 3 2 + + + + - + + + + 5 3 2 y y y y y y 7 4 3 2 5 2 2 2 + + + + - - + 21Matemática − Semana 19
  • 33. Operemos En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis, teniendo cuidado de operar el signo menos delante del paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. • Escribimos la respuesta: (5x2 y + 9xy + 5x) - (4x2 y + 3xy - 8) = x2 y + 6xy + 5x + 8 En sentido vertical • Escribimos un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los tér- minos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. (5x2 y + 9xy + 5x) - (4x2 y + 3xy - 8) = 5x2 y + 9xy + 5x - 4x2 y - 3xy + 8 = (5x2 y - 4x2 y) + (9xy - 3xy) + 5x + 8 = x2 y + 6xy + 5x + 8 Ejercicio 3 A. Opere los polinomios en sentido horizontal. 1) • Elimine los paréntesis. • Ordene y agrupe términos semejantes. • Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado. 2) • Elimine los paréntesis. • Ordene y agrupe términos. • Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado. (10 6) (3 4) ( ) x x x x10 6 3 4 + + - = + + - = + + - = + ............... ............... .............. .............. .................... .............. ( ) (3 5 1) (2 4 6) ( ) ( ) ( ) x x x x2 2 + - - - + = + - - + - = - + + + - - = + - ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... 4 3 8 x y xy x x y xy x y xy x 5 9 5 6 5 8 2 2 2 + + + + + - - + 22 IGER − Utatlán
  • 34. Para sumar o restar monomios, sumamos o restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal. 4m + 11m = 15m Para sumar o restar monomios y polinomios, eliminamos los paréntesis del polinomio respetando la ley de signos, agrupamos o alineamos términos semejantes y luego reducimos. Puede operar los monomios y polinomios en sentido vertical u horizontal. Sentido horizontal (8m + 2n) - (3m + 5n -2) = 8m + 2n - 3m - 5n + 2 = (8m - 3m) + (2n - 5n) + 2 = 5m - 3n + 2 Sentido vertical 8m + 2n -3m - 5n + 2 5m - 3n + 2 B. Opere los polinomios en sentido vertical. 1) • Escriba un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. • Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado. 2) • Escriba un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. • Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado. 3) • Escriba un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. • Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado. ( 2 3 6) (5 10) 3 x y x x y x y 2 2 2 - - + + - = - - + + - - - ....................... .............. .............. ....................... .............. ............... ............... ............................... ............. ............. .......... ............................... .......... (8 5 2) (10 8 4) 2 a b a a b b a b 2 2 2 - - - + - = - - - - ............. ............. ..........- +- + - (5 3 6) (9 2 4) 5 2 x x x x x x 2 2 2 + - + + + = + - + + + - .............. .............. .............. ................... ................... ............. .............. 23Matemática − Semana 19 Resumen
  • 35. Actividad 1. Demuestre lo aprendido Observe con atención los monomios de cada fila y rellene el círculo de los términos semejantes. Tiene un ejemplo. 0) -2x2 y xy - 25 5x2 y 4x3 y2 1) 5xy2 5x2 y2 -6x3 y3 -15x2 y2 2) -25x4 y4 -10x4 y -10x4 y4 -10xy4 3) -8x2 y3 -6x2 y3 z4 -9x2 y -2x2 y3 z4 4) -14w2 x6 24w2 x -19w3 x3 -5w3 x3 5) 4a4 b3 c 10a3 b2 c -100a4 b3 c -100a3 b2 c2 6) -10ab2 c3 -100a2 b2 c2 -100a3 b2 c -10a3 b2 c Actividad 2. Practique lo aprendido A. Opere los polinomios en sentido horizontal. Tiene un ejemplo. 0) ( 3 6) (5 4 9)a a a a a a a a a a a a a a a 3 6 5 4 9 3 5 4 6 9 8 4 15 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 - - + - - - = - + - + + = - - + + + = + + 1) -x2 + 8x2 2) 9x2 y2 + 6x2 y2 3) -2a3 b2 + 9a3 b2 4) 5x + (8x + 2y + 10) 5) 5x2 - (2x2 + x - 10) 24 IGER − Utatlán Autocontrol
  • 36. 6) (2y2 - 4y + 3) + (-6y2 + 5y + 9) 7) (5x3 y2 - 3x2 y + 1) - (9x3 y2 - 2x2 y + 7x) 8) (15y2 - 9y + 5) + (2y4 + 9y2 - 3y) 9) (6m2 + 4m + 15) - (2m2 + 2m - 4) B. Realice los ejercicios de sumas y resta de polinomios en sentido vertical. Tiene un ejemplo. 0) (x2 - 9x + 1) - (3x2 - 4x + 6) 1) -4x6 y4 + 9x6 y4 3 4 6 x x x x x x 9 1 2 5 5 2 2 2 - - - - + - + - 2) -5x4 y2 - 6x4 y2 3) 8b + (5a + 2b - 8c) 4) 4b3 - (2b5 - 6b3 + 9b) 5) (a3 + 2b - 8) - (4a3 + 3b + 8) 25Matemática − Semana 19
  • 37. C. Realice en su cuaderno las siguientes operaciones con polinomios. Puede resolverlo en sentido vertical y horizontal. 1) 25y + 10y 11) 15x - (8x3 - 3x2 + x) 2) 8x4 y3 + 10x4 y3 12) 9x2 - (14x3 + 2x2 - 4x + 2) 3) 14m5 n2 + m5 n2 13) (3x + 2y + 1) + (5x + 2y + 7) 4) 16x2 y2 - 14x2 y2 14) (x2 + 5x) + (3x2 + 9x + 16) 5) 12a3 b4 - 4a3 b4 15) (4xy + 5x -2y) + (3xy + 4x + 7y + 6) 6) 6abc - 8abc 16) (6a - 10b + 8c) - (5a + 7b - c) 7) 10a2 b4 - 15a2 b4 17) (2x3 y2 + 8xy - y) - (6x3 y2 + 2xy - 4x) 8) 8x2 + (2x3 + 4x2 + x) 18) (6a2 b2 + 2ab - 2) - (2a2 b2 + 9ab - a) 9) 2x3 + (9x3 - 5x2 - x) 19) (9x2 + 5y2 - 2x + 3y) - (14x2 + 7y) 10) 3m2 + (m3 - 8m2 + 4m - 10) 20) (5x3 y2 - 4xy - 5) - (15x3 y2 - 9xy - 8x) A. Practique la ley de signos para sumar y restar. Tiene un ejemplo para cada caso. 0) 5 + 3 = 6) -8 - 9 = 12) -9 + 4 = 1) 9 + 6 = 7) -6 - 5 = 13) -6 + 8 = 2) 5 + 8 = 8) -4 - 8 = 14) -8 + 3 = 3) 2 + 3 = 9) -7 - 9 = 15) -7 + 8 = 4) 1 + 1 = 10) -2 - 1 = 16) -5 + 3 = 5) 9 + 0 = 11) -5 - 61 = 17) -6 + 1 = B. Aplique la misma ley para sumar y restar monomios. Tiene un ejemplo. 0) -y2 -6y2 = 6) -5a -25a = 1) 5x + 5x = 7) -24a + a = 2) 2a + 6a = 8) 3x3 -17x3 = 3) -8y -9y = 9) 24x -39x = 4) x3 + 5x3 = 10) 8a2 - 19a2 = 5) -5w -8w = 11) -9a3 + 19a3 = 8 -7y2 -17 -5 26 IGER − Utatlán Agilidad de cálculo mental
  • 38. En esta actividad le proponemos que, utilizando su habilidad visual, observe detenidamente las fi- guras y responda las preguntas que siguen. De esta manera estará desarrollando su capacidad de atención a los detalles. 1unidad 1 unidad 1unidad 1) ¿Cuántos triángulos pequeños tienen una medida de 1 unidad por lado? 2) ¿Cuántos triángulos tienen una medida lateral de 2 unidades por lado? 3) ¿Cuántos triángulos con una medida lateral de 3 unidades contienen un número de círculos que es múltiplo de 3? 1 unidad 1 unidad 1unidad 1unidad 1) ¿Cuántos cuadrados pequeños tienen una medida de 1 unidad por lado? 2) ¿Cuántos cuadrados tienen una medida lateral de 3 unidades por lado? 3) ¿Cuántos cuadrados con una medida de 1 unidad contienen un número de círculos que es múltiplo de 2? 27Matemática − Semana 19 Razonamiento lógico
  • 39. Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. logrado en proceso no logrado Despuésde estudiar... Recuerdo cómo se suman y restan números enteros. Identifico monomios semejantes. Sumo y resto monomios, monomio con polinomio y polinomios. Practico el cálculo mental de suma de enteros y términos semejantes. Resuelvo ejercicios de habilidad visual. Desarrolle nuevas habilidades El álgebra tiene como característica que utiliza patrones o fórmulas para operar números y letras. Observe los dibujos siguientes y escriba un polinomio que represente la serie de figuras que se le indican. Guíese por el ejemplo. 0) + + + + + + = 1) + + + + + + + = 2) + + + + + + + = 3) + + + + + + + = 4) + + + + + + + + + = 5) + + + + + + + + + = 6) + + + + + + + + = 4 + 3 28 IGER − Utatlán Revise su aprendizaje
  • 40. 20 Multiplicación de polinomios I ¿Qué encontrará esta semana? Repaso de la ley de signos y del producto de potencias Multiplicación de dos o más monomios y de monomio por polinomio Producto de números enteros y producto de dos monomios Área algebraica de figuras geométricas y traducción de lenguaje común a lenguaje algebraico Esta semana logrará:  Recordar la ley de signos aplicada al producto de números enteros y el procedimiento para multiplicar potencias de la misma base.  Multiplicar dos o más monomios y un monomio por un polinomio.  Practicar el cálculo mental a través del producto de números enteros y de dos monomios.  Calcular el área algebraica de figuras geométricas.  Traducir problemas de lenguaje común a lenguaje algebraico.  29Matemática − Semana 20
  • 41. ¡Para comenzar! Para empezar nuestro estudio esta semana conviene recordar cómo multiplicar números enteros y potencias de la misma base, porque nos servirá para multi- plicar polinomios. Ley de signos para el producto Recuerde: • El producto de dos números enteros con el mismo signo es un número entero positivo. • El producto de dos números enteros con signo diferente es un número entero negativo. Observe con atención los principios de la ley de signos y el ejemplo que lo acompaña. ley de signos ejemplo (+)(+) = + (7)(3) = 21 ( – )( – ) = + (–7)(–3) = 21 (+)( – ) = – (7)(–3) = –21 ( – )(+) = – (–7)(3) = –21 Producto de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes. Ejemplos (32 )(35 ) = 32+5 = 37 (a4 )(a3 )(a) = a4+3+1 = a8 (63 )(62 ) = 63+2 = 65 (x2 )(x2 )(x3 ) = x2+2+3 = x7 (2)(23 ) = 21+3 = 24 (b)(b)(b2 ) = b1+1+2 = b4 ¡A trabajar! Repase y practique. Tiene algunos ejemplos. 0) (-3)(6) = 4) (24 )(23 ) = 8) (m6 )(m3 )(m) = 1) (2)(-5) = 5) (52 )(54 ) = 9) (a4 )(a)(a2 ) = 2) (-8)(-4) = 6) (73 )(75 ) = 10) (b5 )(b4 )(b3 ) = 3) (-6)(7) = 7) (36 )(37 ) = 11) (x)(x6 )(x8 ) = m6+3+1 = m10 -18 24+3 = 27 30 IGER − Utatlán
  • 42. 1. Multiplicación de polinomios Para multiplicar polinomios seguimos las mismas leyes del producto y de la potenciación de números enteros, como acabamos de repasar. Estudiaremos tres casos de multiplicación de polinomios: • producto de dos o más monomios • producto de un monomio por un polinomio • producto de un polinomio por un polinomio Esta semana veremos los dos primeros casos, comencemos. 1.1 Producto de dos o más monomios A diferencia de la suma y de la resta, que necesitan variables y exponentes igua- les para reducirlos, podemos multiplicar dos o más monomios aunque tengan coeficientes, literales y exponentes diferentes. Por ejemplo. (2a)(3b2 ) = 6ab2 Para comprender mejor el tema comencemos por resolver paso a paso un ejem- plo sencillo. Ponga mucha atención. Multipliquemos el monomio -2x por el monomio 3x2 . Escribimos entre paréntesis cada monomio para indicar la multiplicación. • Agrupamos los coeficientes y las literales por separado (primero los números, después las letras). • Multiplicamos los valores agrupados. Acostúmbrese a multiplicar el signo en primer lugar (- : + = -) después los coeficientes y por último las variables. • Escribimos la respuesta. Expresamos el producto completo: (-2x)(3x2 ) = -6x3 ( 2 )(3 ) ( )( ) x x x x x 2 3 6 1 2 2 2 : : - = - =- + x6 3 =- ¡Atención! Para indicar producto, además del signo “x” y paréntesis, también podemos utilizar el punto “•” en medio de los factores (x • y). 31Matemática − Semana 20 El mundo de la matemática
  • 43. Otro ejemplo Multipliquemos los monomios. • Agrupamos los factores numéricos y literales por separado. Ordenamos las letras iguales para faci- litar la resolución. • Multiplicamos los valores agrupados (observe la ley de potenciación para x). • Escribimos la respuesta. Expresamos el producto completo: (2x2 y)(4x) = 8x3 y Ahora veamos un ejemplo de producto de tres monomios Seguimos los mismos pasos. Multipliquemos. • Agrupamos los factores numéricos y literales por separado. • Multiplicamos los valores agrupados. Atención al resultado de los signos. • Escribimos la respuesta. Expresamos el producto completo: (-3a)(2a2 )(-3a2 ) = 18a5 Otro ejemplo Multipliquemos • Agrupamos los factores numéricos y literales por separado. • Multiplicamos los valores agrupa- dos. (Atención a los signos diferen- tes y las potencias iguales) • Escribimos la respuesta. Expresamos el producto completo: (-5x2 y3 )(6xy2 )(2x3 ) = -60x6 y5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 8 x y x x y x x x y x y x y 2 4 2 4 8 8 2 2 2 2 1 3 : := = = = + ( )( )( ) ( )( ) 18 a a a a a a a 3 2 3 3 2 3 2 2 2 2 1 2 2 : : : : - - = - - = + + 18a5 = Atención Para multiplicar tres cantidades con diferente signo podemos hacerlo de la forma siguiente. (-3 : 2)(-3) = (-6 : -3) = + 18 ( 5 )(6 )(2 ) ( )( ) ( )( ) 60 x y xy x x y xy x x x x y y x y 5 6 2 60 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 1 3 3 2 : : : : :: : - = - =- =- + + + 60x6 y5 =- 32 IGER − Utatlán
  • 44. Ejercicio 1 A. Multiplique los monomios siguiendo los pasos indicados. 1) • Agrupe factores numéricos y literales por separado. • Multiplique los valores agrupados. • Escribimos la respuesta. Exprese el producto completo: 2) • Agrupe los factores numéricos y literales por separado. • Multiplique los valores agrupados. • Escribimos la respuesta. Exprese el producto completo: B. Resuelva los productos. Hay un ejemplo. 0) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x x z x x z x x z x z x z x x z x z 4 3 4 3 12 12 12 4 3 12 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 5 2 2 3 2 5 2 : := = = = = + 1) (y)(6y2 ) = 2) (-6cd)(-2c2 ) = 3) (2x)(-6x2 y)(2y2 ) = ( )( ) (3 2)( ) b b3 23 : := = = .............. .............. ......................................................... ......................................................... ( )( 2 )( 5 ) (1 2 5)( ) ( )( )( )( ) a ab b c a a 3 : : : : : - - = - - = = = .............. .............. .............. .............. ............................ ..................... ............................................................................... ............................................................................... 33Matemática − Semana 20
  • 45. 1.2 Producto de un monomio por un polinomio El procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio es el siguiente: • Multiplicar el monomio por cada término del polinomio. • Resolver cada operación como producto de dos monomios. • Escribir la respuesta. Al igual que la suma y la resta, podemos resolver esta operación en sentido horizontal y vertical. Veamos un ejemplo. En sentido horizontal Multipliquemos. • Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio. • Resolvemos cada operación como producto de dos monomios. • Escribimos la respuesta. • Expresamos el producto completo: (3x)(2x + 4y) = 6x2 + 12xy En sentido vertical • Escribimos el monomio debajo del polinomio. • Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio, de derecha a izquierda. Otro ejemplo Multipliquemos • Multiplicamos el mono- mio por cada término del polinomio. • Resolvemos cada ope- ración como producto de dos monomios. • Escribimos la respuesta. • Expresamos el producto completo: (-2x)(x2 - 4x + 5) = -2x3 + 8x2 - 10x ( )( ) ( 2 ) ( 4 ) ( )( ) ( )( ) 6 12 3 3 x x y x y x x x y x xy x x x xy 3 2 4 3 2 3 4 6 12 1 1 2 : : : : : : + = + = + = + = + + 3 x y x x xy 2 4 6 122 + + ( )( ) ( ) ( 4 ) ( 5) (2 1)( ) (2 4)( ) (2 5)( ) 2 8 10 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 4 5 2 8 10 2 2 2 1 2 1 1 3 2 : : : : : : : : - - + = + - + - = =- + - - - - + - =- + - + + 34 IGER − Utatlán
  • 46. En sentido vertical • Escribimos el monomio debajo del polinomio. • Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio, de derecha a izquierda. 4 5 2 x x x x x x2 8 10 2 3 2 - + - - + - Ejercicio 2 A. Realice cada multiplicación en el sentido indicado. 1) Multiplique en sentido horizontal. • Multiplique el monomio por cada término del polinomio. • Resuelva cada operación como producto de dos monomios. • Escriba la respuesta: • Exprese el producto completo: 2) Multiplique en sentido vertical. • Escriba el monomio debajo del polinomio. • Multiplique el monomio por cada término del polinomio, de derecha a izquierda. 3) Multiplique en forma horizontal. • Multiplique el monomio por cada término del polinomio. • Resuelva cada operación como producto de dos monomios. • Escriba la respuesta: • Exprese el producto completo: ( )( ) (3 )( ) (3 )( ) ( )( ) ( )( ) a a a a a 3 3 3 3 3 1 3 2 : : + = + = + = + = + ................... ................... ..................... ..................... ....................................... ....................................... ............................. ............................. (3 )(3 ) 3 a a a a a a 3 3 2 3 2 + + +.......................... ......................... ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) (5 2)( ) (5 4)( ) (5 1)( ) y x y y y y 5 2 4 1 5 5 2 2 : : : - - + = - + - + =- + - =- + - =- + - .............................. ................. .......... .............................. ................. .......... ............................................ ....................................... ............................. .................................. .................................. ............................. (-5y) Recuerde: Multiplicamos el signo en primer lugar, después los coeficien- tes y por último las variables. 35Matemática − Semana 20
  • 47. 1. Para multiplicar polinomios aplicamos las mismas leyes del producto y de la potenciación de números enteros. 1.1 Podemos multiplicar dos o más monomios aunque los coeficientes, literales y exponentes sean diferentes. El procedimiento es el siguiente: • Agrupar los coeficientes numéricos y literales por separado. • Multiplicar los valores agrupados respetando las leyes de los signos y de la potenciación. • Escribir la respuesta. 1.2 El procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio es: • Multiplicar el monomio por cada término del polinomio. • Resolver cada operación como producto de dos monomios. • Escribir la respuesta. B. Resuelva los productos. Hay un ejemplo. 0) ( )( )ab a b bc a b bc ab a b ab c ab 2 4 3 1 4 3 1 2 8 6 2 2 2 3 2 2 - + = - + - + 1) (3x)(x2 + 2x - 1) = 2) (2xy)(3x2 + 5y2 + 2) = 3) (c2 )(3c3 - 2d2 - 4) = 36 IGER − Utatlán Resumen
  • 48. Actividad 1. Demuestre lo aprendido Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Qué expresión indica lo mismo que (-1)(x)? 2) ¿Qué expresión indica lo mismo que (d2 )(-3)? 3) ¿Qué expresión indica lo mismo que (-x)(y)? 4) ¿Cuál es el resultado de operar (-b)(-b)? 5) ¿Cuál es el resultado de operar (-a)(-a)(-a)? Actividad 2. Practique lo aprendido A. Siga los pasos para realizar las multiplicaciones. 1) Multiplique (3b3 )(-4b2 c) • Agrupe los factores numéricos y literales por separado. • Multiplique los valores agrupados. • Escriba la respuesta: • Exprese el producto completo: 2) Multiplique (-2x2 )(xy)(-4yz) • Agrupe los factores numéricos y literales por separado. • Multiplique los valores agrupados. • Escriba la respuesta: • Exprese el producto completo: x -x -1 d2 - 3 -3 + d2 -3d2 -x + y -xy xy b2 b -b2 -a3 a3 a2 ( )( ): := = = ............... ............... ............... ............... ........................................................................... ............................................................... ( )( )yz: : : := = = = ................ ................ ................ ................ ................ ............................................................ ............................................................................ . ............................................... 37Matemática − Semana 20 Autocontrol
  • 49. 3) Multiplique en sentido vertical. a. (-x2 )(x2 - 2x + 4) = • Escriba el monomio debajo del polinomio. • Multiplique el monomio por cada término del polinomio de derecha a izquierda. b. (2ab)(3a2 - 4b3 + 5) = • Escriba el monomio debajo del polinomio • Multiplique el monomio por cada término del polinomio de izquierda a derecha. B. Realice las multiplicaciones. Deje escrito el procedimiento que utilice para obtener el resultado. Hay un ejemplo. 0) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b a bc a b a bc a b c a b c a b a bc a b c 6 3 6 3 18 18 6 3 183 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 5 3 5 : : - = = - =- =- - = - + + = -18(a3 : a2 )(b2 : b)(c) 1) (3a2 )(-2ab) = 2) (2)(3c3 )(2bc2 ) = 3) (3a2 )(2ab)(-b3 ) = 2 4x x x x 2 2 4 - + - - + -...................... ...................... a b ab 3 4 5 2 2 2 - + ................................................................................................... 38 IGER − Utatlán
  • 50. 4) 3(a2 - 4) = 5) a(2a3 + 3a2 ) = 6) 3x(2x3 - 3x2 + 4) = 7) 5y2 (-3x3 y2 + 2xy - y) = 8) 2ab(3a3 - 2b3 + 2ab) = 9) (-2xy2 )(2x3 y - 3xy + 4y) = 10) a3 b2 (-2a3 + 3b2 + 3) = 11) -xz3 (-2x2 + 3yz2 - y2 + z) = 39Matemática − Semana 20
  • 51. Realice mentalmente las multiplicaciones de números enteros y de monomios. Escriba su respuesta sobre la línea. Tome en cuenta las leyes de los signos y de la potenciación. Hágalo lo más rápido que pueda. Fíjese en los ejemplos. A. 0) -2(4) = 1) -5(2) = 2) -2(3) = 3) -4(8) = 4) -6(7) = 5) -3(6) = 6) 3(-2) = 7) 4(-8) = 8) 5(-7) = 9) 2(-5) = 10) 6(-4) = 11) 8(-7) = 12) (-3)(-4) = 13) (-5)(-2) = 14) (-2)(-8) = 15) (-4)(-3) = 16) (-6)(-6) = 17) (-8)(-3) = B. 0) 5b2 (4b) = 1) 3b2 (7b) = 2) 6b2 (5b) = 3) 5b2 (9b) = 4) 8b2( 3b) = 5) 4b2 (7b) = 6) 9d3 (-2d) = 7) 4d3 (-4d) = 8) 3d3 (-8d) = 9) 5d3 (-3d) = 10) 2d3 (-7d) = 11) 7d3 (-8d) = 12) -5c(3c2 ) = 13) -2c(6c2 ) = 14) -4c(5c2 ) = 15) -3c(3c2 ) = 16) -6c(2c2 ) = 17) -9c(4c2 ) = C. 0) 5a(2c) = 1) x(6y3 ) = 2) 2a(8b) = 3) 5c2 (5d) = 4) 3h(9k3 ) = 5) 6x3 (2y) = 6) -2g(-8h4 ) = 7) -4s(-3t2 ) = 8) -5b(-9c) = 9) -3q2 (-7r3 ) = 10) -4w3 (-4z4 ) = 11) -2y3 (-9z2 ) = 12) b4 (-3c3 ) = 13) 2g(-8t) = 14) 4w(-5x2 ) = 15) 3yz5 (-7z3 ) = 16) 9d2 e(-4d3 ) = 17) 8st(-6st) = -8 20b3 10ac 40 IGER − Utatlán Agilidad de cálculo mental
  • 52. A. Observe las medidas de cada figura y encuentre una expresión algebraica que represente su área. Fíjese en el ejemplo. 0) x + 3 2x ( ) A b h A x x A x x 2 3 2 62 := = + = + 1) 3a 4a 2) 2a + 3b 4 3) 3y 3y 4) 2c + d 5c 5) 2x + 3y 2xy B. Lea cada problema y realice lo que se pide. Recuerde que en la semana 13 aprendimos a traducir a símbolos lo que normalmente expresamos con palabras. Fíjese en el ejemplo. 0) Si la edad actual de Rosa es x años, escriba un polinomio que represente el doble de la edad que tendrá dentro de 5 años. Edad de Rosa: x Edad dentro de 5 años: x + 5 El doble de edad dentro de 5 años: 2(x + 5) 1) La base de un triángulo rectángulo mide 5x y la altura mide 2x + 1. Escriba un polinomio que represente el área del triángulo. 2) El martes, Rubén obtuvo el doble de ganancia que el lunes; el miércoles ganó el doble que el martes y el jueves el doble de lo que ganó el miércoles. Escriba un monomio que represente la ganancia que obtuvo el jueves. 3) Hoy Pilar recorrió 2 km más que ayer y mañana piensa recorrer el doble que hoy. Escriba un polinomio que represente la distancia que Pilar recorrerá mañana. Expresión polinomial 2(x + 5) = 2x + 10 41Matemática − Semana 20 Razonamiento lógico
  • 53. Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. logrado en proceso no logrado Despuésde estudiar... Recuerdo la ley de signos aplicada al producto de números enteros y el procedimiento para multiplicar potencias de la misma base. Multiplico dos o más monomios y un monomio por un polinomio. Practico el cálculo mental a través de los productos de números enteros y de dos monomios. Calculo el área algebraica de figuras geométricas. Traduzco problemas de lenguaje común a lenguaje algebraico. Desarrolle nuevas habilidades ¡Expresemos el área en forma de polinomio! Para calcular el área de una figura cuyas medidas son valores desconocidos, como la figura de la izquierda, debemos descomponerla en figuras que ya co- nocemos, por ejemplo en dos rectángulos como la figura de la derecha. x + 2 x x x x x + 2 3 x x x x x 1 2 La base del rectángulo 2 mide 3x porque es la suma de los lados superiores (x + x + x). Ahora calculemos el área de cada uno a través de la fórmula de área de un rectángulo. rectángulo 1 rectángulo 2 A = b : h A1 = x (x + 2) = x2 + 2x A2 = 3x (x) = 3x2 Sumamos el área de los dos rectángulos para obtener el área total. Atotal = A1 + A2 Atotal = (x2 + 2x) + (3x2 ) = x2 + 2x + 3x2 Atotal = 4x2 + 2x Ahora le toca a usted. Exprese como polinomio el área total de la figura siguiente: 2x + 3 x x xx x x 42 IGER − Utatlán Revise su aprendizaje
  • 54. 21 Multiplicación de polinomios II ¿Qué encontrará esta semana? La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y a la resta Multiplicación de polinomios Multiplicación de monomios Agudeza visual Esta semana logrará:  Recordar la propiedad distributiva de la multiplicación.  Multiplicar binomio por binomio.  Multiplicar polinomio por polinomio.  Practicar la agilidad de cálculo mental con la multiplicación de monomios.  Desarrollar agudeza visual con el reflejo de figuras.  43Matemática − Semana 21
  • 55. ¡Para comenzar! Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la resta Recordemos que para multiplicar un número por una suma o resta indicada, se multiplica dicho número por cada uno de los valores y se suman o restan los resultados. Por ejemplo Respecto a la suma 1) (7 3) (7 2) 21 14 35+ = + =: :7(3 + 2) = 2) 5(8 4) (5 : 8) (5 : 4) 40 20 60+ = + = + = Respecto a la resta 1) 9(6 3) (9 : :6) (9 3) 54 27 27- = - = - = 2) 4(8 3) (4 8: :) (4 3) 32 12 20- = - = - = ¡A trabajar! Resuelva las siguientes operaciones aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación. Tiene un ejemplo. 0) 6(10 -2 + 3) = 1) 2(3 + 2 + 1) = 2) 2(3 + 5) = 3) 4(1 + 2 + 6) = 4) 7(11 + 5 + 4) = 5) 5(7 - 2) = 6) 4(8 - 3 - 2) = 7) 9(3 + 2 - 4) = 8) 5(6 - 8 + 3) = 9) 3(-2 + 6 - 4) = (6 : 10) - (6 : 2) + (6 : 3) = 60 - 12 + 18 = 66 44 IGER − Utatlán
  • 56. 1. Multiplicación de polinomios Esta semana aprenderemos a multiplicar: • un binomio por otro binomio y • un polinomio por otro polinomio 1.1 Multiplicación de un binomio por otro binomio Cuatro jóvenes participan en un concurso de ajedrez. Ana y Nicté (A + N) forman un equipo, Pablo y Samuel (P + S) forman otro. Si las partidas son uno a uno, ¿cuántos juegos deben realizar? • En la primera ronda, Ana juega primero con Pablo (AP) y luego con Samuel (AS). • En la segunda ronda, Nicté juega con Pablo (NP) y luego con Samuel (NS). Si queremos averiguar el número total de partidas, multiplicamos las dos pare- jas, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación y obtenemos cuatro juegos. (A + N)(P + S) = AP + AS + NP + NS En realidad, hemos representado las parejas del juego mediante binomios y para averiguar el número de partidas, hemos multiplicado ambos binomios. Ahora ya podemos deducir el procedimiento del producto de dos binomios. Para multiplicar un binomio por otro binomio, multiplicamos cada término del primer binomio por cada término del segundo. Podemos hacer la operación en sentido horizontal o en sentido vertical. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd a b c d ad bd ac bc ac ad bc bd + + + + + + + + Recuerde la forma de multiplicar números enteros, porque así se operan los polinomios. (A)(P + S) = AP + AS (N)(P + S) = NP + NS 45Matemática − Semana 21 El mundo de la matemática
  • 57. Lea los pasos que se describen a continuación y observe la operación al final de estos. Siga la secuencia guiándose por los números de color rojo. Para multiplicar en sentido horizontal dos binomios seguimos el siguiente pro- cedimiento. • Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y resolvemos los productos planteados. • Reducimos términos semejantes. (2x + 3)(x + 5) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x2 2 5 3 3 5: : : := + + +6 6@ @ = 2x2 + 10x + 3x + 15 = 2x2 + 13x + 15 • Escribimos el producto completo: ( )( ) x x x x x x x 2 10 3 15 2 3 5 2 13 15 2 2 = + + + + + = + + Hagamos la misma operación en sentido vertical. • Eliminamos los paréntesis y escribimos un polinomio debajo del otro. • Multiplicamos cada término del binomio inferior por cada término del binomio superior. Los términos semejantes deben quedar alineados en la misma columna. • Sumamos y reducimos términos seme- jantes y escribimos la respuesta. Observe que operando en cualquiera de los dos sentidos llegamos al mismo re- sultado. Sigamos el mismo procedimiento para este otro ejemplo. (a2 + a)(2a - 6) ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a2 6 2 62 2 : : : := + - + + -6 6@ @ = 2a3 - 6a2 + 2a2 - 6a = 2a3 - 4a2 - 6a • Escribimos el producto completo: (a2 + a)(2a - 6) = 2a3 - 4a2 - 6a Hagamos la misma operación en sentido vertical. a a a a a a a a a a 2 6 6 6 2 2 2 4 6 2 2 3 2 3 2 + - - - + - - x x x x x x x 2 3 5 10 15 2 3 2 13 15 2 2 + + + + + + Ponga atención al aplicar la ley de signos. Escriba los términos del polinomio en orden alfabético y descendente. 46 IGER − Utatlán
  • 58. Ejercicio 1 A. Multiplique los polinomios en sentido horizontal. Siga el procedimiento que practicamos en los ejemplos. 1) (x + 4)(x + 6) [( : ) + ( : )] + [( : ) + ( : )] = + + + = + + Escriba el producto completo: 2) (-2x2 + 2)(3x3 - 5) [(- : ) + (- : - )] + [( : ) + ( : - )] – + + – Escriba el producto completo: B. Multiplique los polinomios en sentido vertical. 1) (x + 8)(2x + 2) + + + + Escriba el producto completo: 2) (a4 b2 + 5)(a2 b + 3b) + + + + ++ ................................. .................. ................................. ................................. ................................. .................................................................. +.................................................................. .................. .................. .................. Escriba el producto completo: 47Matemática − Semana 21
  • 59. 1.2 Multiplicación de polinomios Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo, se reducen términos semejan- tes si los hay y se escribe la respuesta. Podemos hacer la operación en sentido horizontal o vertical. (a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be c d e a b bc bd be ac ad ae ac ad ae bc bd be + + + + + + + + + + + + + Veamos un ejemplo Multipliquemos los polinomios en sentido horizontal. Recuerde que el procedi- miento es el mismo del caso anterior. (x+4)(x2 +2x+5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x2 5 4 4 2 4 52 2 : : : : : := + + + + +6 6@ @ = x3 + 2x2 + 5x + 4x2 + 8x + 20 x x x x x x x x 2 4 5 8 20 6 13 20 3 2 2 3 2 = + + + + + = + + + = x3 + 6x2 + 13x + 20 • Escribimos el producto completo. (x + 4)(x2 + 2x + 5) = x3 + 6x2 + 13x + 20 Hagamos la misma operación en sentido vertical. x x x x x x x x x x x 2 5 4 4 8 20 2 5 6 13 20 2 2 3 2 3 2 + + + + + + + + + + • Escribimos el producto completo. (x + 4)(x2 + 2x + 5) = x3 + 6x2 + 13x + 20 48 IGER − Utatlán
  • 60. Ejercicio 2 A. Multiplique los polinomios en sentido horizontal. 1) (3x + y)(2x - 5y + z) = [( : ) + ( : ) + ( : )] + [( : ) + ( : )+ ( : )] = - + + - + = - + + - + = - + - + Escriba el producto completo: ¡Un ejemplo más! Multipliquemos los polinomios en sentido horizontal. (2x - y)(x - 3y - 2z) = [(2x : x) + (2x : -3y) + (2x : -2z)] + [(-y : x) + (-y : -3y) + (-y : -2z)] = 2x2 - 6xy - 4xz - xy + 3y2 + 2yz x xy xy xz y yz2 6 4 3 22 2 = - - - + + = 2x2 - 7xy - 4xz + 3y2 + 2yz • Escribimos el producto completo. (2x - y)(x - 3y - 2z) = 2x2 - 7xy - 4xz + 3y2 + 2yz Hagamos la misma operación en sentido vertical. x y z x y xy y yz x xy xz x xy xz y yz 3 2 2 3 2 2 6 4 2 7 4 3 2 2 2 2 2 - - - - + + - - - - + + • Escribimos el producto completo. (2x - y)(x - 3y - 2z) = 2x2 - 7xy - 4xz + 3y2 + 2yz 49Matemática − Semana 21
  • 61. 2) (b - 3)(b2 + 3b + 9) = [( : ) + ( : ) + ( : )] + [(- : ) + (- : )+ (- : )] = + + - - - = + - + - - = - Escriba el producto completo: 3) (3a - 4)(2b2 + b + 5) = [( : ) + ( : ) + ( : )] + [(- : ) + (- : ) + (- : )] = + + - - - = + + - - - Escriba el producto completo: 4) (x - 2)(x2 + 2xy + 5y2 ) = [( : ) + ( : ) + ( : )] + [(- : ) + (- : ) + (- : )] = + + - - - = - + + - - Escriba el producto completo: B. Multiplique los polinomios en sentido vertical. 1) (4x + 1)(4x2 + 2x + 2) x x x 4 4 16 2 3 + + + + + + + Escriba el producto completo: 50 IGER − Utatlán
  • 62. Multiplicación de polinomios Para multiplicar un binomio por otro binomio y un polinomio por otro polinomio: • Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y se resuelven los productos planteados. • Se reducen términos semejantes. • Se ordena el polinomio. • Se escribe el producto completo. Se puede multiplicar en sentido vertical y horizontal. (b3 + 8)(3b2 + 5b + 1) = = [(b3 : 3b2 ) + (b3 : 5b) + (b3 : 1)] + [(8 : 3b2 ) + (8 : 5b) + (8 : 1)] = 3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8 (b3 + 8)(3b2 + 5b + 1) = 3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8 3 5 1 8 24 40 8 3 5 3 5 24 40 8 b b b b b b b b b b b b b5 4 2 3 2 5 4 3 3 2 + + + + + + + + + + + + + 2) (x2 y + 2x)(x2 - 4x - 6) x y x x y x y x y 2 4 6 2 4 3 2 - - + - - - - + - - - - .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. Escriba el producto completo: 51Matemática − Semana 21 Resumen
  • 63. Actividad 1. Demuestre lo aprendido Rellene el círculo donde está la respuesta correcta a cada pregunta. 1) ¿Qué propiedad se aplica en la multiplicación de polinomios? 2) ¿Qué expresión es equivalente a y(y+ 1)? 3) ¿Cuál es el primer término y segundo término que resulta al multiplicar (x + 1)(x + 2)? 4) ¿Cuáles son los términos tercero y cuarto que resultan al multiplicar (2y - 5)(5y2 - y)? 5) ¿Qué resultado se obtiene al multiplicar (a + b)(c + d)? Actividad 2. Practique lo aprendido A. Multiplique los polinomios de forma vertical. Tiene un ejemplo. 0) (x2 - 1)(3x2 + 6) 1) (a + 3)(a + 2) x x x x x x x 1 3 6 6 6 3 3 3 3 6 2 2 2 4 2 4 2 - - + - - + 2) (2x - y)(5x + 3) 3) (3a + 1)(a + 7b) conmutativa asociativa distributiva 2y + y y2 + y y2 + 1 2x + 2x x2 + x x2 + 2x -25y2 + 5y -2y2 + 5y 10y3 - 2y a2 + ac + d2 ac + bc + ad ac + ad + bc + bd 52 IGER − Utatlán Autocontrol
  • 64. 4) (c + 5)(c2 + 3c + 1) 5) (4x + 2y)(2x + 3y + 1) 6) (2x- 1)(x2 - 4x + 3) 7) (r + 1) (r3 + 4r2 - r + 3) 8) (a2 - 1)(2a - 8) 9) (x2 + 4x)(x2 - 2x - 2) B. Multiplique en su cuaderno. 1) (x + 2)(x - 5) 5) (x3 + x)(x + 6) 2) (y - 4)(y + 4) 6) (x2 y + 2x)(y2 - 2y + 4) 3) (x2 + 1)(x - 6) 7) (5a2 - 4a)(a3 - 3a + 7) 4) (xy - 3)(xy - 5) 8) (b4 + 9)(-2b2 - 5b - 2) 53Matemática − Semana 21
  • 65. Practique la agilidad de cálculo multiplicando los monomios lo más rápido que pueda. Recuerde aplicar la ley de signos y de la potenciación. Fíjese en los ejemplos. A. 0) (x3 )(x6 ) = 1) (a2 )(a3 ) = 2) (y7 )(y2 ) = 3) (b4 )(b9 ) = 4) (x4 )(x3 ) = 5) (y5 )(y4 ) = 6) (x2 )(x9 ) = 7) (m6 )(m2 ) = 8) (b6 )(b4 ) = 9) (w3 )(w8 ) = 10) (b3 )(b5 ) = 11) (-a)(2b) = 12) (-a)(4c) = 13) (-3b)(d) = 14) (-4x)(y) = 15) (-3x)(3z) = 16) (-4c)(2d) = 17) (-2e)(5f ) = 18) (-4h)(6k) = 19) (-2s)(7t) = 20) (-4w)(5x) = 21) (-6y)(9z) = B. 0) (2c)(-2c) = 1) (3a)(-4a) = 2) (5b) (-2b) = 3) (4c)(-4c) = 4) (2d)(-3d) = 5) (7h)(-2h) = 6) (4s2 )(-3s2 ) = 7) (5x2 )(-2x2 ) = 8) (3y3 )(-7y3 ) = 9) (9w3 )(-2w3 ) = 10) (5z4 )(-9z4 ) = 11) (-6d2 )(-d3 ) = 12) (-8h)(-h3 ) = 13) (-3b4 )(-b) = 14) (-x)(-5x2 ) = 15) (-d2 )(-3d2 ) = 16) (-h3 )(-4h2 ) = 17) (-2t4 )(-5t3 ) = 18) (-4v3 )(-3v3 ) = 19) (-6w7 )(-6w3 ) = 20) (-2x4 )(-8x2 ) = 21) (-6y5 )(-3y4 ) = x9 -4c2 6d5 -2ab 54 IGER − Utatlán Agilidad de cálculo mental
  • 66. La agudeza visual es la capacidad de ver los detalles de un objeto donde hay muchos más objetos que lo rodean. Estas figuras son reflejos la una de la otra, sus posiciones están al revés. Rodee con un círculo la cuadrícula que es un reflejo de la figura de la izquierda. Tiene un ejemplo. 0) 1) a. b. c. d. 2) a. b. c. d. 3) a. b. c. d. 4) a. b. c. d. 5) a. b. c. d. 55Matemática − Semana 21 Razonamiento lógico
  • 67. Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. logrado en proceso no logrado Despuésde estudiar... Aplico la propiedad distributiva de la multiplicación. Multiplico binomio por binomio. Multiplico polinomio por polinomio. Practico la agilidad de cálculo mental con la multiplicación de monomios. Desarrollo agudeza visual con el reflejo de figuras. Desarrolle nuevas habilidades El Sudoku es un rompecabezas matemático como el que aparece a la izquierda de este párrafo. El objetivo es rellenar una cuadrícula de 4 x 4 con las cifras del 1 al 4 partiendo de algunos números ya dispuestos. No se debe repetir ninguna cifra en una misma fila o columna. Un sudoku está bien planteado si la solución es única. La práctica de este pasatiempo es ideal para ejercitar la atención. Ob- serve con atención el ejemplo. 0) 1 3 4 2 2 4 3 1 3 2 1 4 4 1 2 3 1) 2 3 1 3 2 4 2) 3 2 3 4 3 2 3) 2 3 2 2 3 4 3 1 56 IGER − Utatlán Revise su aprendizaje
  • 68. 22 Productos notables I ¿Qué encontrará esta semana? Joseph Louis Lagrange El cuadrado de la suma o la resta de un binomio Términos del cuadrado de un binomio Área algebraica de cuadrados Esta semana logrará:  Conocer a Joseph Louis Lagrange y su aporte a la matemática.  Resolver el cuadrado de la suma o la resta de un binomio por simple inspección.  Practicar el cálculo mental en la resolución del cuadrado de un binomio.  Calcular en forma algebraica el lado y el área de un cuadrado.  57Matemática − Semana 22
  • 69. ¡Para comenzar! Joseph Louis Lagrange Joseph Louis Lagrange nació en 1736 en Turín, Italia. De formación autodidacta, sus numerosos estudios en diversos campos de las matemáticas, en especial sobre análisis, le convirtieron en uno de los matemáticos más destacados y apreciados del siglo XVIII. Trabajó en Turín como profesor en la Real Escuela de Artillería. En 1757 colaboró junto con un grupo de estudiantes en la fundación de la Academia de Ciencias turinesa. En 1766 fue nombrado director de matemáticas de la Academia de Ciencias de Berlín, Alemania. Durante esta etapa de su vida, escribió su obra más importante: Tratado de mecánica analítica. Se trasladó a París, Francia, en 1787, y trabajó para la Academia de Ciencias de esta ciudad. Entre otras tareas, formó parte del comité de pesas y medidas que introdujo el sistema métrico decimal y publicó sus investigaciones sobre cálculo matemático. Murió en París en 1813. Biografía tomada y adaptada de www.mcnbiografias.com ¡A trabajar! Lea detenidamente la biografía de Lagrange y responda a las preguntas. 1) ¿Cuál es título de su obra más importante? 2) ¿Cuál fue su aporte más importante en el comité de pesas y medidas? 3) Busque en el diccionario el significado de la palabra autodidacta. 58 IGER − Utatlán
  • 70. 1. Productos notables A simple vista Los productos notables son casos especiales de multiplicación de polinomios que cumplen con reglas fijas y se pueden resolver por simple inspección, es decir, operar mentalmente sin necesidad de escribir todo el procedimiento. Aprenderemos tres casos: • Cuadrado de un binomio: – cuadrado de la suma (a + b)2 – cuadrado de la resta (a - b)2 • Producto de la suma por la diferencia de un binomio (a + b)(a - b) • Producto de dos binomios con un término común (a + b)(a + c) Esta semana aprenderemos a resolver por simple inspección el cuadrado de la suma o la resta de un binomio. 1.1 Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 Elevar una cantidad al cuadrado es lo mismo que multiplicarla por sí misma. Por ejemplo (3)2 = (3)(3) = 9 Lo mismo sucede con el cuadrado de la suma de un binomio, es equivalente a multiplicar el binomio por sí mismo. Por ejemplo (a + b)2 = (a + b) (a + b) Si hacemos la operación, obtenemos: ab b a ab a b a b a ab b2 2 2 2 2 + + ++ + + Observe que el resultado del producto es (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Un camino más corto para obtener el mismo resultado es a través de la fórmula general del cuadrado de la suma de un binomio. Veamos en la página siguiente el procedimiento para deducir la fórmula. Atención: El producto (a + b)2 no es lo mismo que a2 + b2 , es decir, (a + b)2 ! a2 + b2 . 59Matemática − Semana 22 El mundo de la matemática
  • 71. Deducimos de la operación anterior los pasos para resolver el cuadrado de la suma de un binomio: • El cuadrado del primer término, (a2 ) • más el doble del primero por el segundo, 2(a : b) • más el cuadrado del segundo (b2 ) Memorice la fórmula general: El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Fíjese en el desarrollo completo. (a + b)2 = (a)2 + 2(a : b) + (b)2 = a2 + 2ab + b2 Veamos un ejemplo Desarrollemos por simple inspección el producto (x + 3)2 . (x + 3)2 = (x)2 + 2(x : 3) + (3)2 = x2 + 6x + 9 Otros ejemplos cuadrado de la suma desarrollo resultado (x + 1)2 = (x)2 + 2(x : 1) + (1)2 = x2 + 2x + 1 (x + 5)2 = (x)2 + 2(x : 5) + (5)2 = x2 + 10x + 25 (x + 10)2 = (x)2 + 2(x : 10) + (10)2 = x2 + 20x + 100 Ejercicio 1 Desarrolle el cuadrado de la suma de un binomio. Vaya diciendo mentalmente la fórmula general: "cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo". Guíese por el ejemplo. cuadrado de la suma desarrollo resultado 0) (4x + 2)2 = (4x)2 + 2(4x : 2) + (2)2 = 16x2 + 16x + 4 1) (x + 7)2 = (x)2 + (x : ) + ( )2 = 2) (x + 5)2 = ( )2 + ( : 5) + (5)2 = 3) (2x + 3)2 = ( )2 + ( : ) + ( )2 = 4) (3x + 1)2 = ( )2 + ( : ) + ( )2 = 5) (2x + y)2 = ( )2 + ( : ) + ( )2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 60 IGER − Utatlán
  • 72. 1.2 Cuadrado de la resta de un binomio (a − b)2 Al igual que la suma, el cuadrado de la resta de un binomio es equivalente a multiplicar el binomio por sí mismo. Veamos. (a - b)2 = (a - b) (a - b) Si efectuamos el procedimiento, obtenemos: ab b a ab a b a b a ab b2 2 2 2 2 - - - + - - + El resultado a2 - 2ab + b2 es muy parecido al cuadrado de la suma. La diferencia está en el signo menos que separa al primer término del segundo. Por lo tanto: Deducimos de la operación anterior los pasos para resolver el cuadrado de la resta de un binomio: • El cuadrado del primer término (a)2 • menos el doble del primero por el segundo -2(a : b) • más el cuadrado del segundo (b)2 Memorice la fórmula general: El cuadrado de la resta de un binomio es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Fíjese en el desarrollo completo. (a - b)2 = (a)2 - 2(a : b) + (b)2 = a2 - 2ab + b2 Veamos un ejemplo Desarrollemos por simple inspección el producto (5x - 4y)2 (5x - 4y)2 = (5x)2 - 2(5x : 4y) + (4y)2 = 25x2 - 40xy + 16y2 Otros ejemplos cuadrado de la resta desarrollo resultado (x - 3)2 = (x)2 - 2(x : 3) + (3)2 = x2 - 6x + 9 (a - 1)2 = (a)2 - 2(a : 1) + (1)2 = a2 - 2a + 1 (y - 3)2 = (y)2 - 2(y : 3) + (3)2 = y2 - 6y + 9 (2b - 1)2 = (2b)2 - 2(2b : 1) + (1)2 = 4b2 - 4b + 1 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Atención: El producto (a - b)2 no es lo mismo que a2 - b2 , es decir, (a - b)2 ! a2 - b2 . 61Matemática − Semana 22
  • 73. Ejercicio 2 Obtenga el cuadrado de la resta de un binomio. Hay un ejemplo. cuadrado de la resta desarrollo resultado 0) (d - 2)2 = (d)2 - 2(d : 2) + (2)2 = d2 - 4d + 4 1) (x - 9)2 = ( )2 - ( : 9) + (9)2 = 2) (y - 6)2 = ( )2 - ( : ) + ( )2 = 3) (y - 8)2 = ( )2 - ( : ) + ( )2 = 4) (2x - 1)2 = ( )2 - ( : ) + ( )2 = 5) (3a - 5b)2 = ( )2 - ( : ) + ( )2 = 1. Productos notables Los productos notables son multiplicaciones de polinomios que cumplen con reglas fijas y se pueden resolver por simple inspección. 1.1 Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 Fórmula general para resolver el cuadrado de la suma de un binomio: El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a + b)2 = (a)2 + 2(a : b) + (b)2 = a2 + 2ab + b2 1.2 Cuadrado de la resta de un binomio (a - b)2 Fórmula general para resolver el cuadrado de la resta de un binomio: El cuadrado de la resta de un binomio es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a - b)2 = (a)2 - 2(a : b) + (b)2 = a2 - 2ab + b2 62 IGER − Utatlán Resumen