Lógica y conjuntos 1

Matemáticas para Economía y
Administración
LÓGICA MATEMÁTICA Y
TEORÍA DE CONJUNTOS
Matemático Iván Quinteros
Universidad Politécnica Estatal del Carchi

1. Lógica Matemática
INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN
La lógica es esencialmente importante cuando:
• Validamos un resultado o queremos convencer a alguien de
que nuestra posición o nuestras ideas son las correctas.
• Demostramos un teorema en cualquier rama de la
matemática; o, sacamos conclusiones de experimentos en
ciencias naturales o físicas. Para hacerlo, debemos recurrir a
un razonamiento o presentar evidencia que respalde nuestras
opiniones o resultados.
En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas
para determinar si un argumento es válido o no. Se convierte
así en un soporte de toda actividad científica.

OBJETIVOS
GENERAL
Aplicar métodos de argumentación y demostración
en la resolución de problemas de la vida cotidiana;
así como también utilizar correctamente el lenguaje
formal a través del cual se expresa la matemática y
otras áreas de las ciencias.
ESPECÍFICOS
Identificar la posición de un determi-
nado término que cumpla ciertas
condiciones
Obtener el desarrollo de un binomio
dado
Determinar un término en particular
conociendo su posición sin desarrollar
todos los términos del binomio

La lógica matemática, también llamada lógica
simbólica o logística, informalmente puede definirse
como la disciplina que formaliza el estudio de los
métodos de razonamiento.
1.1 Proposiciones
Definición 1.1.1 (Proposición)
Una proposición es un enunciado u oración
declarativa que puede ser verdadero o falso, pero
no ambos a la vez.

1.1 Proposiciones
Proposición
Lógica
Atómicas
(simples)
Moleculares
(compuestas)
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional

1.1 Proposiciones
1. Principio de Identidad
Toda cosa es igual a sí
misma.
2. Principio de no–Contradicción
Ninguna cosa puede ser y no
ser
Principiosde
la Lógica

1.1 Proposiciones

1.1 Proposiciones
Definición 1.1.2 (Valor de verdad)
Valor de verdad de una proposición es la cualidad de
veracidad que la describe adecuadamente. En la lógica
matemática sólo se asignan dos valores, verdadero o
falso.

1.2 Operadores lógicos
Definición 1.2.1 (Proposiciones compuestas y
operadores lógicos)
Son proposiciones compuestas (o, moleculares) aquellas
que se forman a partir de otras ya existentes, usando como
nexo términos tales como: y, ó, si…entonces, sí y sólo
sí, entre otros, a los cuales se les denomina operadores
lógicos. La proposición se dice simple (o, atómica) si no es
compuesta.

Términos relacionados con la conjunción «y» son:
«pero», «mas» y signos de puntuación tales como: la coma, el
punto y el punto y coma.

Antes de seguir, algunas recuerdos

¿Cómo interpretar el “Sólo si”
1. Si termino pronto el trabajo, me iré al cine
Ejemplo 1.2.8
2. Sólo si termino pronto el trabajo, me iré al cine
Únicamente si termino pronto el trabajo, me iré al cine
Si no termino pronto el trabajo, no iré al cine

Condición necesaria y suficiente
Ejemplo 1.2.9
En lógica, las palabras necesario y suficiente describen la
relación que mantienen dos proposiciones o estado de las
cosas, si una es condicionante de la otra. Por ejemplo, alguien
puede decir:
• El tomar agua regularmente es necesario para que un
humano se mantenga con vida.
• El saltar es suficiente para despegarse de la tierra.
• El tener cédula de identidad es una condición necesaria y
suficiente para votar.

En general esto ocurre con las implicaciones:
Si es cierto A, entonces es cierto B
Que esto ocurra no significa ni Si es cierto B, entonces es
cierto A ni Si no es cierto A, entonces no es cierto
B, pero en muchos casos se piensa que sí. Un ejemplo:
Esta claro que Si llueve, entonces mi patio se moja
Si es cierto A, entonces es cierto B

¿Es cierto entonces que Si mi patio se ha
mojado, entonces es que ha llovido (Si es cierto
B, entonces es cierto A)?
Y, ¿es cierto que Si no llueve, entonces mi patio no se
moja (Si no es cierto A, entonces no es cierto B)?
La primera parte de la primera frase, Si llueve,…, es una
condición suficiente para que mi patio se moje, pero no
una condición necesaria. Es decir, es suficiente que llueva
para que se moje mi patio, pero no es necesario que llueva
para que ello ocurra.

1.3 Formas proposicionales

1.3 Formas proposicionales
Definición 1.3.2 (Tautología, Contradicción, Contingencia)
Una forma proposicional que siempre es verdadera, sin importar los
valores de verdad de las proposiciones que la componen, se dice
tautología. Una forma proposicional que siempre es falsa, se
denomina contradicción. Por último, una forma proposicional que
no es ni tautología, ni contradicción se dice contingencia.

No ocurre Y O Si … entonces Sí y sólo si
1.1 Proposiciones
Proposición
Lógica
Atómicas
(simples)
Moleculares
(compuestas)
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional

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