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1. MAESTRIA EN
MATEMATICA BASICA
Dr. MsI. Alonso Alvarez Olivo
Riobamba, 2013
Ecuaciones Diferenciales

2. Modelos Matemáticos
Es cualquier conjunto de ecuaciones o
estructuras matemáticas, completo y consistente,
que es elaborado para representar alguna
entidad. Puede ser una entidad: física, biológica,
social, psicológica o conceptual, incluso otro
modelo matemático. La construcción de un
modelo matemático cumple con un mínimo de
objetivos:

3. i. Obtener respuestas sobre lo que
sucederá en el mundo físico
ii. Influir en la experimentación u
observaciones posteriores
iii. Promover el progreso y la comprensión
conceptuales
iv. Auxiliar a la axiomatización de la
situación física
Objetivos de los Modelos

4. ¿Por que utilizar ecuaciones
diferenciales (modelar)?
Porque la “mayoría” de problemas que queremos
modelar son cambiantes en el tiempo, por lo tanto se
usa derivadas como un instrumento para medir
variaciones instantaneas. Si depende sólo de una
variable independiente, se usa Ec. Dif. Ordinarias,
pero si depende de mas de una, se usa Ec. Dif. En
Derivadas Parciales.

5. Condicionamiento de un
Problema
Un problema matemático, se dice bien condicionado,
si cumple las siguientes condiciones:
1) Existencia de la solución.
2) Unicidad de la solución.
3) Dependencia continua de los datos
Pequeñas variaciones en los datos de entrada,
implican pequeñas variaciones en los datos de
salida

6. Ecuaciones Diferenciales.
Definición.-Llamamos ecuación diferencial, aquella
ecuación cuya incógnita es una “función” de una o
más variables, con la particularidad de que en dicha
ecuación figura no sólo la propia función, sino
también sus derivadas. Si la función incógnita tiene
una sola variable se llama ecuación diferencial
ordinaria, si tiene mas de dos variables se llama
ecuación diferencial en derivadas parciales.
0),...,,...,,...,,,...,,,,...,(
.0))(),...(''),('),(,(
1
2
2
2
1
2
1
1
)(
m
n
m
m
m
nn
n
n
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
uxx
xfxfxfxfx

7. Ejemplos
.0
.015'
.01)(5)('
x
y
u
yy
xfxf
02
2
2
2
x
u
c
t
u

8. Problemas de Ec. Diferenciales
10
00
)('
)(
)()(')(''
yxy
yxy
xgyxcyxby
x
x
Problema de
Cauchy
)(
),(
)(),(
0
0
0
2
2
2
2
xg
t
txu
xftxu
x
u
c
t
u
t
t
Problema de
Cauchy

9. Ejemplos
Ix
xQy )('
CdxxQy
dxxQdxy
)(
)('

15. Ejemplo:
Supongamos de tener una partícula que se mueve a lo
largo de una recta, de forma que su velocidad en el
instante t es 2sen(t). Determinar su posición en un instante
cualquiera.
SOLUCION: Si Y(t) representa la posición en el tiempo
t, medida a partir de un punto inicial, la derivada Y’(t)
representa la velocidad en el instante t. Entonces:
Y’(t)=2sen(t)
KtdttsentY )cos(2)(2)(

16. Solución de ecuaciones
ordinarias de 1er. orden
bay
xQyxPxy
)(
)()()('
x
a
x
a
tAxAxA
dttPxA
dtetQebexy
)()(
,)()( )()()(
Solución:

17. Ejemplo
[,0]
)1(' )2(
x
eyxxy x
Hallar todas las soluciones de la ecuacion diferencial de
primer orden
Solución:

18. x
Cee
y
tee
x
e
e
xxdttxA
x
e
y
x
y
xx
ttA
x
xA
x
x
2
1)(
1
)(
1
2
;
)1()log()1/1()(
)1
1
('
Solución:

19. Ejemplo
La población de una pequeña ciudad crece, en un instante
cualquiera de tiempo, con una rapidez proporcional al
número de habitantes en dicho instante. Si su población
inicial es de 500 habitantes y la constante de
proporcionalidad k=0,014.
SOLUCION: Sea N la población al tiempo t, la ecuación
diferencial que se puede deducir es:
500
)014.0(
0t
N
N
dt
dN

20. Ejemplo:
Un problema de enfriamiento: El coeficiente de
variación de la temperatura de un cuerpo es proporcional
a la diferencia entre su temperatura y la del medio
ambiente (Ley de enfriamiento de Newton).
SOLUCION
Si y(t) es la temperatura del cuerpo al tiempo t y M
designa la temperatuta del medio ambiente, la ley de
Newton conduce a la ecuación diferencial
y’=k[y-M]

21. Ejemplo
La propagación de una enfermedad contagiosa, puede ser
descrita mediante una ecuación diferencial, cuya solución
nos dirá el número de personas infectadas por la
enfermedad en cada instante de tiempo. Supongamos que
cada persona tiene la misma probabilidad de infectarse y
que, una vez infectada, permanezca inmune. La posibilidad
de contagio será mayor en cuanto sea mayor el número de
personas infectadas, y además el número de personas que
podrían infectarse es tanto mayor cuanto mayor es el
número de individuos sanos. Determinar el número de
enfermos en cualquir instante de tiempo.

22. Solución:
Sea x(t) el número de individuos sanos al tiempo t, y(t) el
número de infectados al tiempo t,
Donde k es una constante positiva que caracteriza al modelo
y esta ligada con el grado de contagio de la enfermedad. La
constante m, representa el número total de individuos de la
población.
)()( txtky
dt
dy
))()(( tymtky
dt
dy

23. Ecuaciones Diferenciales en
Variables Separables
0)()()()( 2211 dyygxfdxygxf
0
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
dy
yg
yg
dx
xf
xf
Cdy
yg
yg
dx
xf
xf
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1

24. Ejemplo
)ln(
)cos('
y
y
xy
Con la condición inicial y(0)=1
)ln(
)cos(
y
y
dx
dy
x

25. Solución
)cos(
)ln(
x
dx
dy
y
y
)cos(
)ln(
x
dx
dy
y
y
Cxxtg
y
))sec()(ln(
2
)(ln2
))sec()(ln(
2
)(ln2
xxtg
y